求解释一下朗道的费米液体理论
这是凝聚态基础的东西，可以看阎守胜的固体物理基础，Landau的凝聚态理论那一卷是说得最详细的。Phantom_Ghost (Glaube am Chaos) 2014-05-08 11:24:32
- 这里转发一段费米液体的介绍
Phantom_Ghost (Glaube am Chaos) 2014-11-15 12:12:23
作者：程然
Landau的费米液体理论一个最基本的假设就是有相互作用的费米系统（费米液体）的状态与另一个假象的理想费米系统（费米气体）相对应，后者中的真实粒子换成准粒子（Quasi-particle）就成了前者。但是很容易引起疑惑的是，前者的准粒子作为一种元激发是如何重整化得来的呢？而且最奇怪的是费米液体系统的准粒子之间有相互作用，这难道不是违反了准粒子描述（即消除耦合或相互作用）的初衷了吗？以下对其进行阐释。
1、Landau该理论是一种唯象理论，本身需要硬性引入一个唯象参数即重整化质量$m*$，然而其值必须通过实验测量，理论本身是不回答这个具体值的。这是和作为微观理论的Green函数法的本质区别（类似的例子，比如朗道-金兹堡超导唯象理论中的伦敦穿透深度和相干长度；Drude模型中的迟豫时间$\tau$等等）。关键在于它不涉及相互作用的微观机理，而用一个平均场代替了事。于是，这个理论要求我们把出发点放在已经得到准粒子的基础上而非如何得到准粒子上，即我们只能直接讨论准粒子的统计性质与系统宏观热力学性质的问题而不需也不能过问怎样从原费米液体中量子关联着的真实粒子重新组合成所关心的准粒子的问题。
2、对于金属中的近自由电子，如果运用费米液体理论，那么准粒子可以就是原电子的本身（原因见第3点），但对其行为的描述却变了。打个比方，得克萨斯大学里有哲学系、历史系、古代研究系、数学系、物理系、化学系、生物系、音乐系等等，是一个个“电子”，但它们之间经常有来往而不是独立的个体，所以为了管理方便我们不好按系去划分，需要按照新标准去划分，比如按“教派”去分，这样一来各系信基督教的人们和各系信誉犹太教的等等基本就是独立的团体了，相当于“准粒子”。但是，实际情况非常复杂，可能根本无法找到一种划分人的方法使各团体之间达到完全独立，而只能一定程度上减小它们之间的关联，这就正如费米液体中的准粒子之间无法像声子一样达到完全的独立。如果情况变得极端一点，我们并不重新划分学校里的人群，而只是把哲学系变成“哲学学院”，物理系称为“物理学院”。即换汤不换药地像国内一样形式主义一把，那么这些“新出现”的“学院”就是本段上边提到的电子费米液体的准粒子，它不是原来电子自由度的重组，而就是原粒子本身改名换姓罢了（但等效质量等性质要变化的，下有说明）。
3、（最核心一点）既然运用准粒子描述并不是消除耦合的良方，原粒子之间的耦合带来准粒子之间的耦合，那难道说Landau仅仅在玩一个形而上学的游戏吗？不，这恰是Landau的智慧所在。
首先设想一个理想的费米气体系统，粒子之间无相互作用，那么在绝对$0K$下系统处于基态即粒子依次填满费米球，分布函数$n(p)$是一个阶跃函数。而在$T$不等于$0K$但偏离不远时将有少量粒子被激发到费米面以上并离非米面非常近，它们正是凝聚态中各种疏运现象的载体。如果系统不受来自外界的骚扰，那么这个状态将维持下去直到永恒，因为它是系统的本征态（这点非常关键）。现在假设让系统“突然”变成一个有耦合的系统即想象诸粒子之间的相互作用突然地加入进来，使整个系统从费米气体瞬息脱胎换骨成费米液体系统。那么，这些处于费米面之上逍遥自在的粒子将不再“安稳”，因为它们之间、它们与费米面之下的电子之间的相互耦合不允许它们成为那一部分“先富起来的人”，这种耦合作用要“拉它们下水”。其实类似的情况并不难想象，比如在铁磁体中，让一个自旋翻转之后，它不可能自己自由自在地绕平均场做拉莫尔进动，因为Heisenberg相互作用使其运动形式在晶格中传播开来形成自旋波，即尽管它自己改变了状态，却无法安然无恙地维持，耦合作用一定会将它的状态传开，在“大家伙”一致享有了平等的运动状态之后系统才达稳定状态，这正是集体型元激发的特点。