代数几何的过去五十年（by Quillen网名）
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这是网名叫Quillen网友在博士家园中发的经典帖子，我把它贴出来和大家分享！: w% |6 d z1 }2 }. q* w+ |0 r
我想談談過去五十年和我預測未來一百年的代數幾何,我將一次次分開討論,如果有興趣請支持:
* H3 A) _% o4 @1940-1965 - r5 C! u: N8 s0 y
代數幾何在1900年以前,已經有了代數曲面的部分理論 和代數曲線上的Riemann-Roch定理,但是語言和概念處於一個混亂的狀態. 在1950到1965年間 出現了三個巨大的革命.奠定了代數幾何的秩序 描述了重要的問題,提供了未來發展的方向.:::
/ N8 E1 G+ {* P她們是 Hodge(加一堆人) 開創複幾何, Kodaira 的三大工作 和 Grothendick 的抽象語言及新定義(問題):
/ m2 ?& |; s9 g* z( a3 N2 z讓我先講第一項工作.
# j6 y/ u8 T& RHodge + Lefschetz + Kaehler 考慮了複流形的定義和一般的性質, Kaehler 引入了Kaehler 度量, Hodge 利用了分析中著名的"Elliptic regularity" 對Kaehler 流形的上同掉群作了至今仍然神秘的 Hodge 分解, 並且提出著名的 Hodge猜想, Lefschetz 證明了Hodge猜想的非常特殊情形,並且證明了他的截面定理, 用以連結一平滑代數促和其截面的同掉群.9 N! Z# }4 B: L3 E7 |: A! u
這是一連串故事的開始, 這個故事到現在,甚至以後一百年內 都不會結束.
' R# l1 s; e6 \, C$ y$ a2 h6 e k+ fKodaira 的三大工作:
& } o/ b" R# B( B) i( e- x(1)Kodaira 證明了 當複流形上的 Kaehler form 的 上同調 是 有理的時候, 該負流行就可以全純嵌入到 複射影空間之中. 而且也證明這是唯一的條件. 至今稱為 Kodaira embedding.; ~! ^; H: f# G) s# F1 l( Q
(2)Kodaira 把義大利學派對複曲面初步工作做了全面性地毯式的推廣, 對複取面 利用 他的 "Kodaira dimension" 作了一個本質上的分類, 對分類中的幾個大項都做了完全的討論,尤其是對曲面作為 一個 over 曲線 的 fibration , 對其 sigular fiber (橢圓情形)作了分類,至今稱之為 Kodaira Classification.) ^6 D. H# j: z( h# L! C
(3)Kodaira 研究了複流形的變形理論,對一階變形做了詳細的了解. 將一階變形表達為切叢的第一階上同調群, 證明了至今稱為 Kodaira Spencer 映射 的 存在性, 3 h+ k" ~! _" P" C( s$ U1 F$ l
這三個工作,不論是哪一個 ..都是無比的巨大. 每一個工作都沒有做完,但都做了開創性的一步,也顯現了複曲面理論的三個主要觀點: 做為射影空間的子簇,作為over一個更低維度流形的 fibration, 作為其他更好瞭解的複流形的變形.
2 h' v9 R. ?/ S+ \, u) g* F& x配合 Chow 的工作, Kodaira 和 Chow 完全刻畫那些可以做為射影空間子簇的複流形,知道她們正是那些用多項式在射影空間切出的子簇. 複幾何從此成為袋鼠幾何的心腹(大患)
' V l) n8 {( r7 o: J7 d8 L9 s, W }嵌入定里使用了 正曲率向量叢之上同調的消滅定理, 這個消滅定理隊高維流形的分類起了作用, 也引發了後續的研究 比如尋找更強的消末定理
% r* ~" v! u- O; N3 p: i& u對曲面的分類, 留下了 general surface 和她們的 moduli 問題, 其使用的 fibration 技術,成為人們研究曲面和更高維流形的主要工具" M3 Y: q, }6 ?/ g- Y* }# Y
變形理論被 Kuranishi 更一步拓展. 證明了有名的 Kuranishi Obstruction Theory (障礙理論), 描述複流形變形的障礙, 發現了 Kuranishi 映射, 成為理解曲面(或任何袋鼠幾何研究對象) 模空間局部圖形的刻畫方法.其數論面被Nicolas Katz研究其 over Spec Z
. R# F! d& X+ v: Q6 l5 l( t的變形性質, 幫助了 Deligne 證明 Weil 猜想.
