恶米算符的话是要让本征值为实数
那要线性算符是为什么呢？
【小卒个人文集】从“拉普拉斯算符的本质”去理解波函数的动能，顺便埋汰“节点理论”
从“拉普拉斯算符的本质”去理解波函数的动能，顺便埋汰“节点理论”
密度泛函·小卒
2010.04.26
从本科我们第一次接触《物质结构》这门必修课，我们就学到了薛定谔方程HΨ=EΨ。式中，哈密顿算符H定义为动能项T和势能项V的线性组合。在动能项T中引入了拉普拉斯算符
。从这时候开始，拉普拉斯算符
就与我们结下了不解之缘。（做理论的人都是咬牙切齿说出这句话的，那个恨啊）
由公式我们可以计算波的动能。根据公式
，E虽然是对全空间进行积分，但是由于拉普拉斯算符是二阶微商，它给出的是波函数在特定位置的梯度的变化率（就是变化速度的变化速度）。因此，波的动能就是动能在全空间的平均值，也就是波函数梯度的平均变化率。
我们先看一个宏观现象：一维正弦波。我们用图1表示一维正弦波f1(x)=sinx，f2(x)=sin2x，和f3(x)=2sinx。
我们计算它们的二阶微分，分别是f1"=-sinx，f2"=-4sin2x，和f3"=-2sinx。于是我们可以看到，正弦波f1的动能低于f2的原因在于“f1频率低”，正弦波f1的动能低于f3的原因在于“f1振幅低”。在量子化学领域，振幅已经不再是一个确定的量。或者说，在量子化学看来，f1和f3是同一个波。现在关键问题集中到了f1与f2的比较上。由于f2的波形改变的速度（波形坡度的变化）比f1要快，所以f2获得了更高的平均动能。
自然界有一个普适原理，即能量最低原理。这里再举一个很简单的例子，一维无限深势阱的粒子运动，波以恒定的频率在整个空间内传播，在势阱内各个区域，该粒子的波形处处相同。再延伸一下，如果这个一维无限深势阱的长度是无限的，那么随着波的传播，波的动能将趋近于零。但是在有原子核存在的情况下，电子和原子核之间有束缚力。这种“原子核对电子的束缚力”和“电子动能向空间的衰减”之间存在一个平衡。说到这里，我们终于开始接近稍微实际一点儿的物理图景了。比如我们来看两个一维GTO波形，分别是GTO1=exp(-x^2)和GTO2=(1/2)exp(-0.25x^2)，如图2。
对这两个GTO波形做二阶微分，得到GTO1"=-2*Exp(-x^2)+4*x^2*Exp(-x^2)，GTO2"=-1/4*Exp(-1/4*x^2)+1/8*x^2*Exp(-1/4*x^2)，如图3。
此时，我们可以说，GTO1的动能高于GTO2。电子会优先占据能量低的轨道，这就是能量最低原理的普适性。
写到这里，我不禁想起了害死人的“节点理论”。我们在有机化学中学到的节点理论，说的是“节点越多，轨道能量越高”。后来我学了理论化学之后，怎么想都不是这个事儿，纠结啊。其实粗粗一想，也是啊，在单位空间内，波函的相位改变次数越多（也就是所谓的“节点越多”），那么能量越高，很符合上面的讨论啊。写到这里，我突然发现，节点理论说的只是动能。标准的哈密顿量H是由五项组成的，分别是核动能、电子动能、核-核斥力、电子-电子斥力、电子-核引力。我在刚才分析动能的时候，已经不自觉的使用了波恩-奥本海默的定核近似了（忽略核动能）。而这个节点理论可比我过分多了，人家只考虑了电子动能，将核-核斥力、电子-电子斥力、电子-核引力一律忽略。这忽略也太狠了，毕竟E = <Ψ|H|Ψ>/<Ψ|Ψ> = <Ψ|T+V|Ψ>/<Ψ|Ψ> = <Ψ|T|Ψ>/<Ψ|Ψ> + <Ψ|V|Ψ>/<Ψ|Ψ> ，而节点理论完全忽略了势能项<Ψ|V|Ψ>/<Ψ|Ψ>！好吧，在同一个分子之中，核-核斥力可以看做固定的，忽略了也没啥，关键是电子-电子斥力、电子-核引力这两项被忽略是实在说不过去的。因此，在普通量子化学计算中，大家会发现，节点理论经常失效，节点少的某些轨道能量反而是高的。
所以，大家本科时候虽然都学了节点理论，现在既然做了理论化学，咱们就忘掉节点理论吧。……呃，要不，我还是老老实实承认吧：我其实就是来故意埋汰节点理论的，这才是我的真正目的，啊哈哈哈！
全部公式都是用盗版的MathType6.7写的，导出为gif文件。
全部图像都是用免费版的SpeQ3.4画的，用截屏的方式存jpg。
哈哈，都很原始的哦
一天后补充：cenwanglai区长提意见说“把GTO1和GTO2用拉布拉斯算符处理一下，再画图，再来比较讨论，全文是不是更统一呢”，大善，立即修改！感谢cenwanglai区长
