如果频率能表示为经验项之差（ 譬如氢原子的Rydberg公式），那麽 Ritz组合原则即可满足，能量系统可以用一个“二维”数集来表示，两个下标相同的代表某个状态下的能量，下标不同的则代表在这两个状态之间发生的能量跃迁
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断章师爷
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 标题: 卿本佳人，奈何从贼 ---------- 数学家和物理学家Pascual Jordan其人其事(一) (708 reads) 时间: 2010-6-09 周三, 上午9:54 | |
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卿本佳人，奈何从贼 ---------- 数学家和物理学家Pascual Jordan其人其事(一)
断章爷师
前不久，我分别介绍了两位物理学大师Lise Meitner 和 S.N.Bose的故事。他们与诺奖擦肩而过的原因人言人殊，这次还想介绍一位诺奖无缘，史书留名的大师级人物。这颗一度极其璀璨的科学明星被由斯德哥尔摩五人组成的诺奖评委会拒之于大门外的原因是政治。
话说1924年，才23岁的德国青年学者W.Heisenberg拿到国际教育委员会洛克菲勒基金会的资助去哥本哈根 N.Bohr 的原子物理研究所与 H.Kramers（1894－1952）一起从事原子散射方面的研究。7个半月后他回到哥廷根把自己做的一些计算拿给 W.Pauli看，并且加了一点评论：“对我来说，一切都还是扑溯迷离和模糊不清，但看起来电子好像并不更多地在轨道上运动……。”
不久，他又抄送了一份给 M.Born ，并说自己写了一篇几近疯狂的论文，以至于不敢送去发表，希望M.Born看看并给予他一些指点。 W.Heisenberg明确表示了他不喜欢N.Bohr的轨道概念，而希望改用实验观察得到的辐射频率及其强度进行阐述。他自己因为花粉严重过敏，不得不去北海的黑尔戈兰岛度假。
W.Heisenberg大胆的念头是保留Newton的经典方程，但是使用一种新的位置量取代传统的位置座标。这种新的位置量含有可以从原子光谱中测定的信息，而舍弃了无法观察到的电子轨道。他在与H.Kramers的合作中发现辐射频率服从所谓 Ritz 组合的经验关系：
Fij + Fjk + Fki = 0
如果频率能表示为经验项之差（ 譬如氢原子的Rydberg公式），那麽 Ritz组合原则即可满足，能量系统可以用一个“二维”数集来表示，两个下标相同的代表某个状态下的能量，下标不同的则代表在这两个状态之间发生的能量跃迁。基于频率的“二维”本性， W.Heisenberg 用“二维”的广义坐标去取代“一维”的Fourier 分量 。为了模拟Fourier级数，要求“二维”数集的首项必须与其对应的复数部分相等。从Ritz组合原则及对应原理，可以推测出这类“二维”数集[XX]mn的乘法规则是XmjXjn 的加和。凭这些结果，聪明的W.Heisenberg就得出了谐振子的零点能等于（1/2）的Planck常数和频率乘积的数值以及许多其他结论。然而，正如他自己在半个世纪以后回忆的“我必须承认，当时我并不知道什么是矩阵，也不知道矩阵的乘法规则，……”
看了W.Heisenberg的文章，M.Born一下子就意识到了他的工作中蕴藏着一种全新的思维和革命性的观念。起初，M.Born对于W.Heisenberg的“二维”数集亦感到不理解，后来他醒悟到这些数集的两个脚标运算与矩阵的运算相似。1954年年底，M.Born在他的诺贝尔演讲中揭示了当时的情景“某个早晨，大概是1925年7月10日，我突然看见了亮光，W.Heisenberg的符号乘法不是其它什么，就是矩阵计算！因为我在Breslau大学听过Jakob Rosanes的矩阵代数课程，……” 而且他还曾在一篇关于电动力学的文章里使用过矩阵表示晶体的点阵理论。
M.Born希望能找到一位有比较强的数学背景的合作伙伴，从理论上完善W.Heisenberg的工作。1925年7月19日他邀请以前的助手W.Pauli合作，但是后者拒绝了他的建议，认为M.Born偏重数学的计划会束缚甚至损害 W.Heisenberg对物理现象的直觉天赋！ 翌日M.Born找到自己的学生Pascual Jordan相助。P.Jordan 的数学根底，特别是在代数领域里的造诣是出类拔萃的。 他在哥廷根大学师从著名的犹太裔数学大师 Richard Courant (1888-1972) 成了他最得意的弟子之一，并介绍给David Hilbert。 22岁的P.Jordan因为与犹太裔物理学家James Franck (1882-1964，1925年物理学诺奖获得者)合著了《碰撞引起的量子跃迁的激发》(Anregung von quantensprungen durch stoesse) 已经在物理学界声誉鹊起。
