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弦乐四重奏
悟言一室之内
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1.
最近看到不少人人好友转发一篇关于“数学和音乐之关系”的日志，大致涉及到了（例如钢琴琴键的）音高应当如何确定的问题。可在我看来，此文就关键问题只是隔靴搔痒，并未切中要害，且行文并不明净，难以卒读。可另一方面，我相信，诸如“音阶的高度应如何确定”这样的问题，对于和我一样有理科背景的音乐爱好者来说，是极富趣味和吸引力的。于是有了写这篇小文的想法。我自然不是专家，对这些问题的些许知识，仅限于此前读过的一点律学书。好在律学，就其基本内容而言，并非高深的学问。有理科背景的读者若想明白这些道理，应该是易如反掌的[1]。
简言之，本文要讨论的内容大致起源于这样一些朴素的疑问：
1、 为何是十二平均律？亦即，一个八度内的音何以需要（按等比数列）作12等分，而不是10等分、或者13等分？
2、 为何要在12个半音音阶内选出特定的一些音级，以构成大调音阶、或者五声音阶？这种选择是纯然基于文化习俗、还是另有物理的原因？
3、 何谓谐和的音程？为什么纯五度谐和而增五度不谐和？更尖锐地：为何小三度谐和而增二度不谐和，即使它们依十二平均律是相等的音程？再一次：谐和与否的判据，在何种程度上基于习俗的约定、何种程度上来自物理的考虑？
4、 据Pythagoras学派说，和谐音程的诸频率具有简单的整数比。但是十二平均律的12个半音级中，任何两个音的频率比都是无理数。这如何解释？
这些问题的答案，有的很容易想到，另一些则未必。同时，这些问题也相互关联。我并不试图在下文完全回答它们，而只是简单地展开之。
2.
让我们以一些老生常谈开始。具有固定频率的单频谐振动，被人耳反应为一定的音高。例如，A4音（旧称a1）的频率通常约定为440Hz。实际上，乐器很少能发出单频谐振动，而往往是在一个较强的单频模式上，叠加若干较弱的高频模式。这里，频率最低、幅度最大的模式，我们称之为基音，而其上较弱的高频模式，称之为泛音。当泛音的频率是基音的整数倍时，它们就不易为人耳所单独察觉，而是起到修饰音色的作用，其总的效果是，我们听到了一个具有固定音高（等于基音频率），同时具有特殊音色（由泛音频谱决定）的乐音。在这方面，弦乐器和管乐器都是典型的例子。反之，如果在基音上方叠加的高频模式并不是基音频率（基频）的整数倍，我们的耳朵通常就不会听出固定的音高，从而将其识别为噪音（这里并非在噪音的日常意义上使用之）。典型的例子如各种打击乐器[2]。
人耳对频率的响应，如同对响度的响应，具有对数的模式。所谓相等的音程，是指频率比的相等而非频率差的相等。所谓八度，是指频率比为2的音程。如此一来，只要确定一个音的频率，其上下八度间隔的各个音的频率也就确定了——无非是乘以2的整数次幂[3]。请注意这里的逻辑：我们为行文方便计，将2倍频定义为“八度音程”。至于“八度”，则来自大调音阶的约定，并无特殊的理由。而为何是大调音阶，确是有待回答的问题。
只有八度音程的音乐自然是过于单调了。我们仍需在一个八度之内添入新的音。这些音的频率该如何指定，正是我们现在要解决的问题。
为叙述方便，让我将频率的单位取为八度之内第一级音的频率。如此一来，一级音的频率就是1，而其上八度音的频率就是2，其下八度音的频率就是1/2。
另一个重要的约定是，由于此后我们只关心一个八度之内的音，所以将相差若干个八度的两个音视为等同。换言之，我们将频率模掉2的任意整数次幂。这样，我们所关心的频率只在1到2之间取值。例如，前述的自然泛音列具有频率 (1, 2, 3, 4, 5, 6, …)，按照此处的约定，它们在一个八度内所对应音高的频率就是 (1, 1, 3/2, 1, 5/4, 3/2, …)。当然，这并不单纯是约定，而和人耳的听觉特性有关。否则，我们就会问，为什么要模去2的整数次幂而不是，比如说，3/2的整数次幂？一个可能的回答是，2倍频处于自然泛音列的第一级，在所有泛音中，其响度通常最大。这种与基频长期的共生，大概会使我们的听觉倾向于将这两者视为相同的音。
3.
