"曲面上一個由測地線所圍
成的三角形的內角和, 並不像在平面上一樣
等於pai
而當曲率的積分範圍擴充到整個曲面時, 右
邊的積分值又等於曲面的拓撲量— 尤拉示
性數(Euler Characteristic)。 "
而當曲率的積分範圍擴充到整個曲面時, 右
邊的積分值又等於曲面的拓撲量— 尤拉示
性數(Euler Characteristic)。這個漂亮的
定理現在一般稱之為高斯-伯涅特(Gauss-
Bonner) 定理, 它是第一個將曲面上的局部
量(曲率) 與大域量(示性數) 連繫在一起的
定理, 而它更進一步的推廣, 則更是幾何學發
展的關鍵。"
"黎曼最大的成就是將高斯曲率由二
維推廣到n 維的流形上, 一般稱之為黎曼
曲率張量, 形狀相當複雜。為了要寫出它的
樣子, 我們必須透過所謂克利斯多夫符號
(Christoffel symbol):
l
ki =
1
2
Xn
j=1
gjl(@igkj+@kgji−@jgki) (4)
而黎曼曲率張量則為:
Rl
ijk = @kl
ij − @jl
ik + l
nkn
ij − l
njn
ik
(5)
這個式子表示了與黎曼曲率張量有直接關係
的並不是gij , 而是克利斯多夫符號l
ki。克
利斯多夫符號還有另一重要的用途: 如果我
們把黎曼流形上的一個向量函數vi 對於座標
xj 求導數, 所得的@vi
@xj
並不是性質很好的量,
必須要作下列的組合:
Djvi = @jvi − l
ijvl (6)
才是有用的量, 這個導數叫做協變導數(Co-
variant derivative)。"
微分幾何下一個飛躍是由嘉當(E. Car-
tan) 帶領的, 他引進了所謂活動標架(mov-
ing frame) 及外微分形式(exterior differ-
ential form) 的技巧使黎曼幾何中繁複的計
算簡化不少。不過更重要的是他拓展了微分
幾何的範疇, 他在活動標架之間介紹進所謂
嘉當聯絡(Carton Connection), 這是一
個類似克利斯多夫符號的幾何量, 但是它不
一定要與長度度量有任何關係。因此嘉當的
幾何空間不必要有長度及角度的觀念, 但是
仍然可以有曲率及平行位移等觀念。因此嘉
當推廣了空間的觀念, 而黎曼空間是它的一
個特例。"
因此嘉
當推廣了空間的觀念, 而黎曼空間是它的一
個特例。這樣的觀點最後由愛禮曼在1950年
推廣到纖維叢(fiber bundle) 的聯絡論上。
纖維叢的理論我們可以簡述如下: 所謂黎曼
幾何可以看成是在底空間的每一點上黏上一
個切空間(tangent space), 而不同點上的
切空間之間則利用克利斯多夫符號所定義的
協變導數來作聯繫。而纖維叢理論是在底空
間的每一點上黏上別的我們有興趣向量空間,
而愛禮曼則能成功的定義“聯絡”, 將不同點
上的向量空間聯繫起來, 從而討論一種新的
幾何學。在這種架構底下, 黎曼幾何可以叫
做“切叢”(tangent bundle) 上的聯絡論, 而
克利斯多夫符號就是切空間之間的聯絡。至
此微分幾何的最後面貌就告完成了"
由於電磁場Fμ
才是可量測的物理量, 因此轉換(16) 是電磁
場的對稱性, 叫做規範轉換。
所以會考慮U(1) 轉換的動機是: 場
的絕對值| | 才是可測的物理量, 因此(17)
式是 場的一個對稱性。最先認識到規範轉
換(16) 及U(1) 轉換(17) 重要性的是韋爾
(Weyl, 1918), 但是它們卻有非常不尋常的
推廣, 可以把所有的關節聯繫在一起。
由於每個時空點上的
同位旋空間不必看成是一樣, 所以每個時空
點都可以有其各自的同位旋空間, 物理空間
事實上是一個向量叢, 而規範位勢Aμ 則是
其上的聯絡。另
星空浩淼：微分几何,用对坐标的导数或者微分来表示基矢（下面统称之为“坐标基”），在我看来这是给出了基矢最本质的“数学原型”
" 整体脑功能与任一突触或任一类递质间没有简单的一一对应关系。可用一个粗
略而简化的类比来说明：一支交响曲同一把小号的声音并无直接的对应关系。同时
从自上而下和自下而上的视角来研究大脑的一种方法是考察药物的作用。我们能了
解这些药物怎样影响行为，同时也能了解在单个突触部位它们怎样改变化学通讯。
毕竟，貌似个性化的不变的精神完全受命于我们的物质大脑，我们的神经元。
在人们用来改变自己感觉的许多药物中，尼古丁可能是最常用的。尼古丁在吸
第一口烟的十秒钟内到达大脑，我们有可能看到吸烟者的脑电图中的即时变化，它
变得不同步了（见第二章），表明处于不那么放松的状态 "
http://www.shuku.net/novels/zatan/rnzmyxldy/rnzm04.html
略而简化的类比来说明：一支交响曲同一把小号的声音并无直接的对应关系。同时
从自上而下和自下而上的视角来研究大脑的一种方法是考察药物的作用。我们能了
解这些药物怎样影响行为，同时也能了解在单个突触部位它们怎样改变化学通讯。
毕竟，貌似个性化的不变的精神完全受命于我们的物质大脑，我们的神经元。
在人们用来改变自己感觉的许多药物中，尼古丁可能是最常用的。尼古丁在吸
第一口烟的十秒钟内到达大脑，我们有可能看到吸烟者的脑电图中的即时变化，它
变得不同步了（见第二章），表明处于不那么放松的状态 "
http://www.shuku.net/novels/zatan/rnzmyxldy/rnzm04.html
脑是由单个神经元组成的，而神经元处于复杂性不
断增加的回路之中。这些连接不像一排手拉手的人，或在儿童游戏中从立队的一头
到另一头传送一句信息时，最终是完全走了样。请记住，与任一特定的神经元形成
接触的神经元在一万个至十万个之间。反过来，任一特定的神经元将成为神经网络
中下一个细胞的成千上万个输入中的一个。假如我们取只有一根火柴头大小的脑块，
其表面上的连接就能高达十亿个。
只考虑大脑的外层——皮层。假如你用每秒一个的速度数其神经元间的连接，
它将花去你三千二百万年！请记住，人类进化仅始于七百万年前，因而你不得不用
四倍于人类进化的时间来数完它。至于皮层中连接的不同组合的数量，它将超过整
个宇宙中带正电的粒子数！
整体脑功能与任一突触或任一类递质间没有简单的一一对应关系。可用一个粗
略而简化的类比来说明：一支交响曲同一把小号的声音并无直接的对应关系。同时
从自上而下和自下而上的视角来研究大脑的一种方法是考察药物的作用。我们能了
解这些药物怎样影响行为，同时也能了解在单个突触部位它们怎样改变化学通讯。
毕竟，貌似个性化的不变的精神完全受命于我们的物质大脑，我们的神经元。
在人们用来改变自己感觉的许多药物中，尼古丁可能是最常用的。尼古丁在吸
第一口烟的十秒钟内到达大脑，我们有可能看到吸烟者的脑电图中的即时变化，它
变得不同步了（见第二章），表明处于不那么放松的状态。
断增加的回路之中。这些连接不像一排手拉手的人，或在儿童游戏中从立队的一头
到另一头传送一句信息时，最终是完全走了样。请记住，与任一特定的神经元形成
接触的神经元在一万个至十万个之间。反过来，任一特定的神经元将成为神经网络
中下一个细胞的成千上万个输入中的一个。假如我们取只有一根火柴头大小的脑块，
其表面上的连接就能高达十亿个。
只考虑大脑的外层——皮层。假如你用每秒一个的速度数其神经元间的连接，
它将花去你三千二百万年！请记住，人类进化仅始于七百万年前，因而你不得不用
四倍于人类进化的时间来数完它。至于皮层中连接的不同组合的数量，它将超过整
个宇宙中带正电的粒子数！
整体脑功能与任一突触或任一类递质间没有简单的一一对应关系。可用一个粗
略而简化的类比来说明：一支交响曲同一把小号的声音并无直接的对应关系。同时
从自上而下和自下而上的视角来研究大脑的一种方法是考察药物的作用。我们能了
解这些药物怎样影响行为，同时也能了解在单个突触部位它们怎样改变化学通讯。
毕竟，貌似个性化的不变的精神完全受命于我们的物质大脑，我们的神经元。
在人们用来改变自己感觉的许多药物中，尼古丁可能是最常用的。尼古丁在吸
第一口烟的十秒钟内到达大脑，我们有可能看到吸烟者的脑电图中的即时变化，它
变得不同步了（见第二章），表明处于不那么放松的状态。
查看完整版本: （个人心得）量子力学与微分几何
星空浩淼 2010-12-12 19:22
（个人心得）量子力学与微分几何
在解析几何中，基矢都是人为地给出一组正交归一完备的符号组来表达。我觉得微分几何最奇妙的地方，是给了矢量的基矢（或余矢量的对偶基）以最自然的表达，即用对坐标的导数或者微分来表示基矢（下面统称之为“坐标基”），在我看来这是给出了基矢最本质的“数学原型”。协变张量和逆变张量，都可以用这些坐标基的张量积所构成的张量基来进行展开。
量子力学中的力学量算符，都看作是生成元——注意在算符化经典力学中的色散关系以获得量子力学方程时，能量E这个符号，算符化时直接换成时间平移生成元而不是哈密顿算符，只是它等于哈密顿算符而已，而哈密顿算符则是把其中的动量换成空间平移生成元而得到。在微分几何中，生成元对应Killing矢量。以时空流形为例，Killing矢量与量子场论中Lorentz群的生成元对应。
这么一来，微分几何为量子力学中为何要把经典力学量换成算符，提供了一个很自然的解释，微分几何中，用坐标基来展开切矢量和余切矢量（以下统称为矢量），使得矢量成为算符。例如，标量函数f沿矢量v的方向导数，可以直接写成矢量v作用于f的形式：v(f)。动量是协变矢量（对应1形式），因此将动量用对偶的坐标基展开时，其分量正是量子力学中动量算符的对应分量（只相差一个常数乘性因子）。
这样一来，从微分几何的观点来看，力学量原本就应该存在力学量算符的表达。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-12 19:32 编辑 [/i]]mengzhu 2010-12-12 21:03
帮顶一下；不知这个版块是不是不受高手们的青睐？您的帖居然都查看30回复为0...请受累回一下我的问题 [url]http://www.fxkz.net/viewthread.php?tid=5855&extra=page%3D1[/url]（ps部分就不用看了）
本人普通本科~最近打算重温一下大学学过的数学，再学一下变分群论等等再去看量子的书...星空浩淼 2010-12-13 11:51
我还是移到这栋楼里面，因为内容不属于本科内容henring 2010-12-13 18:50
你的意思是想说现代微分几何把 vector定义为一个作用在标量函数集到域上的map，这一点和QM的动力学算法有某种形式上的同一，所以给力学量为何是算符提供了某种程度上的解释？
另外 Killing矢量场是和等度规群直接联系的，所以“在微分几何中，生成元对应Killing矢量”是有背景条件的，补充一下下，(*^__^*) 嘻嘻……
这里之所以有Killing矢量对应生成元，是因为Lorentz群就是一种等度规群。
另外，怎么感觉这个QM算符与微分几何对应的问题在几何量子化中有涉及到？星空浩淼 2010-12-13 19:31
回复 4# 的帖子
你的意思是想说现代微分几何把 vector定义为一个作用在标量函数集到域上的map，
-----------------------------------------------
在这里，vector的定义不依赖于它所作用的对象，它不仅可以作用于标量函数，同样可以作用于矢量和高阶张量。现代微分几何中，为了表达矢量，从研究“方向导数”入手来定义矢量的，这才发现可以用“坐标基”作为流形上切空间的基矢。我编辑公式不方便，因此无法用数学公式说明。
Killing矢量的定义，原本就是“如果度规沿某矢量的李导数为零，那么该矢量就被称之为Killing矢量”。到目前为止，我还没有看到不对应生成元的Killing矢量。某空间流形中，存在多少个对称的李群变换，就有多少个李群的生成元(当然这里不谈及相同的生成元可以生成不同的群的情形)，也存在多少个Killing矢量场。
我一直想了解几何量子化，但是数学基础一直不够，后来觉得几何量子化有点大炮打蚊子，且似乎看不到有什么优势和前途，就失去想了解的兴趣了。:lol
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-13 20:00 编辑 [/i]]henring 2010-12-13 19:52
回复 5# 的帖子
就目前的语境，我不太清楚上面你提及的vector是不是单纯指满足Leibnitz律的map，如果是应该只作用于标量函数吧？当然如果要形成vector sapce需要另外的条件。
那么如果说vector作用于张量，那这个作用具体怎么操作？张量积？如果是张量积那其实所说的“vector”应该是1阶逆变张量吧？这个依然满足Leibnitz律，并且作用于标量函数---其实是0-form。
关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群，这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧？星空浩淼 2010-12-13 20:10
回复 6# 的帖子
我这里谈到的“作用”，是由于把矢量写成用坐标基展开的形式时，一种自然的作用。例如展开逆变矢量时所用的坐标基，是用空间坐标表达的梯度算符，这时候你把这个矢量写在某个量A的左边，就相当于对A求梯度，这就是我说的“矢量对A的作用”。
对任一个张量T，把矢量v写在它的左边，得到vT=v(T)，就相当于对T求沿曲线C的方向导数，其中曲线C是矢量v的积分曲线。星空浩淼 2010-12-13 20:14
关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群，这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧？
----------------------------------------------------------------------
考虑SU(n)群的群流形，这个群流形上的Killing矢量，可能就对应该群的生成元
关于这一点，有待这里的数学高手落实一下:lolhenring 2010-12-13 20:35
回复 8# 的帖子
其实在紧致群流型中，有类似度规的东东，Killing form吧～ 这个有形成Killing矢量场吗？
望季候风等老师指教一下下~~星空浩淼 2010-12-13 20:43
Killing form就是协变的Killing矢量
如果在流形上，Killing矢量在每一点都有定义，那么每一点处的Killing矢量集合，就构成该流形上的Killing矢量场henring 2010-12-13 20:55
回复 10# 的帖子
Killing矢量场的几何意义应该还是等度规对称性，还是必须和度规联系起来。不管采用Lie 导数还是其他什么，怎么样都脱离不了背后的度规。要让“Killing矢量在每一点都有定义“，首先就要让Killing矢量有定义，而对于SU（n）这样的流型，构造出“度规”却需要依赖于某个特定的表示，adjoint 表示吧～，说这么多，还是想说，要推广时空流型意义下的Killing矢量场，还是必须在流型上整出一个指标对称且不退化的“张量”来。:)星空浩淼 2010-12-14 00:53
回复 11# 的帖子
“度规”这个概念，有N多种不同的理解方式，也许你对“度规”这个概念理解得有些狭隘了
最简单的理解，把一对矢量取内积，会发现度规张量对应一对基矢或对偶基矢之间的内积。张量有两种表达方式，一种是用张量的分量来表示张量，一种是用张量基的展开方式来表示，若采用后者，度规跟流形上曲线的线元平方等价；若采用前者，度规张量的ij逆变分量， 相当于第i个基矢与第j个基矢的内积，度规张量的ij协变分量，相当于第i个对偶基矢与第j个对偶基矢之间的内积。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-14 09:15 编辑 [/i]]小杰 2010-12-14 02:28
回复 1# 的帖子
很有趣的觀點。:)小杰 2010-12-14 02:35
回复 5# 的帖子
最後一段怎說呢？
幾何量子化用到廣義相對論上會得到量子重力嗎？季候风 2010-12-14 03:10
回复 1# 的帖子
动量表示为对坐标的微分算子正是几何量子化在平凡相空间 [tex] T^*mathbb R^3 [/tex] 这种特殊情形的体现。
或者说，几何量子化正是试图把这种表示推广到拓扑非平凡的相空间。而Hamiltonian并不直接是几何量子化的结果，薛定谔方程是 “运动方程” ，是经典 Hamilton 方程在几何量子化框架下的体现，而非 “对称性”。
严格来说，在平凡相空间上，多元微积分和常微分方程（等价于矢量场）就解决了问题，不需要微分几何的概念（最多用到微分形式的概念）。所以你说的这些仍然是海森堡狄拉克的本意。
在拓扑非平凡的相空间上，需要引进诸如度规、Killing 向量场这样的概念，然而，其量子力学要复杂得多，几乎不可能具有像坐标表示这样简单的形式。季候风 2010-12-14 03:12
[quote]原帖由 [i]星空浩淼[/i] 于 2010-12-13 20:43 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=50713&ptid=5861][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
Killing form就是协变的Killing矢量
如果在流形上，Killing矢量在每一点都有定义，那么每一点处的Killing矢量集合，就构成该流形上的Killing矢量场 [/quote]
Killing form 和 Killing vector field 是两种东西季候风 2010-12-14 03:24
[quote]原帖由 [i]henring[/i] 于 2010-12-13 19:52 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=50699&ptid=5861][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
回复 5# 的帖子
就目前的语境，我不太清楚上面你提及的vector是不是单纯指满足Leibnitz律的map，如果是应该只作用于标量函数吧？当然如果要形成vector sapce需要另外的条件。
那么如果说vector作用于张量，那这个作用具体怎么操作？张量积？如果是张量积那其实所说的“vector”应该是1阶逆变张量吧？这个依然满足Leibnitz律，并且作用于标量函数---其实是0-form。
[/quote]
vector 通过李导数作用于张量场。
[quote]
关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群，这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧？[/quote]
[/quote]
对。但是更好的说法是，内部对称群的生成元根本不是时空上的矢量场，更何谈 Killing 矢量？
在量子力学情形（有限自由度）仅此而已。
而在场论情形，由于 Noether 定理，内部对称性的 ”守恒流“ （而不是生成元）的确是时空上的矢量场。它是否 Killing 矢量场，就作为练习吧 :)季候风 2010-12-14 03:28
[quote]原帖由 [i]小杰[/i] 于 2010-12-14 02:35 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=50726&ptid=5861][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
最後一段怎說呢？
幾何量子化用到廣義相對論上會得到量子重力嗎？ [/quote]
几何量子化暂时还无法将 field theory、Feynman rule、amplitude 以及 renormalization 纳入其框架星空浩淼 2010-12-14 09:20
回复 15# 的帖子
谢谢季兄讲解
另：我在10楼的帖子，没有说过“Killing form 是Killing vector field ”这样的话。因为1形式对应协变矢量，所以我说Killing form就是协变的Killing vector。
矢量与矢量场当然是两个概念，正如电磁场与电磁场在某一时空点处的电场强度矢量一样，是两个概念。一直想思考 2010-12-14 09:21
回复 15# 的帖子
大概都在谈辛几何吧？这一点引入好像没看到什么量子化迹象..