于是M.Born便与P.Jordan合作开展这方面的工作。前者的物理学洞察力加上后者的数学天赋，很快结出了丰硕的成果----- 他们发现了量子力学的对易关系。根据矩阵的运算性质，任何两个矩阵A和B的乘法是不能对易的： 即AB与BA 之差不等于零。所以一个物理系统的广义坐标矩阵p及其及其共轭动量矩阵q的乘积也是不对易的：pq与qp之差也不等于零。根据M.Born的猜测，p与q的对易关系可以表示成（Planck常数和单位矩阵的乘积）除以（2倍的圆周率和虚数i的乘积），再乘上一个单位矩阵。P.Jordan很快就用数学证明了非对角线元素都为零，对角线元素则对应着 W.Heisenberg在他文中给出的量子状态。这个对易关系遂成为量子力学最基本的一个假设。 无疑，M.Born和P.Jordan的诠释和延伸使得W.Heisenberg的概念更易理解和被人接受。
他们还假设了运动方程具有经典力学中的正则形式，也即用Hamilton 算符表示的运动方程。在W.Heisenberg的论文寄出60天后，德国物理学会会刊收到了M.Born与P.Jordan合作的文章。一个多月后，W.Heisenberg、M.Born与P.Jordan三人携手合作，又发表了一篇文章。
就这样，演绎出了量子力学史上称为“三人论文”(Dreimännenrarbeit，的意思是“三个人的工作”或“三个人的作品”)的佳话：即 W. Heisenberg一人发表的《量子－运动学和力学关系的理论重新诠释》（Über quanten theoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen ） , Zeitschrift für Physik, 33, 879-893, 1925 (1925 年7 月29 日收到)；M. Born and P. Jordan 二人发表的《关于量子力学》（Zur Quantenmechanik ） Zeitschriftfür Physik, 34, 858-888, 1925 (1925 年9 月27 日收到)；以及M. Born, W. Heisenberg, and P. Jordan 三人发表的《关于量子力学（2）》（Zur Quantenmechanik II）, Zeitschrift für Physik, 35, 557-615, 1926 (1925 年11 月16 日收到。)他们三人的工作创建了一门全新的学科----矩阵力学，自然这三人中数学根底最强的P.Jordan厥功尤伟。
不久 W.Pauli 就依据他们三人建立的矩阵力学计算出了氢原子的稳态能量值， 结果与N.Bohr 的表达式完全一致。
1926年奥地利的E.Schrödinger建立了波动力学，并且从数学上证明了与M. Born, W. Heisenberg和 P. Jordan建立的矩阵力学是等价的。
也就在同一年，P.Jordan又和P.Dirac各自独立地发展了一种普遍的变换理论，给量子力学提供了一种简洁完美的数学表达式。
1928年A.Einstein提名W.Heisenberg、M.Born和P.Jordan三人为诺贝尔物理学奖候选人。遗憾的是，未曾兑现。
（未完待续）
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卿本佳人，奈何从贼 ---------- 数学家和物理学家Pascual Jordan其人其事(二)
断章爷师
Pascual Jordan (1902-1980)出生于汉诺威一个西班牙和德国的混血家庭，祖上是西班牙南部 Alcoy 地区的贵族，其家族谱系可以追溯到公元9世纪。 Jorda 家族在反对拿破仑战争期间，效忠英国王室。惠灵顿战胜拿破仑后， Jorda 家族被派驻德国汉诺威，他们的姓也由 Jorda 改为 Jordan。
P.Jordan从小就被送到最好的贵族子弟学校接受极其严格的培养和教育，打下了非常扎实的基础。1921年他进入了汉诺威工业大学，选修了动物学、数学和物理学。1923年他转学到哥丁根大学，先跟随Richard Courant(1888-1972) 学习数学，后来转入 M.Born 门下研究物理学。
年青的P.Jordan在物理学界迅速崛起，成为一颗异常耀眼的新星。
目下，一般的量子力学教科书都是着重介绍波动力学，然后再指出波动力学和矩阵力学在数学上是等价的。倘若我们回过头来看看奠定矩阵力学的前述3篇论文，还是很有意思的。