密度泛函·小卒
2010.04.26
从本科我们第一次接触《物质结构》这门必修课，我们就学到了薛定谔方程HΨ=EΨ。式中，哈密顿算符H定义为动能项T和势能项V的线性组合。在动能项T中引入了拉普拉斯算符
。从这时候开始，拉普拉斯算符就与我们结下了不解之缘。（做理论的人都是咬牙切齿说出这句话的，那个恨啊）由公式
我们可以计算波的动能。根据公式，E虽然是对全空间进行积分，但是由于拉普拉斯算符是二阶微商，它给出的是波函数在特定位置的梯度的变化率（就是变化速度的变化速度）。因此，波的动能就是动能在全空间的平均值，也就是波函数梯度的平均变化率。我们先看一个宏观现象：一维正弦波。我们用图1表示一维正弦波f1(x)=sinx，f2(x)=sin2x，和f3(x)=2sinx。
我们计算它们的二阶微分，分别是f1"=-sinx，f2"=-4sin2x，和f3"=-2sinx。于是我们可以看到，正弦波f1的动能低于f2的原因在于“f1频率低”，正弦波f1的动能低于f3的原因在于“f1振幅低”。在量子化学领域，振幅已经不再是一个确定的量。或者说，在量子化学看来，f1和f3是同一个波。现在关键问题集中到了f1与f2的比较上。由于f2的波形改变的速度（波形坡度的变化）比f1要快，所以f2获得了更高的平均动能。
自然界有一个普适原理，即能量最低原理。这里再举一个很简单的例子，一维无限深势阱的粒子运动，波以恒定的频率在整个空间内传播，在势阱内各个区域，该粒子的波形处处相同。再延伸一下，如果这个一维无限深势阱的长度是无限的，那么随着波的传播，波的动能将趋近于零。但是在有原子核存在的情况下，电子和原子核之间有束缚力。这种“原子核对电子的束缚力”和“电子动能向空间的衰减”之间存在一个平衡。说到这里，我们终于开始接近稍微实际一点儿的物理图景了。比如我们来看两个一维GTO波形，分别是GTO1=exp(-x^2)和GTO2=(1/2)exp(-0.25x^2)，如图2。
对这两个GTO波形做二阶微分，得到GTO1"=-2*Exp(-x^2)+4*x^2*Exp(-x^2)，GTO2"=-1/4*Exp(-1/4*x^2)+1/8*x^2*Exp(-1/4*x^2)，如图3。
此时，我们可以说，GTO1的动能高于GTO2。电子会优先占据能量低的轨道，这就是能量最低原理的普适性。
写到这里，我不禁想起了害死人的“节点理论”。我们在有机化学中学到的节点理论，说的是“节点越多，轨道能量越高”。后来我学了理论化学之后，怎么想都不是这个事儿，纠结啊。其实粗粗一想，也是啊，在单位空间内，波函的相位改变次数越多（也就是所谓的“节点越多”），那么能量越高，很符合上面的讨论啊。写到这里，我突然发现，节点理论说的只是动能。标准的哈密顿量H是由五项组成的，分别是核动能、电子动能、核-核斥力、电子-电子斥力、电子-核引力。我在刚才分析动能的时候，已经不自觉的使用了波恩-奥本海默的定核近似了（忽略核动能）。而这个节点理论可比我过分多了，人家只考虑了电子动能，将核-核斥力、电子-电子斥力、电子-核引力一律忽略。这忽略也太狠了，毕竟E = <Ψ|H|Ψ>/<Ψ|Ψ> = <Ψ|T+V|Ψ>/<Ψ|Ψ> = <Ψ|T|Ψ>/<Ψ|Ψ> + <Ψ|V|Ψ>/<Ψ|Ψ> ，而节点理论完全忽略了势能项<Ψ|V|Ψ>/<Ψ|Ψ>！好吧，在同一个分子之中，核-核斥力可以看做固定的，忽略了也没啥，关键是电子-电子斥力、电子-核引力这两项被忽略是实在说不过去的。因此，在普通量子化学计算中，大家会发现，节点理论经常失效，节点少的某些轨道能量反而是高的。
所以，大家本科时候虽然都学了节点理论，现在既然做了理论化学，咱们就忘掉节点理论吧。……呃，要不，我还是老老实实承认吧：我其实就是来故意埋汰节点理论的，这才是我的真正目的，啊哈哈哈！
全部公式都是用盗版的MathType6.7写的，导出为gif文件。
全部图像都是用免费版的SpeQ3.4画的，用截屏的方式存jpg。
哈哈，都很原始的哦
一天后补充：cenwanglai区长提意见说“把GTO1和GTO2用拉布拉斯算符处理一下，再画图，再来比较讨论，全文是不是更统一呢”，大善，立即修改！感谢cenwanglai区长
为什么用线性算符呢？ 我刚才想了一下，我觉着，是因为薛定谔方程是描述动力学所需要的全部方程，而这个方程是个线性方程。所以各种动力学量都可以对应一个线性的算符。