--------------------------------------------------------------------------
在拓扑非平凡的相空间上
--------------------
：：至少可以路径积分定义量子化吧。星空浩淼 2010-12-14 09:39
回复17楼：
[color=Blue]vector 通过李导数作用于张量场。[/color]
---------------------
vector还可以通过协变导数作用于张量场吧
[color=Blue]但是更好的说法是，内部对称群的生成元根本不是时空上的矢量场，更何谈 Killing 矢量？[/color]
---------------------------------------------------
[color=Magenta]我的疑问是：Killing 矢量只能在时空流形上定义吗？
在SU(n)群的群流形上，是否可以照样引入度规，从而进一步地引入Killing 矢量的概念？[/color]
我们知道，流形上的切矢，必对应流形上某一曲线的切矢；反过来，流形上切矢的积分曲线，必对应流形上的某一曲线。
那么，一般而言，流形上的切矢，是否都可以用生成元矢量展开？换句话说，一般地，生成元矢量可否作为流形上的切空间的完备基矢？
我印象里，在李群与李代数中，从代数的角度来讲，李群群元对群参数求导（且取群参数为零）给出该群的生成元，而李群生成元的指数映射，给出该群群元；从几何角度来讲，生成元矢量是群流形切空间中的矢量，生成元矢量的积分曲线，对应群流形上的曲线。于是可以由完备的生成元矢量集合，“生成”出整个群流形来，所以称之为“群的生成元”。不知是否如此？
[color=Blue]而在场论情形，由于 Noether 定理，内部对称性的 “守恒流” （而不是生成元）的确是时空上的矢量场。它是否 Killing 矢量场，就作为练习吧[/color]
----------------------------------------
我猜Noether荷是时空上的Killing矢量场。季兄还是直接给出答案吧:lol
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-14 10:41 编辑 [/i]]星空浩淼 2010-12-14 10:18
我对量子理论的相空间表述，有着特殊的兴趣，因为在我看来，这更能体现量子理论的物理本质所在。
打个比方，只在时空空间中表述量子理论，就如同只在三维空间中表示力学；而在相空间中表述量子理论，就如同在四维时空中表述力学。四维时空是一个整体，就如同相空间才是一个整体。一直想思考 2010-12-14 11:16
在SU(n)群的群流形上，是否可以照样引入度规，从而进一步地引入Killing 矢量的概念？
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
可以。
我猜Noether荷是时空上的Killing矢量场。季兄还是直接给出答案吧
---------------------------------------------------------------
越俎代庖一下，是
killing矢量场A_a满足
倒三角（_a A_b）=0
再用G^(ab)缩并，得到倒三角_a*A^(a)=0
[[i] 本帖最后由 一直想思考 于 2010-12-14 11:17 编辑 [/i]]星空浩淼 2010-12-14 13:09
回复 23# 的帖子
谢谢jadybook 2010-12-15 00:46
Killing vector is the generator of diff. invariance which is the property of spacetime.
Is there any relation between Killing vector and internal symmetry?季候风 2010-12-15 00:54
[quote]原帖由 [i]星空浩淼[/i] 于 2010-12-14 09:20 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=50737&ptid=5861][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
谢谢季兄讲解
另：我在10楼的帖子，没有说过“Killing form 是Killing vector field ”这样的话。因为1形式对应协变矢量，所以我说Killing form就是协变的Killing vector。
矢量与矢量场当然是两个概念，正如电磁场与电磁场 ... [/quote]
Killing form 是二阶张量
所谓 Killing vector 就是指 Killing vector field. 李导数只能对矢量场定义季候风 2010-12-15 00:56
[quote]原帖由 [i]一直想思考[/i] 于 2010-12-14 09:21 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=50738&ptid=5861][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
大概都在谈辛几何吧？这一点引入好像没看到什么量子化迹象..
--------------------------------------------------------------------------
在拓扑非平凡的相空间上
--------------------
：：至少可以路径积分定义量子 ... [/quote]
几何量子化是严格数学。路径积分暂时还不是。季候风 2010-12-15 01:00
回复 23# 的帖子
正如 jadybook 所说，紧李群上的 Killing vector field 与场论的物理有什么关系？星空浩淼 2010-12-15 01:44
回复 26# 的帖子
看来这个Killing form 是特指2 form?
所谓 Killing vector 就是指 Killing vector field. 李导数只能对矢量场定义
----------------------------------------
的确，我重新看了一下书，书上是直接定义Killing矢量场的。同时在网上也看到then the vector field is called a Killing vector这句话。看来数学术语跟物理术语的确有比较大的差别。
如果按照物理学上的意义，某空间上的矢量场，在该空间上某一点处的取值，才对应一个矢量。
李导数对高阶张量场也有定义。当然季兄这里的意思是说李导数只能对矢量场定义，而不是对矢量定义。
再次谢谢季兄，让我收获不小星空浩淼 2010-12-15 01:51
以QCD为例，SU(3)群的8个生成元之间的对易关系，形成一个封闭的李代数。我不知道这8个生成元，是否可以对应SU(3)群的群流形上的8个Killing矢量场？如果可以，那么这8个Killing矢量场，在物理上，就与8种色荷算符相对应，这就是紧李群上的Killing vector field 与场论物理之间的一个关系实例。
关于这一点对不对，也需要sage 兄落实一下。季候风 2010-12-15 02:04
回复 29# 的帖子
我的意思是只能 “沿” 矢量场求李导数，而不能沿一个矢量求李导数。
色荷对应内部对称群生成元，不需要引入李群上的度量及把生成元视为 Killing 矢量场。
Killing 性质与它是否可以作为物理量无关。
Noether current 不一定是 Killing vector field. 算算最简单的复标量场一直想思考 2010-12-15 09:31
回复 31# 的帖子
引起混乱，表示抱歉，错误了，不解释了。为了防止再引起混乱，这楼就不解释了。:)
[[i] 本帖最后由 一直想思考 于 2010-12-15 09:39 编辑 [/i]]星空浩淼 2010-12-15 09:33
回复 31# 的帖子
谢谢！
自量子力学产生以来，关于量子力学的哲学（即它背后的基础），人们研究得很多。其中包括冯诺依曼的《量子力学的数学基础》，量子力学的公理化，以及量子力学的几何模型，等等。我见过“量子力学的几何”之类的英文书籍（当然，所有这类书籍都是老外编的），那里谈到的几何跟微分几何无关。
我谈到这个问题的原始动机，是希望物理上的所有对称群，都有几何上的Killing矢量场与之对应，如果这样，也许可以从微分几何的角度为量子力学提供一种新的视角。我不知道当初几何量子化的产生，有没有这类原始动机。
我现在突然觉得量子力学的公理化（包括任何物理理论的公理化运动），是危险的。例如，量子力学中的一些基本公设，其中些可能只是偶然成立的，即只在特定的近似下才成立，而量子场论相对而言更为精准。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-15 09:48 编辑 [/i]]一直想思考 2010-12-15 09:36
回复 25# 的帖子
当然没有直接联系了。
引起了混乱，我表示抱歉，因为之前的一个问题是 SU（n）的内部对称性群是否作为流形有度规和killing，我以为他后面的问题是这里的生成元引起的流是否也是killing vector field:L星空浩淼 2010-12-15 09:45
传统的辛几何中，其中的相空间是三个位置空间维和三个动量维构成的六维，最多在需要扩充时，添加上时间维
我在考虑，如果物理理论中涉及到的固有质量，不是常量而是一个变量（我们知道，不在质壳上的虚粒子属于这种情形）；物理理论中涉及到的四维时空固有线元长度，也是一个独立的变量（例如膨胀中的宇宙，其四维时空线元好像就是一个变量），从而，例如，四维动量满足的色散关系p^2=m^2中，是五个量满足的一个方程，从而其中有四个量是独立的，我们不妨选定为四维动量的四个分量，即此时四维动量的四个分量是相互独立的变量。
——那么，可否将此时的四维时空和四维动量合成一个八维的相空间，在这样的相空间上建立的“辛几何”、Hamiltonian力学以及相应的量子理论，应该能为物理学提供一个更一般因而更完整的内容吧。星空浩淼 2010-12-15 10:15
回复 34# 的帖子
没有什么值得道歉的，讨论问题、回答问题，任何人都有可能会出错，这很正常。能积极参入进来，就是好样的。大家在相互讨论中能够彼此提高，彼此启发，彼此学习，这才是最重要的:lol一直想思考 2010-12-15 10:28
回复 35# 的帖子
我得认真看帖了，浮躁不行的:) 好吧，不扯淡了。
一个流形M ，如果上面有度规结构，如前面诸兄所说，可以引入killing vector field，通过保度规不变的映射，如诸位所说的"时空”killing,vector是号差的特例。
关于一般群G和流形M，可能流形上没有度规。当然也可以引入killing vector field,这时定义就得推广.当然映射的观点了。
它有很多性质，其中之一是保李代数，这也许只是必要条件。
至于季兄说得我还没算过。不过我同意了。
比如对于量子情形，有些只在低能是李代数，高能是仿李代数，比如kac-moody代数。
当然也有可能会引起混乱，敬请指正。一直想思考 2010-12-15 10:32
传统的辛几何中，其中的相空间是三个位置空间维和三个动量维构成的六维，最多在需要扩充时，添加上时间维
----------------------------------------------------------------------------------
还得添加一个“能量”维.
其实辛几何在算约束系统量子化的非常方便，恰巧我想算东西时，学过一点点。辛几何当然只是形式上的。
因此形式上的东西只能根据新物理而更形式，不觉得它本身会给出更多的东西。季候风 2010-12-17 01:56
[quote]我谈到这个问题的原始动机，是希望物理上的所有对称群，都有几何上的Killing矢量场与之对应，如果这样，也许可以从微分几何的角度为量子力学提供一种新的视角。我不知道当初几何量子化的产生，有没有这类原始动机。 [/quote]
你的愿望比较美好，但是从现在的情况看，量子力学与微分几何可以说是水火不相容。
这也是为什么直接量子化广义相对论是如此困难。
当然，引入弦论以后，似乎可以牵强地说量子力学有某种几何含义，但这种几何恐怕要涉及到
流形上复杂得多的结构（比如一些范畴）。
Witten 对此有一些比较容易理解的想法： [url]http://arxiv.org/abs/1009.6032[/url]季候风 2010-12-17 02:01
回复 37# 的帖子
[quote] 一个流形M ，如果上面有度规结构，如前面诸兄所说，可以引入killing vector field，通过保度规不变的映射，如诸位所说的"时空”killing,vector是号差的特例。
关于一般群G和流形M，可能流形上没有度规。当然也可以引入killing vector field,这时定义就得推广.当然映射的观点了。
它有很多性质，其中之一是保李代数，这也许只是必要条件。
至于季兄说得我还没算过。不过我同意了。
比如对于量子情形，有些只在低能是李代数，高能是仿李代数，比如kac-moody代数。
当然也有可能会引起混乱，敬请指正。
[/quote]
没有度规如何引入 Killing vector field?
所谓 ”仿李代数“ 还是李代数，只不过是无穷维的，具有与有限维半单李代数类似的性质。再说这个跟 Killing vector field 有什么关系？
[[i] 本帖最后由 季候风 于 2010-12-17 02:03 编辑 [/i]]
星空浩淼 2010-12-12 19:22
（个人心得）量子力学与微分几何
在解析几何中，基矢都是人为地给出一组正交归一完备的符号组来表达。我觉得微分几何最奇妙的地方，是给了矢量的基矢（或余矢量的对偶基）以最自然的表达，即用对坐标的导数或者微分来表示基矢（下面统称之为“坐标基”），在我看来这是给出了基矢最本质的“数学原型”。协变张量和逆变张量，都可以用这些坐标基的张量积所构成的张量基来进行展开。
量子力学中的力学量算符，都看作是生成元——注意在算符化经典力学中的色散关系以获得量子力学方程时，能量E这个符号，算符化时直接换成时间平移生成元而不是哈密顿算符，只是它等于哈密顿算符而已，而哈密顿算符则是把其中的动量换成空间平移生成元而得到。在微分几何中，生成元对应Killing矢量。以时空流形为例，Killing矢量与量子场论中Lorentz群的生成元对应。
这么一来，微分几何为量子力学中为何要把经典力学量换成算符，提供了一个很自然的解释，微分几何中，用坐标基来展开切矢量和余切矢量（以下统称为矢量），使得矢量成为算符。例如，标量函数f沿矢量v的方向导数，可以直接写成矢量v作用于f的形式：v(f)。动量是协变矢量（对应1形式），因此将动量用对偶的坐标基展开时，其分量正是量子力学中动量算符的对应分量（只相差一个常数乘性因子）。
这样一来，从微分几何的观点来看，力学量原本就应该存在力学量算符的表达。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-12 19:32 编辑 [/i]]mengzhu 2010-12-12 21:03
帮顶一下；不知这个版块是不是不受高手们的青睐？您的帖居然都查看30回复为0...请受累回一下我的问题 [url]http://www.fxkz.net/viewthread.php?tid=5855&extra=page%3D1[/url]（ps部分就不用看了）
本人普通本科~最近打算重温一下大学学过的数学，再学一下变分群论等等再去看量子的书...星空浩淼 2010-12-13 11:51
我还是移到这栋楼里面，因为内容不属于本科内容henring 2010-12-13 18:50
你的意思是想说现代微分几何把 vector定义为一个作用在标量函数集到域上的map，这一点和QM的动力学算法有某种形式上的同一，所以给力学量为何是算符提供了某种程度上的解释？
另外 Killing矢量场是和等度规群直接联系的，所以“在微分几何中，生成元对应Killing矢量”是有背景条件的，补充一下下，(*^__^*) 嘻嘻……
这里之所以有Killing矢量对应生成元，是因为Lorentz群就是一种等度规群。
另外，怎么感觉这个QM算符与微分几何对应的问题在几何量子化中有涉及到？星空浩淼 2010-12-13 19:31
回复 4# 的帖子
你的意思是想说现代微分几何把 vector定义为一个作用在标量函数集到域上的map，
-----------------------------------------------
在这里，vector的定义不依赖于它所作用的对象，它不仅可以作用于标量函数，同样可以作用于矢量和高阶张量。现代微分几何中，为了表达矢量，从研究“方向导数”入手来定义矢量的，这才发现可以用“坐标基”作为流形上切空间的基矢。我编辑公式不方便，因此无法用数学公式说明。
Killing矢量的定义，原本就是“如果度规沿某矢量的李导数为零，那么该矢量就被称之为Killing矢量”。到目前为止，我还没有看到不对应生成元的Killing矢量。某空间流形中，存在多少个对称的李群变换，就有多少个李群的生成元(当然这里不谈及相同的生成元可以生成不同的群的情形)，也存在多少个Killing矢量场。
我一直想了解几何量子化，但是数学基础一直不够，后来觉得几何量子化有点大炮打蚊子，且似乎看不到有什么优势和前途，就失去想了解的兴趣了。:lol
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-13 20:00 编辑 [/i]]henring 2010-12-13 19:52
回复 5# 的帖子
就目前的语境，我不太清楚上面你提及的vector是不是单纯指满足Leibnitz律的map，如果是应该只作用于标量函数吧？当然如果要形成vector sapce需要另外的条件。
那么如果说vector作用于张量，那这个作用具体怎么操作？张量积？如果是张量积那其实所说的“vector”应该是1阶逆变张量吧？这个依然满足Leibnitz律，并且作用于标量函数---其实是0-form。
关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群，这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧？星空浩淼 2010-12-13 20:10
回复 6# 的帖子
我这里谈到的“作用”，是由于把矢量写成用坐标基展开的形式时，一种自然的作用。例如展开逆变矢量时所用的坐标基，是用空间坐标表达的梯度算符，这时候你把这个矢量写在某个量A的左边，就相当于对A求梯度，这就是我说的“矢量对A的作用”。
对任一个张量T，把矢量v写在它的左边，得到vT=v(T)，就相当于对T求沿曲线C的方向导数，其中曲线C是矢量v的积分曲线。星空浩淼 2010-12-13 20:14
关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群，这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧？
----------------------------------------------------------------------
考虑SU(n)群的群流形，这个群流形上的Killing矢量，可能就对应该群的生成元
关于这一点，有待这里的数学高手落实一下:lolhenring 2010-12-13 20:35
回复 8# 的帖子
其实在紧致群流型中，有类似度规的东东，Killing form吧～ 这个有形成Killing矢量场吗？
望季候风等老师指教一下下~~星空浩淼 2010-12-13 20:43
Killing form就是协变的Killing矢量
如果在流形上，Killing矢量在每一点都有定义，那么每一点处的Killing矢量集合，就构成该流形上的Killing矢量场henring 2010-12-13 20:55
回复 10# 的帖子
Killing矢量场的几何意义应该还是等度规对称性，还是必须和度规联系起来。不管采用Lie 导数还是其他什么，怎么样都脱离不了背后的度规。要让“Killing矢量在每一点都有定义“，首先就要让Killing矢量有定义，而对于SU（n）这样的流型，构造出“度规”却需要依赖于某个特定的表示，adjoint 表示吧～，说这么多，还是想说，要推广时空流型意义下的Killing矢量场，还是必须在流型上整出一个指标对称且不退化的“张量”来。:)星空浩淼 2010-12-14 00:53
回复 11# 的帖子
“度规”这个概念，有N多种不同的理解方式，也许你对“度规”这个概念理解得有些狭隘了
最简单的理解，把一对矢量取内积，会发现度规张量对应一对基矢或对偶基矢之间的内积。张量有两种表达方式，一种是用张量的分量来表示张量，一种是用张量基的展开方式来表示，若采用后者，度规跟流形上曲线的线元平方等价；若采用前者，度规张量的ij逆变分量， 相当于第i个基矢与第j个基矢的内积，度规张量的ij协变分量，相当于第i个对偶基矢与第j个对偶基矢之间的内积。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-14 09:15 编辑 [/i]]小杰 2010-12-14 02:28
回复 1# 的帖子
很有趣的觀點。:)小杰 2010-12-14 02:35
回复 5# 的帖子
最後一段怎說呢？
幾何量子化用到廣義相對論上會得到量子重力嗎？季候风 2010-12-14 03:10
回复 1# 的帖子
动量表示为对坐标的微分算子正是几何量子化在平凡相空间 [tex] T^*mathbb R^3 [/tex] 这种特殊情形的体现。
或者说，几何量子化正是试图把这种表示推广到拓扑非平凡的相空间。而Hamiltonian并不直接是几何量子化的结果，薛定谔方程是 “运动方程” ，是经典 Hamilton 方程在几何量子化框架下的体现，而非 “对称性”。
严格来说，在平凡相空间上，多元微积分和常微分方程（等价于矢量场）就解决了问题，不需要微分几何的概念（最多用到微分形式的概念）。所以你说的这些仍然是海森堡狄拉克的本意。
在拓扑非平凡的相空间上，需要引进诸如度规、Killing 向量场这样的概念，然而，其量子力学要复杂得多，几乎不可能具有像坐标表示这样简单的形式。季候风 2010-12-14 03:12
[quote]原帖由 [i]星空浩淼[/i] 于 2010-12-13 20:43 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=50713&ptid=5861][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
Killing form就是协变的Killing矢量
如果在流形上，Killing矢量在每一点都有定义，那么每一点处的Killing矢量集合，就构成该流形上的Killing矢量场 [/quote]
Killing form 和 Killing vector field 是两种东西季候风 2010-12-14 03:24
[quote]原帖由 [i]henring[/i] 于 2010-12-13 19:52 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=50699&ptid=5861][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
回复 5# 的帖子
就目前的语境，我不太清楚上面你提及的vector是不是单纯指满足Leibnitz律的map，如果是应该只作用于标量函数吧？当然如果要形成vector sapce需要另外的条件。
那么如果说vector作用于张量，那这个作用具体怎么操作？张量积？如果是张量积那其实所说的“vector”应该是1阶逆变张量吧？这个依然满足Leibnitz律，并且作用于标量函数---其实是0-form。
[/quote]
vector 通过李导数作用于张量场。
[quote]
关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群，这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧？[/quote]
[/quote]
对。但是更好的说法是，内部对称群的生成元根本不是时空上的矢量场，更何谈 Killing 矢量？
在量子力学情形（有限自由度）仅此而已。
而在场论情形，由于 Noether 定理，内部对称性的 ”守恒流“ （而不是生成元）的确是时空上的矢量场。它是否 Killing 矢量场，就作为练习吧 :)季候风 2010-12-14 03:28
[quote]原帖由 [i]小杰[/i] 于 2010-12-14 02:35 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=50726&ptid=5861][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
最後一段怎說呢？
幾何量子化用到廣義相對論上會得到量子重力嗎？ [/quote]
几何量子化暂时还无法将 field theory、Feynman rule、amplitude 以及 renormalization 纳入其框架星空浩淼 2010-12-14 09:20
回复 15# 的帖子
谢谢季兄讲解
另：我在10楼的帖子，没有说过“Killing form 是Killing vector field ”这样的话。因为1形式对应协变矢量，所以我说Killing form就是协变的Killing vector。
矢量与矢量场当然是两个概念，正如电磁场与电磁场在某一时空点处的电场强度矢量一样，是两个概念。一直想思考 2010-12-14 09:21
回复 15# 的帖子
大概都在谈辛几何吧？这一点引入好像没看到什么量子化迹象..
