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物理<---> 数学小词典 - 繁星客栈- 网友原创作品集
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非微扰场论的若干模型研究--《南京大学》2013年博士论文
cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10284-1013359583.htm - 轉為繁體網頁
由 石嵩 著作 - 2013
【摘要】：量子场论是为了研究粒子物理中的亚原子粒子以及凝聚态中的准粒子而在量子力学的基础上建立的物理 ... 除此以外,我们还研究了1+2维QED的不可约表象与可约表象间的关系,由于可约表象除了有经典的U(1)规范 ... 【学位授予单位】：南京大学mathematical physics | Fight with Infinity
https://zx31415.wordpress.com/tag/mathematical-physics/
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问题：Lorentz群和Dirac旋量 - 豆瓣
www.douban.com/group/topic/40811797/
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漫谈量子物理的数学基础和当代数学物理(来自万门大... - 豆瓣
site.douban.com/204378/widget/forum/.../53108868/
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[PDF]6 波函数：实体还是信息？
blog.sciencenet.cn/home.php?mod=attachment&id...
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量子力学（乙部） 理论物理（第七册） - 数理科学图书
www.math-phy.cn/bookinfo.php?id=3892
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[DOC]一非阿贝尔规范场运动方程的规范变换必
www.nstl.gov.cn/preprint/inte.html?action=getFile&id...
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小平邦彦与超越几何 - Fight with Infinity - WordPress.com
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> 数学文献的论坛
漫谈量子物理的数学基础和当代数学物理(来自万门大...
2013-05-05 08:01:07 来自: 开膛手杰克·狄(敢同恶鬼争高下,不向霸王让寸分!)
标题： 漫谈量子物理的数学基础和当代数学物理(来自万门大学数学系的人人公共主页文章)
漫谈量子物理的数学基础和当代数学物理 1
http://page.renren.c
本系列日志旨在介绍量子物理的数学基础和当代数学物理的核心问题。内容的具体展开肯定要“包罗万象”，但是绝对是可以理解的，相关的参考资料会给出。本系列日志试图用最通俗的语言对当代数学和量子物理进行解构，指出关键方面的内在联系，降低门槛，使读者以最快的方式达到前沿。日志内容体现的作者个人的理解，如有错误也是由于作者的能力有限或者失误，和参考资料无关。转载请注明万门大学数学系。万门大学数学系不仅致力于称为中国门槛最低的最具开放性的数学系，更加倾向于学术水平最高的数学系。希望对学术有兴趣的同学尽快领略学术前沿的美景，找到自己的兴趣，开拓自己的领域。万门大学鼓励交流，鼓励分享。如果你有什么问题可以到万门数学系推荐的网站(mathoverflow,nLab,arXiv)寻找答案，肯定不会让你失望。
---------------------------------------------------------------------------
首先在数学方面给一个俯视，这一部分可能会比较抽象，难于理解，希望在以后的具体讨论中可以给出比较通俗的解释。
数学是研究模式的科学， 其基本的问题包括模式的刻画，分类，和不变量理论。对于数学采用布尔巴基的结构主义方法是十分有效的。结构数学的最终目标就是对某一类模式的完全分类（寻找模空间moduli并刻画其结构），寻找足够的不变量（模空间的坐标） 是达到目标的一个必要途径。同调和同伦论是最基本的研究方法/方法论，而这个方法论又密切联系于表示论的哲学（一切都是表示）。形变理论是达到分类目的的另一种必要方法，它把研究一个对象的方法提升到为研究和一个对象相临近的对象（微扰方法），即模空间的局部结构，这种方法就是要线性化模空间，自然这是一种同调代数的方法，形变理论可以看做是一种同调理论（参考Why deformation are cohomological，M.Anel）。 同调代数是同伦代数（形式形变formal deformation和完备化）的低级版本。传统的研究局部的方法大致有三个，由弱到强分别是局部化（代数几何），线性化（微分几何）和完备化（泰勒展开/adic 分析/resolution）。
众所周知，量子物理对现代数学产生了深刻的影响，不仅在内容上甚至在研究方法上都改变了数学，甚至改变了数学家的思维方式。现在的数学物理研究现状完全是数学和物理的深刻的融合， 比如几何朗兰兹纲领和量子规范理论中的强弱对偶性（S-duality），同调镜对称猜测和 弦理论中的靶对偶（T-duality---duality of target spaces），靶对偶 是一种“非线性对偶”，也可以理解为是弦理论中的强弱对偶，在一些低能有效场论中可能实现为S-duality. 场论中的各种对偶性为数学研究提供了大量的素材。对偶性在数学中也是到处出现， 比如傅里叶变换，霍其对偶（Hodge duality），森田对偶（Morita duality），佐竹对偶（Satake duality），类域论，弗洛比纽斯互反律等等。范畴论的产生是数学的大事，它为数学的统一提供了基本的语言，并且这种统一正在扩展到数学和物理的统一，各种各样的来自几何，代数，拓扑，甚至场论中的对偶性都可以理解为一般的对偶性的特例，即伴随函子，其最一般的形式是Kan extension。除了 S 和 T 对偶，来自物理的一种比较广泛的对偶 就是 缺陷（defect），这是场论和凝聚态物理的一种对偶性。
范畴化（categorification）是数学和物理相互影响的另一个重要范例，并且正在迅速的发展之中。如果说对偶性对于数学提供了大量的素材，那么范畴化则提供给数学以全新的世界观和方法论。比较成功的范畴化的案例就是关于扭结的Khoranov homology。
除了对偶性和范畴化之外，一个最重要的的趋势 就是数学和物理的组合化。虽然组合化没有被普遍的认识到，但是其威力正在逐渐的表现出来。组合化是一种更深深层次的统一，它深刻地联系于场论的重整化，量子相变，纠缠态，量子计算机科学，数论和非交换几何。这方面重要的工作之一体现在康瑟维奇（Kontesvich）关于形变量子化，图复形和非交换辛几何，和德林（Deligne）猜想的证明之中。还有就是康瑟维奇和马宁（Manin）关于格罗莫夫-威腾（Gromov-Witten）不变量 和拓扑共形场论（TCFT）方面的工作，再就是科恩-克雷默（Connes-Kreimer）关于重整化方面的工作。
研究代数系统的一般环境是对称张量范畴（symmetric monoidal category），研究同伦理论的一般环境是奎因（Quillen）的（闭）模型（model）范畴。而把二者完美结合起来的理论则是operadic calculus。通常的同调代数的一般环境是加法范畴或者阿贝尔范畴（additive/abelian category）以及相互之间的加法函子(additive functor)。通常的同调理论是关于加法函子的导出函子的理论，operadic algebra 及其 同调理论（operadic calculus）则是通常的同调理论的非线性推广，它可以统一同调理论， 形变理论和同伦理论。 而graphical calculus则是operadic calculus的 进一步范畴化。如果非要用一种简单的现象来类比通常的同调理论，operadic calculus 和 graphical calculus 之间的关系，那么可以这么来理解， 通常的同调理论是 对线性函数y=ax的范畴化，operadic calculus则是多项式函数y=y(x)=a_n x^n+...的范畴化，graphical calculus 是多项式映射y=(y_1(x_1,...,x_m),....,y_n(x_1,...,x_m))的范畴化，也可以称作是一种范畴化的微积分。
Graph calculus以前只是作为一种工具，但是现在我们应该认为是最基本的对象，它的另一个名字是Combinad，利用 monadic homology/cotriple homology, 我们可以对张量范畴，量子群，纽结进行resolution，定义相应的同调理论，在这么一个庞大的框架下来看已知的理论，一切都很清楚。Reshetikhin-Turaev 的量子不变量理论位于这个同调理论的第一个位置，即H^0, operadic calculus 或者Kontsevich‘s elegant theory 则位于这个同调理论的第二个位置，即H^1, Khovanov homology 同样位于第二个位置，重整化群，有效场论，量子序，纠缠态的拓扑分类也会有相应的同调解释。
---------------------------------------------------------------------------
未来的一些话题：
零维量子场论和微分几何， 拓扑量子场论，超对称场论和等变上同调，超数学和同调代数的几何化，同伦代数，BV formalism和导出代数几何，operadic 几何和operadic同调代数，经典可积和量子可积系统的数学结构，量子场论的代数结构，量子引力，重整化和重整化群，有效场论和量子相变，朗兰兹纲领和motive 理论，同调镜对称和A infinite category， 代数sigma model。
中文的参考资料主要来自中文维基百科，数学译林中的一些文章。其他主要是英文资料。英文文献越早接触越好。我们推荐的资料百分之九十五的都可以通过网络免费获得。想获得资料，大家只需利用google搜索，点击下载就可以了。国际上的学术开放程度是你无法想象的。直接登录一些大牛和专家的个人主页也是获得资料的好方法，这样还有一个好处就是理解大牛和专家的兴趣和未来的研究方向也是很有启发的。
数学物理的一些基础资料和科普读物：
中文资料：
首先是侯伯宇 和侯伯元两位先生的 [1] 物理学家用微分几何， 然后冯克勤先生的[2] 代数数论简史，[3]干丹岩先生编的代数拓扑和微分拓扑简史
李宏芳著 [4] 量子实在与“薛定谔猫佯谬”，贺龙光著 [5] 辛几何与泊松几何引论
还有就是湖南科技出版社的 第一推动丛书 系列
其他资料：
学习量子物理：
[1] Quantum fields amd Strings: A course for mathematicians, 1999,这本书AMS网站上好像可以下载。
[2]Anthony Sudbery,Quantum mechanics and the particles of nature, 1986, Cambridge university press.
[3] 文小刚，量子多体理论：从声子的起源到光子和电子的起源，高等教育出版社，2004
[4] Louis H.Kauffman, Knots and physics, World Scientific, 2000. 不推荐低年级初学者学习，但可以当字典查。
------------------------------------------------------------------
学习李代数和表示论：
[1] Symmetries, Lie algebras and representations: a graduate course for physicists, Jurgen Fuchs Christoph Schweigert, Cambridge university press .
[2] Lie group, Daniel Bump, Springer.
[3] Lie groups, Lie algebras, cohomology and some applications in physics, Cambridge university press.
学习代数几何和复几何：
[1] Complex geometry, An introduction, Daniel Huybrechts,
[2] The geometry of scheme, David Eisenbud, Joe Harris,
[3] An introduction to families, deformations and moduli,TE Venkata Balaji - 2010,
[4] Introduction to Shimura variety, J.S Milne,2004, 他的主页有很多其他非常好的资料。
[5] 曹怀东和周坚，DGBV algebra and Mirror symmetry, 2001.
Supersymmetries in Calabi-Yau geometry, 2005.
[6] Claire.Voisin, Hodge theory and complex algebraic geometry I and II, 2002.
[7] Mathoverflow, Best algebraic geometry text book?(other than Hartshorne)
[8] nLab, Books in algebraic geometry.
[9] Vincent Bouchard, Lectures on complex geometry, Calabi-Yau manifolds and toric geometry, arXiv:hep-th/0702063,2007
[10] B.Barannikov and M.Kontsevich, Frobenius manifolds and formality of Lie algebra of polyvector fields, 1998.
[11] Yu.I.Manin, Three constructions of Frobenius manifolds: a comparative study, 1998.
------------------------------------------------------------------
关于BV formalism的一些初级资料：
[1] Owen Gwillian and Theo Johnson Freyd， How to derive Feynman diagrams for finite dimensional integrals directly from the BV formalism, February 9,2012.
[2]Theo Johnson Freyd, Homological perturbation theory for nonperturbation integrals, November 13,2012.
