转载▼转载 群论问题与物理问题（和众多牛人的讨论总结）
2010-09-18 12:13:28
群论问题与物理问题（和众多牛人的讨论总结） 群：终极理论之梦 2009-11-30 一、与尤亦庄的讨论 2009/9/28 在2009-09-27，"Yi-Zhuang You" 写道： 1.有一本高等代数的书中说“幺正”是指矩阵与它的逆之积等于1，而“正交”则是之积等于单位阵E. 看书认真一点，我敢保证书上不是这样定义的。任何矩阵和它的逆之积都是1，这里的1不是数字，1 = E 都是是代表单位阵的符号。我不给你重复正确的定义了，你自己再去认真看，我只强调一下“幺正”和“正交”的区别就像复数和实数的区别一样，你要是体会清楚这个类比了，那你就算懂了。 2.有一本书说U代表酉群。为什么用“酉”这个词？另外，U既代表“幺正”，又代表“酉”，是不是说二者同义？ “幺正”=“酉”，这两个词是同一个英文单词(unitary)的不同翻译，前者是意译，后者是音译，这就是区别。 还说“正交”对应实数域上的线性空间，而“酉”是推广到复数域上的结果。那么与第1条比较，发现从实数域扩展到复数域时，矩阵与它的逆之积从E变为1.这说明什么？矩阵和群什么关系？“矩阵”中的概念是否可以移用到“群”中来？ ok，这里你已经看到这个类比了，实数和复数的关系。那么与第一条相比，你别瞎比了，第一条的定义是错的，E 和 1没有任何区别，他们都是单位阵的记号，不同的书不一样而已。O和U的区别不是 E和1的区别，而是转置(transpose)和厄米共轭(hermitian conjugate)的区别。 3.Hermite（埃尔米特）的意思是共轭转置。这与量子力学中可观测的“厄米算符”有什么区别？ 厄米算符(Hermitian operator)是这样一类特殊的算符，特殊之处在于它的厄米共轭恰好就是它自己本身。 这个出现在“酉”中，与“幺正”的联系是什么？ 再说一次，“酉”和“幺正”是同一个词的不同翻译，它们同义。“幺正”和“厄米”的关系是：幺正阵 = exp (i×厄米阵)，就类比于复数（幺正）和它的幅角（厄米）的关系。 4.O群经常用来讨论转动。那么用什么讨论平移呢？为什么转动那么特殊，使得讨论10维宇宙之类问题用的是O群而不是别的？ 用平移群讨论平移，用转动群讨论转动。平移群的记号是R，转动群的记号是O。讨论10维宇宙之类问题用的是O群，这是你的认识，你只见过用O群讨论10维宇宙，但并不意味着10维宇宙只有O群的对称性，10维宇宙还有很多其他的对称性，你现在没见过而已。 5.电磁场为什么是U（1）？怎么由“相位变换”体现？ 这两个问题是目前为止最有水准的好问题。你问电磁场为什么是U(1)之前应该先问，电磁场是什么？电磁场就是电场+磁场。那么你要继续问，电场是什么，磁场是什么？请注意，我很强调物理是一门实验科学，所以我希望你在思考任何问题的时候都能从实验出发。所以上面两个问题应该被翻译成：怎么用实验表明电场和磁场的存在，及其强度。那么就是要放测试电荷。电荷的在电磁场中的运动方式和自由空间中的匀速直线运动是不一样的。好了，这就是电磁场的定义。比较极端的说法是，电磁场什么都不是，它的全部意义就是去改变测试电荷运动方式，观察到这种改变，就是观察到电磁场。好了什么叫做电磁场是U(1)的，那就是说，物理学家给物质运动方式的所有可能发生的改变都编好号了，而且居然全部都是U群，有U(1),SU(2), SU(3)....电磁场是U(1)，就是说电磁场就是那个能够使电荷的运动按照U(1)那种方式的变化的东西。什么叫做按照U(1)的方式变化？那就要问题，电磁场中的电荷到底和没有电磁场的电荷有什么区别。举出一个例子来。那么比如说，磁场中的运动电荷会受Lorentz力，轨道会弯曲。任何时候，只要你见到一个东西它居然不走直线，而是走着走着就弯了，你就说，啊，我看到了磁场。比如地球上有地转偏向力，也就是Coriolis力，北半球水流会左偏，这就是磁场，但这不是地磁场，而是一种更广意义上的虚拟磁场。再比如说，陀螺你放手以后不会直接倒下来，它会进动。本应该倾倒，却不倾倒反而拐个弯进动，这就同样属于走着走着就弯了，这也是磁场。