无疑，这3篇文章中最关键的部分是M.Born和Pascual Jordan 共同署名的第2篇文章。 M.Born 坦陈“在用矩阵符号重复 W.Heisenberg 的计算结果时， 我立刻迫使自己相信非对角线元素唯一合理的取值是零。于是我写下了那个奇怪的表示式（师爷按，即前述的对易关系：pq-qp = h/(2倍的圆周率乘以i)， M.Born 去世后和夫人 Hedwig 合葬在哥丁根的一个公墓里，与David Hilbert、Max Planck、Max von Laue 以及Walther Nernst 等人的坟茔相邻。 M.Born 的墓碑十分简单： 第一行是他的姓名；第二行是他的生卒日期；第三行就是对易关系。再下面是他夫人的姓名以及她的生卒年月日 ） 。但这仅仅是个猜测，我所做的全部证明都没有成功。 ” 在P.Jordan的帮助下，运用数学中的矩阵方法将 W.Heisenberg 的计算结果发展成了量子力学的系统理论。
他们的这篇文章共分四个部分。第一部分向物理学家介绍了矩阵代数的概念；第二部分建立了量子力学的基本假设；第三部分研究了非谐振子的能量谱系；第四部分介绍了电磁场的量子化过程。文章的精华在第二部分，也就是P.Jordan的主要贡献。文中提出了5个基本的假设：
第（1）个假设是引入了位置p和动量q的矩阵，将之表示成“二维”的Fourier形式，强调指出式中的频率是原子辐射的频率而不是电子的频率。
第（2）个假设是频率的结合规律。指出谐振子的任何动力学矩阵（即位置p和动量q 的任何函数） 都具有相同的频率。也就是说假定位置p和动量q矩阵中的元素nm 的振动频率是300MHz 的话，那麽p和q的任何形式，譬如p的平方、q的立方或者它们的任何组合形式中矩阵的元素nm都将以300MHz 的频率振动。
第（3）个假设是运动方程。利用Hamiltonian符号书写的位置p和动量q的运动方程具有和经典力学完全一样的表示式。
第（4）个假设是能量谱系。N.Bohr 的旧量子论中能量的量子化是硬性规定的。然而在矩阵中的数集，由于行和列的离散结构， 直接就得出了能量的量子化结果。
第（5）个假设是量子条件。P.Jordan利用位置p对于动量微分dq的环路积分，分别导出了p和q的Fourier展开式。再利用相关的变换，得出了量子条件的矩阵表示式。
不难看出，这5个假设构筑了矩阵力学的基本框架。P.Jordan作出的贡献自然也一目了然。此外，他们还在文中讨论了不少内容，包括多自由度系统、Hermitian矩阵和它的特征值、微扰法以及角动量等问题。
P.Jordan建立的矩阵力学与E.Schrödinger建立的波动力学在数学上是等价的。前者是经典力学中的Hamilton 形式（对易关系）在量子力学中的表述；后者则是Hamilton –Jacobian形式（波函数的指数表征）在量子力学中的表述。除此之外，上世纪40年代由Richard Phillips Feynman ( 1918 – 1988) 开辟了第三条道路，通过路径积分将经典力学中的Lagrangian形式引入了量子力学。
一般说来，人们比较喜欢使用直观简洁的波动力学，因为比较实用。但在研究有些问题时，矩阵力学具有必可替代的优越性。我以前在处理大分子材料的偏振性能时，探讨加工过程中拉伸引起的纤维取向对于薄膜光学参数的影响，却一直找不到合适的表征关系。最后应用矩阵力学的结果，只需要一个十分简单的积分算式就得出了偏振角度矩阵前面系数的取值范围，与实验结果符合得很好。
由于M. Born, W. Heisenberg和 P. Jordan以及E.Schrödinger等的工作，使得人们对于量子力学这门学科有了一个比较清楚的认识。经典力学处理的是低速宏观物体的运动，量子力学处理的则是低速微观物体的运动。
据说，David Hilbert见到P.Jordan的工作后说了句“将物理学留给物理学家，对他们来说显然是太过困难了些。所以数学家仍然相信他们是上帝给科学的礼品。” 无疑，P. Jordan正是这样一份精美的礼品。
1909年A.Einstein 在《关于我们对辐射的性质和构成观念的发展》（Entwicklung unserer Anschauungen über das Wesen und die Konstitution der Strahlung，Physikalische Zeitschrift, 10, 817–825，1909） 一文中导出了充满辐射黑体的箱子中的微小亚体积的均方能量涨落的表示式。该式由粒子和波2 项之和组成。他因此得出结论：适合光的理论必须由粒子理论和波动理论两个方面结合而成。 此后不久，包括M.von Laue、M.Planck 、P.Ehrenfest 以及A.Einstein自己在内的不少大师都通过不同的途径避开光量子的概念试图导出这个表示式。