[3] Andrei Losev, From Berezin integral to Batalin-Vilkovisky formalism: a mathematical physist's point of view, Apr 2007.
[4] C.Albert, B.Bleile and J.Frohlich, Batalin-Vilkovisky integrals in finite dimensions,2010.
[5] D.Fiorenza, An introduction to the Batalin-Vilkoviky formalism,2003
[6] E.Witten, A note on the antibracket formalism,1990.
[7] J.Stasheff, The (secret?) homological algebra of the Batalin-Vilkovisky approach, 1997.
[8] M.Polyak, Feynman diagrams for pedestrians and mathematicians, 2005.
[9] A.S.Schwarz, Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization,1993.
[10] Urs Schreiber, Integration over supermanifolds, May 14,2008.
[11] Claude Roger, Gerstanhaber and Batalin-Vilkovisky algebra,2009.
[12] Jian Qiu and Maxim Zabzine, odd Chern-Simons theory, Lie algebar cohomology and characteristic class,2010.
[13] Jian Qiu and Maxim Zabine, Introduction to graded geometry, Batalin-Vilkovisky formalism and their applications, 2011.
--------------------------------------------------------------
关于operadic calculus 和 homotopy calculus的基本资料：
[1] Martin Markl, Steve Shnider and Jim Stasheff, Operads in algebra, topology and physics, American Mathematical Society 2002. 书中有部分错误，但是不妨碍阅读。
[2] J-L. Loday and B.Valette, Algebraic operad, webdraft, 2012.
[3] B.Valette, Algebra+homotopy=operad，2012，
[4] Benoit Fresse, Modules over operads and functors, 2008.
[5] Benoit Fresse,Homotopy of Operads and Grothendieck-Teichmüller Groups, 2012.
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关于可积系统 的资料：
[1] Y. Ohta ...., An elementary introduction to Sato theory,1998
[2] O.Bablean,Introduction to classical integrable system
[3] O.Bablean, A short introduction to classical and quantum integrable system
[4] Fiona Druitt, Hirota's direct method and Saito's formalism in soliton theory, 2005.
[5] 周坚， Introduction to polynimial functions, 2003, 可到他的主页下载
[6]Andrew R. Hodge,Motohico Mulase,Hitchin integrable systems, deformations of spectral curves, and KP-type equations, arXiv:arXiv:0801.0015.
------------------------------------------------------------------------------------------------
数学译林系列：
【1】M.F.Atiyah， 数学的统一性
【2】H.P.F.Swinnerton-Dyer， Hodge 理论大纲。
【3】 V.G.Drinfel'd， 量子群（上，下），
【4】Karen Uhlenbeck， 瞬子及其近亲，
【5】神保道夫， Yang-Baxter 方程简介，
【6】浪川幸彦， 几何学中的新维数----以数学的新的统一为目标，
【7】Yuri.Ivanovich Manin, Vladimir Drinfeld的工作介绍，
【8】Samuel Eilenberg，代数拓扑学，
【9】Yu.I.Manin, Hilbert 第15问题，
【10】I.R.Shafarevich，交换数学和非交换数学，
【11】 Alain Connes， 循环上同调与非交换微分几何，
【12】 代数几何
【13】Poisson 结构
【14】A .C Hirshfeld, Peter Henselder, 量子力学教学中的形变量子化
【15】Raoul Bott， 拓扑对分析的影响
【16】 Anthony W。Knapp， 群表示与调和分析---从Euler 到 Langlands
【17】 Rudolf Schmid， 弦，扭结和量子群：1990年 三位Fields奖章获得者工作一览
【18】R.Bott , 关于新老Morse理论的讲演
【19】F.E.Browder， 当代数学问题（I,II,III）
【20】B.Srunivasan， 有限群的特征标及其应用
【21】 A.Trautman, 规范场的几何
【22】M.F.Atiyah， 辛几何中的矩映射
【23】M.F.Atiyah， Yang-Mills 方程与四维流形的结构
【24】M.F.Atiyah， 量子理论与几何学
【25】Louise Dolan， 物理学的航标：Kac-Moody 对称
【26】R.Bott， 不可征服的Morse理论
【27】V.F.R.Jones, 一个新的扭结多项式与von Neumann 代数
【28】M.Kreck 四维流形上的怪异结构
【29】M.Goresky，R.MacPherson， 分层Morse理论
【30】R.J.Stern， 规范理论作为低维拓扑学者的工具
【31】 Saunders Mac Lane， 45年来的群扩张。
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本系列日志旨在介绍量子物理的数学基础和当代数学物理的核心问题。内容的具体展开肯定要“包罗万象”，但是绝对是可以理解的，相关的参考资料会给出。本系列日志试图用最通俗的语言对当代数学和量子物理进行解构，指出关键方面的内在联系，降低门槛，使读者以最快的方式达到前沿。日志内容体现的作者个人的理解，如有错误也是由于作者的能力有限或者失误，和参考资料无关。转载请注明万门大学数学系。万门大学数学系不仅致力于称为中国门槛最低的最具开放性的数学系，更加倾向于学术水平最高的数学系。希望对学术有兴趣的同学尽快领略学术前沿的美景，找到自己的兴趣，开拓自己的领域。万门大学鼓励交流，鼓励分享。如果你有什么问题可以到万门数学系推荐的网站(mathoverflow,nLab,arXiv)寻找答案，肯定不会让你失望。
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首先在数学方面给一个俯视，这一部分可能会比较抽象，难于理解，希望在以后的具体讨论中可以给出比较通俗的解释。
数学是研究模式的科学， 其基本的问题包括模式的刻画，分类，和不变量理论。对于数学采用布尔巴基的结构主义方法是十分有效的。结构数学的最终目标就是对某一类模式的完全分类（寻找模空间moduli并刻画其结构），寻找足够的不变量（模空间的坐标） 是达到目标的一个必要途径。同调和同伦论是最基本的研究方法/方法论，而这个方法论又密切联系于表示论的哲学（一切都是表示）。形变理论是达到分类目的的另一种必要方法，它把研究一个对象的方法提升到为研究和一个对象相临近的对象（微扰方法），即模空间的局部结构，这种方法就是要线性化模空间，自然这是一种同调代数的方法，形变理论可以看做是一种同调理论（参考Why deformation are cohomological，M.Anel）。 同调代数是同伦代数（形式形变formal deformation和完备化）的低级版本。传统的研究局部的方法大致有三个，由弱到强分别是局部化（代数几何），线性化（微分几何）和完备化（泰勒展开/adic 分析/resolution）。
众所周知，量子物理对现代数学产生了深刻的影响，不仅在内容上甚至在研究方法上都改变了数学，甚至改变了数学家的思维方式。现在的数学物理研究现状完全是数学和物理的深刻的融合， 比如几何朗兰兹纲领和量子规范理论中的强弱对偶性（S-duality），同调镜对称猜测和 弦理论中的靶对偶（T-duality---duality of target spaces），靶对偶 是一种“非线性对偶”，也可以理解为是弦理论中的强弱对偶，在一些低能有效场论中可能实现为S-duality. 场论中的各种对偶性为数学研究提供了大量的素材。对偶性在数学中也是到处出现， 比如傅里叶变换，霍其对偶（Hodge duality），森田对偶（Morita duality），佐竹对偶（Satake duality），类域论，弗洛比纽斯互反律等等。范畴论的产生是数学的大事，它为数学的统一提供了基本的语言，并且这种统一正在扩展到数学和物理的统一，各种各样的来自几何，代数，拓扑，甚至场论中的对偶性都可以理解为一般的对偶性的特例，即伴随函子，其最一般的形式是Kan extension。除了 S 和 T 对偶，来自物理的一种比较广泛的对偶 就是 缺陷（defect），这是场论和凝聚态物理的一种对偶性。
范畴化（categorification）是数学和物理相互影响的另一个重要范例，并且正在迅速的发展之中。如果说对偶性对于数学提供了大量的素材，那么范畴化则提供给数学以全新的世界观和方法论。比较成功的范畴化的案例就是关于扭结的Khoranov homology。
除了对偶性和范畴化之外，一个最重要的的趋势 就是数学和物理的组合化。虽然组合化没有被普遍的认识到，但是其威力正在逐渐的表现出来。组合化是一种更深深层次的统一，它深刻地联系于场论的重整化，量子相变，纠缠态，量子计算机科学，数论和非交换几何。这方面重要的工作之一体现在康瑟维奇（Kontesvich）关于形变量子化，图复形和非交换辛几何，和德林（Deligne）猜想的证明之中。还有就是康瑟维奇和马宁（Manin）关于格罗莫夫-威腾（Gromov-Witten）不变量 和拓扑共形场论（TCFT）方面的工作，再就是科恩-克雷默（Connes-Kreimer）关于重整化方面的工作。
研究代数系统的一般环境是对称张量范畴（symmetric monoidal category），研究同伦理论的一般环境是奎因（Quillen）的（闭）模型（model）范畴。而把二者完美结合起来的理论则是operadic calculus。通常的同调代数的一般环境是加法范畴或者阿贝尔范畴（additive/abelian category）以及相互之间的加法函子(additive functor)。通常的同调理论是关于加法函子的导出函子的理论，operadic algebra 及其 同调理论（operadic calculus）则是通常的同调理论的非线性推广，它可以统一同调理论， 形变理论和同伦理论。 而graphical calculus则是operadic calculus的 进一步范畴化。如果非要用一种简单的现象来类比通常的同调理论，operadic calculus 和 graphical calculus 之间的关系，那么可以这么来理解， 通常的同调理论是 对线性函数y=ax的范畴化，operadic calculus则是多项式函数y=y(x)=a_n x^n+...的范畴化，graphical calculus 是多项式映射y=(y_1(x_1,...,x_m),....,y_n(x_1,...,x_m))的范畴化，也可以称作是一种范畴化的微积分。
Graph calculus以前只是作为一种工具，但是现在我们应该认为是最基本的对象，它的另一个名字是Combinad，利用 monadic homology/cotriple homology, 我们可以对张量范畴，量子群，纽结进行resolution，定义相应的同调理论，在这么一个庞大的框架下来看已知的理论，一切都很清楚。Reshetikhin-Turaev 的量子不变量理论位于这个同调理论的第一个位置，即H^0, operadic calculus 或者Kontsevich‘s elegant theory 则位于这个同调理论的第二个位置，即H^1, Khovanov homology 同样位于第二个位置，重整化群，有效场论，量子序，纠缠态的拓扑分类也会有相应的同调解释。
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未来的一些话题：
零维量子场论和微分几何， 拓扑量子场论，超对称场论和等变上同调，超数学和同调代数的几何化，同伦代数，BV formalism和导出代数几何，operadic 几何和operadic同调代数，经典可积和量子可积系统的数学结构，量子场论的代数结构，量子引力，重整化和重整化群，有效场论和量子相变，朗兰兹纲领和motive 理论，同调镜对称和A infinite category， 代数sigma model。
中文的参考资料主要来自中文维基百科，数学译林中的一些文章。其他主要是英文资料。英文文献越早接触越好。我们推荐的资料百分之九十五的都可以通过网络免费获得。想获得资料，大家只需利用google搜索，点击下载就可以了。国际上的学术开放程度是你无法想象的。直接登录一些大牛和专家的个人主页也是获得资料的好方法，这样还有一个好处就是理解大牛和专家的兴趣和未来的研究方向也是很有启发的。
数学物理的一些基础资料和科普读物：
中文资料：
首先是侯伯宇 和侯伯元两位先生的 [1] 物理学家用微分几何， 然后冯克勤先生的[2] 代数数论简史，[3]干丹岩先生编的代数拓扑和微分拓扑简史
李宏芳著 [4] 量子实在与“薛定谔猫佯谬”，贺龙光著 [5] 辛几何与泊松几何引论
还有就是湖南科技出版社的 第一推动丛书 系列
其他资料：
学习量子物理：
[1] Quantum fields amd Strings: A course for mathematicians, 1999,这本书AMS网站上好像可以下载。
[2]Anthony Sudbery,Quantum mechanics and the particles of nature, 1986, Cambridge university press.
