哈密顿算符不同形式下的表达式
胡连钦(08180218) 范世炜(08180218)
摘要：由直角坐标系中的哈密顿算符向不同坐标系转换，将得到不同形式（极坐标、柱坐标、球坐标和矩阵）的哈密顿表达式。本文采用直接微分运算的方法，详细的介绍了哈密顿算符表达式的数学推导过程，降低了初学时的难度。另外本文还通过计算，直接给出了动量分量的算符表述，并且针对不同情况补充相应的例题或是加上哈密顿算符的具体应用。
关键词：哈密顿算符 微分运算 推导过程 动量分量 算符表述 应用
1.引言
在经典力学中，我们定义哈密顿算符为总能量算符：
如果我们从波函数
出发，位置算符是空间矢量自身： 
出发，位置算符是空间矢量自身：
它的分量是 
，
， 
， ，
1.引言
在经典力学中，我们定义哈密顿算符为总能量算符：
如果我们从波函数出发，位置算符是空间矢量自身：
出发，位置算符是空间矢量自身：
它的分量是 ， ，
， ，
动量算符表示为
它的分量是 ， ，
， ，
对应的哈密顿算符可以通过标准的替换规则得到
得到通过比较，发现（1.3）与（1.1）不一致，但是（1.1）式是正确的，错误的原因是
并非厄密算符，一个算符F满足，才是厄密算符。量子力学中表示力学量的算符必须是厄密的，而动量分量显然是力学量，所以表示动量分量的算符必须是厄密算符所以我们通过构造动量分量
的算符，在经典力学中，径向动量就是动量的径向投影，定义为或，过渡到量子力学，由于
和
不对易，为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取
量子力学理论可以证明：每一力学量算符在矩阵代数中都有一对应的矩阵表示。现在，我们对哈密顿算符的矩阵表示作一简略的数学推导。在量子力学中，所研究的重要问题就是求解薛定谔方程： （4.1）
的矩阵表示作一简略的数学推导。在量子力学中，所研究的重要问题就是求解薛定谔方程： （4.1）
如果将波函数看出是n个线性无关的波函数的线性组合，即：
看出是n个线性无关的波函数的线性组合，即：
如果我们选取一组正交向量，，···，作为n维空间的一个基底， 从而可以用向量形式表示出来，即： （4.3）
再将哈密顿算符，，···，作为n维空间的一个基底， 从而可以用向量形式表示出来，即： （4.3）看成是在该矢量空间的线性变换，则可用矩阵来表示这个变换。矩阵代数告诉我们，任一向量经线性变换后仍为该空间的一个向量。因此，
经变换后，可得一新的向量。任一单位矢量经变换后所得的新矢量一定可写成，，···，的迭加形式，如地球在太阳系中的运动，电子在原子核周围的运动等等。在量子力学中求解中心立场的问题时，通常选
作为守恒量完全集，用它们的共同本征态来对定态进行分类。
上式左边第二项称为“离心势能”，角动量越大则离心势能越大；第一项可表示为，称为径向动能，其中，是径向动量。
取，称为径向动能，其中，是径向动量。为的共同本征函数， 不同的中心力场就觉定了不同的径向波函数，及其本征值。径向方程（1.2）不含磁量子数。因此能量本征值与无关。可以这样理解：由于中心力场的球对称性，粒子的能量显然与
轴的取向无关。但是其能量与角量子数有关，在给定的情况下，
，共有
个可能取值，因此，一般来说，中心力场中粒子的能级是简并的。在一定条件下即可求解径向方程（1.2）或（1.3），即可得出能量本征值。一般在束缚态条件下求解径向方程时，将出现径向量子数
，它们代表径向波函数的节点数（其中着两个奇点不包括在内）。现实生活中的粒子一般是在三维势场中运动的，但是近年来，由于技术上的进步，有效的低维（如二维）体系的制备已在实验上逐步实现（如分子束外延技术制备半导体纳米结构等），低维量子物理的研究已引起人们广泛关注，下面我们讨论二维中心力场中的问题
二维库伦力场和三维库伦力场的问题有一定的相似性，事实上，只要把三维库伦力场中
，即可求得二维库伦力场中的能级公式。但是，从径向分布来看，二维和三维的氢原子也存在较大差异。例如圆轨道（径向量子数和为0的径向波函数）的最概然半径（自然单位）为例如三维氢原子最低的三条圆轨道0s、0p、0d的最概然半径分别为1：4：9，而二维氢原子最低的三条圆轨道的最概然半径为
，即这些相邻的圆轨道的最概然半径的差别，对于二维氢原子要比三维氢原子明显得多
在分子轨道理论中，用矩阵法求解本征值方程则有着它独自的优势。下面我们以处理丁二烯的化学键为例说明。
丁二烯是一个典型的共扼分子, 其结构式为,设其分子轨道波函数可由各碳原子的P轨道波函数线性组合而成, 即,暂且将 看成是相互正交的单位矢量（
实际上并不完全正交，但是由于其轨道重叠度较大，因此如此假设的误差非常小）, 那么可以写成向量形式在四维空间, 哈密顿算符为：
,设其分子轨道波函数可由各碳原子的P轨道波函数线性组合而成, 即,暂且将 看成是相互正交的单位矢量（
实际上并不完全正交，但是由于其轨道重叠度较大，因此如此假设的误差非常小）, 那么可以写成向量形式在四维空间, 哈密顿算符为：
4、结论与讨论
以上是我们推导哈密顿算符不同形式的表达式的过程及具体的例子应用，事实上，对于相关的动量直接量子化，得到的结果则会比正确结果多一些含有的项或少一些含有的项，量子力学中称这些项为含糊项。这些项虽然并不产生任何物理影响，却带来了H形式上的不确定性。本来通过计算给出了动量分量的算符表述。
的项或少一些含有的项，量子力学中称这些项为含糊项。这些项虽然并不产生任何物理影响，却带来了H形式上的不确定性。本来通过计算给出了动量分量的算符表述。
从前面的一些推导过程可以看出，最好在笛卡尔坐标系中建立正确的结果与两种坐标之间的相互关系，来得到非笛卡尔坐标系中的正确表达式。
的正确表达式。
哈密顿算符不同形式下的表达式
胡连钦(08180218) 范世炜(08180218)
摘要：由直角坐标系中的哈密顿算符向不同坐标系转换，将得到不同形式（极坐标、柱坐标、球坐标和矩阵）的哈密顿表达式。本文采用直接微分运算的方法，详细的介绍了哈密顿算符表达式的数学推导过程，降低了初学时的难度。另外本文还通过计算，直接给出了动量分量的算符表述，并且针对不同情况补充相应的例题或是加上哈密顿算符的具体应用。
关键词：哈密顿算符 微分运算 推导过程 动量分量 算符表述 应用
1.引言
在经典力学中，我们定义哈密顿算符为总能量算符：
如果我们从波函数出发，位置算符是空间矢量自身：
出发，位置算符是空间矢量自身：
它的分量是 ， ，
， ， 
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