" |4 v4 h, c9 }* c# hKodaira 是神..
6 p0 ~7 ]. x+ YGrothendick% Y7 K$ ?/ H/ Q* p1 j2 m
Grothendick, 是一個很難聽的名字.如果你學過德文,你會知道 Grothen 是大的意思,Dick是老二的意思.所以合起來就是 這個人的名字很 Diaoˇ
6 S9 `: ^! O8 X他是真的很 Diao ˇ, 他夥同了一票同事和弟子, 建立了他的 Program of Scheme, 寫下了 EGA SGA 和 FGA, 就是袋鼠幾何初步,研習,和基礎 的意思. 他又提出了 Etatle Theory, Topo 的概念, Weil 猜想的可能解法, 證明了他的 Grothendick Riemann Roch 公式* k8 B" J& g9 M
關於上述幾個工作,我來討論依下: Scheme (我想中國翻譯成概形) 是研究代數簇一定會要關心的對象,主要有兩個原因, 一是一個簇到另一個簇的映射,其fiber (一點 的原象)不一定是個簇, 但一定是一個 "概形",另一個理由是在研究算數幾何時, 要研究over 不是複數體的概形, 必須使用 scheme 的概念.
+ R& H9 b4 \+ @; @% G( R這只是一個簡單的概念,基本上概形就是 由幾個交換代數黏貼起來的圖形, 所有的性質都可以用交換代數描述的.但是在使用Cech 上同調來講sheaf的理論時,有特別得便利之處,另外在變形理論中,複流形的變形比scheme的變形難描述的多.
$ O4 i6 P& s+ vEtale cohomology 是 scheme/K 在K 不是複數時 的類比於 singular cohomology 或 DeRam cohomology 的東西.而 Etale homotopy 則是此情形的 homotopy. 兩者都和 K 的算數性很有關係, 是類比於拓墣理論但是實際上把 Gal(K_1/K), 包進去的概念, 其中K_1 是K的代數閉包. 這 Etale cohomology 後來被 Deligne 拿來解決 Weil Conjecture 的伊部份, 其實很大程度是只是表面的技術問題, 但是想法是很突破性的: 把算術和幾何做了一個很恰當的合併.
8 b E# [! d g: ]' T( vTopo 是很新的概念, 當時沒有人注意, 但現在 對 (moduli) Stack (中文可能翻譯為 堆積 ) 很有影響 當時是被拿來推廣原來的"拓墣中的開集合", 用於定義 Etale cohomology 和 homotopy.
s- U. [+ e2 t+ LGrothendick 雖然做了很多重要的工作,對後人有很大的影響, 但在本人的看法中,他的工作主要是語言的建立, 除了很多技術性的部分之外 , 他的直覺並不是一種往常意義下的直覺, 而他是顯然崇尚於 "抽象化可以解決一切問題" 的數學家, 據我所知 有很多人學 EGA SGA 學到死胡同裡, 其實是他學派大部分的後人都是如此,只有少數幾個例外, 其實原因很簡單,數學不應該是以抽象的語言為本質, 抽象化是數學的一大部分 ,但做為工具的成分多餘作為研究的對象的成分, 就像 算子論, 純代數, 等等工具, 很快整個科目就會枯竭,留下的價值是,所有人都要學習之, 但並沒有後續的問題.2 L5 P; v. d9 d. i& ^; S
畢竟 數學真正的對象, 除了物理問題以外, 是 幾何(拓墣) 與 數... h3 J9 a/ l+ W3 e/ b; d1 H1 U
而方法..只因為研究的對象而重要....