[3] 文小刚，量子多体理论：从声子的起源到光子和电子的起源，高等教育出版社，2004
[4] Louis H.Kauffman, Knots and physics, World Scientific, 2000. 不推荐低年级初学者学习，但可以当字典查。
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学习李代数和表示论：
[1] Symmetries, Lie algebras and representations: a graduate course for physicists, Jurgen Fuchs Christoph Schweigert, Cambridge university press .
[2] Lie group, Daniel Bump, Springer.
[3] Lie groups, Lie algebras, cohomology and some applications in physics, Cambridge university press.
学习代数几何和复几何：
[1] Complex geometry, An introduction, Daniel Huybrechts,
[2] The geometry of scheme, David Eisenbud, Joe Harris,
[3] An introduction to families, deformations and moduli,TE Venkata Balaji - 2010,
[4] Introduction to Shimura variety, J.S Milne,2004, 他的主页有很多其他非常好的资料。
[5] 曹怀东和周坚，DGBV algebra and Mirror symmetry, 2001.
Supersymmetries in Calabi-Yau geometry, 2005.
[6] Claire.Voisin, Hodge theory and complex algebraic geometry I and II, 2002.
[7] Mathoverflow, Best algebraic geometry text book?(other than Hartshorne)
[8] nLab, Books in algebraic geometry.
[9] Vincent Bouchard, Lectures on complex geometry, Calabi-Yau manifolds and toric geometry, arXiv:hep-th/0702063,2007
[10] B.Barannikov and M.Kontsevich, Frobenius manifolds and formality of Lie algebra of polyvector fields, 1998.
[11] Yu.I.Manin, Three constructions of Frobenius manifolds: a comparative study, 1998.
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关于BV formalism的一些初级资料：
[1] Owen Gwillian and Theo Johnson Freyd， How to derive Feynman diagrams for finite dimensional integrals directly from the BV formalism, February 9,2012.
[2]Theo Johnson Freyd, Homological perturbation theory for nonperturbation integrals, November 13,2012.
[3] Andrei Losev, From Berezin integral to Batalin-Vilkovisky formalism: a mathematical physist's point of view, Apr 2007.
[4] C.Albert, B.Bleile and J.Frohlich, Batalin-Vilkovisky integrals in finite dimensions,2010.
[5] D.Fiorenza, An introduction to the Batalin-Vilkoviky formalism,2003
[6] E.Witten, A note on the antibracket formalism,1990.
[7] J.Stasheff, The (secret?) homological algebra of the Batalin-Vilkovisky approach, 1997.
[8] M.Polyak, Feynman diagrams for pedestrians and mathematicians, 2005.
[9] A.S.Schwarz, Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization,1993.
[10] Urs Schreiber, Integration over supermanifolds, May 14,2008.
[11] Claude Roger, Gerstanhaber and Batalin-Vilkovisky algebra,2009.
[12] Jian Qiu and Maxim Zabzine, odd Chern-Simons theory, Lie algebar cohomology and characteristic class,2010.
[13] Jian Qiu and Maxim Zabine, Introduction to graded geometry, Batalin-Vilkovisky formalism and their applications, 2011.
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关于operadic calculus 和 homotopy calculus的基本资料：
[1] Martin Markl, Steve Shnider and Jim Stasheff, Operads in algebra, topology and physics, American Mathematical Society 2002. 书中有部分错误，但是不妨碍阅读。
[2] J-L. Loday and B.Valette, Algebraic operad, webdraft, 2012.
[3] B.Valette, Algebra+homotopy=operad，2012，
[4] Benoit Fresse, Modules over operads and functors, 2008.
[5] Benoit Fresse,Homotopy of Operads and Grothendieck-Teichmüller Groups, 2012.
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关于可积系统 的资料：
[1] Y. Ohta ...., An elementary introduction to Sato theory,1998
[2] O.Bablean,Introduction to classical integrable system
[3] O.Bablean, A short introduction to classical and quantum integrable system
[4] Fiona Druitt, Hirota's direct method and Saito's formalism in soliton theory, 2005.
[5] 周坚， Introduction to polynimial functions, 2003, 可到他的主页下载
[6]Andrew R. Hodge,Motohico Mulase,Hitchin integrable systems, deformations of spectral curves, and KP-type equations, arXiv:arXiv:0801.0015.
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数学译林系列：
【1】M.F.Atiyah， 数学的统一性
【2】H.P.F.Swinnerton-Dyer， Hodge 理论大纲。
【3】 V.G.Drinfel'd， 量子群（上，下），
【4】Karen Uhlenbeck， 瞬子及其近亲，
【5】神保道夫， Yang-Baxter 方程简介，
【6】浪川幸彦， 几何学中的新维数----以数学的新的统一为目标，
【7】Yuri.Ivanovich Manin, Vladimir Drinfeld的工作介绍，
【8】Samuel Eilenberg，代数拓扑学，
【9】Yu.I.Manin, Hilbert 第15问题，
【10】I.R.Shafarevich，交换数学和非交换数学，
【11】 Alain Connes， 循环上同调与非交换微分几何，
【12】 代数几何
【13】Poisson 结构
【14】A .C Hirshfeld, Peter Henselder, 量子力学教学中的形变量子化
【15】Raoul Bott， 拓扑对分析的影响
【16】 Anthony W。Knapp， 群表示与调和分析---从Euler 到 Langlands
【17】 Rudolf Schmid， 弦，扭结和量子群：1990年 三位Fields奖章获得者工作一览
【18】R.Bott , 关于新老Morse理论的讲演
【19】F.E.Browder， 当代数学问题（I,II,III）
【20】B.Srunivasan， 有限群的特征标及其应用
【21】 A.Trautman, 规范场的几何
【22】M.F.Atiyah， 辛几何中的矩映射
【23】M.F.Atiyah， Yang-Mills 方程与四维流形的结构
【24】M.F.Atiyah， 量子理论与几何学
【25】Louise Dolan， 物理学的航标：Kac-Moody 对称
【26】R.Bott， 不可征服的Morse理论
【27】V.F.R.Jones, 一个新的扭结多项式与von Neumann 代数
【28】M.Kreck 四维流形上的怪异结构
【29】M.Goresky，R.MacPherson， 分层Morse理论
【30】R.J.Stern， 规范理论作为低维拓扑学者的工具
【31】 Saunders Mac Lane， 45年来的群扩张。
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零维量子场论和微分几何
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De Rham 上同调理论， 莫尔斯理论和威腾形变 可以理解为零维的费米超对称量子场论。一维的超对称量子场论（超对称量子力学）的BPS sector 可以等同于零维的费米量子场论应的场论解。有理同伦论，Adams-Chen 定理和弦拓扑有相相应的场论解释。零维的规范量子理论就是矩阵积分理论，和可积系统，两维拓扑引力，无穷维格拉斯曼流形的几何密切相关。
推荐读物：
[1] 张伟平， Lectures on Chern-Weil theory and Witten deformations, World Scientific ,2001.
[2] E.Witten, Supersymmetry and Morse theory, 1982.
[3] 虞言林， 指标定理和热方程， 上海科技出版社 1996.
[4] 忻元龙，调和映照，上海科学技术出版社，1995.
[5] M.F.Atiyah， Geometry of Yang-Mills field, 1979.
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[9] Victor W.Guillemin, Shlomo Sternberg, Supersymmetry and equivariant de Rham theory, Springer 1999.
