Ground-state energy of the electron gas with
the modi¯ed Coulomb potential 1=rp in two
dimensions
Fu Liangjie 1, CHEN Yuan
(Department of Physics, College of Physics and Electronic Engineering,
Guangzhou University, Guangzhou 510006, China)
Abstract: In this paper, due to the e®ect of positively-charged screening
holes, Coulomb potential energy 1=r is modi¯ed to be 1=rp. Using many-
body perturbation theory, we obtain a simple analytic representation of the
ground state energy for a two dimensional uniform electron gas. Our results
agree with those obtained by the num
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电子态的理论模型从早期的自由电子，近自由电子，紧束缚模型，原子间相互
作用势是所有有关原子水平上的计算机模拟的基础, 原子间相互作用势的精确
与否将直接影响着模拟结果的准确性, 而计算机模拟所需要的计算机机时则取
决于势函数的复杂程度。如果从第一原理出发, 对某一材料进行完全的量子力
学处理, 不仅在计算方法上存在一定的困难, 而且难以获得全面而准确的计算结
果。在一定的物理模型的基础上发展相应的原子间相互作用势, 进而研究材料
的性质和不同状态下的早期的原子间相互作用势多数是一些纯经验拟合势, 近
年来人们更多地是通过基本电子结构的理论计算, 发展一些合适的半经验的"有
效势"。相互作用势又被称为对势，对势在早期的材料研究中发挥了极为重要的
作用, 并仍然活跃在计算机模拟的许多领域。根据对系统总能量的贡献, 可以
把对势分为两类：系统的总能量完全由对势函数决定,这类对势可以有效地描
述van der Waals力等相互作用占主导地位的体系；对势函数仅描述恒定的材料
平均密度下系统能量随原子构型的变化, 这类对势适用于描述sp-价态金属。动
力学屏蔽交换和库仑空穴引起势能改变中，库仑作用是长程的，屏蔽库仑作用
是短程的，两者之差，即库仑作用的长程部分形成电子气的等离子体振荡，其
元激发是等离激元白然在电子气中还有电子-空穴对的激发，所以库仑空穴作用
实际上是电子同电子气中几种元激发的相互作用，也可以说是准粒子与由于准
粒子形成在周围电子重新分布产生的感应势之间的相互作用。相对论能带理论
仍然保持其单电子态的本性，但计入相对论效应后原则上可用于含有原子序数
大的元素所组成的晶体电子能带，扩张了单电子能带理论的应用范围。
不计入多体关联效应，许多情况的单电子能带理论给出的结果与实验数据明显
不符，促使能带理论必须吸收当代多体理论的研究成果，以计算多体效应产生
的自能替代先前用平均场近似的交换关联势。这样单电子能态计算发展成准粒
子能带计算．与实验相比达到了符合甚好或接近符合的新水平，特别是长期困
扰能带理论的过渡金属NiO和MnO等晶体的电于态问题有了较接近实验数据的
新结果。分子动力学方法可以研究分子和固体的原子振动，而密度泛函计算分
子和固体的电子态时假定体系中原子处于理想位置的组态，这两方面分别发展
都取得巨大成功，如何将这两个方面有机地结合起来，已有部分理论
不计入多体关联效应，许多情况的单电子能带理论给出的结果与实验数据明显
不符，促使能带理论必须吸收当代多体理论的研究成果，以计算多体效应产生
的自能替代先前用平均场近似的交换关联势。这样单电子能态计算发展成准粒
子能带计算．与实验相比达到了符合甚好或接近符合的新水平，特别是长期困
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研究内容
Pines和Bohm的一系列研究中发现，大量电子间的作用可以用被简单化，既
用等离子体振荡来处理由库仑作用引起的电子气集体效应。对于小于费米波
矢kf 部分的动量空间积分，等离子体振荡能量为¹h!p,!2
p = 4¼Ne2=m,N和m为
电子密度和质量。经常被用来形容大部分的库仑作用的长程作用（对应于动量
小于kc部分，kc是组成独立的原激发等离子体所允许的最大波矢），由于等离
子体一般不被激发（¹h!p大于费米分布最外层的电子能量），长程部分一般被
忽略，剩下小于kc的电子间短程作用，这就是近自由电子模型。但在处理周期
势情况时，出现了困难，我们可以分为两种情况来讨论：一种是带内跃迁，比
如可以用自由电子模型来很好表示的碱金属（其中，用电子有效质量m¤来表示
屏蔽作用）.另一种是带间跃迁，比如自由电子外层势能的周期特性。对于后
者，我们需要进一步考虑。事实上，在大多数情况，像mott用半经典理论所指
出的，如果大部分的带间跃迁对应于激发频率!n0，它小于等离子体频率!p，
所以，对等离子体影响不大。因为等离子体的频率一般很高（¹h!p » 15ev，
对于大多数的固体），所以现实中一般是这种近似情况。我们的目的是讨
论修正后的电子气系统的基态性能和电子的激发频谱。在考虑第二类固体
（!2n
0 ¿ !2
p）时，Pines和Bohm把电子分布的屏蔽效应分为两种情况。一种是
带内跃迁，自由电子受外界微扰的空间影响而修正为(q=r) exp (¡kcr).另一种是
带间跃迁，受束缚电子被屏蔽为q=²r,² 是介电常数。在考虑了Pines和Bohm做
近似讨论时候忽略了的长程作用以后，我们修正为r¡p
7 Conclusion
Due to the screening e®ect, the normal Coulomb force 1=r is modi¯ed to be
1=rp in this paper. Using many-body perturbation theory, we obtain a simple
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