如此一来，可以立即依定义写出十二平均律中各音高的频率值，如下图：
这图一目了然：十二平均律即将八度音程（2倍频）按等比序列作12等分。
由此我们立即明白，十二平均律的明显好处，就是“平移不变性”：将八度之内任意音重新认作第一级音，则其上八度之内的十二个音的间距（在等比例的意义下）仍然不变。这对音乐的移调自然是重要的。
为了以下行文方便，我们在此借用十二平均律的好处，将其半音音程（2的十二分之一倍频）按等比例作100等分（或者干脆，将频率取对数然后作100等分），并将其中的一份的音差（即2的1200分之一倍频）称为1音分（cent）。如此一来，十二平均律的每个半音都是100音分，每个全音都是200音分，而八度则是1200音分。音分和频率的换算公式，这里就不详列了，因为实在是很简单的算术。
此刻我们立即遇到之前提到的两点疑问：一是，为何是12平均律，而不是随便的13、14、15平均律？——如果我们想到任何“平均律”都有平移不变性，都适合移调，那么这个问题就很突出了。二是，12平均律的任何两个音的频率比都不是简单的整数比，我们为何会听到和谐的旋律呢？（比如，请试听Bach平均律键盘曲集第一卷的C大调前奏曲[试听][4]。）
这其实是相互关联的两个问题。音乐的奇迹，律学的纠结，都在于此。其答案，一言以蔽之，就是如下约等式：
二分之三，显然是自然泛音列第二泛音与第一泛音的频率比，这样简单的整数比，按照Pythagoras学派的看法，当然也依照我们耳朵的意见，是谐和的。另一方面，十二平均律的第八级音，2的7/12次方，与之仅有2音分的差别（即五十分之一个半音）。这微小的差别基本无法为人耳所分辨。因此，十二平均律的纯五度（即700音分），应当是足够谐和了。
那么其余各音呢？为理解之，这里考虑另一种“有理的”律制。其出发点是：既然“7个半音”很接近3/2倍频，那么不妨就取7个半音的音程为3/2。又因为7与12互质，所以可取3/2倍频为生成元，上下行逐个生出十二个音。如果取C音为第一级音，则向上，我们依次得到：
G, D, A, E, B, #F, #C, …… ;
向下依次为：
F, bB, bE, bA, …… .
这样，每个音的频率都是第一级音的有理数倍。比如，上行序列前七个音的频率为：
下行同理可得。这种以纯五度为生成元生出各律的律制，习称为五度相生律(circle-of-fifths system)。
显然，在五度相生律的生律序列（而不是音高序列）中，距离第一级音（比如C）愈近，则愈谐和。所以，G、F都可与C构成谐和的音程，而#C、bA就不可。依照这种逻辑，我们大概会觉得，构成大三和弦的第二级音（如C-E-G中的E）在生律序列上离第一级音过于远，以致大三和弦不如我们期待的那样谐和。一种解决的办法，是在纯五度=3/2的基础上，引入大三度=5/4，用这两个生成元同时生律。由之而得的另一种更复杂的律制，习称纯律(just intonation)。此不详述。
五度相生律有一个独特的性质，在十二平均律是没有的。那就是，如过我们按照上下行生律序列继续下去，就会发现，#C和bD并不是等音。实际上，#C比bD高24音分，约合1/4个半音。这似乎有助于理解，为何小三度谐和而增二度不谐和：因为在五度相生律的生律序列中，bE距C较近，而#D距C则远得多。
你也许早就看出五度相生律的麻烦了：它的生律序列，无论上行下行，在生完12律之后，并不闭合。同时，在这种律制下移调，也是蛮复杂的问题，不若十二平均律那样简单。有趣的是，西方音乐和中国音乐对律制的探索，都以五度相生律始，最终都达至十二平均律。现在，十二平均律公认的最早提出者，是明代的朱载堉（1584年）。
关于十二平均律，我们尚未回答的问题是：除了纯五度，十二平均律其余各音的谐和性如何？既然我们已经有了一种“有理”的五度相生律，那么不妨将这两种律制中的每个音逐个比较，以见其差别。你大概早已想到，这差别的音分值按生律序列成等差数列，如下图所示。
此图的纵坐标是音分值。可见，两种律制最多不差15音分，略大于半音的1/7。所以，十二平均律的和谐性，大概不是严重的问题。
4.