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[11] D.S.Freed, Five lectures on supersymmetry, AMS, 1999.
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微分几何是大家都熟知的一个数学分支，它融合了线性代数，代数拓扑和偏微分方程甚至测度论来研究空间的非线性结构和众多的数学分支产生联系。从数学物理的角度来理解微分几何则会给我们带来新的世界观。注意的我们的讨论不受物理的限制，但我们谈到量子物理的时候，我们指的是所有可能的量子理论或者量子场论，我们的现实只是用无限多种量子场论中的一种来描述。
众所周知，现实已知的量子粒子按照它们满足的统计规则可以分为两类，一类是波色子，满足爱因斯坦-波色统计，我们称之为相互作用粒子或者信使粒子，比如光子，是电磁场（规范场）量子，另一类是费米子，满足费米-狄拉克统计（泡利不相容原理），我们称之为物质粒子，如质子，电子等，它们是狄拉克场（物质场）的场量子。这种分类和按照自旋的分类是一致的，量子场论的幺正性给出自旋和统计的关联。比如波色子是整数自旋的粒子，费米子是半整数自旋的粒子。粒子的这种基于自旋-统计关联的分类和时空的维数，对称性有关。在不同的时空维数和对称性的要求下，自旋和统计的关联会有不同的形式。比如在两维时空的量子场论或者凝聚态物理中会出来任意子（anyon），它们可能在量子计算机或者拓扑量子计算机理论中有重要应用。
学过量子力学的同学都知道，单粒子的态空间是一个希尔伯特空间，量子场的态空间则是单粒子态空间任意张量积的直和空间，称为弗克空间（Fock space）。由于量子粒子的不可区分性和统计约束，对弗克空间给出了约束，简单讲就是波色量子场的弗克空间是其单粒子态空间的任意对称张量积的直和空间，费米量子场的弗克空间是其单粒子态空间的任意反对称张量积的直和。
对于数学系的学生，可以这样解释 设 H是一个单粒子态空间，如果粒子是波色子，那么弗克空间就是H上的对称张量全体或者H上的多项式全体或者H自由生成的交换结合代数。如果粒子是费米子，那么弗克空间就是H上的反对称张量全体或者H上的外多项式全体或者H自由生成的反交换结合代数/格拉斯曼代数。当H是无穷维的时候，波色弗克空间和费米弗克空间有一个同构，这就是波色-费米对应的一个版本。波色-费米对应是一个有用的计算工具，在可积系统，顶点算子代数（VOA），两维共形场论，卡茨穆迪李代数及相关的无穷维李代数的表示理论中都有重要应用。在以后我们会更加详细的讨论这个现象，与之相关的两个数学构造就是超对称 和柯歇尔（Koszul）对偶。我希望从量子物理和量子场论的角度导出所有的经典数学！经典数学里的绝大多数的重要构造都是量子场论的一个特殊推论！H是无穷维是一个和重要的数学条件，一个原因就是在无穷维的情况下，对称张量代数同构于对称多项式函数构成的代数。而对称多项式代数有一组自然的基底，那就是杨图（Yang）或者舒尔（schur ）函数。所以量子场论和组合学有天然的联系。自由的量子场论和经典可积系统 （孤子理论）的联系也是天然的。超对称的自由量子场论和代数同伦论和同调代数也有天然的的联系。事实上，物理学家已经用他们的鬼场（ghost field）和反场（antifield）技术重新发现了同调代数，代数同伦论，表示论等等几乎所有的经典数学结构，这些技术已经被集成为一个机制：BV formalism。
下面我们回到正题讨论一下超对称和零维的量子场论。
量子场论通常都有一个经典场论与之对应，量子场论通常是把经典场论通过所谓的量子化手续而得到。如何严格的定义量子化是一个非常重要的问题。尽管没有严格的定义，但是并不妨碍让大家理解量子化大致是怎么一回事。物理学家所说的经典场，其实就是函数或者映射之类的东西，场的定义域称为时空，注意的是在一个理论中并不是所有种类的场都有相同的时空或者说有相同的定义域，比如标量场就是普通流形（时空）或者底流形上的标量函数或者矢量函数或者平凡綫丛或者平凡向量丛的截面或者从时空到一个线性空间的映射，标量场并不一定是只有一个分量的函数，向量函数也有可能是标量场，这种数学家和物理学家术语的不一致性对初学者可能会导致一些混乱。旋量场或者狄拉克场就是旋量丛的截面，张量场就是张量丛的截面，规范场比较复杂它不是定义在时空上某种丛的截面，其定义域是在主丛上，但是它可以利用底流形（时空）上的G-标架场给出定域的表示，这就是所谓的联络，其中G是主丛的结构群，表征的是规范场的内部对称性。所以数学家所说的（主丛上的）联络就是物理学家的规范场或者叫做规范势，联络的水平导数是曲率，反映的是联络的可积性障碍，也是底流形微分同胚群的第二阶上同调群中的元素，物理学家通常称曲率为规范场强。 现在认为联络是基本的物理场，或者说规范势是比规范场强更基本的对象，这种观点的依据来自于对于A-B效应的认识，联络在反映场的大范围性质方面或者非平凡的边界条件下的行为也会有更好的表现，对于数学物理而言，联络对于曲率的重要性和基本性更是明显，例子就是拓扑规范量子场论，特别是陈-西蒙斯理论。联络在拓扑绝缘体，凝聚态，量子反常的研究中都是非常重要的。 注意区分物理学家对于标量，矢量，旋量和张量等术语的使用和数学家有所不同。物理学家通常固定一个伪黎曼流形（时空）来讨论问题，时空的局部对称性是用洛伦兹群来刻画，物理学家所谓的标量，矢量，旋量和张量等等就是按照该场量在洛伦兹群的表示来分类的，通常是用自旋来分类，标量，矢量，旋量和张量分别对应于自旋0,1，半整数和整数，这种分类是根据场量的时空对称性或者外部对称性来分类的。注意场和粒子的分类可以从各个角度来进行，依据某一标准作出某一分类总是为了区分物理上的不同事实。我们这里的情况不会涉及这么复杂。我们考虑的是数学上的场论， 它的的名字叫做西格玛模型（sigma model）。
我们给定两个流形X 和Y，它们可以装载一个几何结构，比如度量，复结构，辛结构甚至泊松代数等等，X称为源空间，Y称为靶空间，它们可以分别得带有一些对称性，所谓的经典场就是某一类从X到Y的映射f：X---》Y，经典场的全体我们叫做历史空间（history），它当然是一个集合，但是我们通常认为它有一定的几何或者拓扑结构甚至可以在上面作分析，这些结构可以从X和Y自然地诱导出来,当对称性很重要的时候，还要考虑历史空间上从X，Y诱导的对称性或者其他的规范对称性。X空间的物理意义是表征场的时空或者外部自由度，Y表示的场的内部自由度。当然外部和内部的区分在这里没有绝对的意义，完全取决于我们的立场和角度。如果X的维数为 n，Y的维数为 m，我们可以称我们要定义的场论为（n，m）维场论， 标题中的零维量子场论就是指 n=0。利用维数我们可以对场论进行粗略的分类。最好举一些例子说明问题：
当X是实数空间R，Y是一个（伪）黎曼流形的时候，我们可以解释X为一个点粒子的世界线，这个时候一个场就是一个映射r:X----->Y,这个场的物理意义就是这个点粒子在Y空间中的运动轨迹或者说是一个历史，R上坐标可以认为是点粒子的时间坐标。历史空间就是自由道路空间（free path space or free loop space）（或者是某一类子空间，和边界条件等等有关）。对这样的场论量子化之后得到的理论就是所谓的量子力学，所以量子力学就是一维的量子场论。从这种观点来看，量子力学是关于点粒子的量子物理。
当X是一个柱面或者带子的时候，Y是（伪）黎曼流形或者是卡拉比-丘流形或者其他空间的时候，我们可以认为这个场论描述的是一个闭或者开弦在Y空间中的物理，X有两个自由度，一个是弦自身的自由度，一个自由度是弦的时间，通常称X为弦的世界面。同样的一个场就是一个映射r:X------>Y,这个场的物理意义就是一个弦在空间Y中的运动轨迹或者历史。历史空间就是双道路空间（double loop space）。对这样的场论量子化之后得到的理论就是弦理论。弦理论就是就是关于弦的量子物理。
在以上两种情形，对于数学物理中的场论，Y的维数不是很重要，所以通常省略，而只用X的维数来指称场论的维数。
同样的方式我们可以”定义“任意p+1（X的）维数的理论，X表示的是p 维膜的世界线/体。这样的场论可以称之为关于p膜的量子物理。
当X是零维的时候，也就是在没有时间的点粒子的时候，得到的量子物理就是代数几何或者微分几何。量子场论的输出项是关联函数，这种场论的输出就是相交上同调之类的理论。
其实这样的一个图像，数学系的学生都是熟悉的。在代数拓扑的单纯奇异同调理论中，就是这样一个西格玛模型的图像。有人可能会认为这样说很牵强，但是到后来我们会做适当的包装，那个时候我们就是梦想成真。
所以在数学物理中场论完全是一种世界观或者哲学，如果说集合论，逻辑学，范畴论是数学中关于本体的世界观，那么场论则是一种关于方法的世界观，我们可以用场论的思维去做猜测，然后严格的证明。场论是一种关于如何创造理论的世界观。在这种广义的场论哲学下，物理和拓扑，微分几何，代数几何等等众多分支联系起来，统一起来，这就是哲学的威力。
但是这里有一些问题，主要是数学上的困难，那就是场论所涉及的历史空间通常是无穷维的，如何从无穷维的对象中提取有用的信息就是最重要的问题，解决了这样的问题才会让我们的哲学不至于成为空想。如何落实这种哲学是数学物理的主要目标。
为了定义一个经典场论，我们还需要一个作用量S=S（f）它是用来定义和约束经典场的运动学和动力学特性的量，通常要求是局部的，通常是一个定义在X上的积分泛函，但我们更倾向于它是定义在历史空间上的函数，最好是莫尔斯（Mores）函数，其实在现代的数学物理中场论的很大一类数学应用都是通过莫尔斯理论来得到。明确德拉姆理论解释超对称和用超对称场论来理解莫尔斯理论是天才威腾对数学物理的最重要贡献。这个日志的目的也是想向大家解释威腾对于数学物理的贡献。 对作用量变分取临界点可以得到对经典场的动力学约束即欧拉-拉格朗日方程，通常是X上的微分方程。作用量是一个定义在历史空间上函数，其临界点全体构成的空间经典场的模空间（moduli），或者说其中的元素满足拉格朗日方程 或者在壳（qiao）（on shell），历史空间中不在模空间的点称为是不在壳（off shell). 这样一个框架实际上是微分几何中调和映照的推广。所以经典场论的数学结构就是一个变分问题或者是历史空间上的莫尔斯理论。经典场的模空间也叫做经典相空间，
由于起源于一个变分问题， 当作用量是非退化的时候，某种意义上就是莫尔斯函数，经典相空间或者 on shell 上会由变分结构诱导一个自然的辛结构，这就产生了所谓的哈密尔顿力学系统。如果我们认为度规定义了长度，那么辛结构则定义了什么是”面积“，但是这种面积不是通过某种长度定义的。还有这样的说法，就是复结构定义了什么是“形状”或者说“角度”。这种说法在某种意义上是对的，特别的基于这样一个事实，就是在凯勒几何中任意两种结构都完全确定第三种几何。当人们试图用统一的观点去理解什么是几何，或者说当人们试图找到各种“几何”背后更深刻的联系的时候，比如如何从几何的角度理解 镜对称，以上的说法则代表了这种努力，但绝对不是人们最满意的答案，因为镜对称到底是否存在，为什么存在还是不清楚的。康瑟维奇的同调镜像对称猜想则是从更深的的层次上或者更大的背景下来看待所谓的镜对称，这个背景就是 形变理论deformation theory。形变理论是一种很好的哲学，它可以解释很多现象，比如牛顿力学和狭义相对论的关系可以理解为一种形变，光速是形变参数，经典力学到量子力学可以理解为一种形变，普朗克常量/温度/关联系数是形变参数，量子力学到弦理论是一种形变，形变参数是弦的内蕴尺度和弹性系数，重整化也可以在形变理论的框架下来看。同调镜对称猜想说的是一个凯勒流形或者卡拉比-丘流形上存在两个自然的形变理论，这两个形变理论存在一个自然的等价，这个等价的原因可能来自流形本身的某种“伦型”或者某种可能存在的非线性“motive”。一个理论涉及到复结构的形变，其理论的结果是要产生一个A infinite category（虽然称作category 但大多数情况不是），某种意义上可以理解为是loop space上的导出范畴，一个理论涉及到辛结构的形变，其理论的结果是要产生另外一个A infinite category，称作福卡亚范畴，它是莫尔斯理论的范畴化或者是double loop space上的莫尔斯理论，辛结构相当于莫尔斯函数。如果同调镜像对称真的存在的话，或许可以从范畴化的角度这样理解：水平范畴化和垂直范畴化是可以交换的。既然有人想了解更多，可以多说一点。大家都知道威腾通过超对称量子力学方法引入威腾形变，借助Hodge理论，证明了德拉姆上同调和莫尔斯-witten上同调的同构，这个同构在配分函数的level上就是阿提亚辛格指标定理。