众口一辞，其中最杰出的工作还是P.Jordan做的。从1925年到1928年中他一连发表了7篇论文讨论这个问题。他将矩阵力学应用于一个波动系统，直接得到了A.Einstein 涨落表示式中的那2个项。P.Jordan进而指出这2 项并不一定要求一个分离过程，使得一个只含粒子，另一个只含波。 在矩阵力学中这2项可以从一个简单的独立运动学框架中得到。因为运算过程中出现的2个能量增量乘积的交叉项对于均方能量涨落的贡献实际上已经复制了A.Einstein表示式中的粒子项。Max Planck认为P.Jordan的工作“通过经典的波动理论，不需要添加任何新的假设，自动得出了光量子波粒二象性的图像。”W. Heisenberg在给W.Pauli的信中坦承“Jordan 声称他的计算直接得出了经典的结果和Einstein的粒子项。……我很抱歉，因为没有足够的统计力学知识，无法对他的工作进行具体的评估。但是我能预见到这种计算对于物理学的前景必然会产生的深远影响。”A.Einstein本人评价P.Jordan所做的上述工作是“tricky but kosher”
1926年，意大利的E. Fermi发表了一篇关于单电子理想气体的量子化的论文，介绍了他计算的服从Pauli不相容原理的粒子分布规律。差不多同时，英国的P.Dirac在一篇关于量子力学理论的文章中也得出了和E.Fermi完全相同的计算结果。这种角动量的自旋量子数为半奇数的粒子现在称为费米子(fermion) ，其分布规律称之为 Fermi-Dirac统计。其实，早在1925年P.Jordan 就计算出了这一结果，当时他把这种粒子称为泡利子(paulion)，把计算结果称之为Pauli统计。他把自己这篇手稿交给《德国物理学会会刊》的编辑M.Born，不巧的是后者当晚正好要去美国各大学做一次巡回讲座，他随手把稿件撂在旅行手提箱里就启程了。 M.Born 在美国耽了大半年光景，在这段时间里， Fermi 和Dirac 的计算结果已经分别发表。然而，事实上P.Jordan 比他们至少早大半年就独自得出了完全一样的结果。
众所周知，量子场理论（QFT，即Quantum field theory的缩写）是量子力学和经典场论结合而成的一门学科，如今已经广泛地应用于粒子物理学和凝聚态物理学中。回溯量子场理论的发轫，会涌现出一大堆辉煌的名字，包括P.Dirac、W.Pauli、V. A. Fock 、朝永振一郎、J.S.Schwinger 、 J. R. Oppenheimer 以及 R.Feynman 等人。可是绝对不应该忘记的是P.Jordan 对于这门学科做出的贡献。
量子场论起源于上世纪20年代创立的电磁场的量子力学理论。正是M.Born 和P.Jordan 在1925年最早考虑这个问题的。翌年M.Born、W.Heisenberg和P.Jordan 通过将场的内部自由度表示成为谐振子的无限数集并且应用正则的量子化条件建立起了一种新的理论。1927年P.Jordan 将对场的正则量子化方法延伸到量子力学中的波函数，并将之称为二次量子化。1928年P.Jordan 和W.Pauli证明场算符的对易关系是一个Lorentz不变量。同年P.Jordan 和Eugene Wigner还发现根据Pauli不相容原理，对于电子场的量子化要求采用反对易的生成算符和湮灭算符。可以方便地处理多粒子体系，对于以后发展的量子多体理论产生了极其重要的影响。根据J. R. Oppenheimer的回忆，1929年他在 Kharkiv（在如今的乌克兰境内）举行的理论物理会议上听了Pascual Jordan 所做的“关于量子电动力学的现状”的长篇发言后，启发了他将相对论中的因果性关系应用到量子场论中，并且在V. A. Fock 的基础上完成了这一工作。所以尊P.Jordan 为量子场论的奠基者绝不为过。
此外，P.Jordan 在数学上的贡献也是一般物理学家难以企及的。抽象代数中有一个分支被称之为Jordan代数。以他姓氏命名的数学名词还有Jordan环、Jordan偶、Jordan三重体系和Jordan正则矩阵等。在数论和射影几何中广泛用到Jordan代数。
1979年，原籍匈牙利的犹太裔物理学家E.Wigner（1902-1995,1963年物理学诺奖获得者，他也是P.Dirac的妻舅。）再次提名P.Jordan 为物理学诺奖候选人，结果还是没有兑现。
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