最后，我们回到本文一开始提到的问题：为何是十二平均律？
我们已经看到，如果从五度相生律出发，去寻找一种具有周期性和平移不变性的律制，大抵会找到12平均律，而不是别的。但这并不意味着十二平均律是唯一可能的平均律，换言之，在其它平均律中，我们也常能找到与（比如说）纯五度相近的音程。
A. Schoenberg用自然泛音列来说明十二平均律、大调音阶，以及半音音阶的由来[5]。按照他的说法，基音（比如C）上的前六个自然泛音，加上其上属音（即基音上方纯五度，比如G）上的前六个自然泛音，以及其下属音（基音下方纯五度，比如F）上的前六个自然泛音，除去冗余的音（即模2的整数次幂相等的音），即得大调音阶。（请读者自己验证。）这就是为什么要在12个音中选出那7个音（C,D,E,F,G,A,B）作为“白键”的原因。
Schoenberg继续说，如果将基音及其上下属音上方的自然泛音列从前6个扩展到前12个，就得到了12个半音音阶。按照他的说法，就像物理规律挑出了我们听来十分谐和自然的大调音阶一样，他的十二音作曲法，也有物理规律的支持。这种说法有多少道理，我并不清楚。比如，这种辩护至少也可用于中国的五声音阶。同时，我们还可以怀疑两点：一是，第七个、以及更高的自然泛音，在通常情况下都极弱，难以为人耳分辨。二是，从第7到第12泛音中的好些音，与十二平均律的半音有相当显著的差异。比如，基音上方第11泛音合551音分，介于十二平均律的F与#F之间。
事实上，我们完全可以考虑其他可能性，6平均律，19平均律，24平均律，等等。可以想象，这些律制将产生非常特别的调性音乐——至少对于熟悉西方音乐传统的耳朵来说。比如，6平均律正好对应于八度之内的全音阶。一个应用全音阶的例子是Debussy的《前奏曲》第一卷第二首的开始两小节[试听]。再如，24平均律[试听]是阿拉伯音乐的基本的生律法。考察其他文化传统中的音乐，或者考察20世纪以来的各种探索，种类繁多的平均律更是不胜枚举。
简单总结之，单从物理的角度看，律学的主要问题是谐和性、周期性与简单性三者之间的矛盾[6]。十二平均律相当漂亮而平衡地调和了这组矛盾，从而能够成为一种广泛使用的律制。
同时我们不应忘记，律制的选择和差异，并不单纯是物理或数学的问题，它同时还受到不同文化背景的影响。我以为，单纯从物理规律出发为某一种律制辩护的方式往往是十分可疑的。
另外，人耳对音高的听辨显然有一阈值[7]。低于10音分的差别，一般来讲就很难听出了。作为对比，小提琴手揉弦的幅度，通常在50音分左右。在实际操作中，注意到不同律制间的差异有时是重要的。比如，纯律和十二平均律可有十几音分的差异。所以，普遍使用纯律的小提琴与使用平均律的钢琴在合奏时可能就需要注意到这差别。可是，如果离开这些实际问题，单纯讨论这些相当平凡的算术，就显得过于学究气了。
所以我们不妨就此停住。
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[1] 即使如此，仍然得说，我无法像在此前关于物理的日志那样，保证这篇文章的专业性。以我有限的经验看，此类知识性的文章，若非出于本行专家之手，即使可以做到叙述正确无误，也不易保证纯正的品味。所以我请读者提防这个危险。另外，这篇文章不是科普，我无意为每个术语作花哨的名词解释。所以请读者去wiki自行搜索那些不明白的概念。
[2] 对波动方程有经验的读者会很容易理解这一点：管乐器的振动体是空气柱，弦乐则是琴弦，所以都是一维的。一维波动方程的模式呈等间隔排列，所以高频模式的频率自然是基频的整数倍。与此相对，打击乐的振动体通常是二维（鼓、钹），其高频模式往往不是基频的整数倍，所以很难被耳朵听出确定的音高。在轴对称的情形（如大鼓），请回忆Bessel函数的节点。当然，如定音鼓、编钟等乐器能奏出近似但不纯净的乐音。这是由于它们的形状经过了特别设计，接近整数倍频的模式被特意强化了。
[3] 暂不考虑人耳的听觉在远离中频时的非线性。
[4] 1、Bach的十二平均律钢琴曲集，依原文Das Wohltemperierte Klavier，本意是为调律良好的键盘乐器所写的音乐，并无平均律之意。但这些遍历24个大小调的作品的确显示了十二平均律在移调方面的优势。2、本文所用各音频资源均来自wikipedia或IMSLP，以下不再标注。
[5] A. Schoenberg, Style and Idea, Philosophical Library, New York, 1950.
[6] 这让我们立刻想到另一个非常相似的例子，即历法学。在那里，需要调和的矛盾是地球自转、公转，以及月球转动的周期不可“通约”。
[7] 请试听相差1音分的两个音首先分别演奏、然后叠加演奏的效果[试听]。再试试6音分[试听]和10音分[试听]。你应当能够听出这些细微音差在叠加后形成的拍。你也可以用诸如mathematica之类的软件试验更多的例子。
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