--------------------------------------------------------------------------
在拓扑非平凡的相空间上
--------------------
：：至少可以路径积分定义量子化吧。星空浩淼 2010-12-14 09:39
回复17楼：
[color=Blue]vector 通过李导数作用于张量场。[/color]
---------------------
vector还可以通过协变导数作用于张量场吧
[color=Blue]但是更好的说法是，内部对称群的生成元根本不是时空上的矢量场，更何谈 Killing 矢量？[/color]
---------------------------------------------------
[color=Magenta]我的疑问是：Killing 矢量只能在时空流形上定义吗？
在SU(n)群的群流形上，是否可以照样引入度规，从而进一步地引入Killing 矢量的概念？[/color]
我们知道，流形上的切矢，必对应流形上某一曲线的切矢；反过来，流形上切矢的积分曲线，必对应流形上的某一曲线。
那么，一般而言，流形上的切矢，是否都可以用生成元矢量展开？换句话说，一般地，生成元矢量可否作为流形上的切空间的完备基矢？
我印象里，在李群与李代数中，从代数的角度来讲，李群群元对群参数求导（且取群参数为零）给出该群的生成元，而李群生成元的指数映射，给出该群群元；从几何角度来讲，生成元矢量是群流形切空间中的矢量，生成元矢量的积分曲线，对应群流形上的曲线。于是可以由完备的生成元矢量集合，“生成”出整个群流形来，所以称之为“群的生成元”。不知是否如此？
[color=Blue]而在场论情形，由于 Noether 定理，内部对称性的 “守恒流” （而不是生成元）的确是时空上的矢量场。它是否 Killing 矢量场，就作为练习吧[/color]
----------------------------------------
我猜Noether荷是时空上的Killing矢量场。季兄还是直接给出答案吧:lol
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-14 10:41 编辑 [/i]]星空浩淼 2010-12-14 10:18
我对量子理论的相空间表述，有着特殊的兴趣，因为在我看来，这更能体现量子理论的物理本质所在。
打个比方，只在时空空间中表述量子理论，就如同只在三维空间中表示力学；而在相空间中表述量子理论，就如同在四维时空中表述力学。四维时空是一个整体，就如同相空间才是一个整体。一直想思考 2010-12-14 11:16
在SU(n)群的群流形上，是否可以照样引入度规，从而进一步地引入Killing 矢量的概念？
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
可以。
我猜Noether荷是时空上的Killing矢量场。季兄还是直接给出答案吧
---------------------------------------------------------------
越俎代庖一下，是
killing矢量场A_a满足
倒三角（_a A_b）=0
再用G^(ab)缩并，得到倒三角_a*A^(a)=0
[[i] 本帖最后由 一直想思考 于 2010-12-14 11:17 编辑 [/i]]星空浩淼 2010-12-14 13:09
回复 23# 的帖子
谢谢jadybook 2010-12-15 00:46
Killing vector is the generator of diff. invariance which is the property of spacetime.
Is there any relation between Killing vector and internal symmetry?季候风 2010-12-15 00:54
[quote]原帖由 [i]星空浩淼[/i] 于 2010-12-14 09:20 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=50737&ptid=5861][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
谢谢季兄讲解
另：我在10楼的帖子，没有说过“Killing form 是Killing vector field ”这样的话。因为1形式对应协变矢量，所以我说Killing form就是协变的Killing vector。
矢量与矢量场当然是两个概念，正如电磁场与电磁场 ... [/quote]
Killing form 是二阶张量
所谓 Killing vector 就是指 Killing vector field. 李导数只能对矢量场定义季候风 2010-12-15 00:56
[quote]原帖由 [i]一直想思考[/i] 于 2010-12-14 09:21 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=50738&ptid=5861][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
大概都在谈辛几何吧？这一点引入好像没看到什么量子化迹象..
--------------------------------------------------------------------------
在拓扑非平凡的相空间上
--------------------
：：至少可以路径积分定义量子 ... [/quote]
几何量子化是严格数学。路径积分暂时还不是。季候风 2010-12-15 01:00
回复 23# 的帖子
正如 jadybook 所说，紧李群上的 Killing vector field 与场论的物理有什么关系？星空浩淼 2010-12-15 01:44
回复 26# 的帖子
看来这个Killing form 是特指2 form?
所谓 Killing vector 就是指 Killing vector field. 李导数只能对矢量场定义
----------------------------------------
的确，我重新看了一下书，书上是直接定义Killing矢量场的。同时在网上也看到then the vector field is called a Killing vector这句话。看来数学术语跟物理术语的确有比较大的差别。
如果按照物理学上的意义，某空间上的矢量场，在该空间上某一点处的取值，才对应一个矢量。
李导数对高阶张量场也有定义。当然季兄这里的意思是说李导数只能对矢量场定义，而不是对矢量定义。
再次谢谢季兄，让我收获不小星空浩淼 2010-12-15 01:51
以QCD为例，SU(3)群的8个生成元之间的对易关系，形成一个封闭的李代数。我不知道这8个生成元，是否可以对应SU(3)群的群流形上的8个Killing矢量场？如果可以，那么这8个Killing矢量场，在物理上，就与8种色荷算符相对应，这就是紧李群上的Killing vector field 与场论物理之间的一个关系实例。
关于这一点对不对，也需要sage 兄落实一下。季候风 2010-12-15 02:04
回复 29# 的帖子
我的意思是只能 “沿” 矢量场求李导数，而不能沿一个矢量求李导数。
色荷对应内部对称群生成元，不需要引入李群上的度量及把生成元视为 Killing 矢量场。
Killing 性质与它是否可以作为物理量无关。
Noether current 不一定是 Killing vector field. 算算最简单的复标量场一直想思考 2010-12-15 09:31
回复 31# 的帖子
引起混乱，表示抱歉，错误了，不解释了。为了防止再引起混乱，这楼就不解释了。:)
[[i] 本帖最后由 一直想思考 于 2010-12-15 09:39 编辑 [/i]]星空浩淼 2010-12-15 09:33
回复 31# 的帖子
谢谢！
自量子力学产生以来，关于量子力学的哲学（即它背后的基础），人们研究得很多。其中包括冯诺依曼的《量子力学的数学基础》，量子力学的公理化，以及量子力学的几何模型，等等。我见过“量子力学的几何”之类的英文书籍（当然，所有这类书籍都是老外编的），那里谈到的几何跟微分几何无关。
我谈到这个问题的原始动机，是希望物理上的所有对称群，都有几何上的Killing矢量场与之对应，如果这样，也许可以从微分几何的角度为量子力学提供一种新的视角。我不知道当初几何量子化的产生，有没有这类原始动机。
我现在突然觉得量子力学的公理化（包括任何物理理论的公理化运动），是危险的。例如，量子力学中的一些基本公设，其中些可能只是偶然成立的，即只在特定的近似下才成立，而量子场论相对而言更为精准。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-15 09:48 编辑 [/i]]一直想思考 2010-12-15 09:36
回复 25# 的帖子
当然没有直接联系了。
引起了混乱，我表示抱歉，因为之前的一个问题是 SU（n）的内部对称性群是否作为流形有度规和killing，我以为他后面的问题是这里的生成元引起的流是否也是killing vector field:L星空浩淼 2010-12-15 09:45
传统的辛几何中，其中的相空间是三个位置空间维和三个动量维构成的六维，最多在需要扩充时，添加上时间维
我在考虑，如果物理理论中涉及到的固有质量，不是常量而是一个变量（我们知道，不在质壳上的虚粒子属于这种情形）；物理理论中涉及到的四维时空固有线元长度，也是一个独立的变量（例如膨胀中的宇宙，其四维时空线元好像就是一个变量），从而，例如，四维动量满足的色散关系p^2=m^2中，是五个量满足的一个方程，从而其中有四个量是独立的，我们不妨选定为四维动量的四个分量，即此时四维动量的四个分量是相互独立的变量。
——那么，可否将此时的四维时空和四维动量合成一个八维的相空间，在这样的相空间上建立的“辛几何”、Hamiltonian力学以及相应的量子理论，应该能为物理学提供一个更一般因而更完整的内容吧。星空浩淼 2010-12-15 10:15
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没有什么值得道歉的，讨论问题、回答问题，任何人都有可能会出错，这很正常。能积极参入进来，就是好样的。大家在相互讨论中能够彼此提高，彼此启发，彼此学习，这才是最重要的:lol一直想思考 2010-12-15 10:28
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我得认真看帖了，浮躁不行的:) 好吧，不扯淡了。
一个流形M ，如果上面有度规结构，如前面诸兄所说，可以引入killing vector field，通过保度规不变的映射，如诸位所说的"时空”killing,vector是号差的特例。
关于一般群G和流形M，可能流形上没有度规。当然也可以引入killing vector field,这时定义就得推广.当然映射的观点了。
它有很多性质，其中之一是保李代数，这也许只是必要条件。
至于季兄说得我还没算过。不过我同意了。
比如对于量子情形，有些只在低能是李代数，高能是仿李代数，比如kac-moody代数。
当然也有可能会引起混乱，敬请指正。一直想思考 2010-12-15 10:32
传统的辛几何中，其中的相空间是三个位置空间维和三个动量维构成的六维，最多在需要扩充时，添加上时间维
----------------------------------------------------------------------------------
还得添加一个“能量”维.
其实辛几何在算约束系统量子化的非常方便，恰巧我想算东西时，学过一点点。辛几何当然只是形式上的。
因此形式上的东西只能根据新物理而更形式，不觉得它本身会给出更多的东西。季候风 2010-12-17 01:56
[quote]我谈到这个问题的原始动机，是希望物理上的所有对称群，都有几何上的Killing矢量场与之对应，如果这样，也许可以从微分几何的角度为量子力学提供一种新的视角。我不知道当初几何量子化的产生，有没有这类原始动机。 [/quote]
你的愿望比较美好，但是从现在的情况看，量子力学与微分几何可以说是水火不相容。
这也是为什么直接量子化广义相对论是如此困难。
当然，引入弦论以后，似乎可以牵强地说量子力学有某种几何含义，但这种几何恐怕要涉及到
流形上复杂得多的结构（比如一些范畴）。
Witten 对此有一些比较容易理解的想法： [url]http://arxiv.org/abs/1009.6032[/url]季候风 2010-12-17 02:01
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[quote] 一个流形M ，如果上面有度规结构，如前面诸兄所说，可以引入killing vector field，通过保度规不变的映射，如诸位所说的"时空”killing,vector是号差的特例。
关于一般群G和流形M，可能流形上没有度规。当然也可以引入killing vector field,这时定义就得推广.当然映射的观点了。
它有很多性质，其中之一是保李代数，这也许只是必要条件。
至于季兄说得我还没算过。不过我同意了。
比如对于量子情形，有些只在低能是李代数，高能是仿李代数，比如kac-moody代数。
当然也有可能会引起混乱，敬请指正。
[/quote]
没有度规如何引入 Killing vector field?
所谓 ”仿李代数“ 还是李代数，只不过是无穷维的，具有与有限维半单李代数类似的性质。再说这个跟 Killing vector field 有什么关系？
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标题: 管中窥豹之非交换几何
作者: 季候风
最近看到一本 Max-Planck 研究所的讲义: A walk in the noncommutative garden. Alain Connes 和 Matilde Marcolli 写的. 大师当然是闲庭信步了, 我就勉强算是管中窥豹吧, 不过也许连根毛都没看到......还是希望有同修讨论讨论. 涉及到物理的部分可能会犯很多错误, 希望同修们不吝赐教.
历史上第一个非交换几何的例子当推 Heisenberg 关于光谱学中 Ritz-Rydberg 组合原理的见解. 这个原理是说, 一个原子的光谱里面, 某些谱线的频率相加正好是另一些谱线的频率, 但并非随便拿出两条谱线来, 其频率之和都是另一谱线的频率. Bohr 用定态假设和跃迁假设解释了这个原理, 但是背后的动力学原理却不清楚, 而且不能预言辐射的强度和偏振.
Heisenberg 首先用牛顿力学和 Mexwell 理论研究了一下氢原子的辐射问题, 说明了在这个模型下, 辐射有一组基频, 而每个平面波分量的频率是这些基频的整系数线性组合 --- 这说明所有可能的频率组成一个加法群, 任何两个谱线频率相加必然是第三条谱线的频率. 这显然不符合 Ritz-Rydberg 组合原理.
Heisenberg 决定抛弃经典概念而只研究 "可观察量", 即所有谱线组成的集合上的函数 --- 这些函数其实是真实物理量的 Fourier 系数. 所以物理量之间的乘法是这些系数(作为谱线集上的函数)之间的卷积(卷积运算本身要求集合上的群结构). 然而, Ritz-Rydberg 组合原理告诉我们, 所有谱线的集合不是一个群, 而只是一个群胚 (groupoid). 借用 Bohr 的话来说, 每条谱线是从 n 能级到 m 能级的跃迁引起的辐射. 对群胚上的函数也可以类似地定义卷积, 但这个卷积再也不是交换的了 --- 比如谱线的集合这个群胚, 每条谱线由两个整数 (n,m) 代表, 所以谱线集上的函数实际上是矩阵 q(n,m), 而这个群胚上的卷积正好就是矩阵乘法 --- 注意这些矩阵是真实物理量的 Fourier 系数, 它们的卷积对应到真实物理量的乘法. 这样 Heisenberg 不得不下结论说, 真实的物理量一定不是普通的函数 (c数), 而是一些非交换的东西(q数), 因为普通函数的 Fourier 系数必须是群上的函数, 而事实上可观察量的 "底空间" 却是一个群胚.
应该注意的是, 这并不是数学家的马后炮, 而只是用数学的语言把 Heisenberg 原始的想法写出来而已.
研究非交换几何一个很直接的动机(并不一定是 Connes 的动机)要追溯到 Gelfand 关于 Banach 代数的研究. 一个交换的 Banach 代数对应于一个紧致拓扑空间, 叫做这个代数的 "谱" (spectrum), 这个代数正好是这个紧致拓扑空间上的所有连续函数形成的代数. 这种 代数-几何 对应被 Grothendieck 在代数范畴里发展到了极至.
一个自然的想法就是把这种对应推广到非交换的对象. 在代数范畴的推广就是所谓非交换代数几何, 在拓扑范畴的推广一般笼统称为非交换几何. Alain Connes 从某一类 Banach 代数 --- von Neumann 代数的研究出发看待整个非交换几何.
von Neumann 代数跟物理有密切关系. 从某种意义上来说这很明显, 因为 Banach 代数都可以被实现为 Hilbert 空间的算子代数, 从而可能是某个物理系统的可观察量形成的代数. 事实上还有更直接的关系. 涉及到量子统计力学.
统计力学研究一个由大量原子组成的复杂物理系统. 这个系统的状态很难细致描述. 但是这个系统有很多宏观性质可以非常准确地描述. 所以我们有必要区分系统的微观状态和宏观状态. 宏观状态由有限个参数(温度, 压强, 极化等等)描述, 微观状态由大量的动力学参数描述. 这个系统具有统计性质是因为对于微观态的信息缺失 --- 不同的微观态可能给出完全相同的宏观态, 这时我们说这两个微观态有同等概率描述系统真实的状态.
为了对这个复杂系统进行定量研究, 我们需要假定宏观物理量是微观物理量对于某个 "系综" (微观态的概率分布) 的平均值. 然而系统在某一时刻实际上确定地处于某个微观态, 只是我们不知道关于这个微观态的信息. 所以系综的使用是有条件的, 这就是 "遍历假设", 就是说, 微观物理量在某个微观运动态下的时间平均应该可以等同于在某一固定时刻对于一个系综的平均. 我们其实还需要进一步假设实现遍历的时间间隔足够小, 小于我们测量这个系统的宏观物理量所需要的时间. 遍历假设实际上给出了一个对应:
(微观态时间演化 <----> 系综). 热平衡系统的 Boltzmann 分布就是这么一个例子, 这个分布的密度函数就是 exp(bH), 其中 b 定义了这个热平衡系统的温度, 而 H 就是控制时间演化的 Hamilton 函数.