当然，现在人们不用场论的方法也可以直接证明这两个同调的等价性而且更简单。这个东西和同调镜对称的为什么会有关系呢。如前面所说，辛拓扑（辛几何的不变量理论）的一种版本可以理解为double loop space上的 “莫尔斯理论（floer theory/topological close/open string theory）”。福卡亚范畴某种意义上可以理解为莫尔斯理论的“范畴化”，范畴化我们是在一种比较松散的意义上使用。最近的进展，可以看arXiv:1201.6454.在复的方面比较重要的进展可以说是arXiv：math/0412149（推广了德林猜想）. 镜对称猜想本来来自于弦理论（T/target duality),说的是两个不同但是”对偶“靶空间上的弦理论的等价性。 数学上的 同调镜对称是对物理场论的对偶思想的推广或者简化或者演绎。如果非要用场论的语言来说的话就是两个不同但是”对偶“或者几何镜对称的靶空间上的有效场论或者拓扑sector 的等价性。这种有效场论或者拓扑sector 通常称为拓扑共形场论。拓扑共形场论（TCFT）是一个非常庞大的代数系统，costello证明TCFT等价于Calabi-Yau A-infinite category。对于数学家来说可以把TCFT理解为一种广义的上同调理论，通常的上同调理论可以认为是零维的量子场论或者一维的超对称场论或者一维的拓扑场论。TCFT本质上是拓扑弦理论，弦是一个一维的对象，它的世界面是两维的，它的拓扑场论就是两维拓扑场论，弦可以认为是点粒子的范畴化，一维拓扑量子场论的范畴化就是两维拓扑场论。这是从“物理角度”给出的范畴化的“一种”解释。从这个意义上说，TCFT是通常的上同调理论的范畴化。从同伦论的观点来看，通常的上同调对应的是一维的阿贝群的分类空间（Z，S^1，R 等的分类空间），TCFT或者弦理论对应的是两维的阿贝尔群的分类空间，我们知道椭圆曲线就是两维的，所谓它所对应的上同调称作椭圆上同调，椭圆亏格等等概念对于数学家来说可以认为就是这么来的。想了解更多细节的同学可以同google ，nLab, mathoverfolw 等网站获得更多信息或者到arXiv下载文章。
补充一点范畴化的东西，主要从数学上来讲，具体到nlab 有很详细的论述。
注意到范畴具有“两个自由度”，object level and morphism level，范畴化可以简单理解为就是增加自由度，水平范畴化就是在object level上的推广，垂直范畴化就是在morphism level上的推广，它们的逆过程相对好理解，就是忘掉一些自由度
水平范畴化（horizontal categorification）： 例子就是把一个群看成只有一个对象的群胚，把一个结合代数看成是一个只有一个对象的阿贝尔范畴，这种“观念” 就叫做水平范畴化。 更加一般的说法就是范畴是monoid的水平范畴化，阿贝尔范畴就是结合代数的水平范畴化，李代数胚（lie algebroid）就是李代数的范畴化，lie groupoid 就是李群的范畴化，道路群胚是基本群的范畴化，水平范畴化可以看做是多对象化，从这个意义上可以认为量子场论（对粒子系统）是量子力学（单粒子系统）的水平范畴化
垂直范畴化也有人称是代数范畴化：只含一个对象的张量范畴就是monoid的垂直范畴化，一个张量范畴是他的K环或者格罗腾迪克环的垂直范畴化，一个阿贝尔范畴是它的K群的垂直范畴化
水平范畴化的逆过程就是忘掉它的object level上的结构，对一个范畴取它的范畴代数就是水平范畴化的逆过程，范畴代数是群代数的直接推广。 垂直范畴化就是忘掉morphism level上的结构，取K群的例子就是。
当然还有其他各种类型的范畴化方法，很难系统的归类，比如对一个群或者结合代数 取它的表示范畴也是一种常见的范畴化，范畴化之后信息应该只会增多不会减少，在这个例子就是我们有tanaka duality，利用这个构造我们可以从一个对象的表示范畴重构这个对象，但是这个构造和取K群的方法有所不同。
忘了提最重要的范畴化，没有名字我就统一叫做Khovanov 范畴化吧。
这种类型的范畴化也好理解。用例子说明。
大家都知道有限维向量空间是monoidal category 也是 阿贝尔范畴，这两种结构相容，我们可以称之为张量范畴。对有限维向量空间可以取它的维数（也是唯一的不变量）得到一个自然数，可以把取维数这个构造看做一个从向量空间范畴到自然数范畴的(as discrete category)（张量/lax）函子,说的更通俗些就是取维数的操作和向量空间的直和/积 和张量积相容，比如两个向量空间的直和的维数是各自维数的和，两个向量空间的张量积的维数是各自维数的乘积，一切都很自然。 Khovanov 型的范畴化就是一种反构造。我们可以说向量空间范畴是自然数的范畴化。当然取有限集合的基数也是很好的构造，可以说有限集合也是自然数的范畴化。同样我们可以认为复形的范畴是整数的范畴化，因为取一个复形的欧拉数（supertrace）就得到一个整数。可以取一个（N 阶化或Z阶化）有限向量空间的庞加莱-希尔伯特多项式/级数（维数的生成函数），得到一个多项式或者形式级数，所以（N 阶化或Z阶化）有限向量空间的范畴是多项式或者形式级数的范畴化。类似的可以考虑量子维数。
这些范畴化背后的哲学就是总是要考虑反问题。
再推荐一个参考文章, 说明Morse 理论确实很强大，可以重构空间的伦型，
[*] R.L.Cohen,J.S.Jones and G.B.Segal, Morse theory and classifying spaces,
看硕士论文可能会更有感觉：
[**] John-Josef Leth , Critical points, classifying spaces and generic morse functions,
[***]T.O.Rot, Morse theory via the flow category
感兴趣的可以继续追踪Cohen的Morse field theory 。
这里trivial的想法是构造flow category，nontrivial的想法是证明分类空间和原空间同伦。 分类空间就是同调复形。现在人们已经习惯对于象范畴这样的对象定义上同调理论，这是结合代数的Hochschild上同调的推广。这个推广比较自然，也很简单，不简单的是对张量范畴定义Hochschild上同调，这将是最强的上同调理论。
说到这里我们要提出一个核心的观念:场论对于数学家来说应该看做一种广义的上同调理论或者不变量理论，并且更进一步所有的不变量理论都应该或者“解释成”某种场论。就是这样的哲学，推动了数学物理的发展，比如几何朗兰兹纲领，镜对称猜想等等。
另外一个观念就是同调理论本质上是对一个范畴的线性化，当然也是对这个范畴的对象的范畴化。但是很多范畴本质上是非线性的，比如拓扑空间的范畴，流形的范畴，代数的范畴，概型的范畴，算术簇的范畴等等，对这些范畴线性化之后需要enrich一些代数结构，比如德拉姆上同调的cup积，Adams 运算，Messay product，人们希望通过这些enrich的结构做出更加精细的不变量，甚至得到完全的不变量。比如人们通过构造motive来线性化概型和算术簇。直观的可以真么，范畴的结构越复杂，非线性程度越高，需要enrich的结构就越多。另外人们总是乐意相信任何一种结构都要有相应的不变量，流形的光滑结构的不变量，黎曼几何的不变量，复几何的不变量，辛几何的不变量，相应的比如 四维光滑结构的danaldson不变量，塞伯格witten不变量，黎曼曲率，hodge结构，格罗莫夫witten 不变量。不同的结构构造不变量的方法不同。但是现在物理学家有一些方法得到不变量，就是通过拓扑场论来定义。详细一点可以讲，当然不是对所有的情况都适用，我们把不变量定义为结构的模空间上的函数或者广义坐标或者丛的截面或者分布等等，构造不变量就是构造模空间上的函数。在这里需要再补充一点，这种研究思路可以分为两种目的，一种是模空间本身的研究，另外一种思路就是把模空间作为研究对象的工具。实际的情况通常是一族模空间自然地生活在另外一组模空间上。比如我们有代数曲线的模空间，曲线上全纯丛的模空间，丛上的联络的模空间，这个图像在几何朗兰兹的研究中很重要。那么现在我们可以说模空间是数学和物理交叉的重要地带。前面说的是数学家对模空间感兴趣，那么物理学家也对模空间感兴趣，因为量子场论本质上就是对场的模空间的量子化后的理论，如果能够把数学家感兴趣的模空间解释成物理学家的场的模空间，那么物理的研究就会对数学有极大的推动。物理学家可以利用“物理直觉”看到一些结果做出数学上的预言，数学家要做的就是证明或者用数学家的方式去理解物理学家的预言。过去通常是物理学家帮助数学家去预言，数学家对物理学家几乎没有什么帮助。但是 现在的特别是最近的情况，似乎有些反转，有些数学家已经学会了物理学家的“语言和直觉”，他们正在进行数学家的物理，这种来自于数学家的物理将来或许会对物理有极大的推动。
最后补充，什么是水平范畴化和垂直范畴化的交换性，当然目前还不能给这种说法严格的意义，而且这种交换性和镜对称所表达的事情是否完全一致也不清楚。我们先把他理解为一种哲学。这个哲学的背后的motivation是这样的：
已知Morse理论和德拉姆上同调是“一样的”，path/loop空间（不是double loop）上有一个自然的TCFT,这基本上是costello 的工作所启示的，或者说大家都愿意相信的，我们把TCFT解释成loop spaces上的超对称量子力学，也就是说TCFT是loop space上的德拉姆上同调（复的情形/B-model） 和 Mores theory(sympletic side/A-model/Gromov-Witten),due to Adams-chen theorem,loop space 上的德拉姆上同调和底空间（Calabi-Yau 空间）的Hochschild理论同构，所以B-model 本质上是形变理论（BCOV），Kontsevich or costello 把 Hochschild theory 范畴化，就是考虑底空间上凝聚模层的导出范畴的形变理论，这个导出范畴的形变复形是一个A infinite category with duality， costello proof that 它就定义了Segal-Kontsevich-Manin 意义下的TCFT 并且是高亏格的情形。 在这里我们把loop或者说取loop space看做是水平范畴化，取导出范畴看做是垂直范畴化。镜对称这样就变成 水平范畴化之后的形变理论（Kontsevich的泊松几何的量子化）和垂直范畴化之后的Hochschild 理论。 从上面的一系列构造，A，B两边还不是很对称，其实这很自然，因为复结构和辛结构本来就差的很远，当然在三维的时候可能比较对称，但是一般情况很难相信镜对称是关于这两种几何的的对称。如果我们不能看到自然的东西，再美妙的猜想都不诱人。
名词解释：辛拓扑， 辛场论，弦拓扑，弦场论，拓扑共形场论，格罗莫夫-威腾理论
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这些话题留到以后讨论，继续回到经典场论的数学结构的讨论。