好了，为什么一个东西会走着走着就走弯了呢？这就是相位在作怪。这里我要开始解释Lorentz力的起源。你要去想象这个问题，就知道它是很深刻的。书本上告诉你有Lorentz力，但是却不告诉你为什么有，Lorentz力的机理是什么。Lorentz力的微观机理就是物质波的干涉效应！波的干涉，知道吧。波的干涉有什么现象，有的地方会相消，有的地方会相涨。波是携带能量的，波一会儿消没了，一会儿又涨出来，那能量不守恒吗。不是的，能量仍然守恒，只不过从相消干涉处转移到相涨干涉处。物质波转移了就是物质转移了，这就是量子力学的乾坤挪移大法，用干涉效应把物质从一个地方移到另一个地方，这就是Lorentz 力的起源，原来电荷好好的走直线，可是由于磁场的存在，它的物质波的相位会发生一个改变，干涉效应就使得它被挪移到偏离直线的旁边去。因此什么是电磁场，电磁场就是能造成电荷改变相位的那个东西。好了什么是改变相位的群，那就是U(1)，这就是为什么说电磁场是U(1)的。 如果U代表“幺正”，这和“矩阵与它的逆之积等于1”之间有什么联系？ 再说一次，“幺正”不是定义成“矩阵与它的逆之积等于1”，它们之间没有关系。 6.O（3）中的“3”是代表空间的维数，而U（1），SU（2）中的数字为什么没有代表空间维数？如果这里的“1”代表一种性质（相位），那么“2”代表什么？ U(1)， SU(2)的数字也是空间的维数。我们说了O和U可以类比，O是什么意思，U就是什么意思，唯一的区别就是把实数改成复数。比如说，O(1)是一维实空间的转动（当然这个群实际上不存在，因为一维空间不能转动）；那么U(1)就是一维的复空间的转动。什么是一维的实空间，那就是一个实数轴，上面的每一个点都有一个坐标，坐标是一个实数，比如往东走1米。那么一维复空间就是一个复数，也就是说坐标是复数，比如往东走1+i 米，这当然就不是我们生活的空间了。这是波函数生活的空间。什么叫做转动一个复数呢，那就是改变它的相位嘛，这不是很容易理解了吗。那么SU(2)呢，那就是两维复空间嘛，就是说有两个坐标，两个坐标都是复数，也就是有两个复数。那么两个复数怎么转，它们要构成一个有两个分量的复矢量，然后实际上是在一个4维空间里面转，这个你自己去想象。 SU（3）、SU（2）×U（1）、SU（3）×SU（2）×U（1）、SU（5）的含义分别是什么？ SU(3)是强相互作用，SU(2)×U(1)是弱电相互作用，SU(3)×SU(2)×U(1)就是标准模型，SU(5)是强弱电大统一的一种可能的模型。他们的含义就像U(1)是电磁相互作用一样。就是说强相互作用，会使波函数按照SU(3)的方式（也就是三维复矢量空间里转动）发生改变。那就是意味这这个波函数是一个包含三个复数的矢量嘛，你知道波函数里面的每一个复数都表示一种粒子的几率幅，那么三个复数就是三个粒子，那么是哪三个粒子呢，那就是红、绿、蓝三种颜色夸克，因此这样的模型就描述了三色夸克之间的相互作用，那是什么，那当然就是强相互作用。 SU（3）×SU（2）×U（1）与SU（5）的区别是什么？如果表示同一种情况，为什么不是SU（6）？因为3+2+1=6而不等于5啊 你有没有注意到中间是直积×，不是乘法，更不是加法。谁告诉过你 SU(a)×SU(b) = SU(a+b) 了？U（3）×SU（2）×U（1）与SU（5）的关系是前者包含于后者，它们之间的关系就像有理数和实数之间的关系一样。 我发现一个大问题，物理类的书谈到这些符号时只说物理上代表什么相互作用，而避开它在数学中是什么意思；而去看数学类的书时，只是一般地讨论一些普遍的概念，而不会花时间在这些特殊符号具体代表什么。所以，希望学长把数学上的含义（怎么体现“幺正”）和物理上的含义（指代哪些相互作用）结合起来详细解释 这个不是你现在能理解清楚的，你都不知道力的起源是相位的干涉，你怎么可能理解。数学上的“幺正”代表相位的变化，物理上的相互作用就是施力和受力，用“幺正”表示相互作用，就是说相位的变化是造成力的原因，相位按不同方式变化（比如U(1),SU(2)），就有不同的力（比如电磁作用、弱作用）。 7.