在热力学极限下(粒子数趋于无穷), 这种对应(遍历假设)再也不成立了, 但是它们之间还是有一定的关系, 在量子统计学中叫做 Kubo-Martin-Schwinger 条件, 微观态的时间演化 a_t 和一个量子系综 E 满足这个条件当且仅当对任意两个可观察量 A, B 存在一个在条带 R * [0, hb] 上的全纯函数 F, 使得 F(t)= E[A a_t(B)], 而 F(t+ i hb)= E[a_t(B) A]. 其中 h 是 Planck 常数, b 定义了这个系综的温度.
而在 von Neumann 代数理论中, 这个 Kubo-Martin-Schwinger 条件比较自然地出现. von Neumann 代数是由 Hilbert 空间上某些有界算子组成的. 这个代数的一个态就是 Hilbert 空间里的一个向量 x, 代数里的元素 A 对于这个态的平均值是 <x|A|x>. 对于每个态 x, 可以定义这个代数的一个单参数自同构群 S_t. 这个单参数同构群跟态 x 正好满足 hb=1 的 Kubo-Martin-Schwinger 条件.
Gelfand 已经告诉我们一个紧致拓扑空间 X 对应到一个交换的 Banach 代数, 就是 X 上所有连续函数组成的代数 C(X). 如果我们在 X 上有一个等价关系 R, 我们可以做商空间 Y = X/R. 这个商空间的商拓扑可能很糟糕, 比如, 它可能不是 Hausdorff 的. 我们希望存在相应的 Banach 代数 "C(Y)", 而且它可以由 C(X) 做某种代数上的操作得到. 由下面一些例子我们可以看到, 如果要得到一些不平凡的信息, 我们就被自然地带到非交换的范畴.
作者: 季候风
最近看到一本 Max-Planck 研究所的讲义: A walk in the noncommutative garden. Alain Connes 和 Matilde Marcolli 写的. 大师当然是闲庭信步了, 我就勉强算是管中窥豹吧, 不过也许连根毛都没看到......还是希望有同修讨论讨论. 涉及到物理的部分可能会犯很多错误, 希望同修们不吝赐教.
历史上第一个非交换几何的例子当推 Heisenberg 关于光谱学中 Ritz-Rydberg 组合原理的见解. 这个原理是说, 一个原子的光谱里面, 某些谱线的频率相加正好是另一些谱线的频率, 但并非随便拿出两条谱线来, 其频率之和都是另一谱线的频率. Bohr 用定态假设和跃迁假设解释了这个原理, 但是背后的动力学原理却不清楚, 而且不能预言辐射的强度和偏振.
Heisenberg 首先用牛顿力学和 Mexwell 理论研究了一下氢原子的辐射问题, 说明了在这个模型下, 辐射有一组基频, 而每个平面波分量的频率是这些基频的整系数线性组合 --- 这说明所有可能的频率组成一个加法群, 任何两个谱线频率相加必然是第三条谱线的频率. 这显然不符合 Ritz-Rydberg 组合原理.
Heisenberg 决定抛弃经典概念而只研究 "可观察量", 即所有谱线组成的集合上的函数 --- 这些函数其实是真实物理量的 Fourier 系数. 所以物理量之间的乘法是这些系数(作为谱线集上的函数)之间的卷积(卷积运算本身要求集合上的群结构). 然而, Ritz-Rydberg 组合原理告诉我们, 所有谱线的集合不是一个群, 而只是一个群胚 (groupoid). 借用 Bohr 的话来说, 每条谱线是从 n 能级到 m 能级的跃迁引起的辐射. 对群胚上的函数也可以类似地定义卷积, 但这个卷积再也不是交换的了 --- 比如谱线的集合这个群胚, 每条谱线由两个整数 (n,m) 代表, 所以谱线集上的函数实际上是矩阵 q(n,m), 而这个群胚上的卷积正好就是矩阵乘法 --- 注意这些矩阵是真实物理量的 Fourier 系数, 它们的卷积对应到真实物理量的乘法. 这样 Heisenberg 不得不下结论说, 真实的物理量一定不是普通的函数 (c数), 而是一些非交换的东西(q数), 因为普通函数的 Fourier 系数必须是群上的函数, 而事实上可观察量的 "底空间" 却是一个群胚.
应该注意的是, 这并不是数学家的马后炮, 而只是用数学的语言把 Heisenberg 原始的想法写出来而已.
研究非交换几何一个很直接的动机(并不一定是 Connes 的动机)要追溯到 Gelfand 关于 Banach 代数的研究. 一个交换的 Banach 代数对应于一个紧致拓扑空间, 叫做这个代数的 "谱" (spectrum), 这个代数正好是这个紧致拓扑空间上的所有连续函数形成的代数. 这种 代数-几何 对应被 Grothendieck 在代数范畴里发展到了极至.
一个自然的想法就是把这种对应推广到非交换的对象. 在代数范畴的推广就是所谓非交换代数几何, 在拓扑范畴的推广一般笼统称为非交换几何. Alain Connes 从某一类 Banach 代数 --- von Neumann 代数的研究出发看待整个非交换几何.
von Neumann 代数跟物理有密切关系. 从某种意义上来说这很明显, 因为 Banach 代数都可以被实现为 Hilbert 空间的算子代数, 从而可能是某个物理系统的可观察量形成的代数. 事实上还有更直接的关系. 涉及到量子统计力学.
统计力学研究一个由大量原子组成的复杂物理系统. 这个系统的状态很难细致描述. 但是这个系统有很多宏观性质可以非常准确地描述. 所以我们有必要区分系统的微观状态和宏观状态. 宏观状态由有限个参数(温度, 压强, 极化等等)描述, 微观状态由大量的动力学参数描述. 这个系统具有统计性质是因为对于微观态的信息缺失 --- 不同的微观态可能给出完全相同的宏观态, 这时我们说这两个微观态有同等概率描述系统真实的状态.
为了对这个复杂系统进行定量研究, 我们需要假定宏观物理量是微观物理量对于某个 "系综" (微观态的概率分布) 的平均值. 然而系统在某一时刻实际上确定地处于某个微观态, 只是我们不知道关于这个微观态的信息. 所以系综的使用是有条件的, 这就是 "遍历假设", 就是说, 微观物理量在某个微观运动态下的时间平均应该可以等同于在某一固定时刻对于一个系综的平均. 我们其实还需要进一步假设实现遍历的时间间隔足够小, 小于我们测量这个系统的宏观物理量所需要的时间. 遍历假设实际上给出了一个对应:
(微观态时间演化 <----> 系综). 热平衡系统的 Boltzmann 分布就是这么一个例子, 这个分布的密度函数就是 exp(bH), 其中 b 定义了这个热平衡系统的温度, 而 H 就是控制时间演化的 Hamilton 函数.
在热力学极限下(粒子数趋于无穷), 这种对应(遍历假设)再也不成立了, 但是它们之间还是有一定的关系, 在量子统计学中叫做 Kubo-Martin-Schwinger 条件, 微观态的时间演化 a_t 和一个量子系综 E 满足这个条件当且仅当对任意两个可观察量 A, B 存在一个在条带 R * [0, hb] 上的全纯函数 F, 使得 F(t)= E[A a_t(B)], 而 F(t+ i hb)= E[a_t(B) A]. 其中 h 是 Planck 常数, b 定义了这个系综的温度.
而在 von Neumann 代数理论中, 这个 Kubo-Martin-Schwinger 条件比较自然地出现. von Neumann 代数是由 Hilbert 空间上某些有界算子组成的. 这个代数的一个态就是 Hilbert 空间里的一个向量 x, 代数里的元素 A 对于这个态的平均值是 <x|A|x>. 对于每个态 x, 可以定义这个代数的一个单参数自同构群 S_t. 这个单参数同构群跟态 x 正好满足 hb=1 的 Kubo-Martin-Schwinger 条件.
Gelfand 已经告诉我们一个紧致拓扑空间 X 对应到一个交换的 Banach 代数, 就是 X 上所有连续函数组成的代数 C(X). 如果我们在 X 上有一个等价关系 R, 我们可以做商空间 Y = X/R. 这个商空间的商拓扑可能很糟糕, 比如, 它可能不是 Hausdorff 的. 我们希望存在相应的 Banach 代数 "C(Y)", 而且它可以由 C(X) 做某种代数上的操作得到. 由下面一些例子我们可以看到, 如果要得到一些不平凡的信息, 我们就被自然地带到非交换的范畴.
所有跟帖：
• 我这里谈到的“作用”，是由于把矢量写成用坐标基展开的形式时，一种自然的作用。例如展开逆变矢量时所用的坐标基，是用空间坐标表达的梯 -marketreflections- ♂ 
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• vector的定义不依赖于它所作用的对象，它不仅可以作用于标量函数，同样可以作用于矢量和高阶张量。现代微分几何中，为了表达矢量， -marketreflections- ♂ (549 bytes) (8 reads) 01/11/2011 postreply 14:49:18
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• 最简单的理解，把一对矢量取内积，会发现度规张量对应一对基矢或对偶基矢之间的内积。张量有两种表达方式，一种是用张量的分量来表示张量 -marketreflections- ♂ (347 bytes) (14 reads) 01/11/2011 postreply 14:50:58
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• 在平凡相空间上，多元微积分和常微分方程（等价于矢量场）就解决了问题，不需要微分几何的概念（最多用到微分形式的概念）。所以你说的这 -marketreflections- ♂ (306 bytes) (9 reads) 01/11/2011 postreply 14:54:30
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• 量子力学中，由于周期性的边界条件（或者可以周期延拓），从而三角函数排上用场。三角函数是周期性的函数，从自变量到函数值的对应是多对 -marketreflections- ♂ (4397 bytes) (9 reads) 01/11/2011 postreply 15:12:05
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• 微分几何小记上述局域坐标系称为图，它们的**称为流形M的一个图册。而图册的取法不是唯一的，若两个图册不相容（存在两个图间a,b不 -marketreflections- ♂ (10537 bytes) (22 reads) 01/11/2011 postreply 16:01:39
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• 光滑:一阶导数存在连续 解析:幂级数收敛于自身 全纯:全平面解析; 黎曼曲面上的解析函数 如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有 -marketreflections- ♂ (3596 bytes) (19 reads) 01/12/2011 postreply 10:17:24
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• 复变函数的教材在定义解析时候不提幂级数，而是用导数在一邻域内存在推出各阶导数存在，并且证明幂级数收敛于它 -marketreflections- ♂ (244 bytes) (10 reads) 01/12/2011 postreply 12:31:18
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• 完备01 Pricing Spreads Andrew Giovinazzi, Henry Schwartz, Mark Seb -marketreflections- ♂ (12577 bytes) (11 reads) 06/25/2011 postreply 18:47:02
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• Sogotrade.com optionspread01 John Critchley & Christopher Yip iv -marketreflections- ♂ (10526 bytes) (20 reads) 06/25/2011 postreply 18:56:45
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• 位势论01 gold01 Jon Nadler Elliott Wave analyst Mike Drakulich "If -marketreflections- ♂ (12251 bytes) (6 reads) 06/26/2011 postreply 07:20:39
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• check01 mish.marketgauge.com -marketreflections- ♂ (166 bytes) (9 reads) 06/26/2011 postreply 20:44:37
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• greek01 june28 july03 to finalise a new 3-year program for Greec -marketreflections- ♂ (9173 bytes) (10 reads) 06/26/2011 postreply 21:02:17
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• 复变函数01 一个复变量的解析函数f(:)的模}f(:)}就是一个对数下调和函数，但是存在平面区域里的连续的对数下调和函数， 重 -marketreflections- ♂ (5620 bytes) (15 reads) 06/26/2011 postreply 08:33:44
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• 解析01 mkt is 心理结构=解析? gap? 奇点? -marketreflections- ♂ (26326 bytes) (10 reads) 06/26/2011 postreply 08:54:35
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• 完备01 复变函数01 复变函数 - Google 图书结果 导数模. 的几何意义 变换w=f(z)在点z0的伸缩率 -marketreflections- ♂ (20079 bytes) (14 reads) 06/26/2011 postreply 09:06:30
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• option01 50-day buy-to-open put/call ratio for gold is turning h -marketreflections- ♂ (2942 bytes) (9 reads) 06/26/2011 postreply 17:54:53
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• 戴越的博客 徐一鸿《简明量子场论》笔记 （1）弹簧垫的物理学 -marketreflections- ♂ (2872 bytes) (21 reads) 10/15/2011 postreply 05:08:44
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• Morse理论[9]，“一个纯量场的二次微分能够表现出此纯量场的局部分布情況，对于电子密度纯量场而言，其二次微分可定义出局部电子 -marketreflections- ♂ (18508 bytes) (17 reads) 01/12/2011 postreply 13:40:17
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• 玻色子作为标量场的元激发，代表一团能量，因此具有全同不可区分性，并满足交换对称性 -marketreflections- ♂ (236 bytes) (9 reads) 01/12/2011 postreply 13:46:29
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• Klein-Gordon方程可描述非中心势这类系统的性质 -marketreflections- ♂ (235 bytes) (6 reads) 01/12/2011 postreply 14:03:53
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• Klein - Gordon 方程和 Dirac 方程中 ,时空虽然是对称的 ,但在方程中还有一个正负号的差别 ,虚时间坐标 i -marketreflections- ♂ (10750 bytes) (13 reads) 01/12/2011 postreply 14:10:02
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• 相对论理论中时间和空间的等价性,一个局域拉格朗日密度最多为同一点上场的时空一阶导数的平方。物理上来讲，这意味着位于点x 上的场最 -marketreflections- ♂ (35114 bytes) (12 reads) 01/12/2011 postreply 14:14:40
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• Maxwell方程，Dirac方程，和Klein-Gordon方程中，最先被人类 -marketreflections- ♂ (245 bytes) (6 reads) 01/12/2011 postreply 14:22:02
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• mech.tsinghua.edu.cn/zhengqs/resources/courses/.../chapter3.pdf张 -marketreflections- ♂ (3956 bytes) (7 reads) 01/11/2011 postreply 16:09:13
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• 标量场是除宇宙常数外暗能量最简单的候选者。标量场的物态方程可以随时间变化,拥有较多的自由度 -marketreflections- ♂ (295 bytes) (10 reads) 01/12/2011 postreply 12:47:12
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規範場論及微分幾何
邵錦昌
一. 敘論
場論及微分幾何分別是物理和數學中的
兩門重要的學科。場論肇始於馬克士威爾的
電磁學(我們姑且不論牛頓的重力理論), 如
今已是解釋基本粒子的最有力的工具。這兩
門學科在歷史上雖然是各自發展, 但是現在
大家已了解, 事實上它們卻是同一件事情的
一體兩面。然而這種認知過程卻是相當曲折,
前後歷經了將近百年的時間, 並且經過歷史
上最聰明的頭腦的努力才達成的。在本文中
我們來看一下這段發展的過程, 並且來瞭解
它們的內涵及密切關係。
二. 高斯、黎曼及嘉當的微分幾
何:
微分幾何在尤拉(Euler) 及孟日
(Monge) 的手上固然已經有了很多的發展,
但是真正決定性的結果則無疑的是在高斯
(Gauss) 1827年的那篇“曲面概論”論文上
建立的。高斯引進了一種全新的概念, 那就是
把曲面本身視為一個空間, 而不僅是三度空
間中的附屬品, 他賦予曲面自己的座標x1,
x2, 並引進第一基本量:
ds2 = E(x1, x2)dx21
+ 2F(x1, x2)dx1dx2
+G(x1, x2)dx22
(1)
來描述曲面上的弧長元素, 從而曲面上的距
離和角度都可由E、F 和G 三個函數來決
定, 他把這些僅與E、F 和G 有關的幾何性
質稱之為曲面的內在性質。
高斯下一個重要的貢獻則是關於曲面曲
率的研究。高斯先是經由曲面的法線在三度
空間的變動來定義曲率K, 然而出乎他意外
的是, 他發現曲率僅用E、F 和G 三個量就
可以完全的表示出來, 因此曲率是一種曲面
的內在性質, 而與它所存在的三度空間無關。
這個結果, 充分的顯示了曲率在幾何學裡的
中心地位, 高斯很得意地稱之為“theorema
egregium”—最漂亮的定理。高斯還證明了
一個關於曲率和測地線所圍成的三角形的有
名定理。他證明了曲面上一個由測地線所圍
成的三角形的內角和, 並不像在平面上一樣
等於 , 而是由下面的公式來表述:
Z Z
A
KdA = 1 + 2 + 3 − (2)
數學傳播25卷4期民90年12月
3
A
2 1
而當曲率的積分範圍擴充到整個曲面時, 右
邊的積分值又等於曲面的拓撲量— 尤拉示
性數(Euler Characteristic)。這個漂亮的
定理現在一般稱之為高斯-伯涅特(Gauss-
Bonner) 定理, 它是第一個將曲面上的局部
量(曲率) 與大域量(示性數) 連繫在一起的
定理, 而它更進一步的推廣, 則更是幾何學發
展的關鍵。
同時, 高斯也是非歐幾何學的創始人之
一。非歐幾何學的建立, 是希臘時代以來在
空間觀念上最重大及革命性的一步, 而高斯
除了認清非歐幾何在邏輯上的合理性外, 他
還實地測量三座山峰所形成的三角形的內角
和, 來判定我們的空間是否真屬於非歐的空
間。雖然由於那個三角形實在是太小了, 因而
沒有得到有意義的結果, 然而高斯的確是歷
史上認知到幾何學即是真實物理學的第一個
人。
眾所周知的, 高斯也在物理領域電磁學
上做過巨大的貢獻, 但是超凡如高斯者, 可能
也想像不到, 這其實也是一種幾何學, 而且是
比他的曲面論更簡單的幾何學。
高斯的工作很快的就被他的偉大的繼承
者黎曼(Riemann) 所推廣, 他在1854年
面對哥庭根大學教授團(高斯也在座) 作了
一次資格審核演講, 演講的題目名為“幾何
學基礎所依據的假設”。黎曼在這篇劃時代
的論文中將高斯的曲面論推廣到n 維流形
上。他將n 維流形的每個點賦予n 個座
標(x1, x2, · · · , xn) 而兩個極靠近點間的距
離平方設定為:
ds2 =
Xn
i,j=1
gij(x)dxidxj (3)
流形上所有的幾何量都可以由gij 的組合
來表示。黎曼最大的成就是將高斯曲率由二
維推廣到n 維的流形上, 一般稱之為黎曼
曲率張量, 形狀相當複雜。為了要寫出它的
樣子, 我們必須透過所謂克利斯多夫符號
(Christoffel symbol):
l
ki =
1
2
Xn
j=1
gjl(@igkj+@kgji−@jgki) (4)
而黎曼曲率張量則為:
Rl
ijk = @kl
ij − @jl
ik + l
nkn
ij − l
njn
ik
(5)
這個式子表示了與黎曼曲率張量有直接關係
的並不是gij , 而是克利斯多夫符號l
ki。克
利斯多夫符號還有另一重要的用途: 如果我
們把黎曼流形上的一個向量函數vi 對於座標
xj 求導數, 所得的@vi
@xj
並不是性質很好的量,
必須要作下列的組合:
Djvi = @jvi − l
ijvl (6)
才是有用的量, 這個導數叫做協變導數(Co-
variant derivative)。經由協變導數, 黎曼
曲率張量還符合所謂畢安其恆等式(Bianchi
identity):
DmRl
ijk + DjRl
ikm + DkRl
imj = 0 (7)
這些都是曲率張量的重要性質。黎曼除了發
明彎曲空間的概念, 並解釋如何計算曲率外,
他其實也認真的考慮過整個的宇宙模型或許
不是普通的歐幾理得空間,而是屬於一種「常
數正曲率」的球形空間。不過他這個觀念實在
超越他的時代太遠了, 而且必需用到的場論
觀念也還未成熟, 因此還得再等半個世紀另
一個天才誕生之後才能完成這項工作。
微分幾何下一個飛躍是由嘉當(E. Car-
tan) 帶領的, 他引進了所謂活動標架(mov-
ing frame) 及外微分形式(exterior differ-
ential form) 的技巧使黎曼幾何中繁複的計
算簡化不少。不過更重要的是他拓展了微分
幾何的範疇, 他在活動標架之間介紹進所謂
嘉當聯絡(Carton Connection), 這是一
個類似克利斯多夫符號的幾何量, 但是它不
一定要與長度度量有任何關係。因此嘉當的
幾何空間不必要有長度及角度的觀念, 但是
仍然可以有曲率及平行位移等觀念。因此嘉
當推廣了空間的觀念, 而黎曼空間是它的一
個特例。這樣的觀點最後由愛禮曼在1950年
推廣到纖維叢(fiber bundle) 的聯絡論上。
纖維叢的理論我們可以簡述如下: 所謂黎曼
幾何可以看成是在底空間的每一點上黏上一
個切空間(tangent space), 而不同點上的
切空間之間則利用克利斯多夫符號所定義的
協變導數來作聯繫。而纖維叢理論是在底空
間的每一點上黏上別的我們有興趣向量空間,
而愛禮曼則能成功的定義“聯絡”, 將不同點
上的向量空間聯繫起來, 從而討論一種新的
幾何學。在這種架構底下, 黎曼幾何可以叫
做“切叢”(tangent bundle) 上的聯絡論, 而
克利斯多夫符號就是切空間之間的聯絡。至
此微分幾何的最後面貌就告完成了。
三. 馬克士威爾、愛因斯坦及楊
振寧的規範場論:
場的觀念最先是由法拉第提出用來描述
電磁現象的, 不過法拉第的數學能力不夠, 沒
能建立一個精確的定量理論。完成電與磁二
者的最後統合是馬克士威爾, 他綜合了前人
觀察的結果, 在1864年用下面四個簡單(看
起來) 的方程式:
div
−!E
= (8)
curl
−!B
−
@
−!E
@t
=
−!j
(9)
curl
−!E
+
@
−!B
@t
= 0 (10)
div
−!B
= 0 (11)
就將所有的電磁現象一網打盡。這四個方程
式中, 第一個方程式是庫倫定律, 描述靜電現
象。第三個方程式是法拉第-亨利(Faraday-
Henry) 定律, 描述磁場的變化可以產生電
場。第四個方程式則是單純的指出磁單荷的
不存在。第二個方程式是畢奧-薩伐爾-安培
定律, 用來描述電流可以產生磁場。而其中
神來之筆的是@
−!E
@t
那一項; 這一項叫做
位移電流, 最先並不是在實驗中發現的, 而
純粹是馬克士威爾為了數學上的一致性加上
去的。不過如此一來電磁的波動性質就出現
了, 而馬克士威爾也預言了光就是一種電磁
波。不僅是在解釋物理現象上, 馬克士威爾方
程式有驚人的威力, 它們在數學結構上更有
很神妙的性質。首先愛因斯坦及閔可夫斯基
(Minkowski) 發現經由下面的對應:
Fμv =
0 E1 E2 E3
−E1 0 −B3 B2
−E2 B3 0 −B1
−E3 −B2 B1 0
.
