Thursday, January 15, 2015

定态薛定谔方程中有势能项 没有的磁场作用下,如果不考虑光谱的精细结构,相对于库伦势项, 碗底形状就好比是势能函数U

bowl01      定态薛定谔方程中有势能项。打个并不贴切的比方:设想有一只碗,碗底形状就好比是势能函数U(x,y),往碗里倒水,每一点的水深h(x,y)就是一个和空间坐标有关的函数,且取决于势能分布 
经典力学的谐振子与薛定谔方程的谐振子解
已有 1195 次阅读 2011-6-4 14:31 |个人分类:随便瞎写|系统分类:科普集锦|关键词:量子力学
初等量子力学中,在讲到薛定谔方程时,一般都会求解几个势场作为范例,其中就包含了谐振子解。刚才在豆瓣上看到有人提问,似乎对这个解的含义不甚明了。
量子力学中的波函数Ψ(t,x,y,z),可以看作一个经典场。这个经典场的特别之处在于其统计诠释,不过在这里可以不管这个。薛定谔方程决定了波函数在时空中的分布,即以(t,x,y,z)为变量,Ψ的函数形式。在定态情形,波函数可分离变量:Ψ(t,x,y,z) = χ(t)ψ(x,y,z),因此定态薛定谔方程其实给定了一个经典场ψ(x,y,z)在空间中的分布。当然这个分布和势能表达式是有关的,因为定态薛定谔方程中有势能项。打个并不贴切的比方:设想有一只碗,碗底形状就好比是势能函数U(x,y),往碗里倒水,每一点的水深h(x,y)就是一个和空间坐标有关的函数,且取决于势能分布。假如碗底的形状有二次形式:U = (1/2)mω(x^2 + y^2),就意味着势能有谐振子形式。倒入一定高度的水(相当于总能量给定),就不难写出此时h(x,y)的表达式。
谐振子的定态波函数解也是差不多的意思,只不过求解过程要更复杂些,最终求得的,是在谐振子这个势场中,波函数经典场的空间分布函数。
定态波函数解和力学中一个动来动去的谐振子有很大不同。定态波函数解的意义已在上面叙述。而经典力学的谐振子,可以理解成一个波包在势场中运动,它的波函数Ψ(t,x,y,z)也是薛定谔方程的解,但却不是定态薛定谔方程的解。
将Ψ(0,x)(只考虑一维,t = 0时的波包)用能量基矢展开:Ψ(0,x) = c_{n}Ψ_{n}(0,x) ,等号右边要对n求和。其中Ψ_{n}(t,x) = Ψ_{n}(0,x) exp(-iE_{n}t),因此Ψ(t,x) = c_{n}Ψ_{n}(0,x)exp(-iE_{n}t) (等号右边对n求和)。这里的含时项不能从和式中提出,因此Ψ(t,x)不能分离变量,也无法得到关于Ψ(t,x)的定态薛定谔方程。但可以计算各能量本征态的演化,叠加而成Ψ(t,x)的演化规律,从而得到波包的运动图像。这个图像可以和经典谐振子做类比。
 
 
类氢原子中的单电子的能量的量子力学计算结果表明:对于一个给定的主量子数 n ,其中所有原子轨道能量相等(不论 l, ml, ms)。即所有属于一个主量子数 n 的原子轨道能量简并
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谢谢老师!早餐愉快!
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flashsimon | 十四级 采纳率46%
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其他2条回答

2009-10-13 21:07 dxcharlary | 八级
那是说不考虑自旋的情况下。对于主量子数n的轨道简并。不过在考虑自旋后,情况变得复杂。
对于l的能级分裂,取决于整个薛定谔方程势能项中的磁场-自选效应部分。
对于类氢原子而言,在没有的磁场作用下,如果不考虑光谱的精细结构,相对于库伦势项,该项可忽略。
不过对于外加磁场的情况,由于磁场对自旋的作用,光谱会出现明显的分裂。叫塞曼效应。
在没有外磁场时,原子的内层电子由于存在自选的分布也会产生磁场,导致对外电子能级结构的影响。
评论 | 1 0
2009-10-13 21:42 paddyqp | 十一级
n=3,l=2.
不管l是几,只要n的值确定,类氢粒子的能量都一样。因为在单电子体系中,能级不发生分裂,即只与主量子数n有关。

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