如果对称性意味着不可区分，那么“能级简并”也该对应一种对称吧？是哪一种对称呢？ 能级简并分为偶然简并和必然简并。偶然简并是没有原因的简并，不意味着对称性，必然简并背后都有对称性。所有的对称性都能造成能级简并，比如左右对称性 P（就是宇称），就造成了左行波和右行波的能级简并，比如旋转对称SO(3)，就造成了氢原子里面3个p 轨道的简并、还有5个d 轨道简并，再比如平移对称性R，就造成Landau能级的简并。同样都是能级简并，理由可以完全不同。 如果不考虑电子间相互作用而只关心原子核与电子间的库仑力，元素之间化学性质的差异是不是也被“简并”得无法区分了？ 不是。你自己想想你这句话的潜台词：因为能量是一样的，所以化学性质也是一样的。两个东西，只要能量是一样的，就没有办法区分了。你自己看看，这中想法是多么荒唐。能量只是一个实数，一个实数就能包含一个物体的全部属性的信息吗？能量相同的电子就全同不可区分了吗？那能量相同，我角动量还不同呢，我自旋还不同呢，怎么就不能区分了呢。元素的化学性质恰恰是蕴含在电子的轨道角动量之中的，轨道角动量不同，化学性质就不同，何惧你能量是不是简并的。 s轨道与p轨道可以看做同一个四维客体的投影而统一起来吗？ 不可以，因为s就是一个标量，p是一个矢量，它们不是四维矢量的分量。你不觉得这样想很幼稚吗，你把5个d 轨道放到哪里去了，d 轨道后面还有7个f 轨道、9个g轨道、11个h轨道……它们直接被你无视了吗？你是不是要把他们都包含进来构成一个无穷维矢量。1+3 = 4就让你产生联想了吗？这不是物理，这是数学游戏。什么是矢量。什么是四维时空，那是要满足狭义相对论Lorentz协变的，s轨道和p轨道哪里Lorentz协变了，你用的是Schordinger方程，一个非相对论的量子力学方程，你怎么可能得到跟相对论有关的东西。有依据的猜想，那是创造；没有依据的瞎想，那是胡闹。 在2009-09-28，"Yi-Zhuang You" 写道： A 曾以为,用"势"的梯度只能讨论保守力.但有一些怀疑.记得以前某次讨论中,学长提到"势"的广义理解.除了势能还有势动量.我觉得它与Lorentz 力有关(但不清楚具体关系是什么).现在的问题是:如果Lorentz 力既与势动量有关,又与相位有关,那么"势动量"与"相位"的关系是什么? 势动量就是单位距离上积累的相位。不论保守力还是涡旋力都可以用相位的观点解读。这里我们要问一个问题，我们为什么要用相位来解释一切？这就是因为只有量子力学才是真正从微观上解释动力学的理论，经典力学只是量子力学的一种近似，因此经典力学中的各种概念的起源不可能蕴于经典力学自身的框架下，经典力学的起源只有在量子力学里面才能找到。量子力学是什么？量子力学就是关于相位的动力学。而相位的经典意义是什么？相位就是作用量。经典力学的原理就是作用量决定一切，所以在量子力学里面对应的版本就是相位决定动力学。 这就可以回答什么是势能，势能就是单位时间上积累的相位。势动量就是单位距离上积累的相位。能量和动量的关系就类比于时间和空间的关系。如果空间中有紧挨着的两点A和B，间距为 x ，他们的势能差为ΔU，就会产生保守力 F = ΔU/x。现在你不要用势能去解释保守力了，势能也起源于相位，相位才是最根本的。势能是单位时间相位的变化，因为A和B的势能不用，因此相位积累的速度也不同，那么经过 t 时间，A和B之间就出现了相位差 Δφ = ΔU t，而A和B是位于不同位置的，动量是单位距离改变的相位，那么A和B之间相位的不同就造成了动量 p = Δφ / x = (ΔU/x) t = F t，这就是说因为A和B的势能不同，积累相位的快慢不同，一段时间后，它们之间就会积累相位差，相位差存在于空间中就体现为动量，因此粒子就获得动量，粒子在单位时间内获得的动量就是粒子受到的力，这就是保守力的起源。 B 如果Coriolis力不是重力而是磁力的结果,那么重力与磁力的关系是什么?这就是将引力场与电磁场放到高维空间的那个场量(忘了具体名字了,应该是数学家外尔的想法)吧? Coriolis力是惯性力，不是磁力。我只是说类比于磁力，不是说Coriolis力就是磁力。