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Feynman 发明了路径积分以后，量子理论看起来便不那么反传统了， 路径积分的被积函数都是经典的，交换的力学量，被一个幺模复值泛 函eiI/~加权，得到经典观测值。由量子力学的概率解释，经典观测值应该 是可观察量特征值的期望，这样路径积分非常像概率模型，权泛函就像概 率密度一样。这里其实我很不理解的是，作为传播子（又叫Green 函数或 基本解） ∫︁{path ω from a to b}eiI(ω)/~𝒟ω (2) 的模方是粒子从a 到b 的迁移概率，而权函数本身的模方永远是1，因而不 能被视为任何同概率密度有关的量。从这个角度来说，可观察量𝒪的期望 为什么是 ∫︀𝒪(ω)eiI(ω)/~𝒟ω ∫︀eiI(ω)/~𝒟ω (3)是 非常难以理解的一个巧合。 在从算子描述推演路径积分的过程中，如果用虚时间，就得到完美的 概率解释。这相当于考虑欧氏指标的时空背景。在这种数学模型中，量子 理论可以理解成某些无穷维空间上的特殊概率测度理论。由于路径积分 在non-abelian 规范理论，弦论中的关键作用，这个解释也是很多数学物理 学家努力探索的方向。近些年在随机面的数学理论方向有很多发展，这相 当于研究二维欧氏时空量子理论的数学基础
在从算子描述推演路径积分的过程中，如果用虚时间，就得到完美的 概率解释。这相当于考虑欧氏指标的时空背景。在这种数学模型中，量子 理论可以理解成某些无穷维空间上的特殊概率测度理论。由于路径积分 在non-abelian 规范理论，弦论中的关键作用，这个解释也是很多数学物理 学家努力探索的方向。近些年在随机面的数学理论方向有很多发展，这相 当于研究二维欧氏时空量子理论的数学基础。 在“一维欧氏时空”，量子的运动完全由Brownian motion 的数学理论 刻画。显然，这种刻画不适用于真实世界，因为时间是实数而不是虚数。 Brownian motion 非常适合描述股票等金融产品的价格随机性，如今已广 泛用于金融市场理论。股票价格可以视为以时间为指标的一个随机过程 （或者本质等价的，路径空间上的一个高斯测度），而随机面理论相当于研 究有两个实指标的随机过程，我们应该期望这个理论会有一些跟我们社会 生活相关的重要应用
在场论中，经典相空间一般都是无穷维空间。无穷维缺少有限维的一 个重要性质，即平移旋转不变的Lebesgue 测度的存在性。我们已经看到 在Stone-von Neumann 的处理中（即Schrodinger 表示），平方可积函数空 间L2(R)可以作为态空间，而平方可积是对Lebesgue 测度而言的。但是在 无穷维，没有这么一个“典则”的测度。 再来看Fock 表象。重新审视对有限维相空间的处理。在没有约束的情 况下，只要固定了坐标系，有限维相空间可以看作向量空间。所有可能的 位置组成向量空间V ∼ = Rn，所有可能的动量应该被视为对偶空间（线性泛 函组成的空间）V *（这是因为动量由Legendre 变换定义，数学上来说是一 种对偶），使得经典相空间可以写成X = V ⊕V *。这是一个“辛向量空间”， 就是说，上面配备了一个非退化的反对称双线性型σ : X ×X →R，
这个方程的算子解φ(x,t)经常称为“在壳”的场。它们被视为相互 作用图像中随时间演化的力学变量，在现在的自由理论情形，实际上也 是Heisenberg 图像中随时间演化的力学变量。在一个固定的时刻t，不同空 间位置的场算子φ(x,t)x组成系统的“正则位形”。经过Legendre 变换，找 到系统的“正则动量”空间∂tφ(x,t)x。所有的正则位形和正则动量实际上 给出了Klein-Gordon 方程的初值（或者末值），根据方程的性质，这组初值 是颇为任意的，比如，对任何光滑的初值，总能找到方程的解
7 流形
经典相空间一般都是辛空间，从历史角度来说就是可以写下Hamilton 运动方程的空间。数学上把量子化总结为从一个辛空间出发构造Hilbert 空 间及其上一系列满足Heisenberg 交换关系的算子的问题。谐振子的例子里， 这个辛空间本质上只是一个向量空间，物理学家往往称这种空间为“拓扑 平凡的”。数学上非常感兴趣的是，给一个“拓扑非平凡”的辛空间，量子 化到底是什么意思
7 流形
经典相空间一般都是辛空间，从历史角度来说就是可以写下Hamilton 运动方程的空间。数学上把量子化总结为从一个辛空间出发构造Hilbert 空 间及其上一系列满足Heisenberg 交换关系的算子的问题。谐振子的例子里， 这个辛空间本质上只是一个向量空间，物理学家往往称这种空间为“拓扑 平凡的”。数学上非常感兴趣的是，给一个“拓扑非平凡”的辛空间，量子 化到底是什么意思。 一类拓扑非平凡的空间都落在一个比较好的范畴中，它们在数学上就 叫“流形”。一个n 维“流形”是一个拓扑空间，它的每个局部在拓扑上 都等价于Rn的开集，就是说，局部上每个点对应到Rn的一个点，有一组坐 标，这就是局部坐标系。两个局部重叠的地方，就有两个局部坐标系，它 们相差一个坐标变换。由以上定义，这些坐标变换自然是拓扑等价（即双 方连续的一一对应） 。如果其中某些坐标变换还是无穷次可微的，而且它们 涉及到的局部可以合起来覆盖整个流形，那么这个流形就是“光滑”的。 把所有互为光滑变换的局部坐标系都收集起来，它们叫做这个光滑流形的 “容许坐标系”。 在光滑流形上，可以谈论“光滑”函数。一个函数如果在一个容许坐 标系下是光滑的，那么在另一个重叠的容许坐标系下也光滑，因为坐标变 换是光滑的。通常这么叙述这种好处：光滑性不依赖于局部坐标选取。在 流形上，与局部坐标选取无关的“概念”，“性质”，和与局部坐标变换相容 的“量”，才是有几何意义的。这一点，微分几何的创始人Gauss, Riemann 应该都心里有数。Einstein 在他的物理学里也强调了这一点。