) r" o3 O6 ?, [ O, ^3 `' B1965-1975
% {! L w4 X2 _/ i5 d這個時期得袋鼠幾何工作比較分散,很多結果都變成了啟發後面1980-2000 年工作的具體例子.主要是模空間理論的出現喊逐漸成熟: 這個時期的紅人是 David Mumford ,單個較大的工作團來自 Griffith 的領導, 另外Daniel Quillen 作了非常抽象但在2005的今天逐漸揭示其重要性的工作:
5 C/ E8 l4 S5 k7 X( [" E; u(1) 特殊曲面模空間: Kulikov 和 Robert Friedman 完全刻畫了K3曲面的 semistable 退化, Lefshetz 等人證明了K3 的 Torelli 定理, 其中也用到了這個時期 Kuranishi 發展的障礙理論, 非常具有其特殊意義, 人們開始關心 模空間,
B$ q& l( k+ E& {(2) 曲線模空間: Deligne 和 Mumford 製造了虧格數為g的曲線的模空間及其緊化, 在其上計算了一些重要的幾何上同調的相交數. 引入了 Moduli Stack 的觀念, 其中用了 Grothendick Topo 的語言, Artin 研究了抽象 Stack 的局部-全域 性質, Grothedick 的學生 Illusie 研究了 重要的 Cotangent Complex, 成為 stack 上一個酷斃的變形理論.
3 s$ [7 H3 W& l$ T4 h) _. L(3) 向量叢的模空間: 人們開始研究向量叢的模空間, Narasimhan 和 Seshadri 一系列的工作研究了曲線上向量叢模空間的製造和緊化, 研究他們的拓墣和幾何性質. Atiyah - Bott 從微分幾何的方向來考慮相同的問題, 對黎曼面上的向量叢模空間計算其betti 數.是 Gauge (規範) 理論 在曲線上的經典之作,
; j$ C# ?9 W8 N" u; o. T$ a0 M接下來我要講這個時期中, David Mumford, Phillip Griffith, Daniel Quillen ,的工作 s- [) @5 ~0 R4 X: c
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Daniel Quillen: 因為和Thom 共同證明了有名的 Cobordism Theorem, 以及他開創了 Homotopic Algebra, 定義了 Higher K theorem 和發現其和 Chow group of Scheme 的關係, 得到Fields medal. 不同於 Grothedick, Quillen 的工作更具有數學上的價值, 他的homotopical algebra 至今仍是一個謎, 但是越來越多的數學問題都指向了解這個謎是終極的方法, Higer K sheaf 的上同調等於 Chow group, 這個定理也是充滿了神祕的面紗, 從 1980 到 2005 沒有人開清楚其中的真正的現象.; c' b: t% y4 u
1965-1975 Part Two: r8 @) k2 K( K& j$ S" Z
既 上次的帖, 這次我想介紹一下 David Mumford 和 Phillip Griffith 的貢獻和我對他們的個人意見.2 Q( u0 d- S) j* Z, Z. o4 B
David Mumford 是一個奇才. 他有兩個主要的工作:" ^9 i1 t& n$ N6 v0 Z
(1) 發展了 Geometric Invariant Theorem, 也就是著名的幾何不變量理論, 這個理論研究,當有一個群 G 作用在一個簇 X 的時候, 怎麼樣正確的找出 X/G (稱之為 Quotient by G) 上的 scheme 的結構.# O6 T( h7 c% _# j( q) ?# g' o
這個問題聽起來很簡單, 如果只想做 X/G 上的拓墣或微分結構, 幾句話就可以說完, 但是想有一個簇 或是 解析結構, 就變的複雜, 這是代數幾何研究 模空間的重要工具
) N. Q. D6 N2 m; A% _9 ~幾乎所有的模空間的製造都是這種 X/G 的形式. 比如說曲線的模空間, 一個簇裡面的曲線的模空間, 向量叢的模空間, 霍奇結構的模空間, 等等等等等等等 模空間..