(12)
電磁場
−!E
和
−!B
可以看成為四維時空
(x0, x1, x2, x3) 中的四維張量Fμ, , 而馬克
士威爾方程式則可以寫為更簡潔的形式:
X3
μ=0
@μFμ = j (13)
@μF + @ F μ + @ Fμ = 0 (14)
其中j = (
−!j
, ) 是電流密度及電荷密度。
第(14) 式是電磁學中的畢安其恆等式, 不過
樣子比黎曼幾何中的簡單多了。由畢安其恆
等式我們看出Fμ 可以表為:
Fμ = @μA − @ Aμ (15)
的樣子, 其中Aμ 叫做電磁位勢。比較一下黎
曼幾何中的量, Aμ 就好像克利斯多夫符號,
而電磁場Fμ 就好像黎曼曲率張量, 不過關
係當然簡單很多。(15) 中隱藏了一個極重要
的性質, 那就是如果我們將Aμ 作如下的轉
換:
Aμ(x) ! Aμ(x) + @μ (x) (16)
很容易看得出來Fμ 不變。由於電磁場Fμ
才是可量測的物理量, 因此轉換(16) 是電磁
場的對稱性, 叫做規範轉換。如果我們在引入
另一物理場 , 並考慮下面的轉換:
(x) ! ei (x) (x) (17)
則很容易證明組合@μ − iAμ 在(16) 及
(17) 轉換之下也做如(17) 式的轉換:
@μ −iAμ ! ei (x)(@μ −iAμ ) (18)
組合@μ − iAμ 也是一種協變導數, 它提
供了物理場 及電磁位勢A 作用的方式。
轉換(17) 非常簡單, 它純粹只是乘上一個絕
對值等於1 的函數而已, 因此稱為U(1) 轉
換。所以會考慮U(1) 轉換的動機是: 場
的絕對值| | 才是可測的物理量, 因此(17)
式是 場的一個對稱性。最先認識到規範轉
換(16) 及U(1) 轉換(17) 重要性的是韋爾
(Weyl, 1918), 但是它們卻有非常不尋常的
推廣, 可以把所有的關節聯繫在一起。
不過在進一步討論這個推廣以前, 我們
必須要來看一下另一個重要的發現, 那就是
愛因斯坦在1915年所建立的重力場論或叫做
廣義相對論。由於愛因斯坦過人的洞察力, 他
發現在一輛加速進行的火車中, 一個人會感
受到像重力一樣的吸引力。因此他提出了所
謂“等效原則”, 認為重力應該是一種時空現
象, 可以用幾何的方法來處理, 重力是時空彎
曲之後的一種物理表現。在這種認知之後, 他
馬上就體會到他所需要的數學工具早就由黎
曼替他準備好了, 而他也將高斯及黎曼在六、
七十年前的臆測給具體化了。1917年愛丁頓
爵士利用了一次日蝕的機會, 觀察到廣義相
對論所預言的光線彎曲, 一時轟動了整個世
界。從此重力場是幾何的說法也就為世人所
接受, 我們生存的空間一種黎曼空間, 其彎曲
情況則由物質分佈來決定。愛因斯坦可以說
是歷史上第一個確實的認識到物理學就是幾
何學的人, 因此他下一個雄心壯志就是想將
電磁學也能幾何化, 以完成統一場論的鴻圖
大業。不過很不幸的這卻是窮他後半生精力
所未能完成的事。
正確的發展是建立在楊振寧和密爾斯
(Mills)1954年所發表的論文上。他們的出發
點是如下的考慮: 質子和中子除了在電荷
有無及壽命長短不同外, 它們其他的性質幾
乎完全一樣。因此海森堡(Heisenberg) 認
為這兩種粒子可以看成是同一種粒子的兩種
表態, 而引進了一個二維的同位旋空間, 把
質子場及中子場看成是這個空間的兩個分量
n
p
!
, 而任何適當的物理理論在質子及中
子的角色調換之下應該不變。但是場是時空
的函數, 因此場論是一種局部性的理論, 所以
楊振寧及密爾斯便認為, 如果這個對稱成立
的話, 不同地方的人對於中子及質子的認定
未必須要一樣。因此楊振寧及密爾斯認為真
正的同位旋對稱應該是:
n(x)
p(x)
!
! eiw(x)
n(x)
p(x)
!
. (19)
這個式子與電磁學中的轉換(17) 非常相似,
但是卻有一個極大的不同, 那就是現在!(x)
是一個二階矩陣函數, 而不是單純的函數了。
與電磁學時的情況一樣, 我們需要協變導數
來建立適當的物理量, 因此也就需要引進類
似電磁位勢的楊-密爾斯位勢Aμ, 只不過現
在它也必須是一個矩陣, 而它的規範轉換則
需如下規定:
Aμ(x) ! eiw(x)Aμ(x)e−iw(x)
+(@μeiw(x))e−iw(x) (20)
如此與(19) 配合之後才能使協變導數@μ
−iAμ 具有良好的轉換性質。下一步所需完
成的工作就是找出在規範轉換(20) 下變換
性質良好的楊-密爾斯場, 他們的結果是:
Fμ = @rA − @ Aμ − [Aμ,A ] (21)
這個結果最值得注意的是, 與電磁場比較
起來它多出了一項不尋常的[Aμ,A ] 項。
[A,B] 的意思是AB − BA , 它的來源是
來自於二階矩陣乘法的非交換性; 用更精確
的話來說, 楊振寧及密爾斯將規範轉換由可
交換的U(1) 群推廣到不可交換的SU(2)
群。但是如果我們將楊-密爾斯場(21) 與黎
曼曲率張量(5) 比較的話, 則又會發現它們
之間驚人的相似了。然則楊-密爾斯理論也是
一種幾何學嗎?
不像廣義相對論就是黎曼幾何那樣明
顯, 楊振寧足足花了將近二十年的時間, 在與
幾何學家西蒙斯長期討論之下才找到了答案。
現在一切都很清楚了, 由於每個時空點上的
同位旋空間不必看成是一樣, 所以每個時空
點都可以有其各自的同位旋空間, 物理空間
事實上是一個向量叢, 而規範位勢Aμ 則是
其上的聯絡。另一方面, 七O 年代的物理學
家們也成功的利用規範場解釋了電弱及強作
用, 因此和重力理論一樣, 所有的基本作用都
是幾何的。當楊振寧在1975年瞭解了規範場
正是向量叢上的聯絡時, 他是深受感動的, 他
也相信如果愛因斯坦知道此事也會感到高興,
因為愛因斯坦曾多次強調, 基本場就其本性
而言必須是幾何的。大概最令楊振寧意外的
是, 纖維叢理論是他的世交摯友—中國當代
幾何學大師陳省身的畢生功業。他們二人交
情非淺, 但卻不知道對方早已在自己的領域
上作過了決定性的貢獻。因此後來楊振寧對
陳省身說「這確實令人激動和費解,你們數學
家憑空想像出了這些概念。」但陳省身當即反
駁道「不, 不, 這些概念不是憑空想像出來的,
而是自然的, 真實的。」這正是「眾裡尋它千
百度, 驀然回首, 那人卻在燈火闌珊處」。最
後我們以楊先生的一首詩作為本文的結束:
贊陳氏類
(原載(七十年代), 1983年2月)
天衣豈無縫匠心剪接成
渾然歸一體廣連妙絕倫
造化愛幾何四力纖維能
千古寸心事歐高黎嘉陳
參考文獻
1. M.Kline原著, 林炎全、洪萬生、楊康景松譯,
“數學史”, 九章出版社。
2. R. Osserman 原著, 葉李華、李國偉譯, “宇
宙的詩篇”, 天下文化。
3. 楊振寧著, “讀書教學再十年”, 時報文化。
—本文作者任教於交通大學應用數學系—
(295 bytes) (10 reads) 01/12/2011 postreply 12:47:12
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第二章 脑的活动
在我们一生中清醒的每一时刻，无论是触摸、奔跑、攀登或说话，我们都在不
断地运用视觉、听觉和嗅觉。动物的存在即是与外部世界不断进行的一种对话。在
这过程中，大脑至关重要，它处理和协调经由感觉蜂拥而来的信息，脑的输出则表
现为运动。但所有这些过程是怎样完成的呢？在前一章中我们看到，脑中并不存在
直接与外界的每种功能或行为相对应的单一中枢。在本章中，我们将从功能本身而
不是从脑区出发，探索功能如何在脑中定位的奥秘。
查尔斯·谢灵顿（Charles Sherrington），本世纪上半叶最伟大的生理学先
驱之一，总结了运动在我们生活中无所不在的作用：“从林中静谧的响声到一株树
的倾倒，皆是运动”。从精巧的形体语言到准确的遣词造句乃至含意明确的拥抱，
实际上所有的交流都依赖于运动。尽管运动可以是整体性的或者是难以察觉的，但
所有的运动都依赖于身体某部位某一肌肉群的收缩。如果所有肌肉的收缩皆不复存
在，所余下的就只有流口水和流眼泪的能力了。
虽然从具有趋光性这个意义上讲，植物也能运动，但它们不能做出我们所作的
那些运动。在科幻王国之外，没有任何植物可以从一处移动到另一处。与之形成鲜
明对比的是，所有的动物都在运动，它们是活动的。颇为有趣的是，英语中“活动
的”（animate）一词源于拉丁语中的animus，后者的含义为“意识”。
假如你能四处运动而且是多细胞机体，那么至少你具备一种原始的脑。已故日
本裕仁天皇热衷海洋生物研究。他所作的观察最先清楚地例示了具有某种脑对活动
的生物的重要性。
他所研究的被囊类动物名为海鞘。当海鞘还是一个未成熟的幼体时，它把时间
花在四处漫游上：它不仅可作协调的运动，而且还有原始的振动感受器（大致相当
于耳）和原始的光感受器（类似于简陋的眼）。事实上，可以说海鞘有一种雏型的
脑。但是，当海鞘成熟后，它改变了生活方式，开始贴在岩石上，靠过滤海水为生，
不再也不必四处漫游。这个阶段的海鞘实际上完成了惊人之举：耗竭了自身的脑。
这则故事对脑功能提供的线索是，你只是在运动时才需要脑。对于稳定的生活
形式，脑便不再是必需的。总的观点是，对于四处运动的动物，存在着与不断变化
的环境间的相互作用，因此你需要一种装置迅速告诉自己正在发生什么。最重要的
是，它能使你对正在发生的事情作出反应，以便追踪猎物或逃脱掠食者。因此，对
于脑来说，无论其形状、大小及复杂程度如何，都以非常基本的方式联结起来，以
保证生存，而生存既是运动的结果，又是其动因。按照动物的生活方式，存在不同
的运动类型。猿猴高超的秋千技艺、鹰隼准确的滑翔以及蜈蚣百腿的协调，都是适
应特定生活方式的专门化运动的例子。
那么，各种运动是怎样实现的呢？随着一个信号从脑沿脊髓下传，相应的肌肉
即产生收缩。控制所有不同肌肉的神经信号按肌肉在身体的位置有序地从脊髓发出。
脊柱损伤者不能运动的程度因损伤发生的节段而异。
有时，在没有脑的下行指令或控制的情况下，脊髓或多或少有自主功能。这些
运动是反射。反射可定义为对特定刺激的固定反应——最明显的例子是膝跳反射。
轻叩膝盖可触发膝跳反射，即小腿外弹。神经科学家把这一系列常见的事件称为
“牵张反射”，因为在膝的关键部位轻叩，实际上就是使小腿肌肉的肌腱压缩，从
而对肌肉施加额外的压力使小腿牵张。为了补偿这种拉伸，肌肉收缩，因此腿向前
弹出。
我们的正常运动技能并不像神经病学家用精制小槌人为触发的一种固定反应。
我们并不等待某人轻叩我们的膝，然后弹起我们的腿。我们所做的许多运动——如
行走、游泳和跑步——包含肌肉群更复杂的协调运动。但在一定意义上，即使这些
运动也是半自主的。这些节律性的下意识运动是由来自脑干的信号触发的（见第一
章）。在这些脑干区域，不同神经元群向脊髓发送信号，使肌肉以重复的顺序进行
适当的收缩。
自脑干下行至脊髓有四条这样的脑运动通路，一条是主管半反射节律运动（如
游泳）；而另一条是用视觉和感觉信息协调运动；再有一条在平衡中起重要作用；
第四条运动通路则媒介单个肢体的运动。但是，还有一种运动不受以上四个系统中
的任何一个控制，那就是我们认为是理应存在的手指的精细运动。人类因具有灵巧
的手而区别于所有其他动物。它使我们能制造和使用工具，因而获得其他动物永远
无法实现的生活方式。例如，小提琴家手指的灵巧就是进化的惊人成就，在这里，
手指快速而又控制自如的独立运动是关键所在。
不像其他用于肌肉收缩的下行脊髓通路那样，激发和控制手指精细运动的信号
并非源于脊髓顶部的脑干，而是源于脑的最高的区域——皮层的条形区，这一区域
横跨脑，有点像束发带，称为运动皮层（见第一章）。运动皮层直接向手指发送信
号，控制手的精细运动。它还通过向脑干中四个运动通路中枢发送其他信号来对运
动施加间接的影响，这些信号转而又使肌肉作适当的收缩。运动皮层的不同部分被
分派来控制身体的不同部位。人们也许会设想，这种分派会与身体有关部位的大小
相对应，即像手这样的小区域将受微小的运动皮层区控制，而像背部这样大的区域，
将由皮层中最大的份额去控制其运动。但事实并非如此。
分派的关键是身体的那部分所要作运动的精细程度。运动越精细，支配它们的
相应脑区越大。这样，在运动皮层内，与控制上肢和背部的区域相比，控制手与口
的区域要大得多。背部所做的运动没有手的运动那么精细或精确。（见图4）
运动皮层对运动的产生是极关键的：它不仅直接控制支配手的肌肉和精细运动，
还在其他四种运动通路上施加等级性影响。虽然在前一章已否定了任一功能都有单
个指令中枢的观点，但在这里，运动皮层似乎确实有资格称为脑的“运动中枢”。
事实并非完全如此。尽管运动皮层在运动控制中起关键作用，但它没有加以垄
断。另外两个区也是运动中枢头衔的有力竞争者：基底神经节和小脑。这些区域远
离运动皮层，如果其中任何一个区域受损，则运动能力就会受到各种严重影响。
在第一章中我们已看到，小脑对小公鸡和鱼的生活方式所起的支配作用远比对
人类的大。啄食或在海中漫游需要有一种协调能力，可以通过适当的运动来协调经
感觉不断传入的信息。当其他动物逼近谷场中的面包屑时，小公鸡没有时间去思考
或计划行动。也许小脑对由外部事件触发的自动运动有重要作用，而并非对内在的、
前摄性思想过程所触发的运动。
令人惊奇的是，早在1664年，内科医生托马斯·威利斯（Thomas Willis）就
对小脑有这种观点，他把小脑看作是一个真正与脑的其余部分相分离的结构，主管
无意识的运动。
威利斯在1664年的《小脑解剖》一书中写到：小脑是用于某些活动的动物精神
的一种特殊源泉，与脑完全不同。在脑内……完成所有自发运动，即我们所知所愿
的……但蕴于小脑的精神可毋需我们的知识或意愿，无声无息地完成造物主赋予的
工作。
300年后，这一叙述仍然有效。小脑受损的患者可以运动，但动作笨拙。他们特
别难以进行需要感觉与运动协调的技巧性运动，如弹钢琴或跳舞。小脑对一类有连
续感觉反馈的运动有重要作用，这些运动转而又触发或影响下一类运动。例如，想
象一下要让你的手在眼的持续引导下跟踪纸上的一个复杂图案。小脑受损的人会发
现，作这种追踪运动特别困难。
人类从事许多更复杂的活动，它们并不依赖于环境中的即时触发。就小脑占据
我们脑的比例而言，人类与小公鸡或鱼脑相比要小得多，显然我们更灵活和多样的
运动技能降低了小脑的中心地位。尽管如此，小脑还是至关重要的，因为它所产生
的对感觉运动的协调是技巧性运动（也是一种毋需有意识思考的运动）的基础。这
些运动通过练习不断改善，可以变成几乎是下意识的。正因为如此，小脑已被该称
为脑的“自动导航员”。此说与很久前威利斯的概括性描述不谋而合。
另有一种不受来自感觉的即时信息修饰的下意识运动。不像小脑控制的运动，
这些与基底神经节有关的运动一旦开始即不能改变。这些“弹道式”运动像冲出炮
口的炮弹一样，一旦开始，就无法停下，其轨迹不能再改变。当某人挥起高尔夫球
杆时，因为运动不能在最后时刻被校正，球可能嘲弄般地仍留在球座上：它要么被
击到，要么打空。
与这些弹道式运动有关的脑区——基底神经节，实际是一群相互联系的脑区。
这些脑区的任何一个部位受损，对运动都有灾难性的后果。根据基底神经节受损部
位的不同，可能会有紊乱的非自主性运动（亨廷顿舞蹈症），或正相反，艰于运动，
并伴有肌肉僵直及震颤（帕金森病）。亨廷顿舞蹈症和帕金森病影响基底神经节的
两个不同部分（分别为纹状体和黑质），这两个部分在正常时似乎在一种力量平衡
动作中起作用，它们锁定在一起，使第一区平衡第二区的活动，这有点像跷跷板或
扳手腕。正常情况下，像实力相当的对手间的跷跷板或扳手腕一样，一个脑区牵制
另一个脑区。