在光滑流形上，可以谈论“光滑”函数。一个函数如果在一个容许坐 标系下是光滑的，那么在另一个重叠的容许坐标系下也光滑，因为坐标变 换是光滑的。通常这么叙述这种好处：光滑性不依赖于局部坐标选取。在 流形上，与局部坐标选取无关的“概念”，“性质”，和与局部坐标变换相容 的“量”，才是有几何意义的。这一点，微分几何的创始人Gauss, Riemann 应该都心里有数。Einstein 在他的物理学里也强调了这一点。 在流形上没有线性结构，不能把两个点加在一起，也不能连接两个点 成为一个“向量”。不过在每一点的局部，就好像在欧氏空间一样，可以在 这一点对函数“求方向导数”，这种运算是局部函数空间上的线性算子。以 它们为模型的整体对象叫做在该点的“切向量”。在局部上还有一个有趣的 东西就是函数在一点的“微分”， dfa =∑︁ i ∂fa ∂xi⃒ ⃒ ⃒ ⃒a dxi (28)以 它为模型的整体对象叫做一个“余切向量”（或者仍然叫做微分） 。然后 顾名思义，一个“光滑切向量场”就是在每一点有一个切向量，以光滑方 式依赖于基点。
局部坐标系下，切向量场和微分1-形式通常写成
X = Xi(x) ∂
∂xi
,ξ = ξi(x)dxi (29)
这里用了Einstein 求和约定。系数都是局部坐标系里的光滑函数（但不是 整体的光滑函数，将随坐标变换而变） 。 在每一点上，由方向导数和微分组成的多重线性对象，以整体方式定 义以后，叫“张量”。张量场跟前面类似。搞数学的喜欢用整体记号，就像 上面那个式子一样，把分量和基写在一起，变换局部坐标的时候，基底和 分量同时变，而它们的组合不变，从而左边的字母代表一个不依赖于局部 坐标系的量；搞物理的喜欢只写出分量而省略基底，这样的记号明显依赖 于局部坐标系。
8 力学
如果一个系统包含N 个粒子，它们在空间的位置受到s 个独立方程的限 制。满足这些方程的位置组成3N 维欧氏空间的一个子集M, 称为“位形空 间”。
Fi(x1,y1,z1,x2,y2,z2,··· ,xN,yN,zN) = 0,i = 1,2,··· ,s (30) 这些方程独立的意思是，Jacobi 矩阵DF的秩处处是s. 根据隐函数定 理，在M 的每一点，存在一个邻域U ⊂ M，在这个邻域里，可以找到3N-s 个独立坐标函数，其它s 个坐标函数由这3N-s个独立坐标的函数决定。这相 当于说，M 的每个局部都拓扑等价于R3N−s的开子集，即，M是一个3N-s 维的流形。如果F 还是光滑的，那么M 是一个光滑流形。局部坐标系里的 坐标就是Lagrange 分析力学的“正则坐标”。 Lagrange 的方法是定义一个函数L, 变量为正则坐标和该坐标点的“虚 速度”（在考虑粒子运动轨迹之前，无法谈论速度。这里的虚速度是位形空 间M 的切向量，也就是粒子在这一位置的可能速度） 。用流形的语言，指定 一个切向量的同时，也就指定了它的基点，而所有切向量的集合称为“切 丛”。所以Lagrange 量L 实际上是切丛上的函数。 Legendre 变换利用Lagrange 量把虚速度变为动量。用流形的语言，就 是把切向量映到余切向量，把切丛TM映到余切丛T*M。在余切丛上，局 部坐标是正则坐标和正则动量，它们满足Hamilton 运动方程。
12 正则变换
量子力学的波函数只依赖于相空间的“一半”坐标。一般的辛流形 没有自然的“坐标”，“动量”分离，或者说，在局部上有多种选择“坐 标”“动量”分离的方式。在经典力学里，虽然有自然的坐标和动量，但仍 然可以通过所谓“正则变换”选择新的“坐标”“动量”，它们没有物理上 的含义，但可以把运动方程化为比较简单的形式。Hamilton-Jacobi 方法假 定有一个正则变换可以把运动方程化为“最简”形式，然后得到这个变换 的“生成函数”所满足的方程，这就是著名的Hamilton-Jacobi 方程。 当年量子力学以两种形式出现，矩阵力学实现为Hamilton 正则方程 形式，波动力学受到Hamilton-Jacobi 方程的启发。这不是偶然，因为早 在19世纪初年，Hamilton 就已经非常深刻地理解了“波”和“粒子”的统 一性。说到这里，想起来上周还看到这里图书馆门口放着有人还回来的 《Hamilton 论文集》。我自己一直没有勇气去读他的东西，但我想对于做数 学物理的人来说，Hamilton 的全集值得挖掘。
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