如果作用量或者拉氏量（Lagrangian）是非退化的，那么经典相空间上会有一个诱导的辛结构。经典相空间也称作状态空间，是经典场的所有可能的运动状态的几何，经典场的位形和经典场的动量就是状态空间的共轭坐标。如果把欧拉-拉格朗日方程看成是常微分方程或者发展方程，方程的解完全由初值条件来确定，这样的结论可以解释为什么可以把经典相空间和欧拉-拉格朗日方程的解的模空间等同以来。 所以简单的讲，经典场论的运动学就是确定经典相空间，经典场论的动力学则是经典相空间上的动力系统（由哈密度量确定）。如果拉氏量是退化的，我们不会自然地得到哈密尔顿力学系统。事实上， 经典场论的数学结构有两种，一个是拉格朗日图景（Lagrangian formalism），一个是哈密尔顿图景（Hamiltionian formalism）。在场论和力学中，最重要的问题恐怕就是对称性和守恒量的讨论，它们的自然联系（由于变分结构）可以刻画为 诺特第一和第二定理。 在哈密尔顿图景中，诺特定理可以简单的表达为辛动力系统中的矩映射（moment map），实际上是对称群的一个闭链。在从数学上讲，拉格朗日图景就是一种具有变分结构的（欧拉-拉格朗日）微分方程的几何和代数结构理论，其一般理论是变分双复形理论。这样的理论可以认为是起源于试图回答这样一个反问题：什么样的是微分方程是欧拉-拉格朗日方程或者说什么样的微分方程具有一个变分结构。只要就有变分结构，微分方程就具有诺特型定理，或者说在微分方程的对称性和守恒律之间存在自然地联系。守恒律可以理解为微分方程解的模空间的坐标，当然对于确定方程的解空间的结构有很重要的理论意义。微分方程的代数理论或者代数几何刻画是这样的：一个微分方程可以认为Jet 概形（Jet scheme，Jet bundle的代数几何描述，本质上是无穷维的代数几何对象，通常通过某种极限定义）的子概形，但是Jet 概形具有自然的微分结构（特殊的格罗滕迪克联络），方程的局部可解性就等价于子概形为微分闭子概形，或者成为微分簇，类似于弗罗比纽斯定理说一个分布是可积的当且仅当定义了一个微分闭理想。本质上，可以认为是弗罗比纽斯定理的高阶推广，因为Jet丛是切丛的高阶推广，分布只是一阶微分方程的几何刻画。但是讨论关于变分结构的反问题的一般框架是 Jet 概形或者Jet丛上的德拉姆上同调理论，由于自然地延拓结构或者格罗滕迪克联络的存在，Jet丛上的德拉姆复形自然地就有双复兴结构，所以称之变分双复形。变分结构的存在性最后就变成了一个上闭链的消失性(正合性或者障碍类消失)。这个方面的一个参考文献是：The variantional bicomplex by Ian M.Anderson.这个理论古典版本几经很完备，接近终结。这个理论已经被推广到超空间和超微分方程理论中，而且和BV formalism 结合，可以用来讨论偏微分方程的形变或者场论的形变及量子化。与变分双复形理论相关的理论是形式微分几何（formal differential geometry），形式代数几何以及盖尔方德-福克斯（Gelfand-Fuchs）cohomology。在未来，希望变分双复形理论可能和operadic calculus，Kontsevich‘s graph complex，形变量子化，示性类等等产生更加深刻的联系，
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关于经典场论的讨论先告一段落，来讨论下什么是量子化。
先说一下量子物理在数学上和经典物理的区别。
经典物理的可以看做是关于几何（点）和几何上的函数的学问，状态用点表示，状态的变化用积分曲线描述，物理量用状态空间上的函数表示，系统的运动学结构反映在相空间的辛结构或观测量的泊松代数结构中，动力学反映在观测量的演化（海森堡方程）或者相空间的动力系统（辛动力系统）中。在几何和几何上的函数代数之间有一个很好的对偶性， 即盖尔方德-奈马克（Gelfand-Naimark）对偶性，这个对偶性是整个代数几何的基础哲学之一,而且从这个哲学出发我们可以看见整个经典数学的发展动力。
盖尔方德-奈马克对偶性的定理表述形式是这样的：
Gelfand-Naimark theorem：在紧致豪斯道夫空间与含单位元的交换C* 代数间存在完全对应，空间连续映射与其对应的代数间*同态映射存在对应，而代数同构的充分必要条件是它们的谱同构。用范畴的语言说就是紧致豪斯道夫空间构成的张量范畴和含单位元的交换C*代数构成的张良范畴是反同构或者是对偶的。
另外一个内在的对偶性就是辛结构。辛算法可以认为就是很好的利用这种对偶性来获得程序稳健性的方法。对于这种对偶性的理解作者感觉还是不充分的。
量子物理在一开始就是代数的，非交换的，几何只是量子物理的坐标或者背景。从一个角度来讲，量子物理分为单体问题和多提问题，这种区分的意义对于量子物理远远大于经典物理。
来说说单体问题，对于单个量子物体，我们称之为量子粒子，描述它的（运动学）状态的空间是一个希尔伯特空间，我们知道数学上希尔伯特空间的同构不变量就是维数或者线性自由度或者独立坐标的个数。那么量子粒子的分类是不是可以只利用维数来分类呢，当然不是的。量子粒子的物理特性来自于它的的对称性。所以说完整的定义一个量子粒子不仅要指出它的希尔伯特空间或者态空间是怎么样还要指出它的态空间上承载了什么样的群的什么样的表示，这个群称之为量子粒子的内在对称群，当然量子物理还有一些外在的“对称群”，比如量子群，杨-巴斯特方程，卡茨穆迪李代数，手征代数或者顶点算子代数（VOA）等等，五花八门，基本上我们可以用表示论的语言来描述量子物理。其实量子物理在数学上几乎要等同于表示论。对于初中生和高中生，我建议可以直接学习量子物理，不必要先学经典物理和相对论，微积分可以最后学。量子信息几乎不需要高等的数学知识。 关于表示论的内容参看附录部分。遇到不懂的术语可以wiki或者google。
数学上我们可以定义一个基本量子粒子为某一个群的不可约表示。现实物理研究的基本粒子可以说都是时空对称群（庞加莱群）的不可约表示，由于庞加莱群是非紧的，所以它的很多非平凡的不可约表示是无穷维的。那么量子粒子的物理特性怎么刻画呢，或者说它们的物理量是什么呢？一个简单地回答就是量子物理量都是态空间或者希尔伯特空间或者表示空间上的算符或者作用在上面的矩阵。物理量可以分为内蕴物理量， 运动学物理量和动力学物理量。在电子的情况，内蕴物理量是质量，电荷，自旋等物理量，通常给人的感觉它们是数字，但是实际上应该看做是矩阵，它们都是对角矩阵。可以这样用表示论的语言来描述量子粒子比如电子：一个电子就是庞加莱群的万有覆盖群的一个不可约表示，狄拉克算子对应于对称群的喀什米尔元素，狄拉克方程就是喀什米尔算子的本征值方程。由于庞加莱群的万有覆盖群是时空平移群和洛伦兹旋量群的半直积，所以其对应的喀什米尔元素可以分为两部分的乘积（张量积），一部分对应于时空平移群的喀什米尔，另一部分对应洛伦兹旋量群的喀什米尔，前者的本征值称为电子的质量，后者的本征值称为电子的自旋。代数学家用喀什米尔元素的本征值标记不可约表示和物理学家用所谓的量子数来标记粒子本质是一样的。当然完整的描述一个不可约表示要用更加复杂的量才是可能的，比如半单代数要用权空间中的一个最高权向量来准确描述，但是很多物理的应用利用量子数就足够了。如果要考虑多体问题或者粒子之间的相互作用的时候，还有一些物理量是重要的，比如电子的电荷。我们前面的讨论做了很大的简化，因为粒子的对称性是多方面的， 前面只是讨论了时空对称性，其实电子还有内在的规范对称性，可以说是狄拉克量子场的对称性，U(1)规范对称性，规范对称性的对应的荷或者规范对称群（或者流代数）的喀什米尔元素的本征值就是电荷。在经典和量子场论中，把它看做耦合常数。
上面讨论的是标记粒子的特性的绝对的不变量或者说粒子种类的不变量以及标记相互作用强度的荷或者量。
我们继续讨论什么是运动学量和动力学量。
刚才讨论了单个量子粒子的量子相空间数学上就是一个承载了某个群的复不可约酉表示的希尔伯特空间，（复的， 不可约，酉性质都是必须的有物理意义的要求，缺一不可），粒子的一个状态可完全的用希尔伯特空间的方向来表示，或者说的更加数学一些，粒子的状态一一对应于希尔伯特空间的一维子空间或者是算子代数的极小幂等算子（极小投影算子）的共轭类。相同方向或者相反方向的不同长度的向量竟然表示粒子的同一个状态，这个奇怪的现象其实是量子世界和经典世界的最根本区别之一，也是量子世界更加美妙的原因之一。经典物理的相空间中的点和系统或粒子的状态是一一对应的，经典物理的逻辑基础是布尔代数，而在量子物理中状态是和方向（等价类）或着投影算子（共轭类）一一对应的， 量子物理的逻辑基础是线性逻辑或者非交换的布尔代数也叫量子布尔代数。经典物理的数学基础是集合论，子集间的交并运算满足德摩根定律， 量子物理的数学基础则是张量范畴理论，线性空间上投影算子间的的相交和内直和（对应于子空间的相交和内直和）构成量子布尔代数。注意这里一个隐含的逻辑假设就是我们可以定义什么是量子粒子的”一个状态“，以及我们可以区分什么时候两个状态是一样的还是不一样的。这是物理学的基础，我们要采用操作性定义，而不能用描述性的定义方式，定义方式的区分是很重要的，也是建立物理理论的基石。事实上，操作性定义是一个理论体系和实践建立联系的根本，只有采用可操作性的定义作为理论的基础，这个理论才是和实践有关系的理论，否则一定是空洞的形式系统。就是因为相对论采用了操作性的定义所以才是可以理解和验证的。那么我们怎么区分不同的经典/量子状态或者是物理状态呢，很简单如果我们对两个状态采取所有可能的物理操作，如果得到的结果是相同的，那么我们就称这两个状态是同一个状态或者物理上不可区分，否则则称是不同的状态或者说是物理上可区分的状态。这个基本的原则就是我们在定义粒子的时候为什么一定要求是不可约表示的原因之一。量子相空间或者希尔伯特空间中的非零向量通常称作粒子的波函数。上述讨论的状态和波函数的非一一对应性实质上可以说是量子物理从根本上就是带有规范对称性的， 注意这种规范对称性在本质上是无法去除的！！这是量子世界一个根本性的神秘之处。什么意思呢？ 就是说目前我们对量子物理的数学描述是最好的，甚至将来人们都没有别的更好办法来数学地描述量子力学。当然可以反驳说，把量子相空间定义为希尔伯特空间中方向的等价类全体不是更好么，这样的话数学的描述和物理的实在不就是一一对应的了！这样的定义方式不是更有效？答案是不行，一一对应固然很好但是量子信息的结构就会丢失，复的希尔伯特空间描述是最优的也是完备的，我们可以用EPR佯谬来说明。量子相空间天生的就是一个复数域上的希尔伯特空间，我们不能把量子相空间定义为一个集合，比如就把量子相空间定义为希尔伯特空间中方向的等价类，原因是这样的：量子相空间所承载的量子物理的信息不能用集合来描述。量子信息的一个根本之处就是线性叠加原理！量子信息的这个特性使得我们必须采用希尔伯特空间的描述，而不能用方向等价类的集合来描述。希尔伯特空间是唯一的也是最有效的保持量子信息的“波粒二象性”的描述方式。或者说为了明显的表示波粒二象性，人们必须放弃一一对应原则，这恐怕是爱因斯坦所喜爱的原则之一。波粒二象性（线性叠加原理）和量子物理的天生的规范对称性使得人们必须用复数域上的希尔伯特空间来定义和描述量子信息。量子信息的逻辑是量子逻辑。量子信息或者量子物理的另一个特性，不可克隆性，是复数域上希尔伯特空间描述的必然推论。量子物理比相对论在更基本的层面（逻辑和信息理论）上改变了人们的世界观。从这一点我们可以得到对我们的研究方法一个启示，那就是范畴论是基本的哲学，我们在研究一个对象的时候，首要的一点就是要搞清楚或者明确这个对象所生活的范畴是怎样的！！这是一个根本的问题，因为一个对象可能自然的生活在很多不同的范畴里，一个对象的信息完全反映在它所生活的范畴中（米田Yoneda引理）什么意思呢，举个例子，众所周知，当纳森（Donalson）利用四维规范理论给出了四维流形上微分结构的不变量，理解四维流形微分不变量的机制是现代数学物理一个潜在的主题，包括范畴化和纽结不变量，拓扑量子场论，这个机制当然仍然是个谜，或者说人们对当纳森理论背后的更大的秘密几乎一无所知，这个困难存在的一个首要原因就是人们不知如何研究它，人们无法从正确的角度提出正确的问题。什么意思？说的跟详细一些就是，我们不知道四维微分流形应该生活在什么样的范畴中，使得我们可以研究微分结构的不变量。事实上，四维微分流形自然的生活在很多范畴中，比如四维协边范畴，四维流形范畴等等。又扯远了回到主题。
我们前面讨论了如何用表示论来定义量子粒子。现在我们来讨论量子粒子的运动学特征和运动学量。 当然我们谈到运动学和动力学的时候，总是有一个潜含的假设就是我们可以物理的定义时间，我们可以讨论相空间内部结构的转换，或者我们要制定一个背景或者观测者，这也符合相对论的精神。当然时间是什么这个问题目前还没有最好的答案，是物理学的基本疑难之一。后面我们可能会专门讨论时间的问题，其实在费曼量子场论的图景下，能量，时间和熵以及对称性有可能是统一的，这个统一只有对费曼图和费曼规则熟悉以后才可能讲清楚，这个讨论可能要在最后的日志里面给出。
我们已经知道量子相空间刻画了量子粒子所有可能的状态。但是什么是所有可能的状态？这个问题的回答当然和时间问题有关。量子力学可以分为相对论性的和非相对论性。前者如狄拉克方程或者克莱茵-戈登方程描述的理论和后者如薛定谔方程描述的理论。在非相对论性的理论中我们才可以讨论运动学，在相对性理论中因为不存在典范的时间概念，所以讨论运动学和动力学“不合适”。.但是我们可以从相对论性的场论 ”对称性破缺“到非相对论性的场论。
在定义量子粒子的运动学的时候，首要的就是要指定什么是哈密顿算符。哈密尔顿算符是一个以厄米算符的形式作用在量子相空间上的，它的本征值或者谱我们称之为能量，哈密尔顿算符又称为能量算符。学过量子力学的同学都知道哈密顿算符是时间的生成元，这正是薛定谔方程或者狄拉克方程的所表达的意思。事实上，在古典量子力学里面，人们通常说时间和能量是对偶的，这个对偶和空间算符动量算符的对偶性是同一类的，教科书上通常用测不准原理来解释这种对偶性。当然这种对偶的意义在数学上不好准确定义，但是早期的量子物理学家们正是发明了这种模糊的概念来刻画量子物理的一些特性。