在广义相对论的框架下重力也是惯性力，所有的惯性力都统称为引力。所以重力和Coriolis力都是引力的不同分量。重力就类比于电力，Coriolis力就类比于磁力，引力就类比于电磁力。电力和磁力统一为4阶反对称电磁张量，重力和Coriolis力也统一成4阶对称引力张量。 C 关于陀螺的进动和章动,我没有认真考虑过.只知道用数学公式怎么解释,而不知道物理概念上的解释.学长简单说说吧 实验！实验！自己去实验室拿一个陀螺出来玩一个下午，你就什么都知道了。 D 可不可以这样理解:复数i的平方根有2个,因而有费米子和玻色子2类粒子 错！任何复数的平方根都有两个，你凭什么认定是复数i ？事实上恰恰就不是复数 i ，而是实数 1 ，是因为 1 的平方根有两个，所以才有费米子(-1) 和玻色子(+1)，他们不是复数 i 的平方根。 (另一种说法是有正负两种电荷或正反两种粒子.因为电荷与相位有关,相位与复数有关); i的立方根有3个,因而有SU(3)群(这可能是复数与群论的某种联系吧),有三种夸克. 你对2和3 的认知就这样吗？任何复数的平方根都有2个，所以人有两条腿，任何复数的立方根都有3个，所以凳子有三条腿。你自己去体会一下这是什么逻辑？你都是这样建立因果关系的吗？ E 还有一个问题:数学上共轭或转置这个操作有什么物理意义?也许明白了这个,才能真正明白算符与微观世界的内在联系(即这样一个操作刚好是量子世界的本质).目前我们老师只讲过厄米算符与矩阵特征值关系,从而我懂得了它确实可以与可观测的力学量对应. 这个操作的意义就是时间反演。如果物理规律是时间反演不变的，那么物理量都是厄米的。 彭罗斯说的是SU(3)的3是夸克的三种颜色，这个我也跟你说过；但是i的有三个立方根这是你自己说的，彭罗斯没说过，我也没说过。转置共轭是时间反演，转置不是，共轭也不是。空间反演、时间平移、空间平移、空间旋转都有对应的算符，这些算符就是那些相应的对称群的表示，你可以自己先研究一下。 二、与洪然的讨论 在2009-09-27，HongRan 写道： 欧几里德空间内两个向量作内积，只要把第一个向量转置即可。而复空间（也就是你说的酉空间）上的向量做内积，转置要变成共轭转置才行。为什么用酉这个字我也不知道有什么渊源。而你说的““幺正”是指矩阵与它的逆之积等于1，而“正交”则是之积等于单位阵E”是不对的，应该是这样：欧式空间中，矩阵和它的转置矩阵相乘等于单位矩阵，则这个矩阵是正交矩阵。复矩阵空间中，矩阵和它的共轭转置（即厄米转置）相乘等于单位矩阵，则这个矩阵是幺正矩阵，“幺”有着乘积为1的意思。反正英文叫unitary，自己理解吧。我没见过在欧式空间中讨论幺正的。 你了解什么叫群吗？非空集合（譬如n阶方阵，且行列式大于0），定义元素间的一种运算（譬如矩阵乘法）且此运算封闭，满足结合率，集合中存在恒元（单位阵），每个元素都有唯一逆元（逆矩阵），这个集合和这种运算就构成了群。你试试复n阶方阵（行列式大于0）是否满足这些条件。量子力学中的厄米算符可以用矩阵来表示，表示出来就是厄米矩阵。厄米算符就是某个算符的厄米转置就是它本身。你看了这么多量子力学了，应该看到算符和狄拉克符号这里了吧？如果这里看懂了这些问题自然就都解决了。其实幺正变换很多时候在量子力学中表示的是表象变换，非常重要，我还是建议好好看书，国内比较经典的量子力学教材上都有详细解释。 接下来的几个问题暂时我还没研究到，暂时无法回答。。。。 而关于简并的问题，我简单说两句。很多时候能级简并就是由空间的某种对称性和某些动力学对称性造成的（例如平方反比定律的中心场会有更高的对称性，以至于造成s，p态的能级简并）。如果不考虑其他电子的影响，当然无法从能量上区分两种轨道，但是从角动量、轨道对称性角度还是可以区分。另外，电子间的作用，自选轨道耦合，核磁矩的作用是不能忽略的，所以这种对称性会被破坏，以至于能级发生分裂。首先，因为内层电子的屏蔽，碱金属的s，p轨道能量差很多，由于自选轨道耦合，p轨道也发生分裂。如果加上磁场，不同m的轨道能量也不同。所以现在没有必要也没有可能把s，p看成“同一客体的投影”了。 