但想象一下这样的情形：跷跷板上的一个人比其同伴轻得多，或扳手腕的一方
比其对手弱得多，此时平衡就打破了。这样，如果一个脑区的活动偏低，则另一脑
区就变得过于活跃。正是这种活动的失衡导致异常运动。在亨廷顿舞蹈症的情况中，
对话时虚弱的脑区在脑前部，即纹状体；另一方面，在帕金森病中，活动偏低的脑
区是位于脑后部呈触须形的、含黑色素的区域，即黑质。
由于在正常情况下两脑区联结得如此紧密，致使任何恢复两者间力量平衡的药
物都是有效的。在帕金森病，抑制纹状体活动的药物与增强黑质活动的药物有相似
的效果。相反地，减弱黑质活动或增强纹状体活动的任何药物，对帕金森病都是有
害的，但对亨廷顿舞蹈症是非常有益的。即使在一个总的脑区（基底神经节）中，
组成部分本身都不是自主的，而是在彼此不断对话中实施其功能。
由此可见，并不存在单个运动中枢。毋宁说，运动能分成不同类型，由不同的
基本脑区控制，尽管我们并不意识到这一点。可是，甚至这些不同的脑区，如小脑
和基底神经节，并不以自主的单元起作用，而是在与脑外层（皮层）的不同部分进
行对话中实施其功能的。例如，小脑与位于运动皮层前方的外侧运动前区有很强的
联系，而基底神经节则与皮层另一区——辅助运动区有密切联系。确实，由辅助运
动区损伤引起的功能缺损与帕金森病非常相似。
在正常情况下，一种十分吸引人的设想是，把皮层下区看作控制不依赖有意识
思维的运动。例如，当交通指示灯变红时，踩刹车似乎是种自主运动，事实上它与
小脑有关。相反，在一个周日下午，如果你最后决定从扶手椅中站起来，实际所作
的运动几乎不需要有意识的计划。即时的感觉触发并不存在，但起身却是自主的。
有些神经科学家甚至把这类运动称为“运动程序”。不论冠以什么名称，这类内部
触发的运动（我们大多认为是想当然的）是由基底神经节控制的。但对于帕金森病
患者来说这非常困难。在这些病例中，基底神经节和小脑摆脱了皮层的影响，不能
进行连续的运动控制。另一方面，某些运动，不管是弹道式的或感觉触发的，可能
需要不同程度的意识控制。在这种情况下，辅助运动区和外侧运动前区在与它们的
皮层下伙伴（基底神经节或小脑）进行各自对话中更充分地取得支配地位。
运动的产生是许多脑区共同活动的最终结果，就像各种乐器在一首交响乐中所
做的一样。所作运动的类型以及是否需要意识控制，严格地决定了哪些脑区参与活
动，而在帕金森病的病理情况下，脑区之间对话的结果是一边倒的。
但是在脑中存在一个不同功能“中枢”的想法，在直觉上十分有诱惑力，使人
难以放弃。与感觉打交道我们可能更幸运。与运动不同，感觉提供给我们一种清晰
的刺激，不管是光、声响，还是掐或山莓味，我们能对“信号”在脑中加工的不同
阶段跟踪其踪迹。也许这样一种清晰的通路自然地将我们引导到一个最终的视觉中
枢、听觉中枢，等等。
正像存在从大脑出发经脊髓的控制肌肉和运动的通路一样，也存在沿脊髓上行
传入大脑的输入信号（见第一章）。这些信号与触觉和痛觉有关，称为躯体感觉系
统。例如，针刺皮肤后，皮下局部神经把信号传递给脊髓，尔后，这些信号在脊髓
上传，最终到达大脑的最外层部位，即紧靠运动皮层后称为躯体感觉皮层的皮层区。
存在两条沿脊髓上行到达躯体感觉皮层的主要运动通路：一是进化而来的系统，
主要与痛和温度有关，而另一较后出现的系统则传递与触觉相关的精细信号。这是
在直觉上很吸引人的安排，它把更基本的既定的系统，与痛、温度这样基本的生存
因素相关是有道理的，而有精细触觉参与的更精致的技能，随着生物体的进化才变
得日益重要起来。
躯体感觉皮层的不同神经元对应躯体不同部分的触觉。你可能会预期，你手
（这是你身体相对较小的部分）上的神经元只到达皮层很小一部分。但正像我们在
运动皮层所见，你躯体的区域与对应的躯体感觉皮层区之间并不直接匹配。手和口
占有的代表区大得不成比例。
神经元的这种有偏向的分配是有道理的。正像手和口在运动皮层中占有相当大
份额神经元，从而使我们能演奏小提琴及讲话一样，身体的这些相同部分在躯体感
觉皮层中也占神经元中的很大比例。因为摄食和感觉东西属手人类最基本的行为，
所以要求口和手对触觉非常敏感。如果你在牙医处曾有过局部麻醉的经验，你就会
感觉到，一旦对运动或接触不敏感（甚至在口中很小的区域），情况将是多么糟糕。
躯体不同部位触觉敏感性的差异很容易证实。如果把一副圆规的两根针尖靠得
较近，然后轻轻地放在躯体的不同部位，那么，即使两针尖之间的距离保持恒定，
依据它们所放的位置，我们的感知将是不同的：有时为一个点，有时为两个点。例
如，在背部小区，由于皮层中细胞占有量少，且敏感性弱，相对较近的两点感觉上
就像一点。相反，当两针放在指尖上时，在皮层有足够数量的对应细胞可以传递相
当敏感的信息，从而产生两点的感觉。在感觉方面，对应躯体协调的各部分的脑区
分配，依赖于该部分对眼下作业的重要程度。有些特化的器官的输入并不依赖沿脊
髓上行的信号，也不依赖来自身体不同部分的不同信号量。那么脑是怎样处理这些
输入信息的呢？我们甚至是怎样开始看和听的呢？
具有较简单生活方式的简单神经系统毋需丰富的视景，例如，蛙不会得益于能
够辨认蒙娜丽莎的细节。在蛙的世界里，蛙所想知道的无非是有无天敌或猎物，它
的视网膜因此变得仅对天敌或它能捕食的猎物（如前后飞动的蝇）投射的阴影敏感，
目标的细节是无关紧要的，蛙眼对此并不留下印象。而在蛙的眼前出现一个细线系
住的，略似掠过的苍蝇的摆动软木时，它不仅弹出舌头来捕住苍蝇，还舔嘴唇，做
出所有猎食及品尝的动作。
作为动物界的普遍规律，眼相对于身体越复杂或越大，则脑的其余部分就越小。
在最早期阶段，脑对输入信息的脑区分配尚未出现偏向时，外周器官比更精巧的脑
进行更多的信息处理。昆虫的复眼有点像圆屋顶，配置在头的两侧。每只眼由上万
个不同模块构成，总计有一万个指向不同方向的小眼面。有些昆虫有多达三万个这
样的小眼面。光通过每个模块汇聚起来，产生一种巨大的放大作用。在人类来看，
由于这些模块的透镜不能加以聚焦，其结果远没有那么完美。而对于昆虫来说，最
大的优点是不用转动头就可把大视野投射在少量的细胞上。小眼面越多，图象就越
精细。这种眼对视景中的任何变化及光的偏振面却非常敏感，但复眼不能提供高分
辨力。
人眼则很不相同。它是球形的，由两个主要部分组成，为晶状体所分开。晶状
体是一个透明的、有弹性的凸形结构，它由韧带悬拉着以控制其形状，其形状根据
你要看的目标的远近随时改变。与眼最前面的角膜一起，晶状体帮助我们聚焦。有
色的虹膜（个体之间的变化很大）通过缩小或放大瞳孔来调节进入眼睛的光量。位
于眼前部的角膜和晶状体之间的空隙里充满水质液体，而组成眼主体的第二个空腔
则充满果冻样物质。
在眼的后部是视网膜，这是图象检测区。如果在显微镜下看视网膜，细胞似乎
杂乱无章地缠结在一起，有点像一个网，因此称为视网膜（retina，源于拉丁语re
tus，意即“网”）。视网膜的这些细胞通过电信号的变化，对光的变化作出反应，
这种电信号先要通过两层中继细胞，然后经称为视神经的纤维束传至适当的脑区。
视神经离开视网膜进入脑的出口是“盲点”，此处没有空间可容纳光敏细胞，
它位于眼中间的近鼻侧。在眼中心的近耳侧，则是称为中央凹的视网膜区。中央凹
是一个小的凹陷，在该处高度密集着对光敏感的某类细胞。光照在这个区域时，由
于有较多细胞参与工作，视觉最理想。在猛禽的中央凹，密集的细胞比人类多达五
倍。此外，与人类不同，鹰有两个中央凹，一个是提供边缘视觉的搜索性中央凹，
另一个是判断最深的跟踪性中央凹（景深判断是用两眼进行的）。
与人眼不同，所有鸟限在其眼框中都是固定的。为了改变它们的视线，鸟类必
须转动整个头和颈部。要是我们不能在不转动头的情况下来回活动眼的话，我们的
生活方式将受到极大的影响，例如想象一下我们该如何阅读？然而，在鹰和人类，
光（电磁波）通过眼球，穿过视网膜外层，才被光敏细胞处理。对颜色敏感的细胞
称为视锥，而另一种光敏细胞称为视杆。这些视杆细胞处理昏暗条件下的视觉，而
三类视锥细胞主要对三种基色（红、绿、蓝）作出反应。在电磁波谱中，人眼只能
检测非常小的一段，即可见光，波长在400和700纳米之间，而电磁波的整个波长跨
度则自10米（调幅无线电波波长）至小于1纳米（X光和γ光的波长范围）。光是怎
样被记录在脑中的？它必须首先被视网膜转变成电脉冲。在暗中，视网膜的视杆持
续地释放化学信使给下一级中继细胞。当光出现时，它被视杆中特异化学物质（视
紫红质）吸收，这一化学物质吸收光后产生的变化，触发在该细胞内的级联性化学
反应。在视杆内，这些反应的最终结果是其电特性的变化。
正是电特性，即视杆通常所产生的电压的这种变化，改变了暗中的信息传递。
在其他类型光敏细胞（视锥）中，我们借助于对一定波长范围的光有不同反应的视
锥的选择性，开始对颜色信息进行加工，这些视锥的最高敏感性分别在红光、绿光
或蓝光的波长上。不同的颜色使不同组合的视锥兴奋。例如，若某一波长使等量的
红视锥和绿视锥兴奋，则感知为黄色。
我们已看到，电磁波被视网膜细胞转变为电信号，但视网膜并不是对视野中的
每件东西都作均匀和等同的信号传递。图象在传入脑时非常不均匀。例如，如果一
个物体中有一大片均匀区域，则仅有微弱的信号传入；而当存在反差时，传入的视
觉信号极强。视网膜实际上只与检测变化有关，但变化不仅在空间上发生（即边缘
反差），也在时间上发生（即运动）。视网膜能作这样的适应，使之不再对静止的
目标产生反应，而仍保持对运动发出信号的能力。为理解神经系统对变化状态的偏
爱，可以想想闪烁的光如何比持续的光更引人注意。我们的生存可能更多地依赖于
周围情况的变化，亘古不变的情况对生存的意义不大。
眼球本身不是自治的视觉中枢，毋宁说，它是一扇门户，通过这扇门户，所有
重要信号得以进入脑作进一步加工，然后我们才能真正看到。视网膜电信号沿视神
经纤维送出，经盲点传送至脑中的丘脑（thalamus，在希腊语中意为“房间”），
丘脑占脑中段（间脑）的大部分。之后它又把信号传到位于头后部外层的视皮层。
对失去部分视皮层病人的研究，为神经科学家提供了一些非常有吸引力的见解，有
助于我们去认识在该区域中所发生的导致我们视觉的事件。
例如，一个四十多岁的中风患者，她的视皮层内一个相当局限的区域中细胞受
损。虽然她可以看到所有静止的物体及其他任何东西，但她无法看到运动中的物体。
如果让她冲茶，在她眼里，水流好似冻结的冰柱一样。她确实无法进行这一活动，
因为她会不停地冲茶，她看不见茶杯里的液面在上升，因而她无法知道何时应该停
止。这位患者还说，当她同人说话时，对话也成问题，因为她看不到说话人的嘴在
动。更糟更危险的是，她不能察觉汽车的运动：一开始那车在某处，而后它突然就
几乎撞上了她。另一方面，这位妇女却可以通过听觉或触觉察知运动。
自从第一次世界大战以来，类似的情况就一直有报道，医生们对战斗中头部受
伤的病人作了详细检查。乔治·里多克（GeorgeRiddoch），那个时代的一位内科医
生，就曾研究过这些患者。他在报告中指出，有些人并不像刚才讨论的那位妇女那
样，他们可看到运动，但看不到形状和颜色。有正常视觉的任何人常有这样的经验：
如果某东西在极边缘的视野里运动，你知道有东西在动，但如想看清是什么东西在
动，就需要转过头去看。
同样，有些人可以看到形状和运动，但看不到颜色。对于视网膜中缺失视锥的
病人，或头两侧的关键部位受损的病人，其命运可能是他们将完全生活在灰色世界
中。但如果脑只有单侧受损，则一半世界是彩色世界，而另一半是黑白世界。
最后，还有一些视觉系统受损的患者可以看到运动和感觉颜色，但看不到物体
的形状。认知不能（agnosia，源于希腊语，意即“不能识别”）的特征是，能看到
物体，但无法识别。失认的严重程度因患者而异，甚至同一患者都可能不时有较好
的形状视觉。视觉专家泽米儿·泽基（Semir Zeki）对这种特定情况如此多变的原
因提出了一种解释：如果复杂形状是由不那么复杂的模式逐渐在大脑中组合而成，
那么这个逐渐组建过程在不同患者也许是在不同阶段被阻断的。这就是为什么一些
患者比另一些患者有更好的视觉技能。泽基认为，“理解”和“看到”不是两个分
开的过程，它们之间有无法割裂的联系：如果你看到某个东西，你将自动地识别它。
另一方面，泽基还争辩说，如果你没有看到你眼前的东西，那是因为在你视皮层中
对复杂形状识别的高级整合过程出了问题。很明显，你将不能识别物体，你将成为
不同严重程度的“形状盲者”。
鉴于上述情况，很明显，形状、运动和颜色视觉可以相互独立地发生。目前的
认识是，我们至少部分地是以平行方式对视觉进行加工，即在脑不同部位同时处理
视觉信号。我们视觉的不同方面（形状、色觉及运动）对我们来说似乎是一个完整
的整体，但其实它们至少部分地是由从视网膜到视皮层信号传递的不同系统所处理
的。这样，像我们在上述有关运动的病例中所看到的，不同脑区是通过共同工作来
完成那些我们认为是单一的功能的（在本例中是“看到”）。可是它们是怎样汇集
在一起的？又是在脑的什么部位，所有平行视觉信号汇集成单个实体？这又是一些
难解之谜。
有些人认为，这些不同通路汇集于脑的某些部分，就像铁路汇向伦敦中央车站
一样。这种观点在一定意义上是前章中所讨论过的颅相学说在20世纪后期的翻版。
想象一下，如果在我们的头中有一个或两个相当的脑中央车站，那么这一区域一旦
受损将导致视觉完全丧失。但这种情况从不发生。我们还有一个例子可以说明为什
么脑不是微型脑简单的聚集。脑区间的连接并不是汇集于一个执行中枢，而是更像
是采取关键脑区间平衡对话的形式，这与我们在运动控制中看到的可作类比。
但是，这个相互作用的平行脑区的设想还是没有解决神经科学最大的奥秘之一：
我们到底是怎样看到东西的？一方面，对看到一个物体时所作的视觉加工过程中的
复杂步骤，我们的认识已取得了很大进展。现已知道，在视觉过程中脑的哪些部分
在何时、在什么条件下是活动的。另一方面，这样的反应在脑被麻醉，即在全无意
识情况下仍然存在。还没有人发现在清醒的脑中发生，而在麻醉条件下却不发生的
单一事件。一旦找到这样的事件，我们就能确定，意识对视觉过程的干预是一种明
确的生理／解剖机制或事件。
人们已观察到，在完全清醒的病人中，存在脑的视觉过程和有意识觉察明显相
分离的情况，这些观察使谜变得复杂化了。第一个病例最初又是来自第一次世界大
战中头部创伤的报告，这种病例后来在70年代被称为盲视。盲视病人在其视野的一
定部位是看不见的，但如要他们“猜猜”，他们却可以指向位于那个区的他们声称
看不见的物体。很清楚，脑仍然在实施功能，但实际看到物体的意识已丧失。泽基
和物理学家埃里克·哈特（Eric
Harth）等一些人认为，神经元回路的解剖完整性是十分重要的。就像我们前面
见到的，脑区可被看作跷跷板游戏的参与者，它们之间的平衡，它们间的相互作用，
比任何单个区域本身更关键。哈特认为，不仅存在与感觉有关的信号，传到皮层进
行加工，而且皮层也可发出信号拦截这种传入的信息流，并加以修饰。皮层拦截越
强，最终的意识经验则离客观外部事件就越远、越离奇。泽基还把这些反馈通路用
于盲视的解释中。
泽基认为，盲视是由于这个平衡回路的被破坏。信号的加工仍可传入脑，但由
于正常情况下维持脑区间对话的通路不再运转，有意识视觉消失。但是这种观点并
不与盲视病人观察到的十分有趣的情况完全一致：对一定脑区的实际物理损伤程度，
不一定是决定盲视病人怎样反应的唯一因素。在一些病例，盲视可被其他因素所逆
转，例如，让一个静止目标运动起来病人便会有反应。也许，对于最后意识到看见
了一个物体，重要的不仅是完整的神经元回路，也包括所涉及的物体的特定性质。
另一个导致视觉缺损的脑损伤是面容失认（Prosopagnosia，源于希腊语，意为