在量子物理中，一切都是代数的，几何只是作为系统的坐标或者观测量的谱而存在，所以从量子物理中可以得到什么几何取决于我们怎么样去观测量子系统。不同的观测方式（极大相容/交换的算符集的选取）得到不同的几何，不同能级 的测量也得到不同的几何。量子物理中第一位的本体是量子信息，物理过程就是量子信息的转换处理过程。从某种意义上， 量子物理是最绝对的相对论，所有的东西都应该从量子信息导出来。这种观点是很自然，如果我们承认或者愿意相信量子物理是客观的，实在的，可以认知的，并且存在或者人们可以发现一个统一的逻辑系统来充分的表述量子物理现象，那么量子信息就是最好的出发点。必须相信凝聚态物理，量子场论，量子计算和量子信息理论，量子引力理论等等有一个共同的基础，我们愿意相信这个基础就是量子信息理论。
现在讨论一下经典物理和 量子物理的对称性问题。对称性和守恒律的一一对应是一个大家都愿意接受的原则。但是什么是物理系统的对称性？ 如何定义对称性？ 虽然在前面定义粒子的时候我们已经利用了对称性的概念。我们把量子粒子定义为某个群的复的不可约酉表示。我们又谈到了量子信息应该是量子物理的第一位的本体。这两种观点的联系是很有意思的。数学上我们知道不可约表示就是最小的表示，没法细分了，所以不可约表示可以作为一个整体的东西，量子粒子就是就是量子信息（区别于量子比特）最小的构成单位。量子粒子的状态使用波函数描述的，如果我们用坐标表象来看波函数，那么量子粒子就不是一个局域的东西（类似于波的东西或者说场），但是当我们观测量子粒子的时候，量子粒子又是一个整体的东西,也就是我们每次都是看到一个粒子，不是半个，1/3个粒子。量子信息的这种属性在旧量子论里称之为波粒二相（象）性。在这里我要强调一下“相”这个概念，相在物理术语中是一个很宽泛的概念，如物质的气相，液相和固相，这些都是凝聚态研究的范围。在量子理论中，波粒二相（象）性就是指的量子信息是一个“同时具有两个相”的信息系统。
前面我们已经讨论过，量子信息的描述必须打破一一对应原理这个重要的集合论概念，当然也是一个经典的概念。量子信息的希尔伯特空间描述直接的导致了量子纠缠，不可克隆原理，量子多相性（包括波粒二相/象性），非局域性的现象存在。在数学上，经典的物理可以用范畴来描述，量子物理要用到具有一定对偶性的张量范畴来描述，这两者有本质的区别，在第四篇日志里也就是categorical physics里我们再详细讨论。如果一个经典系统的经典对称性我们使用点群来描述，就是经典相空间上置换群的子群来描述，那么如果要考虑这个经典系统的对应的量子系统的对称性，那就需要引入一个概念，叫做“中心扩张（entral extension）”。量子化(从经典信息到量子信息的过度)的时候 如果要求经典对称性有所保持，那么这个经典对称群必须具有非平凡的中心扩张。用更严格的数学语言来描述这个事情就是：
一个群的射影表示和它的中心扩张的线性表示一一对应。
但这里有意思的事情就出现了,一个群可能没有非平凡的中心扩张 或者一个群可能有好多的中心扩张。当然了，我们有万有中心扩张的概念，所谓的万有就是它是最大的中心扩张，就像万有复叠空间，分类空间，代数闭包等概念。 如何解释这个数学结果的物理意义？
当然从重整化理论和有效场论的角度，这里讨论的一切都是可以改变的。
我们总结一下刚才的讨论：
基本量子粒子《--------》时空对称群的不可约表示《-----------》喀什米尔元素的本征值(内蕴物理量或者量子数，粒子质量，粒子自旋，弦和p-膜的张力，“质量”等)
规范对称的喀什米尔本征值《---------》相互作用量子数（耦合常数或者力荷，粒子的 电荷，色荷，味荷，弦的长度，“重量”，“电荷”，p-膜的体积，“重量”，”电荷“等等）
整体规范对称群的守恒流《---------》荷守恒
代数量子化
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什么是经典费米 超对称和 BPS态
量子场论的静力学 ， 拓扑场论 和相交同调
莫尔斯理论，示性类 和 指标定理
现代拓扑场论 和协边假设
时空度规， 自由量子场论和运动学
费曼图分析和 量子场论的动力学
边界条件， 缺陷和量子对偶
什么是场论的大范围性质和非微扰场论
反常和量子序
http://page.renren.c
Operadic calculus 和 同伦代数
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旨在描述同伦论，同调理论，代数几何 如何统一并推广为operadic calculus。
[1] Charles A. Weibel, History of homological algebra, 1999.
An introduction to homological algebra, 1995.
[2] Martin Markl, Operads and PROPs, 2006.
Cotangent cohomology of a category and deformations, 1996.
Deformations and coherence, 1994.
[3] D.Quillen, Homotopical algebra, 1967.
[4] Saunders Mac Lane, Categories for the working mathematician, 1971.
Categrical algebra, 1965.
[5] D.Fiorenza, An introduction to the language of operads, 2006.
[6] Lucian M.Ionescu, From operads and PROPs to to Feynman process, 2007.
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什么是同伦代数，同伦代数和同伦型的刻画，代数同伦不变量，同伦论中的对偶
同伦理论中最根本的问题当然是确定同伦型，同伦型的分类可以通过同伦不变量（同调群，同伦群）给出，这是代数拓扑给我们的一个基本印象。范畴论起源于对同调理论的公理化，范畴论也为统一数学提供了基本的工具。怀特海德（whitehead）定理说明任意的拓扑空间都弱同伦等价于CW 复形，在CW 复形的范畴里，同伦等价和弱同伦等价是一样的。在某种意义上，人们可以把同伦论的研究限制在CW复形的范畴。对CW 复形范畴的研究，同调代数的研究和代数K理论的研究，导致了模型范畴 （model cagtegory）的提出，奎因（Quillen）的 （closed）model category 是公理化代数拓扑和同伦论的基础。
在同伦论内部有一个基本的对偶：艾克曼-希尔顿对偶（Eckmann-Hilton duality），这是同伦论研究的一个指导原则，这个原则可以让人们做出通常无法直观的理论预测，在最一般的意义上这个对偶并不总是对的，但是仍然是一个非常有效的理论原则。
一个例子就是suspension 和loop 的对偶。
在同伦论和同调代数之间存在另外一个基本的对偶：Dold-Kan duality.
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什么是symmetric monoidal model category。
http://page.renren.c
categorical 物理， 动力学和热力学的统一
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[1] J.C.Baze，A.Lauda， The pre-history of n-categorical physics,arXiv:0908.2469.
[2] B.H. Bartlett Categorical aspects of topological quantum field theories, 2005.
[3] Mathoverflow, A reading list for topological field theory ?
[4] J.Baze, Quantum quandaries: a categorical perspective, 2004.
[5] J.Baze, Physics,topology,logic and computation: a Rosetta stone, 2009.
Algorithmic thermodynamics, 2010.
A characterization of entropy in terms of information loss,2011.
[6]Y.Manin, Complexity vs Energy: theory of computation and theoretical physics, 2013.
Renormaliztion and computation I and II, 2009.
[7] Liang Kong, Conformal field theory and a new geometry, arXiv:1107.3649.
[8] B.Jabcobs, Introduction to coalgebra, toward mathematics of states and observations,2012.
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简要概述一下量子物理的数学是什么.
1 零维量子场论：
波色理论-------------莫尔斯理论
费米拓扑场论-------------微分几何，德拉姆理论， 威腾形变
费米理论------------克利福德分析，德拉姆-霍其理论
超对称理论--------------等变上同调
2 一维量子场论=量子力学：
=（超）李代数/结合代数的表示理论，
粒子-------不可约表示
粒子的量子数-------权向量的分量
真空态--------最高权向量
量子态的量子数---------喀什米尔本征值
能动张量算符--------喀什米尔算子
相互作用强度---------规范守恒荷
测不准原理----------量子态的升降算符------三角分解
对称破缺-------诱导表示
3 高维量子场论=费曼图范畴的表示理论
弗克空间--------》张量范畴
量子场--------》张量范畴的对象
时空背景------》费曼范畴
量子场论的对称群--------》田中克雷纳对偶------》量子代数
喀什米尔元素--------》张量范畴的对偶结构
格林函数---------》逆喀什米尔元素
重整化理论-------张量范畴的上同调理论
经典理论：
能量（动力学/最小作用量原理）和热力学（热涨落/熵增原理）熵的竞争------》经典相变
量子理论：
能量（量子力学）和信息熵/纠缠熵（量子涨落）的竞争--------》量子相变
重整化--------》量子场论的模空间的局部结构
4 盎鲁效应， 真空动力学和真空热力学，范畴论下的时空观，惯性力和引力 量子纠缠和强关联
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有必要给一些数学学科的科普或者基本介绍作为附录（强调一下，以下这些东西都太classical了，理解这些东西一定要尽快，不必要在陈旧的东西上浪费时间，详细的东西没法展开，基本上通过wiki就可以了解的差不多顶多再找一些教材或者Lecture把细节补一补，当然做到这些需要较高的数学成熟性，对于研究生可以多上论坛比如mathoverflow讨论，通过交流是学习的最有效方法，另外不要太依赖于老师，多找年轻人讨论。中国数学的发展需要年轻人。）：
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关于范畴和集合
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一些基本读物：
1 F.william Lawvere，Stephen H.schanuel ,Conceptual mathematics: a first introduction to categories，Cambridge university press,1997.较老，适合高中生阅读。
2 Jean-Piere Marquis, From a geometrical point of view: a study of the history and philosophy of category theory， Springer，2009.
3 S.Mac Lane, Categories for the working mathematician, Springer-Verlag， 1971.
其他请参阅Wikipedia，nlab，mathoverflow.