8 X( N, T& A. L0 a5 l# C. H/ E! Y, c5 o1975-1992 這個時期, 是代數幾何的一個黃金時期, 這個時期有三個大猜想被解決, 幾個分支先後出現, 能人輩出, 真說的上風起雲湧:
; H+ T: f( E8 }- l) }% \" I% N解決的猜想:2 p8 \, P/ ^! \- Z+ @9 s6 D) j
(1) Weil 猜想: Weil 在50年代提出了一個猜想, 認為over Z 的一個簇的整數點的個數隱藏了該簇的拓墣性質, 這是一個令人震驚的猜想, 藉由幾何物件連結了拓墣和算數, 這個猜想由 Pierre Deligne 解決, 他用了 etale cohomology 的各種性質, 比如 Lefshetz 固定點公式, 另外Weil 將整數點合在一起寫成一個生成函數, Deligne 證明了這個函數的黎曼猜想, 這些工作是 Grothendick 的 Etale theory, 甚至是代數幾何, 開始受到數論學家重視的原因.$ r2 R8 H8 |( U2 ~' D( V+ \
(2) Mordell 猜想: Mordell 在 20 年代提出了他的著名猜想: 說一個虧格大於等於2又定義over Q 的代數曲線, 只能有有限個有理數點. 這個猜想非常的簡短漂亮, 人們知道虧格零的曲線有有理數那麼多有理數點, 知道虧格一的曲線的有理數點形成一個有限生成交換群(這是Mordell 的定理), 如果證明了 Mordell 猜想, 那就說明了曲線的有理數點結構決定其 Kodaira 維數.這又是一個聯結算數和幾何的特別猜想.0 `5 P# o7 y9 m |4 Q) n0 a# F
(Kodaira 維數是 Canonical bundle 的 section 的個數增長次數, 曲線有三個 Kodaira dimension, 虧格0 -> K.D=複無限大, 虧格1-> K.D.=0, 虧格大於董於二->K.D.=1)
w) @; |, B' y) h這個猜想被 Gerd Faltings 解決, Faltings 據說是一個天生下來學習 Grothendick I; H( {2 I, r: N6 C6 b& O
語言的數學家, 他高中就把 Bourbaki的代數唸完,大學把 EGA SGA 唸完, 他證明 Mordell猜想的方法也是利用 Abelian Variety 的理論, 這個人和 Pierre Deligne 是算數幾何的宗師.
+ K: X+ z( o s9 g0 K* L(3) Calabi 猜想: Calabi 提出他的著名猜想: 一個 Kaehler 形式可以調整為其Ricci曲率為給定的形式, 邱成桐證明了這個猜想, 也證明了 Kaehler Eisten 曲率的存在性, 在 K trivial 的時候就是著名的 Calabi Yau 流形, 一維時是橢圓曲線, 二維是 K3 曲面或 Abelian 曲面,都只有一種拓墣結構, 三維以上就不依樣 , 至少有數萬種 Calabi Yau 流形有不同的拓墣, 隨著物理的鏡對稱理論和弦論, Calabi Yau 流形變成了和 Eistein 四維時空流形(with Eistein 測度) 一樣重要的物理概念, 成為了到現在20年內代數幾何得重要研究對象. 這個代數幾何和物理的連結, 某種意義上比前兩個猜想的解決還要有意義.; z* X& t! _- O9 E* Y. }. c0 \
(Yau 的結果雖然是微分幾何的, 但對代數幾何的應用非常多,也可能持續發現其應用, 比如說 P^2 上只有一個 Kaehler 結構也可用此證明)
* k1 P6 i0 Q4 O$ k j3 T I下次我將說到 Simon Donaldson, Maruyama+ David Gieseker, 和 Gromov 的工作, 雖然第一個和第三個不能算是代數幾何學家, 但是在21世紀的今天, 他們的工作隊代數幾何起了深重的影響, 就如 邱成桐的一樣.