“不能识别面孔”）。盲视是在未察觉的情况下作出识别，而与盲视者恰相反，面
容失认者察觉了，却不能识别。病人能把面孔看作面孔，但认不出任何人，甚至认
不出他们自己。但如果一张面孔通过展示与其有联系的面孔而被“心理强化”，情
况就会发生明显的变化。例如，如果在展示戴安娜王妃的相片之前先展示其前夫查
尔斯王子的相片，病人常能识别戴安娜的面孔。于是，我们又有了一个意识依赖于
一个以上因素的例子。在脑中所发生的某种神奇事件，使我们不仅能加工我们视网
膜所记录的物体，而且能有意识地看到它，但我们对这些因素在脑中怎样导致这种
神奇事件的产生，至今毫无端倪。
对于所有的感觉，还存在的奥秘是，自我主观意识因素的本质是什么。例如，
我们听到的远不只是振动本身。不像我们看到一张脸，看到的是线条和反差，我们
听一首交响乐，并不是把它听作为振动。我们感觉的是一体化的整体，这个整体是
通过记忆、希望、成见和其他内在的认知特质所形成的。
脑中另一个引人入胜之谜是，为什么到达视皮层的电信号感知为视觉，而到达
脑的另一部分（如躯体感觉皮层或听皮层）的同种电信号，却会分别感知为触觉和
听觉。至今还没人能给出满意的解释。有一种观点认为，我们是通过经验学会区别
视和听的；另一种观点是，每种感觉系统以某种方式与一定类型的运动形成占优势
的联系，这样就把差别突现了出来。
但有一些众所周知的例子使这种感觉间的区别荡然无存，称为“联觉”的感觉
混合即为其中之一。表现出联觉的人可能声称“看到”某些音符有一定的颜色。实
际上五种感觉中的任意两种组合都可能发生，虽然最常见的是听到不同的声音时感
觉到不同的颜色。联觉多发生于儿童，但患精神紊乱（如精神分裂症）的成年人也
能产生，也可由致幻药物引发。感觉的分离明显归因于正常脑组构的某一方面，而
这一方面又不免有个体差异。一种可能是，在联觉患者的脑中存在附加的神经连接，
它们不仅从涉及的感觉器官扩展到相应的皮层区，而且也支配另一皮层感觉区。但
这似乎不大可能，因为这样的状态只在一定的条件下发生，因此不能解释联觉体验
的多变性。更可能是，不参与每种感觉初级加工的皮层区，如联合皮层，也以某种
方式起了作用。
我们在第一章看到，即使与我们的近亲黑猩猩的脑作比较，人脑中归为联合皮
层的区域也是相当大的。可能是自联合皮层至支配特定感觉皮层区的输入，以某种
形式发生了变异。当然这种情况可能解释为什么联觉主要发生在儿童，因为在儿童
期感觉间的区分尚未习得，且脑神经元的连接还不那么死板，因而其运作上更灵活
和多样。我们在第四章中将论及这一点。生理性（神经元的运作）功能紊乱而不是
解剖上（其物理连接）的缺损也可解释为什么精神分裂症患者脑中会突然出现联觉。
另一方面，想要真正解释联觉是不可能的，因为它依赖于主观感觉；个人的直接体
验。联觉是意识——脑最终的谜——的一个侧面。
至此我们已看到，一个人隐蔽的自身意识的内部世界，是怎样受涌入的感觉输
入的影响，又怎样反映在输出的运动中。通过接受关于我们所处环境详尽而持续的
信息，以及对每种情况迅速作出适当的反应，我们与外部世界不断对话。决定这种
对话有多活跃、多有效的另一个因素是清醒的水平。当入睡时，我们并不感知周围
世界的任何事物，我们也不四处行走；而在另一极端，高度清醒状态会导致不羁的
行为，我们对不起眼的小事反应过度，并不停地无目的地走来走去。心理学家早已
发现，当我们处在中等清醒程度时，能最有效地完成任务。因此，清醒程度是至关
重要的精神状态的一个重要因素。
我们熟悉清醒状态的极端情况：当我们睡眠时，清醒水平是低的；如果我们过
分激动或容易烦躁、心跳过速、掌心汗湿，则说明我们过度兴奋或过度清醒。清醒
总是伴着我们，只是程度不同而已。它由脑干内不同类的化学物质所控制，这些不
同类化学物质在昼夜不同的时间内起支配作用，或因情绪、疾病而起支配作用，它
们还把信号上传至皮层的广大区域，从总体上去调制脑细胞许多回路的工作。清醒
状态可用大范围皮层区的平均电活动的变化来监测。
早在1875年，英国生理学家理查德·卡顿（Richard Caton）就从兔脑和猴脑
中记录到微弱的电流。这一发现几乎未引起注意。15年后，波兰生理学家A．贝克
（A Beck）和奥地利人E．弗莱舍尔·冯·马克索夫（E．Fleischel Von Marxow）
之间发生争执，他们各自声称在脑中发现了电活动。其时卡顿指出，他早在英国
医学杂志上发表了有关论文，这才解决了争端。直到那个时候，他的发现才得到
正式认可。这一发现的临床意义在50年后才被认识到，1929年德国精神病学家汉
斯·贝格尔（Hans Bergar）首先作了尝试，记录了人脑的电流。
当电极置于颅表时，它不会引起任何疼痛，人完全清醒，可检测到不同类型脑
电波。汉斯·贝格尔相信，这些信号是由于心理能量所致，他称之为P能量。这就是
至今仍在神经病学中广泛应用的一项技术——脑电图（EEG）的发端。与贝格尔认为
脑电波由某种特殊的脑／精神能量产生的观点相反，脑电图记录的电波是由脑表面
之下成千上万的脑细胞产生的。
脑电图不仅显示脑电波的性状，而且显示它们怎样变化——其模式实际上可随
不同的清醒状态而变。如果你松弛而清醒，则慢波将主要出现在你的头后部，该过
程称为a波。实际上你可以通过放松使你自己产生a波。人口的日益增加已使放松变
得不那么容易，产生了现代最大的祸害之一：慢性紧张。帮助这种人学会放松的一
个方法是，告诉他们什么时候产生a波。一种非常聪明的方法是把人的脑电图与玩具
电动火车联在一起，这种火车只有在a波产生时才沿着其轨道跑动。人们可以学着使
自己处于正确的状态以使小火车动起来。相反，如果你很兴奋、很清醒，那么电波
模式会发生转变。其时，作为整个群体的一部分神经元工作得不那么紧张，而代之
以更自主的方式活动。
脑电图模式随年龄也有变化。早在胎儿三个月时，即可从母亲的子宫记录到电
活动。只有到了第六个月，脑电图才变成一种清晰的、有规律的慢波。在儿童长到
十岁前，能检测两种很慢的节律：一种是每秒4～7次的B波；另一种是每秒1到4次的
&波，但&波不见于健康清醒的成年人。
脑电图不仅对研究正常的脑活动，而且对研究癫痫等脑疾患都有重要意义。在
癫痫发作时，存在一定类群脑细胞的强烈放电，可导致惊厥。这种强烈放电可在脑
电图上检测到，神经病学家用以对损伤的脑组织作出定位。
脑电图的另一种应用是，为研究我们在睡眠时脑中发生的事件提供了一个诱人
的窗口。通过从头颅记录的不同电活动模式，可以把睡眠区分成四期。当我们入睡
时，我们非常快地通过四个阶段，从水平1降至水平4。整个夜晚，我们在四期睡眠
中不断反复。
在夜晚多次循环往复的四期睡眠之外，还有另外一期与之完全不同的睡眠。在
这期睡眠中，我们的眼球来回快速运动，由此命名为快速眼动睡眠或REM睡眠。如果
人们在REM睡眠中被唤醒，他们通常报告他们刚做过梦。容易想象，眼球的快速移动
是由于睡眠者观察梦中移动景物所致。有趣的是，有梦睡眠时的脑电图与觉醒时的
脑电图相同，而不同于无梦睡眠期的脑电图。在正常的睡眠期，如果我们不做梦，
通常会辗转反侧，而在REM睡眠中，我们的肌肉变得麻痹，这种麻痹状态有其重要性，
因为它可以防止睡眠者表现出梦境的动作来。
不同的动物显示REM睡眠量也不同，爬行动物根本没有REM睡眠，鸟类偶尔有之，
而所有的哺乳动物，至少按其脑电图来看，似乎都能做梦。按平均一夜睡眠时间7．
5小时计，人总共要花1．5～2小时做梦。目前记录到的持续最长的REM睡眠时间为2
小时。倘若REM睡眠确实在我们的睡眠时间里占了相当比例，那它可能有其价值。对
于我们为什么做梦已经有几种理论。一种理论认为，由于脑不再被来自外界的现实
信息所束缚和限制，因而在某种意义上，脑开始随心所欲起来，这种情形与工作一
天下班后我们自由活动的情况相似。然而，做梦并不只是脑在玩耍，有证据提示，
做梦对于做梦者来说是有益的。当脑电图显示某人正处于REM睡眠，因此可能在做梦
时，将其唤醒，则他们将在下一晚设法补偿，即其REM睡眠量将增加。在一项实验中，
每当脑电图显示受试者处于REM睡眠时即将其唤醒，在第一晚受试者被唤醒10次，但
到第六晚时，受试者则被唤醒多达33次，因为其大脑总是徒劳地企图进入梦境。
另一种理论认为，梦使我们能与问题妥协，并记住白天所发生的各种事情。尽
管对成年人来说，容易想象梦可以为此目的服务，但这似乎并不是其主要目的。26
周的胎儿的所有时间都处于REM睡眠中，但他们并没有体验要调整，没有问题要解决。
在儿童期做梦时间逐渐减少，这种观察提示，做梦更多地是表示了尚未成熟的大脑
的一种功能状态，此时脑的神经元回路还很不健全。也许做梦本身就是一种意识，
这种意识是大脑不同区域间不那么活跃的对话的结果，而这种情况，又是因为神经
元相互间的连接还处于正在建立的阶段。
如果确系如此，那么这种理论将有两个非常有意思的含义。首先，它提示，当
我们处于REM睡眠时，我们大脑中不同区域间的联系程度变得小得多了。其次，人们
已经注意到，精神分裂症患者的意识，与我们不合逻辑而又非常真实的梦境的意识
常常是很相像的，因此，精神分裂症的主要问题可能是向脑区间通讯下降的情况的
一种回归，导致其梦幻般地来看待世界。虽然做梦的功能可以说是调处自身问题的
一种方式，但更像是大脑活动的某种状态的结果。在这种状态中，因为处于入睡状
态，我们无法处理大量的感觉输入，或者像在婴幼期那样脑尚未完全发育，或者像
精神分裂症的情况，占优势的化学物质限制了脑内大群细胞间大规模对话的效率。
无论如何，做梦是意识的又一个方面，对其原因和功能至多只能作一些极端的猜测
而已。
但是，当我们完全处于无意识的普通睡眠时，其功能又是什么呢？这是一个重
要的问题，因为对于三万年前进化到克罗马努人（Cro－Magnon）的我们的祖先来说，
睡眠是一件相当危险的事情，因为熟睡容易被过路的掠食者所攻击。既然我们每晚
总有约8小时的睡眠时间出现明显的弱点，想必睡眠一定有某种很大的益处。现在已
经知道，在睡眠期间，脑制造蛋白质的速度远远高于觉醒期。蛋白质是一种大分子，
为维持结构所必需，它又是体内所有细胞（包括神经元）功能的基础。睡眠使我们
有机会把对脑正常发挥功能至关紧要的化学物质储存起来。但是脑正常发挥功能，
并不仅仅指的是我们意识到的过程，如学习和记忆，也指无意识的过程，如体温调
节过程。
在正常情况下，我们只把从食物及氧气中获得的一部分能量立即转化为热量，
其余的能量则储存起来，为脑和躯体的所有其他重要功能所用。假如一个人一晚只
允许睡三个小时，那么不出一周，其中的许多功能就开始减退；假如我们被剥夺了
睡眠，能量就不能有效地储存，更多的能量会立即作为热量耗散掉。所以，那些持
续地被完全剥夺睡眠的人，最终将使自己精疲力竭。假如老鼠长时间不睡，它们将
需要越来越多的食物维持其能量。尽管这些老鼠摄入大量食物，但它们身体质量减
少，精力耗尽，最终死去。显然睡眠是非常重要的。
脑及其觉醒系统的另一种有趣的特征是，它通常知道何时该入睡。至少在一些
非人类的动物身上，脑中有一部位在睡眠与觉醒中起着重要的作用，这就是松果体。
松果体深埋于脑的中部，不像脑的其他结构以中线为界，左右各一，松果体则刚好
位干中线上，跨越大脑的中部。
正因为如此，三百年前的哲学家笛卡尔（Rene Descartes）认为，松果体即灵
魂的所在地。笛卡尔论证道，既然脑内没有两个松果体，而且既然我们只有一个灵
魂，那么灵魂一定位于松果体中。
现在我们知道，松果体在调节睡眠和觉醒方面是很重要的。光可通过颅骨直接
刺激鸟类：我们知道，甚至当松果体从鸟类中被完全剥离出来放在盘中时，它仍然
对光敏感。当光线由亮变暗时，松果体无反应；但当光线由暗突然变亮时，则小公
鸡被唤醒。松果体分泌褪黑激素。这种物质随一天中的不同时间在脑中波动。当脑
中褪黑激素含量高时，就产生睡眠。事实上，给麻雀注射褪黑激素可使它们入睡。
虽然这样一种简单的事件系列乍一看来似乎与我们很复杂的人类并无关系，但值得
注意的是，在美国，褪黑激素是人们用于调整高速飞行产生的时差的常用手段。在
新时区中，睡前服下一片褪黑激素，可以使人迅速入睡，其作用可持续相当一段时
间。
对人类而言，睡眠／觉醒周期通常由多种因素控制。人们曾进行以下的实验：
让人置于山洞中，仅依靠他们自己的装备为生，断绝与外部世界的联系，由此观察
这些外部因素有多么重要。
1966年，戴维·拉弗蒂（David Lafferty），一位前皇家空军官员，自愿应征
《每日电讯报》，同意在地下120米深的山洞中隔离生活至少100天，事后他可得到
100英镑（167美元）的报酬，超过100天后每天可得到5镑（8．35美元）的额外报
酬。拉弗蒂以连续地下生活130天创下新记录。最后，医生们对拉弗蒂良好的身体
和精神健康状况感到吃惊。当拉弗蒂得知自己在地下呆了多久后，他也很惊奇。他
的生物节律已设定在25小时，这使他略微低估了自己在地下的时间。人们被隔离时，
这种低估时间的现象通常也会发生。因此，很清楚，我们确有一台基本的和颇有规
律的内部时钟，但我们也需要利用外部世界的线索对它进行微调。
睡眠和清醒并非是受脑控制或在脑中记录的唯一节律。曾经有一项非常可怕的
实验表明，人的痛觉敏感性有虽不那么明显但却重要的日常节律。足以令人瞠目的
是，参加实验的人会自愿在整个白天和夜晚接受几次经由牙齿的电击，然后报告他
们感觉有多痛。原以为人们可能在所有时候都感受到同样的疼痛，但令人惊奇的是，
在白天的某些时间内，人的痛觉感受几乎可达其他时间的两倍，而以早晨最为明显。
中午时分，痛觉几乎难以忍受。
这一研究也为我们提供了关于脑活动的另一个线索。我们看到，痛觉感受是一
种主观现象，它可根据你脑中正发生的某一事件而改变，而脑中发生的那一事件也
一定是可变的。通常，痛觉由与身体某部分直接接触的损伤或损伤感知而引起。我
们在前面看到，与痛有关的信号，通过特异的通路传至脊髓，并进入大脑。信号由
物理特性不变的神经来传递，因而电传导效率不会依一天时间的变更而改变。对痛
的昼夜节律变化，还需用其他因素加以解释。
研究痛觉的方法之一是古老的中国针刺疗法。针刺疗法的基本思想是，使身体
的功能状态恢复平衡，从而使称为“气”的生命力在各个器官之间取得完全的平衡。
其基本过程是在身体上365个穴位中的一个，用针刺入1至4厘米深。针刺疗法用途甚
广，例如帮人戒烟。关于针刺镇痛作用的发现，有一种说法是与古代战争有关的，
那时人们用弓和箭作战。当箭从受伤战士身上拔出时，在伤口中常常来回旋转，这
颇像今天的针刺手法。令人费解的是，战士有时会感到疼痛减轻。
针刺对疼痛的缓解十分有效，有时甚至可以在针刺后进行外科手术。为了达到
更好的镇痛效果，银针应在穴位处放置约20分钟。针刺会以某种方式干扰正常的痛
觉过程，由此通过皮下神经把信号从受影响区域传至脑。如果给扎针处的皮下神经
施与局麻，针刺的镇痛作用则消失。看来，当一根神经被刺入的针机械地刺激时，
脑所感知的疼痛会发生变化。由于镇痛效应在针留在原位20分钟后才产生，而在撤
针后又可持续一个多小时，有一种可能是，针刺本身并不是直接起作用的，它们一
定导致了脑中某些自然化学物质的释放，而这些物质能对抗疼痛。也许正是这种化
学物质受昼夜节律的影响，甚至可被药物所改变。
在本世纪70年代早期，人们证实脑内存在类吗啡物质：脑啡肽，这是神经科学
近年最伟大的发现之一。当这一物质被药物阻断后，则痛觉增加，针刺不再那么有
效。通过相同的机制，吗啡可模拟这种自然化学物质，使脑产生大量脑啡肽被释放
的错觉。脑中并不存在痛觉中枢，而脑啡肽在脑和脊髓的不同部位均有发现。
我们既然在第一章中未能把一种功能定位在某一特定的脑区，在这一章我们开
始相反的策略：看一看特定的功能是怎样在脑中实施的。我们已看到，在所有情况