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集合概念的重要性不言而喻。但关于范畴概念的重要性可能还需要些时日才能被认识到。范畴是离散数学中 自反传递关系的推广，也是含幺半群（monoid）的水平推广（horizontal categorification）。随着数学和数学物理的发展，其重要性和基本性越来越突出。可以预言再过几十年，不懂范畴的人都没法在数学工作者的圈子里混。集合在一定程度上确实统一了数学的语言，但是对于更加深刻的结构，集合是无能为力表达的，比如自然性，泛性质，对偶性等等。这种现象应该很容易被计算机专业的人领会，因为这和利用基本的机器语言或者汇编语言难以表达数据结构是一样的。从某种意义上可以说集合论是面向对象的，而范畴论是面向关系的一种语言。如果说集合论和结构数学使得数学学科间的纵向比较称为可能，那么范畴论则使得数学学科间的横向比较成为可能。举个例子：拓扑学和微分几何的关系就是加了一种结构，这种结构的相容性可以使得里用微分几何的适当工具研究拓扑，比如德拉姆上同调理论，hodge 理论,莫尔斯理论和示性类理论。但是拓扑和代数的关系则完全不是加一种或者几种结构的事情，代数拓扑，有理同伦论等等学科则是他们关系另外一种表达，这种表达只有使用了范畴的语言才是清楚的。
范畴论概览：
对象， 态射， 函子，自然变换，自然同构，自然等价，极限和连续，对偶性， 张量范畴， model category， 导出范畴，A-infinite category，A-infinite functor， 费曼范畴
quiver 和自由范畴 ，graphical calculus of category，米田引理，自然性，泛性质，逗号范畴，伴随函子， Kan 扩张， monad/triple
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一个范畴由其对象和对象之间的态射或者关系确定，其形式定义类似于集合上的自反传递的二元关系的定义。有一类特殊的范畴称作群胚， 其特征就是其中的所有态射都是可逆的。群胚是等价关系的推广，也可以理解为具有很多单位元的群。群胚适合内蕴地表达同伦论和规范理论中的各种规范对称性，比如一个拓扑空间可以看做一个 无穷阶范畴（（infinite-0）- category），其一阶群胚也称为基本群胚，拓扑空间上的一个向量丛上的一个联络，可以看作是一个共变函子，即从基本群胚到向量空间范畴的共变函子。基本群胚可以认为是一阶同伦群或者基本群的范畴化。大家知道同伦群还不足以刻画拓扑空间的伦型，所以人们希望通过丰富化（enrich，refine）同伦群来刻画同伦型。事实上。格罗腾迪克的一个猜想就是在同伦型范畴和小无限高阶群胚范畴有一个自然的等价。这个猜想很有启发性，实际上也是发展高阶范畴理论的一个主要动机。这个猜想也激发了高阶拓扑场论的协边假设（J.Lurie定理）的提出。同伦型范畴是拓扑同伦范畴的一个骨架范畴。同伦型是一个非常复杂的东西，同伦群虽然足够复杂，但是距离刻画同伦型还有距离。
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语言-算法-结构 v.s 编码-计算-数据 v.s. 信息-调控-存储
结构v.s. 行为
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关于代数几何
代数几何基本上就是关于代数方程或者方程组（代数簇）的学问，通常首先选定一个含单位交换环，叫做基础环，关于这个环上方程组的讨论就是代数几何。由于环上代数结构的复杂性，可能导致其上的最简单的方程组即线性方程组（线性簇）的性质的复杂性。代数几何可以称为环上的几何。当这个环取做整数环Z的时候，通常有一个特殊的名字标记这个理论，即算术代数几何。算术几何中的很多定理可以认为是来自于拓扑或者几何的。
利用范畴论的哲学，格罗滕迪克从根本上改变了代数几何。环上的全体方程（代数簇）构成一个张量范畴，并且具有一个自然地格罗滕迪克拓扑，查理斯基拓扑， 格罗滕迪克把代数几何定义为研究这个范畴上的集值层（概形）范畴的理论。我们解释一下这些术语的意义。所谓层 就是一种左连续或左正合（比同调代数中的正合性更一般的概念）反变函子，集值 就是指取值在集合范畴。一个范畴上的反变函子通常称为预层，当范畴上具有格罗滕迪克拓扑的时候,可以讨论预层的连续性或者正合性。由米田（Yonada）引理，集值层（概形）范畴是代数簇范畴关于格罗滕迪克-查理斯基拓扑的自然完备化，其实可以和有理数域完备化为实数类比。这种完备化和张量积相容，可以定义概形的直积。以上说明的是为什么概形理论是可能的。还有其他的原因说明为什么概形理论是必要的，主要有如下几个原因：
其一是一些模空间不是代数簇，比如射影空间，旗流形，格拉斯曼流形，希尔伯特概形等等。
其次为了研究幂零结构。研究幂零结构的原因一是可以推广代数几何的研究范围，第二幂零结构在非幂零结构的研究中会自然出现，比如形变理论，切空间，和代数簇的微分几何等等。
概形理论虽然漂亮，但是现在看来，它仍然不满足 理论的需要，或者说不是最基本的概念。这主要是由于形变理论，模空间理论和奇点理论的发展，概形几乎完全不能用。代数几何具有非常完美的同调理论，但是为了以下几个原因它是要被替代的：
1 发展代数方程组（代数簇）的同伦理论
2 定义代数簇的商空间，
3 在奇异代数簇（nonsmooth）上定义微分几何
4 发展正确的形变和模空间理论
为了达到这些目标需要发展导出代数几何（derived algebraic geometry），这个理论中最基本的概念是derived stack。 stack 是可以恰当的描述在代数几何中什么应该是商空间的正确意义， derived 的意义和光滑化，resolution十分接近。derived stack 是概形的合适推广，它包含了原有的概形所包含的信息，同时人们可以在derived stack 上自由使用各种工具，代数的，微分几何的，拓扑的等等。
什么是最一般的上同调的定义? 一个范畴上的上同调理论就是这个范畴的线性化（函子），最好的上同调就是universal 线性化，在代数几何的情形就是motive理论。
经典理论一览：
复代数几何， Hodge 理论，稳定性 当纳森-乌伦贝克-丘定理，指标定理
小平邦彦-斯兵塞形变理论， 周期映射，Hitch 模空间，Hodge 模空间，VHS 和志村簇
安德雷-奎因理论
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关于微分几何 和拓扑
莫尔斯理论， 协边理论， 联络和示性类 ，分类空间，等变上同调，同伦论，广义上同调，
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关于数论和丢番图方程（推荐读 冯克勤先生的 代数数论简史）
伽罗华理论，黎曼面，整体局部原则，
类域论，自守表示，L 函数， Zeta 函数
数论的中心对象就是整数环和有理数。数论的研究课题基本上是围绕着两类基本问题：一是 丢番图方程（组）解的存在性，解空间的规模（解的计数）和解空间上的自然结构等问题展开的。再一个就是有理数域的代数扩张。这两类问题其实可以统一的看，代数扩张（一个生成元一个关系（最小多项式））从几何上看就是spec（Z）上一维的纤维丛或者复叠空间理论，而丢番图方程（自变量或者生成元可以多个，丢番图方程组是关系）在几何上可以理解为超越扩张，或者高维的纤维丛理论。当然它们问题的集中点不一样，代数扩张在于集中于研究（0）点上纤维（整体域的结构），而丢番图方程这是整体的问题。
丢番图方程的几何描述是spec（Z）（Z-曲线）上的有限维概型（算术簇或者算术流形）。完备化的整数环Z在算术几何上可以认为是一个一维的闭算术流形，就像微分几何中的S^1(单位圆周)或者复几何中的CP^1(一维射影空间)。
整数环有一些比较特殊的性质， 比如它上面的adic拓扑，adic绝对值，素理想和素数（包括零和无穷）有自然的一一对应。我们可以把它们等同起来，在讨论问题的时候不加区分。学过基本的代数几何的同学都知道，代数簇上的点和环的极大（素）理想有一一对应的关系，对于整数环或者主理想整环，它的素理想就完全由一个素数或者素元素来决定。比较算术几何和复几何，素数的地位和黎曼面上的点相当。
在很多情况下，整数环上的几何和一维复几何有很好的对应（非常精确），这些对应也是朗兰兹纲领和几何朗兰兹纲领一些对应的基础。
直观的讲，我们可以把一个丢番图方程组看做spec（Z）上的一个纤维丛，丢番图方程解的存在性相当于这个纤维丛存在整体的截面。当这个丛没有扭曲的时候，丢番图方程存在解当且仅当，（0）点上的纤维非空，当且仅当 每一点 （p）的纤维非空。这个事实就是Hassen的整体局部原则。当丛有扭曲的时候，整体局部原则可能失效。整体-局部原则 是说整体域上的几何与所有局部域上的几何在一定程度上可以相互确定。这一点类似于复变函数理论中，一个亚纯函数或者綫丛的亚纯截面几乎可以被它的零点和极点性质所刻画。关于一个数论对象的性质称为局部的，如果这个性质成立当且仅当这个性质在所有的局部域上成立，也可以说局部性质是使得整体局部原则成立的性质。收集所有局部性质的方法有两个，一个是引入阿黛尔环（函子），一个是引入以代尔环（函子）。给定一个纤维丛，丛的每个纤维的元素的个数定义了底流形上的一个算术除子，如果一类纤维丛和它们的算术除子有一一对应我们就把这种对应称为互反律。互反律是数论中的一种非常优美的现象，断言存在一类一般的或者基本的互反律的猜想就是朗兰兹纲领。可以说算术问题的终极问题就是一般互反律。
有理数域的扩张相当于spec（Z）上的（分歧）复叠空间，复迭映射的映射度就是扩张次数。可以类比黎曼面的情形，在黎曼面理论中（紧黎曼面都是代数流形）。adic 赋值相当于局部映射度，adic赋值的乘积定理（等价于算术基本定理）相当于留数定理，其本质当然是拓扑的，这当然是非常有意思的事情，其实在数论中，算术结构或者组合结构可以很好的用分析的语言，拓扑的语言（adic 拓扑或Krull 拓扑，本质上是一种序拓扑）或者表示论的语言刻画。黎曼面的基本群对应于平展的算术基本群也就是伽罗华群。对于复迭空间，知道了基本群就可以对空间的结构有很深的了解甚至确定这个空间。
数论中另一个基本原则就是伽罗华的对称性原则，推广伽罗华的这个原则当然是Lie 发展他的李群理论的主要动机。 在复叠空间上自然的存在一个（算术）平联络或者局部系统（local system）或者算术D模。
伽罗华群的结构，表示和上同调理论是是以上两个基本问题的在研究方法上的统一。在代数扩张的情形，伽罗华群的起到的作用和黎曼面的基本群类似，在丢番图方程理论中，伽罗华群的功能相当于映射类群或者算术簇的微分同胚群，算术几何和代数几何中有理等价类似于同伦等价， 比如韦依定理可以理解为算术几何版本的阿提亚-博特不动点定理。在域的扩张和丢番图理论中，很多问题或者所有的重要问题都可以转化为对伽罗华群的结构和表示理论的问题，这就是为什么伽罗华表示理论在数论中非常重要的原因。利用伽罗华群的结构和其表示的语言我们可以重新描述数论中几乎所有有意思的问题。
域的可分代数扩张对应于伽罗华群的忠实表示，正规扩张对应于伽罗华群的不可约表示或者半单表示。
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关于表示论
表示论无处不在，一切皆是表示论。表示论是数学的基本哲学。
田中-克雷纳对偶（Tanaka-Krein duality）
分析方法：皮特-外尔定理（Peter-Weyl theorem）-----自守表示----非交换傅里叶变换
复几何方法：波雷尔-波特-韦依定理(Borel-Bott-Weil theorem)
辛几何方法（余伴随轨道coadjoint orbit method）：基里洛夫理论（Kirillov theory）
代数表示论:
森田等价（Morita equivariant）， Hall algebra
几何表示论：
箭簇（quiver）和小范畴的表示论
弗洛比纽斯互反律（Frobenius reciprocity law）
根论（radical theory）
舒尔-外尔对偶（schur-weyl duality）
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漫谈范畴化，量子化和朗兰兹纲领
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Segel 的两维共形场论， Atiyah 的拓扑场论， 拓扑场论和拓扑，协边假设