三、与殷义豪的讨论 有些问题我也学得不是很透，所以我就挑一些我觉得我能说得清的回答： 1. "1"只是一个符号，也代表单位阵，有时为了与普通的1区别，会把它写成空心的。 2. “酉”和“幺正”一样，英文 Unitary 。矩阵是群的一种 representation （中文可能翻译作“表示”，我不确定）。群是一个抽象的东西，矩阵只是一种经常被采用的用于表示群元素的符号，因为矩阵的乘积可以与群元素之间的乘积一一对应起来。 3. 量子力学里的厄米算符用矩阵表示就是厄米矩阵。厄米矩阵的特征值都是实数，对应着可观测量的各个探测结果。酉矩阵和厄米矩阵的联系是：U = exp ( i a H ) 。酉矩阵作用在一个矢量上，就代表着将这个矢量转换。若将这个转换分割成一个一个微元，厄米矩阵就是这种微元转换。举个例子，二维平面上的旋转用矩阵表示就是： U = [ cos a - sin a sin a cos a ] 其微元（即旋转角度 a 很小很小）是， [ 1 0 + i a [ 0 i 0 1 ] -i 0 ] 即，将 U 泰勒展开的前两项。其中第二项，去掉前面那个系数 i ，去掉参数 a ，就是厄米矩阵 H 。如果把后面无穷多的展开项都补上，那么就类似exp的展开，所以写作 U = exp ( ia H ) 。从感性上说，H 就相当于告诉你一种类似“变化率”的东西，a 就告诉你总的变化程度，二者结合，就是一个“变化”U，也就是群里的一个元素。 4.关于平移群，你可以看看这个网页en.wikipedia.org/wiki/Translation_(geometry) 5.电场该是什么样就是什么样，不好说为什么... 具体要说电磁场和 U(1) 的关系，那要用到场论了。参见规范场论里的电动力学http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_theory#A_simple_example:_Electrodynamics 6.酉群括号里的数字代表其表示所需矩阵是几乘几的。SU（3）是强作用力，SU（2）×U（1）是弱力-电磁力，SU（3）×SU（2）×U（1）是标准模型，SU（5）是一种备选的（未被验证的）大统一理论。具体的来龙去脉是规范场论的东西。 四、与王璟的讨论 1.对于正交，还是建议按量子力学中的表象理论中的理解吧，幺正变换或者说是酉变换是同一个意思，至少在物理上，没有什么特别的含义，就是指从一个表象到另一个表象的变换而已，就好比力学中从一个参考系变换到另一个参考系一样，当然之前的表象和变换的表象，我们肯定希望它们是等价的，这也跟力学中相识。为了保证它是等价的这个变换矩阵就应该是幺正或酉 变换，即 它的厄米共轭 等于它的逆。并不是你所说的 '有一本高等代数的书中说“幺正”是指矩阵与它的逆之积等于1" 很显然矩阵和它的逆（只要它存在逆）肯定等于1啊！这是逆的定义啊！！ 3.你还是先把学量子力学学好吧，从这个问题可知你现在对QM根本不了解呢。在QM中 所有的力学量都是用算符来描述的 ，比如 坐标 动量 能量等，而所有的力学量算符都是 Hermite算符，翻译过来就是厄米算符，它的重要性质是 厄米共轭等于它本身，这样就保证了 它们的本征值都是实数，因为所有的力学量算符都是厄米算符，，而力学量本征值都是实的，这样就自洽了。 5. 因为电磁场具有整体规范不变性，对应于群论中的U（1）群，它是一种阿贝尔群，即群元素是可以交换的，从而它是一种规范场，当它与其他场耦合时，比如同DIRAC 场或费米子场耦合实，则要求其中的普通微商需要换成协变微商。这个以后学QFT，时会详细介绍。 7. 不同的情况造成的简并，则那系统所具有的对称性是不同的。你只要学点量子力学就知道了。 五、与李靖阳的讨论 2.幺正和酉应该都是对unitary的翻译。不要管第一条。可逆矩阵才能表示群，群能用矩阵表示说明它是有限维的，其他限制我不清楚。 3.埃尔米特和厄米当然是对同一个词的翻译。量子力学需要使用自伴算符，要求比厄米高，不过你可以不用管这些。
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