群论是法国传奇式人物伽罗瓦（ Galois，1811~1832年）的发明。他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了五次方程问题。在此之后柯西（Augustin-Louis Cauchy,1789~1857年)，阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802~1829年）等人也对群论作出了发展。 最先产生的是n个文字的一些置换所构成的置换群，它是在研究当时代数学的中心问题即五次以上的一元多项式方程是否可用根式求解的问题时,经由J.-L.拉格朗日、P.鲁菲尼、N.H.阿贝尔和E.伽罗瓦引入和发展，并有成效地用它彻底解决了这个中心问题。某个数域上一元n次多项式方程,它的根之间的某些置换所构成的置换群被定义作该方程的伽罗瓦群，1832年伽罗瓦证明了：一元 n次多项式方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为“可解群”（见有限群）。由于一般的一元n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群Sn，而当n≥5时Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽罗瓦还引入了置换群的同构、正规子群等重要概念。应当指出，A.-L.柯西早在1815年就发表了有关置换群的第一篇论文，并在1844～1846年间对置换群又做了很多工作。至于置换群的系统知识和伽罗瓦用于方程理论的研究，由于伽罗瓦的原稿是他在决斗致死前夕赶写成的，直到后来才在C.若尔当的名著“置换和代数方程专论”中得到很好的介绍和进一步的发展。置换群是最终产生和形成抽象群的第一个最主要的来源。 在数论中，拉格朗日和C.F.高斯研究过由具有同一判别式D的二次型类,即f=ax^2+2bxy+cy^2,其中a、b、с为整数，x、y 取整数值，且D=b^2-aс为固定值，对于两个型的"复合"乘法,构成一个交换群。J.W.R.戴德金于1858年和L.克罗内克于1870年在其代数数论的研究中也引进了有限交换群以至有限群。这些是导致抽象群论产生的第二个主要来源。 在若尔当的专著影响下，（C.）F.克莱因于1872年在其著名的埃尔朗根纲领中指出，几何的分类可以通过无限连续变换群来进行。克莱因和（J.-）H.庞加莱在对 "自守函数”的研究中曾用到其他类型的无限群（即离散群或不连续群）。在1870年前后，M.S.李开始研究连续变换群即解析变换李群,用来阐明微分方程的解,并将它们分类。这无限变换群的理论成为导致抽象群论产生的第三个主要来源。 A.凯莱于1849年、 1854年和 1878年发表的论文中已然提到接近有限抽象群的概念。F.G.弗罗贝尼乌斯于1879年和E.内托于1882年以及W.F.A.von迪克于 1882～1883年的工作也推进了这方面认识。19世纪80年代，综合上述三个主要来源，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理系统，大约在1890年已得到公认。20世纪初，E.V.亨廷顿，E.H.莫尔，L.E.迪克森等都给出过抽象群的种种独立公理系统，这些公理系统和现代的定义一致。 在1896～1911年期间，W.伯恩赛德的“有限群论”先后两版,颇多增益。G.弗罗贝尼乌斯、W.伯恩赛德、I.舒尔建立起有限群的矩阵表示论后，有限群论已然形成。无限群论在20世纪初，也有专著,如1916年Ο.ю.施米特的著作。群论的发展导致20世纪30年代抽象代数学的兴起。尤其是近30年来,有限群论取得了巨大的进展,1981年初，有限单群分类问题的完全解决是一个突出的成果。与此同时，无限群论也有快速的进展。 时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以至（代数）编码学、自动机理论等方面，都有重要的应用。作为推广“群”的概念的产物：半群和幺半群理论及其近年来对计算机科学和对算子理论的应用，也有很大的发展。群论的计算机方法和程序的研究，已在迅速地发展。 今天，群论经常应用于物理领域。粗略地说，我们经常用群论来研究对称性，这些对称性能够反映出在某种变化下的某些变化量的性质。它也跟物理方程联系在一起。基础物理中常被提到的李群，就类似与伽罗瓦群被用来解代数方程，与微分方程的解密切相关。 在物理上，置换群是很重要的一类群。置换群包括S3群，二维旋转群，三维旋转群以及和反应四维时空相对应的洛仑兹群。洛仑兹群加上四维变换就构成了Poincare群。 另外，晶体学中早期的关于晶体的各种结构的问题中，也是靠群论中的费得洛夫群的研究给出了答案。群论指出，空间中互不相同的晶体结构只有确定的230种。 在研究群时，使用表象而非群元是较方便的，因为群元一般来说都是抽象的事物。表象可以看成矩阵，而矩阵具有和群元相同的性质。不可约表象和单位表象是表象理论中的重要概念。 在许多研究群论的数学家眼中，也即指在抽象群论中，数学家关心的是各元素间的运算关系，也即群的结构，而不管一个群的元素的具体含义是什么。举一个具体的例子，群论研究表明，任何一个群都同构于由群的元素组成的置换群。于是，特别是对研究有限群来说，研究置换群就是一个重要的问题了。