下，几个脑区是并行活动的，从而使我们能与外部世界有效地进行相互作用。从每
段叙述都可以清晰地看到，脑的电活动和脑的化学特性是感觉、运动和觉醒系统成
功地行使功能时起关键作用的组成部分。我们还不清楚这些力量怎样被用来在脑中
传递信号，进而成为我们日常功能的基础。现在是探索脑细胞到底是什么，以及它
们是怎样相互传递信号的时候了。
转自素心学苑
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邵錦昌
一. 敘論
場論及微分幾何分別是物理和數學中的
兩門重要的學科。場論肇始於馬克士威爾的
電磁學(我們姑且不論牛頓的重力理論), 如
今已是解釋基本粒子的最有力的工具。這兩
門學科在歷史上雖然是各自發展, 但是現在
大家已了解, 事實上它們卻是同一件事情的
一體兩面。然而這種認知過程卻是相當曲折,
前後歷經了將近百年的時間, 並且經過歷史
上最聰明的頭腦的努力才達成的。在本文中
我們來看一下這段發展的過程, 並且來瞭解
它們的內涵及密切關係。
二. 高斯、黎曼及嘉當的微分幾
何:
微分幾何在尤拉(Euler) 及孟日
(Monge) 的手上固然已經有了很多的發展,
但是真正決定性的結果則無疑的是在高斯
(Gauss) 1827年的那篇“曲面概論”論文上
建立的。高斯引進了一種全新的概念, 那就是
把曲面本身視為一個空間, 而不僅是三度空
間中的附屬品, 他賦予曲面自己的座標x1,
x2, 並引進第一基本量:
ds2 = E(x1, x2)dx21
+ 2F(x1, x2)dx1dx2
+G(x1, x2)dx22
(1)
來描述曲面上的弧長元素, 從而曲面上的距
離和角度都可由E、F 和G 三個函數來決
定, 他把這些僅與E、F 和G 有關的幾何性
質稱之為曲面的內在性質。
高斯下一個重要的貢獻則是關於曲面曲
率的研究。高斯先是經由曲面的法線在三度
空間的變動來定義曲率K, 然而出乎他意外
的是, 他發現曲率僅用E、F 和G 三個量就
可以完全的表示出來, 因此曲率是一種曲面
的內在性質, 而與它所存在的三度空間無關。
這個結果, 充分的顯示了曲率在幾何學裡的
中心地位, 高斯很得意地稱之為“theorema
egregium”—最漂亮的定理。高斯還證明了
一個關於曲率和測地線所圍成的三角形的有
名定理。他證明了曲面上一個由測地線所圍
成的三角形的內角和, 並不像在平面上一樣
等於 , 而是由下面的公式來表述:
Z Z
A
KdA = 1 + 2 + 3 − (2)
數學傳播25卷4期民90年12月
3
A
2 1
而當曲率的積分範圍擴充到整個曲面時, 右
邊的積分值又等於曲面的拓撲量— 尤拉示
性數(Euler Characteristic)。這個漂亮的
定理現在一般稱之為高斯-伯涅特(Gauss-
Bonner) 定理, 它是第一個將曲面上的局部
量(曲率) 與大域量(示性數) 連繫在一起的
定理, 而它更進一步的推廣, 則更是幾何學發
展的關鍵。
同時, 高斯也是非歐幾何學的創始人之
一。非歐幾何學的建立, 是希臘時代以來在
空間觀念上最重大及革命性的一步, 而高斯
除了認清非歐幾何在邏輯上的合理性外, 他
還實地測量三座山峰所形成的三角形的內角
和, 來判定我們的空間是否真屬於非歐的空
間。雖然由於那個三角形實在是太小了, 因而
沒有得到有意義的結果, 然而高斯的確是歷
史上認知到幾何學即是真實物理學的第一個
人。
眾所周知的, 高斯也在物理領域電磁學
上做過巨大的貢獻, 但是超凡如高斯者, 可能
也想像不到, 這其實也是一種幾何學, 而且是
比他的曲面論更簡單的幾何學。
高斯的工作很快的就被他的偉大的繼承
者黎曼(Riemann) 所推廣, 他在1854年
面對哥庭根大學教授團(高斯也在座) 作了
一次資格審核演講, 演講的題目名為“幾何
學基礎所依據的假設”。黎曼在這篇劃時代
的論文中將高斯的曲面論推廣到n 維流形
上。他將n 維流形的每個點賦予n 個座
標(x1, x2, · · · , xn) 而兩個極靠近點間的距
離平方設定為:
ds2 =
Xn
i,j=1
gij(x)dxidxj (3)
流形上所有的幾何量都可以由gij 的組合
來表示。黎曼最大的成就是將高斯曲率由二
維推廣到n 維的流形上, 一般稱之為黎曼
曲率張量, 形狀相當複雜。為了要寫出它的
樣子, 我們必須透過所謂克利斯多夫符號
(Christoffel symbol):
l
ki =
1
2
Xn
j=1
gjl(@igkj+@kgji−@jgki) (4)
而黎曼曲率張量則為:
Rl
ijk = @kl
ij − @jl
ik + l
nkn
ij − l
njn
ik
(5)
這個式子表示了與黎曼曲率張量有直接關係
的並不是gij , 而是克利斯多夫符號l
ki。克
利斯多夫符號還有另一重要的用途: 如果我
們把黎曼流形上的一個向量函數vi 對於座標
xj 求導數, 所得的@vi
@xj
並不是性質很好的量,
必須要作下列的組合:
Djvi = @jvi − l
ijvl (6)
才是有用的量, 這個導數叫做協變導數(Co-
variant derivative)。經由協變導數, 黎曼
曲率張量還符合所謂畢安其恆等式(Bianchi
identity):
DmRl
ijk + DjRl
ikm + DkRl
imj = 0 (7)
這些都是曲率張量的重要性質。黎曼除了發
明彎曲空間的概念, 並解釋如何計算曲率外,
他其實也認真的考慮過整個的宇宙模型或許
不是普通的歐幾理得空間,而是屬於一種「常
數正曲率」的球形空間。不過他這個觀念實在
超越他的時代太遠了, 而且必需用到的場論
觀念也還未成熟, 因此還得再等半個世紀另
一個天才誕生之後才能完成這項工作。
微分幾何下一個飛躍是由嘉當(E. Car-
tan) 帶領的, 他引進了所謂活動標架(mov-
ing frame) 及外微分形式(exterior differ-
ential form) 的技巧使黎曼幾何中繁複的計
算簡化不少。不過更重要的是他拓展了微分
幾何的範疇, 他在活動標架之間介紹進所謂
嘉當聯絡(Carton Connection), 這是一
個類似克利斯多夫符號的幾何量, 但是它不
一定要與長度度量有任何關係。因此嘉當的
幾何空間不必要有長度及角度的觀念, 但是
仍然可以有曲率及平行位移等觀念。因此嘉
當推廣了空間的觀念, 而黎曼空間是它的一
個特例。這樣的觀點最後由愛禮曼在1950年
推廣到纖維叢(fiber bundle) 的聯絡論上。
纖維叢的理論我們可以簡述如下: 所謂黎曼
幾何可以看成是在底空間的每一點上黏上一
個切空間(tangent space), 而不同點上的
切空間之間則利用克利斯多夫符號所定義的
協變導數來作聯繫。而纖維叢理論是在底空
間的每一點上黏上別的我們有興趣向量空間,
而愛禮曼則能成功的定義“聯絡”, 將不同點
上的向量空間聯繫起來, 從而討論一種新的
幾何學。在這種架構底下, 黎曼幾何可以叫
做“切叢”(tangent bundle) 上的聯絡論, 而
克利斯多夫符號就是切空間之間的聯絡。至
此微分幾何的最後面貌就告完成了。
三. 馬克士威爾、愛因斯坦及楊
振寧的規範場論:
場的觀念最先是由法拉第提出用來描述
電磁現象的, 不過法拉第的數學能力不夠, 沒
能建立一個精確的定量理論。完成電與磁二
者的最後統合是馬克士威爾, 他綜合了前人
觀察的結果, 在1864年用下面四個簡單(看
起來) 的方程式:
div
−!E
= (8)
curl
−!B
−
@
−!E
@t
=
−!j
(9)
curl
−!E
+
@
−!B
@t
= 0 (10)
div
−!B
= 0 (11)
就將所有的電磁現象一網打盡。這四個方程
式中, 第一個方程式是庫倫定律, 描述靜電現
象。第三個方程式是法拉第-亨利(Faraday-
Henry) 定律, 描述磁場的變化可以產生電
場。第四個方程式則是單純的指出磁單荷的
不存在。第二個方程式是畢奧-薩伐爾-安培
定律, 用來描述電流可以產生磁場。而其中
神來之筆的是@
−!E
@t
那一項; 這一項叫做
位移電流, 最先並不是在實驗中發現的, 而
純粹是馬克士威爾為了數學上的一致性加上
去的。不過如此一來電磁的波動性質就出現
了, 而馬克士威爾也預言了光就是一種電磁
波。不僅是在解釋物理現象上, 馬克士威爾方
程式有驚人的威力, 它們在數學結構上更有
很神妙的性質。首先愛因斯坦及閔可夫斯基
(Minkowski) 發現經由下面的對應:
Fμv =
0 E1 E2 E3
−E1 0 −B3 B2
−E2 B3 0 −B1
−E3 −B2 B1 0
.
(12)
電磁場
−!E
和
−!B
可以看成為四維時空
(x0, x1, x2, x3) 中的四維張量Fμ, , 而馬克
士威爾方程式則可以寫為更簡潔的形式:
X3
μ=0
@μFμ = j (13)
@μF + @ F μ + @ Fμ = 0 (14)
其中j = (
−!j
, ) 是電流密度及電荷密度。
第(14) 式是電磁學中的畢安其恆等式, 不過
樣子比黎曼幾何中的簡單多了。由畢安其恆
等式我們看出Fμ 可以表為:
Fμ = @μA − @ Aμ (15)
的樣子, 其中Aμ 叫做電磁位勢。比較一下黎
曼幾何中的量, Aμ 就好像克利斯多夫符號,
而電磁場Fμ 就好像黎曼曲率張量, 不過關
係當然簡單很多。(15) 中隱藏了一個極重要
的性質, 那就是如果我們將Aμ 作如下的轉
換:
Aμ(x) ! Aμ(x) + @μ (x) (16)
很容易看得出來Fμ 不變。由於電磁場Fμ
才是可量測的物理量, 因此轉換(16) 是電磁
場的對稱性, 叫做規範轉換。如果我們在引入
另一物理場 , 並考慮下面的轉換:
(x) ! ei (x) (x) (17)
則很容易證明組合@μ − iAμ 在(16) 及
(17) 轉換之下也做如(17) 式的轉換:
@μ −iAμ ! ei (x)(@μ −iAμ ) (18)
組合@μ − iAμ 也是一種協變導數, 它提
供了物理場 及電磁位勢A 作用的方式。
轉換(17) 非常簡單, 它純粹只是乘上一個絕
對值等於1 的函數而已, 因此稱為U(1) 轉
換。所以會考慮U(1) 轉換的動機是: 場
的絕對值| | 才是可測的物理量, 因此(17)
式是 場的一個對稱性。最先認識到規範轉
換(16) 及U(1) 轉換(17) 重要性的是韋爾
(Weyl, 1918), 但是它們卻有非常不尋常的
推廣, 可以把所有的關節聯繫在一起。
不過在進一步討論這個推廣以前, 我們
必須要來看一下另一個重要的發現, 那就是
愛因斯坦在1915年所建立的重力場論或叫做
廣義相對論。由於愛因斯坦過人的洞察力, 他
發現在一輛加速進行的火車中, 一個人會感
受到像重力一樣的吸引力。因此他提出了所
謂“等效原則”, 認為重力應該是一種時空現
象, 可以用幾何的方法來處理, 重力是時空彎
曲之後的一種物理表現。在這種認知之後, 他
馬上就體會到他所需要的數學工具早就由黎
曼替他準備好了, 而他也將高斯及黎曼在六、
七十年前的臆測給具體化了。1917年愛丁頓
爵士利用了一次日蝕的機會, 觀察到廣義相
對論所預言的光線彎曲, 一時轟動了整個世
界。從此重力場是幾何的說法也就為世人所
接受, 我們生存的空間一種黎曼空間, 其彎曲
情況則由物質分佈來決定。愛因斯坦可以說
是歷史上第一個確實的認識到物理學就是幾
何學的人, 因此他下一個雄心壯志就是想將
電磁學也能幾何化, 以完成統一場論的鴻圖
大業。不過很不幸的這卻是窮他後半生精力
所未能完成的事。
正確的發展是建立在楊振寧和密爾斯
(Mills)1954年所發表的論文上。他們的出發
點是如下的考慮: 質子和中子除了在電荷
有無及壽命長短不同外, 它們其他的性質幾
乎完全一樣。因此海森堡(Heisenberg) 認
為這兩種粒子可以看成是同一種粒子的兩種
表態, 而引進了一個二維的同位旋空間, 把
質子場及中子場看成是這個空間的兩個分量
n
p
!
, 而任何適當的物理理論在質子及中
子的角色調換之下應該不變。但是場是時空
的函數, 因此場論是一種局部性的理論, 所以
楊振寧及密爾斯便認為, 如果這個對稱成立
的話, 不同地方的人對於中子及質子的認定
未必須要一樣。因此楊振寧及密爾斯認為真
正的同位旋對稱應該是:
n(x)
p(x)
!
! eiw(x)
n(x)
p(x)
!
. (19)
這個式子與電磁學中的轉換(17) 非常相似,
但是卻有一個極大的不同, 那就是現在!(x)
是一個二階矩陣函數, 而不是單純的函數了。
與電磁學時的情況一樣, 我們需要協變導數
來建立適當的物理量, 因此也就需要引進類
似電磁位勢的楊-密爾斯位勢Aμ, 只不過現
在它也必須是一個矩陣, 而它的規範轉換則
需如下規定:
Aμ(x) ! eiw(x)Aμ(x)e−iw(x)
+(@μeiw(x))e−iw(x) (20)
如此與(19) 配合之後才能使協變導數@μ
−iAμ 具有良好的轉換性質。下一步所需完
成的工作就是找出在規範轉換(20) 下變換
性質良好的楊-密爾斯場, 他們的結果是:
Fμ = @rA − @ Aμ − [Aμ,A ] (21)
這個結果最值得注意的是, 與電磁場比較
起來它多出了一項不尋常的[Aμ,A ] 項。
[A,B] 的意思是AB − BA , 它的來源是
來自於二階矩陣乘法的非交換性; 用更精確
的話來說, 楊振寧及密爾斯將規範轉換由可
交換的U(1) 群推廣到不可交換的SU(2)
群。但是如果我們將楊-密爾斯場(21) 與黎
曼曲率張量(5) 比較的話, 則又會發現它們
之間驚人的相似了。然則楊-密爾斯理論也是
一種幾何學嗎?
不像廣義相對論就是黎曼幾何那樣明
顯, 楊振寧足足花了將近二十年的時間, 在與
幾何學家西蒙斯長期討論之下才找到了答案。
現在一切都很清楚了, 由於每個時空點上的
同位旋空間不必看成是一樣, 所以每個時空
點都可以有其各自的同位旋空間, 物理空間
事實上是一個向量叢, 而規範位勢Aμ 則是
其上的聯絡。另一方面, 七O 年代的物理學
家們也成功的利用規範場解釋了電弱及強作
用, 因此和重力理論一樣, 所有的基本作用都
是幾何的。當楊振寧在1975年瞭解了規範場
正是向量叢上的聯絡時, 他是深受感動的, 他
也相信如果愛因斯坦知道此事也會感到高興,
因為愛因斯坦曾多次強調, 基本場就其本性
而言必須是幾何的。大概最令楊振寧意外的
是, 纖維叢理論是他的世交摯友—中國當代
幾何學大師陳省身的畢生功業。他們二人交
情非淺, 但卻不知道對方早已在自己的領域
上作過了決定性的貢獻。因此後來楊振寧對
陳省身說「這確實令人激動和費解,你們數學
家憑空想像出了這些概念。」但陳省身當即反
駁道「不, 不, 這些概念不是憑空想像出來的,
而是自然的, 真實的。」這正是「眾裡尋它千
百度, 驀然回首, 那人卻在燈火闌珊處」。最
後我們以楊先生的一首詩作為本文的結束:
贊陳氏類
(原載(七十年代), 1983年2月)
天衣豈無縫匠心剪接成
渾然歸一體廣連妙絕倫
造化愛幾何四力纖維能
千古寸心事歐高黎嘉陳
參考文獻
1. M.Kline原著, 林炎全、洪萬生、楊康景松譯,
“數學史”, 九章出版社。
2. R. Osserman 原著, 葉李華、李國偉譯, “宇
宙的詩篇”, 天下文化。
3. 楊振寧著, “讀書教學再十年”, 時報文化。
—本文作者任教於交通大學應用數學系—
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