线性方程的意思就是两个解可以自由叠加组成另一个允许的解。 解的演化只受方程里的算符控制，解和解之间没有干扰。这在量子力学里是一个近似成立的东西，因为量子力学所讨论的场或势一般不那么强。 而高能下的量子电磁过程(QED)，有时场已经足够强，会引起一些非线性效应，这里用量子力学已经不方便描述了，也自然不用线性变换来对应动力学量。 比如，引力方程天生就不是线性方程，所以，它的解，也就是时空度规，人们一般不用它上的线性变换去描述动力学量。
线性方程的意思就是两个解可以自由叠加组成另一个允许的解。 解的演化只受方程里的算符控制，解和解之间没有干扰。这在量子力学里是一个近似成立的东西，因为量子力学所讨论的场或势一般不那么强。 而高能下的量子电磁过程(QED)，有时场已经足够强，会引起一些非线性效应，这里用量子力学已经不方便描述了，也自然不用线性变换来对应动力学量。 比如，引力方程天生就不是线性方程，所以，它的解，也就是时空度规，人们一般不用它上的线性变换去描述动力学量。
- 推荐 来自 贴吧游戏
- 2011-07-20 04:14
当然，引力场在场弱的时候也可以线性化（引力波）。 引力波在传播过程中可以组建一些线性方程描述其行为，或介质对它的影响。写成矩阵的数学形式，可能也会有相应的线性算符。但在引力波的源附近，场足够强的地方，这种做法是做不了的。
谁告诉你非线性空间可以线性叠加的，算符都是数学的东西，请你不要把数学的放在物理的，如果经典物理学量可以象量子力学那样叠加，那经典物理全都要修改了，现在的物理就不是这样了，量子力学与经典力学的区别基本上只多了波函数。你试试，如果电荷，电场，空间都不是线性的话（实际应用总会碰到的），你把它做线性叠加，笑歪了人家的嘴了。其实空间本来就是非线性的，不然广相就不会用到张量了，天朝的数学应用太差了。
这我开17楼已经意识了位置在古典是可以叠加的，但在广相位置仍是非线性。但这仍旧成立，只有波函数可以线性叠加的，其它的量仍旧要会回到非量子力学中考虑，否则的话非量子力学全部都是错误的，而且非线性不能化成线性分析的，量子力学方程很多都是没解的，不然就不用微扰做分析了，整个量子场论也不用这么复杂了。
是基于波函数的线性叠加，而不是其它量的线性叠加，你到底分不分清哪是波函数，哪是其它物理量，没做过计算,建议你去认真去学量子力学几年再说，如果微扰是其它量都能线性叠加能在量子力学实现，哈哈，还要用微扰自讨苦吃，学量子力学比学电磁场还容易，大家把非量子力学的量转换成量子力学量，再用你的叠加，全世界都先学量子力学再学经典物理啦。
量子力学的态叠加原理是说所有物理量的叠加都是线性的吗？态叠加原理本来就是针对态而言的，所以才叫“态”叠加，不然就叫叠加原理好了。力学量的算符都是线性算符就是因为态叠加原理这个最基本的假设。至于你说的话，实在驴头不对马嘴，还说什么算符变量q,量子力学中有这种把算符当变量的？除非某个算符是算符的函数（如A=A(f)，A、f为算符。）从你说的话真的可以看出，你的量子力学学的很。。。（此处省去4个字）
态叠加原理是说所有物理量都按线性叠加吗？这里也没有人这样说吧。态叠加原理本身就是正对波函数的叠加的。是量子力学的最基本的假设。至于力学量的算符必须是线性的，就是因为态叠加原理的存在。你说的话实在是很没有逻辑，还有你还说了什么“算符变量q”，你这里的q还能是算符？算符做为变量？算符做变量只有一种情况，就是一个算符A,是另外一个算符f的函数，即A=A(f)。由此可见，不是我说你，你应该再好好学学量子力学再来发言。
你以为每种力学量都必须与量子力学方程有关的吗，都能影响量子力学的态叠加吗，而态叠加都会影响每一力学量吗，例如电磁势能能影响中微子的态吗？真是猪头一个，只有势场作为因变量，（例如哈密顿算符（能量）），算符的变量q做为自变量作用在量子力学微分方程中，变量q才能影响态叠加的。这个方程在非相对论量子力学叫薛定谔方程，在相对论量子力学有很多种，但是都必需通过方程的势能（q)项，才能把q变量引入到态叠加中的，这就是量子力学方程。其它的量根本对态叠加不起作用，怎能用态叠加分析，典型的民科加不懂微分方程者。做了这么多量子力学微分方程，还会栽在这里。
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