在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。
群在抽象代数中具有基本的重要地位，许多代数结构，包括环、域和矢量空间等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。线性代数群和李群作为群论的分支，在经历了重大的发展之后，已经形成相对独立的研究领域。
群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。
群论中的重要结果，有限单群分类是20世纪数学最重要的结果之一。该定理的证明是集体努力的结果，它的证明出现在1960年和1980年之间出版的超过10000页的期刊上。
群论在历史上主要有三个来源，数论、代数方程理论和几何学。数论中出现的对群的研究始于欧拉，之后由高斯在对模算术和与二次域相关的乘法和加法的研究中进行了发展。群论的概念在代数数论中首先被隐含地使用，后来才显式地运用它们。
关于置换群的早期结果出现在拉格朗日、鲁非尼和阿贝尔等人关于高次方程一般解的工作中。1830年，伽罗瓦第一个用群的观点来确定多项式方程的可解性。伽罗瓦首次使用了术语“群”，并在新生的群的理论与域论之间建立起了联系，这套理论现在被称为伽罗瓦理论。凯莱和柯西进一步发展了这些研究，创立了置换群理论。
群论的第三个主要历史渊源来自几何。群论在射影几何中首次显示出它的重要性，并在之后的非欧几何中起到了作用。克莱因用群论的观点，在不同的几何学（如欧几里德几何、双曲几何、射影几何）之间建立了联系，即爱尔兰根纲领。1884年，索菲斯·李开始研究分析学问题中出现的群（现在称为李群）。
属于不同领域的来源导致了群的不同记法。群的理论从约1880年起开始统一。在那之后，群论的影响一直在扩大，在20世纪早期促进了抽象代数、表示论和其他许多有影响力的子领域的建立。有限单群分类是20世纪中叶一项规模庞大的工作，对一切的单群进行了分类。
群论在数学上被广泛地运用，通常以自同构群的形式体现某些结构的内部对称性。结构的内部对称性常常和一种不变式性质（变换不变性）同时存在。如果在一类操作中存在不变式，那这些操作转换的组合和不变式统称为一个对称群。
阿贝尔群概括了另外几种抽象集合研究的结构，例如环、域、模。
在代数拓扑中，群用于描述拓扑空间转换中不变的性质，例如基本群和透射群。
李群的概念在微分方程和流形中都有很重要的角色，因其结合了群论和分析数学，李群能很好的描述分析数学结构中的对称性，对这类群的分析又叫调和分析。
在组合数学中，交换群和群作用常用来简化在某些集合内的元素的计算。后来群论广泛应用于各个科学领域。凡是有对称性出现的地方，就会有它的影子，例如物理学的超弦理论。
时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以至（代数）编码学、自动机理论等方面，都有重要的应用。作为推广“群”的概念的产物，半群和幺半群理论及其近年来对计算机科学和对算子理论的应用，也有很大的发展。群论的计算机方法和程序的研究，已在迅速地发展。
就科学内容而言，群论属于数学范畴，在许多数学分支中都有它的应用。它还被广泛用于物理、化学及工程科学等许多领域，尤其是物理学成为受惠最多的学科。从经典物理中对称性和守恒律的研究到量子力学中角动量理论及动力学对称性的探索再到同位旋、超荷和对称性，在现代基本粒子物理中的应用等无不闪耀着群论思想的光辉。粗略地说，经常用群论来研究对称性，这些对称性能够反映出在某种变化下的某些变化量的性质，它也跟物理方程联系在一起。基础物理中常被提到的李群，就类似与伽罗瓦群被用来解代数方程，与微分方程的解密切相关。
在物理上，置换群是很重要的一类群。置换群包括二维旋转群、三维旋转群以及和反应四维时空相对应的洛仑兹群等。洛仑兹群加上四维变换就构成了庞加莱群。
另外，晶体学中早期的关于晶体的各种结构的问题中，也是靠群论中的费得洛夫群的研究给出了答案。群论指出，空间中互不相同的晶体结构只有确定的230种。
在研究群时，使用表象而非群元是较方便的，因为群元一般来说都是抽象的事物。表象可以看成矩阵，而矩阵具有和群元相同的性质。不可约表象和单位表象是表象理论中的重要概念。
在许多研究群论的数学家看来，也即指在抽象群论中，数学家关心的是各元素间的运算关系，也即群的结构，而不管一个群的元素的具体含义是什么。举一个具体的例子，群论研究表明，任何一个群都同构于由群的元素组成的置换群。于是，特别是对研究有限群来说，研究置换群就是一个重要的问题。
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发表于 2009-7-5 21:45 
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