从多体薛定谔方程上来看，在突然加入耦合之后，原费米系统将不再处于本征态而要发生衰减，朝向新系统的新本征态方向演化。但是，Landau引入了他的重要假设：由于这些电子原本距离费米面非常近，故假设衰减迟豫时间 $\tan \sim\frac{1}{(E-E_f)^2}$，所以分母非常小而迟豫时间非常长，于是认为在系统特征时间尺度内衰减可以忽略不计！这样一来，在保证系统低激发（离费米面距离不超过$E_f$的10%）的前提下，就可以近似地认为拥有激发到费米面以上粒子的费米液体系统几乎不衰减，而可以把这些粒子就看作准粒子（比如金属中电子系统就是如此，当然对于其他情况可以有重组，但这不是Landau唯象理论要管或能管的）。这样一来，就自然地把有相互作用的费米液体系统的状态和一开始假设的无相互作用的理想费米气体系统一一对应起来了。即，费米液体系统的基态和那个费米气体系统基态一样，都是填满费米球的状态；而其激发态（有粒子处于费米面以上）也一一与费米气体系统的激发态对应，因为我们已经基于Landau假设忽略了衰减效应。于是，我们就可以运用费米气体的许多统计性质来研究费米液体的许多问题。
说到这里，你不禁会问，那这个耦合对系统的影响是不是随着衰减的忽略而被抹煞掉了呢？因为粒子貌似没有重组就直接成了准粒子，而耦合带来的衰减又不计了啊。其实不然，我们仅仅说了两个系统的状态一一对应，但可不是宣称系统的能量是一一对应的。对于理想费米气体，总能量E是分布函数$n(p)$乘以色散关系$\varepsilon(p)$并对相空间积分得到的，其中$\varepsilon(p)$和$n(p)$都是确定的函数，前者不随温度变化而后者就是Fermi-Dirac统计公式。然而，对于费米液体系统，总能量E不再是这个关系了，因为准粒子之间的耦合作用能量必须要考虑进来。同时，即使是单个每个粒子的能量$\varepsilon(p)$也与其周围的粒子状态有关而不再是一个确定的函数了，它成为$n(p)$的泛函！虽然$n(p)$在形式上依然是Fermi-Dirac统计公式，但由于其中的$\varepsilon(p)$是一个泛函而变得十分微妙。这里，Landau再次假设，费米液体是弱耦合量子系统，准粒子之间相互作用可看作微扰。于是，他将能量$\varepsilon(p)$的变分展开到关于$n(p)$变分的二阶并引入第二个唯象物理量$f(p,p')$，它处于Taloy展开的第二项也是该理论所考虑的最高项的系数中。之后的处理都是数学上的，在理解了Landau的思维后应当是显而易见的，在所有书上几乎都有程式化的推导，这里从略。
最后，必须注意的是，这里的重整化依然存在而且极其关键，因为准粒子的有效质量$m^*$不等于原粒子的真实质量$m$，尽管原粒子可以不重组就变成准粒子（这正是我们所提到的对其行为的描述发生了变化，因为$m^{*}$与唯象函数$f(p,p’)$有关，从而直接影响了比热、压缩率等热力学量）。顺便提一下，上边所介绍的是费米液体的平衡态性质，引入了几个唯象参数，没有定量预言；如果我们考虑其非平衡态性质，则根据微扰论可以得出一个定量性的预言，即“零声”现象，它相当于忽略Boltzmann方程中的碰撞项而导出的不依靠“碰撞”机制传递的费米面波动信息，实验上在低温下的氦3中观测到了。 此外，Landau该理论只适用于存在平移对称性的三维系统，对一维系统无效，那时有Luttinger Liquid Theory。
总结一下，Landau费米液体理论的关键在于假设衰减迟豫时间与偏离费米面大小的平方成反比，于是在低激发前提下可以忽略衰减效应从而将系统的状态与一个假象的费米气体系统一一对应起来，并将原粒子变成了准粒子（再次强调，有可能有重组，但Landau唯象理论无法确定）。貌似没有什么变化的对应，重整化不一目了然却十分重要：(i). 准粒子的等效质量$m^{*}$变化了，它是一个唯象参数只能由实验测量；(ii). 系统能量分布$\varepsilon(p)$不再是确定的函数，而成了分布$n(p)$的一个泛函。
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