* j8 y2 j6 }: A這次要介紹的是1980-1990中, 承先啟後的數學家, Simon Donaldson, Maruyama+ David Gieseker, 和 Gromov :
$ t" N! P3 P8 V+ ~/ r Q. D/ B先介紹 Gromov: Gromov 的主要工作是辛流形中仿全純曲線的構造, 以及其模空間的緊化, 這個工作和代數曲線模空間的緊化有點類似, 但不同的是仿全純曲線只需要給定辛流形上一個可行的近複結構 ( an compatible almost complex structure on the fixed symplectic manifold), 不需要該近複結構是可積的, Gromove 了解了這種曲線的"specialization", 也就是一連串這種曲線的極限曲線, 有名的 Gromov Compactness (緊化) 和 Uhlenbeck 的緊化 (見 Donaldson) 並稱齊驅, 後來 Ruan Youn Bin 和 Tian Gang 等人以此構造了數學上的 Gromov Witten 不變量 和所謂的量子上同調, 現在是辛幾何的主要研究方法. 這一工作對代數幾何的重要性是很大的, 至少Kaehler 流形是 辛幾何和代數幾何的交會點, 這上面的 Gromov Witten 不變量(也就是 數數看流行中有幾條訪全純曲線) 是代數幾何的一些古老問題解決的終極手段( 所謂的 Enumerative Algebraic Geometry 早有一百多年歷史, 只是一直沒有系統的理論來統合, Gromov Witten 理論是其中依個選擇)7 B3 R h% I& x) x4 N$ L
其次介紹 Maruyama, David Gieseker: 他們的工作是層的模空間的構造, 他們?#092;用了 David Mumford 的幾何不變量理論(Geometric Invariant Theory) 考慮了一固定簇 X, 上面給定其陳類(陳類是簇的完全拓璞資訊)的所有 的 半穩定 的 層. 這一個(半)穩定性 (semi-stability) 被稱為 Gieseker (semi)stability. 這些層的搜集上面有一個天然的複結構,也就是(半)穩定層的模空間的複結構, 這個空間和所有穩定的映射 C->X 的模空間有相似之處,在 X唯一個點時就是曲線的模空間(十年前由Deligne + Mumford 構造)$ {3 H; H- L, g( ^$ r" [
Gieseker 還考慮了這種模空間的退化: 隨著簇的退化,模空間當然也跟著退化(degeneration), 這個退化的手段這五年來慢慢成為代數幾何的重要研究對象 (當然簇的退化已經有一些例子 ,比如說 K3曲面,或是代數曲線的退化)) N/ s4 }3 i" I! {
最後講 Simon Donaldson: ; x+ x( q, v* @
Donaldson 考慮四維流行上面某依個向量叢上面辦自對偶的連絡的模空間,再這個空間上做一些天然同調類的相交,得到了一串量並證明這是該四維流形的微分結構不變量. 在他之前 smale 證明了大於四維的流形的 Poincare 猜想(和求同倫必和求同胚), Freedman證明了四微的猜想, 當時最大的拓墣問題還是 三維Poincare猜想,一直到最近才被 牛怕了悶 先生解決, 但是人們對微分拓墣的 Poincare 猜想毫無了解 ,也就是問如果流形是和球同胚是不是一定和球微分同胚. Donaldson 用上述的模空間的方法構造了四微微分流形的微分結構不變量,找出了一些拓墣流形上面不可能有任何微分結構, 找出一個拓樸流形其上有兩個以上甚至無線多個 微分結構..這些微分結構的判定就是靠上述構造的相交數..稱為 Donalson 不變量,- P7 l& N" U0 Y& e
當四維流形世袋鼠曲面時, 這個模空間和該向量從上所有穩定的複結構的模空間是差不多的,John Morgan & 李駿證明可用向亮叢的模空間上的相交數算出一樣的量, 這個情形就完全是袋鼠幾何的範疇, 一直到現在都還是一個很不清晰的狀態
% W0 }" [* ?) j3 o; w& h8 |3 f後來有利用 Spin 結構造的 Seiberg Witten 不變量,比 Donaldson 的容易瞭解很多, 人們也開始比較重視 Donaldson 不變量的代數幾何面 ,因為其微分面很大部分已被 Seiberg Witten 取代,但是 這個故事還沒有完. Donaldson 的幾位弟子和他本人在下一個世紀中繼續的對數學做出創造性的貢獻,..他的弟子是 Richard Thomas, Paul Sedal 等人." c1 O& L4 j$ t- x. v: j$ l
下次我們將討論1990到2006...也就是到今天,接下來的介紹因為將會強烈受到作者個人的研究和興趣影響,可能會很不很客觀,請大家提出任何可能的意見來討論,我將介紹
! x- n. f! z D v0 jMaxim Kontsevich, Mori, David Morrison, Kenji Fukaya,Raoul Pandharipande&Okounkov, Marc Levine, Mark Gross, Kai Behrend, Li Jun, Richard Thomas(Donaldson 學派), 等人... 主要的頭頭是 Kontsevich 和 Mori. 但是其他幾個人現在都很活躍, 所以我也部會有立場做任何負面批評...:) |
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