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[PDF]多层次水平上的随机动力学理论
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真实的自然定律不可能是线性的，也不可能
从线性方程中导出。
1970年代，物理学家重返场论。这次他们采用
的是非阿贝尔规范理论(non-abelian gauge theory)，
它是麦克斯韦理论的一个优美推广。这里的形容
词“非阿贝尔”有着精确含义：相继的两次操作
(例如转动)得到的最终结果依赖于操作次序(我在
《爱因斯坦对理论物理的影响》中曾介绍过规范
理论，见Physics Today，1980 年6 月刊，第42 页。
更技术性的介绍可见于Physics Today，1982 年3
月刊，第41 页，作者为辛格(Isidore Singer))。今
天，在深入理解自然界中的各种相互作用的结构
这个问题上，规范理论是一个基础性的概念。它
起源于数学家赫尔曼·魏尔(Hermann Weyl)发表于
1918—1919 年间的三篇文章。这些文章曾受影响
于爱因斯坦的电磁学几何化的想法[4]。
魏尔意识到“平行移动”这个概念的重要
性。他论证道：“为了与自然界相符，黎曼几何
必须建立在矢量的无穷小平行移动这一观念
上”。魏尔进一步说，既然在平行移动中，矢量
场的方向不断改变，那为什么不允许它的长度也
改变呢？由此出发，魏尔提出了所谓“nonintegrable
Streckenfacktor( 不可积伸缩因子)” 的概
念，或者叫“Proportionalitätsfacktor”，它通过如
下公式和电磁场发生联系：
exp(-∫eA ) μdxμ /γ ， (5)
在这里Aμ 是四维矢量势，系数γ 是实数。魏尔给
在时空中运动的每个带电物体都附加一个伸缩因
子。在魏尔的第二篇文章后爱因斯坦添加了一个
附注，其中爱因斯坦批评了平行移动改变长度的
想法，魏尔未能有力地反驳爱因斯坦的毁灭性
评论
在任一规范变换下，魏尔的长度伸缩因子应
由如下因子替代
expæè
öø
-ieℏ ∫Aμdxμ ， (7)
它显然应该称为“相位变化因子”。通过这一替
换，爱因斯坦最初的批评不再成立了
魏尔的规范变换涉及到时空中的逐点U(1)转
动，或者说复平面上的转动。这一点和麦克斯韦
的转动涡旋有着显著相似。当然，这种相似是个
巧合。
从数学上看，公式(7)中的相位因子形成一个
李群U(1)，而魏尔最喜爱的研究领域之一正是李
群。对背景知识较多的读者，我可以提出一个猜
测：假如纤维丛理论在1929 年前就建立了，魏尔
显然会认识到电磁学就是一个U(1)纤维丛理论，
并且很有可能在那时就把它推广为非阿贝尔规范
理论，因为这正是他1929年的理论的自然延伸。
历史上，这一延伸发生于1954 年，并且来自
不同的动机。新的动机并不是基于纯数学上的考
虑。当时粒子物理实验中涌现出越来越多的“奇
异”粒子，因此迫切需要一个原理来描述它们之
间的相互作用。这一物理动机简洁地体现在以下
这个发表于1954年的摘要里：
电荷是电磁场的源；这里有一个名为规范不
变性的重要观念，它与以下几件事物有紧密联
系：(1)电磁场的运动方程；(2)流密度的存在性；
(3) 带电场和电磁场之间的可能的相互作用。我们
尝试推广这一概念，将它用于同位旋守恒。[5]
这一推广带来了非常美妙的非阿贝尔规范场
论(non-abelian field theory)。然而，这一理论似乎
要求存在无质量的带电粒子，这些粒子在自然界
中并没有见到，所以在很长一段时间里，这一理
论在物理学界并没有得到认可
为了给这些无质量粒子以质量，人们在1960
年代引进了对称性自发破缺的概念。这一概念带
来了一系列重大进展， 并最终带来一个基于
U(1) × SU(2)× SU(3) 群的规范理论，我们今天称
之为标准模型(standard model)，它描述了电弱相
互作用和强相互作用。从1960 年左右算起，大约
50 年里，粒子物理领域的众多实验和理论物理学
家们努力验证并发展了此标准模型，这里既有个
人努力，也有集体协作。
尽管如此成功，标准模型不可能是终极理
论。首先，标准模型包含几十个参数。更重要的
是，作为标准模型的一个核心部分，“对称性自
发破缺”机制是一个纯粹唯象的构造，它在很多
方面与费米的“四费米子相互作用(four- ψ interaction)”
相似[6]。在1934 年被提出后，费米理论
保持了近40年的成功，但它最终被更深刻的U(1)×
SU(2) 电弱统一理论(electroweak theory)取代。
1850 年代汤姆孙和麦克斯韦已经明确知晓规
范自由度。在难以捉摸的“电紧张态”中，法拉
第可能也曾模糊地感觉到了它。1929 年，魏尔在
量子力学的框架内把规范自由度转述为麦克斯韦
方程组的一个对称性(或称“不变性”)。今天我
们称这一对称性为“规范对称性”，它已经成为
标准模型的结构性支柱。
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