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staff.ustc.edu.cn/~phj/mechanics/lecturenote/1_7.pdf
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虑一个旋转物体。在每点上物体中原子
的速度便是位置函数的矢量
梯度算子
首先我想谈谈场这个在物理学中非常基本的概念。我们所说的场是指取决于
空间位置的一个量。可能简单的一种物理场是标量场，所谓标量场，是指每点
仅有一个单独数量——一个标量——所标志的那种场。当然这个数量还可随时间
而变，不过眼下我们还无需为此操心。我们将只谈论在某一特定时刻，场看来是
个什么样子。作为标量场的一个例子，你可以考虑一块固体材料，其中某些地方
受热而另一些地方受冷，使得该物体的温度以一种复杂方式逐点改变。于是温度
将是从某个迪卡尔坐标系上量得的代表空间每一位置的函数。可见温度是一标量
场。另一个常见的例子则是势场。
还有一种场叫做矢量场，意义也十分简单。就是在空间每一点给出一个矢量，
这个矢量逐点变化。作为一个例子，可考虑一个旋转物体。在每点上物体中原子
的速度便是位置函数的矢量。作为第二个例子，考虑在一块材料中的热流。如果
某处的温度高于另一处的，热量就会从较热处流至较冷处。在材料中的不同位置
热量将朝不同的方向流动，这一热流就是一个矢量场。
当然，类似的，你也可以给张量场下个定义。
当场随时间变化时，可通过给出场对时间的微商来加以描述。我们希望也按
同样办法来描述场对空间的变化，因为对于例如或者相邻两点之间的温度或者势
能关系我们是感兴趣的。值得注意的是，对任一标量场，例如 φ
，其可能的微商
有三个： 1 x φ ∂∂、 2 x φ ∂∂和 3 x φ ∂ ∂ 。由于有这三种微商，而我们又知道要
形成一个矢量需要三个数量，也许这三个微商就是一个矢量的分量？！
当然，一般并非任何三个数量都能构成为一个矢量的。只有当我们旋转坐标
系，各个分量按照正确的方式变换时，这才成立。所以需要分析坐标系旋转时，
这些微商是如何变换的。为此，我们采用一个新坐标系 i ij jx x λ ′= ，在这个坐标
系中，微商变为 ii x x φ φ ′′ ′∂ ∂ =∂ ∂，这是因为 i x φ ′ ′∂ ∂ 是一个标量。利用链
式法则，有
j
ii
x jx xx φ φ ∂∂ ∂ = ′′∂ ∂∂ (1)
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为了得到 j i x x′ ∂∂这个系数，我们写出坐标变换的反变换
j kj k x x λ ′= (2)
并将其两边对 i x′求导数，得
j k kj kj ik ij ii x x xx λ λ δ λ ∂ ′ ∂ = = = ′′ ∂∂ (3) 将它代入式(1)，我们就得到了
ij ijx x φ φ λ ∂ ∂ = ′∂ ∂ (4) 这个式子说明( ) 12 ,,3x xx φ φφ ∂∂∂∂∂∂ 是一个矢量。
上面的论证与我们究竟是在对哪一个标量场进行微分是没有关系的。既然不
管我们对之进行微分的是什么，那些变换公式都相同，那就可以略去 φ
而由一个
算符方程式来代替式(4)：
ij ijx x λ ∂ ∂ = ′∂ ∂ (5)
在很多参考书上也将 i x ∂∂ 用 i ∂ 来表示，即 ii x∂ ≡∂∂ 。这样的记号写起来更
加简单，而且在复杂的场合也不容易出错。而目前，我们则可以利用它将上面的
变换关系可以写得好看一些
i ij j λ ′∂ =∂ (6)
由于这些微分算符本身就已如同一个矢量的分量那样进行变换，我们便可以 称之为一个矢量算符的分量，通常用符号∇来表示这个矢量算符，即可以写成 ( ) 123 ,,∇ ≡∂∂∂ (7)
或者 ˆii x∇ =∂ (8)
那当然就意味着其分量
ii ∇ =∂ (9)
顺便提一句，在有关张量的现代处理中，我们正是把 i ∂ 这样的微分算符看作矢
量基的。
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当 作用在标量函数或者矢量场上，就是我们所熟悉的梯度、散度以及旋度： ∇ ()
()
ˆgrad
div ˆcurl
ii
ii
ijk j k i
f
x
r
A A A A AA
φ φ φ ε
x ∂
=∇ = ∂ = ∂
=∇⋅ =∂ =∇× = ∂
K
KK KK
(10)
值得注意的是，上面的式子中顺序是很重要的，例如 A ∇⋅ K
是矢量场 A K
的散度，
它是一个标量；而 A⋅∇ K
并非一个数值，它仍然是某种算符。另外，这里我还写
出了标量场梯度的另一种表示方法，即 f r φ ∇ =∂ ∂K，在分析力学部分我们会
比较多的采用这个记法，其好处在下面这样一个简单的例子中可见一斑。设 f 是
粒子位矢 的函数，而 本身又是某个变量 的函数，现在我们要求 r K r K q f 对 的
微商，根据链式法则，有
q
i
i
dff dx dq x dq ∂ = ∂
(11)
而采用这里的写法，我们就可以将上式写为 df f dr dq r dq ∂ = ⋅ ∂ K K (12)
这在涉及质点组问题时会带来较大的方便。
利用式(10)给出的这些结合，就可以按照一种方便的方式——一种并不依赖
于任一特定坐标系的普遍方式——来写出关于场的空间变化。作为对矢量微分算
符 应用的一个例子，我在这里把 Maxwell 方程写出来： ∇
,
0,
B EE t E BB t ρ J ∂ ∇⋅ = ∇× =− ∂ ∂ ∇⋅ = ∇× = + ∂ K KK K KKK (13) 迄今为止，我们只有场的一阶变化。当然我们本来也可以考虑二阶微商，这
有以下几种可能的结合式： ( ) ( ) ( ) ( )( , , , , ) A AA φφ ∇⋅ ∇ ∇× ∇ ∇ ∇⋅ ∇⋅ ∇× ∇× ∇× K KK
(14)
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你可以核实一下，这些是所有的各种可能结合。
在这些项中，你会发现第二和第四项实际上总是等于零的： ( ) ( ) () () ( ) ( )() () 1 2 1 0 2 1 0 2 ijk j k ijk j ki ijk j k ikj k j ijk j k k j i i ijk j k ijk i j k i ijk i j k i j k A AA AA φ ε φ ε φ ε φ ε φ ε φ φ εε ε ⎡∇× ∇ ⎤ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ⎣⎦ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ −∂ ∂ ≡ ∇⋅ ∇× =∂ ∇× =∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ −∂ ∂ ≡ KK A (15)
第一个式子说明任一标量场的梯度是无旋场，而第二个则是说任一矢量场的旋度
是无散场（或无源场）。
现在我将不加证明地陈述两个物理学中非常有用的数学定理。在一个物理问
题中，我们经常会发现某一个矢量场的旋度为零，而我们注意到，一个梯度的旋
度为零，于是，肯定有可能本来就是某一个标量的梯度，这样它的旋度才必然等
于零。第一个定理是讲：
0 A A ψ ψ ∇×= =∇ K K
如果
就有一个
使得
(16)
当散度为零时，还有一个类似定理：
0 B A B A ∇⋅= =∇× K K KK
如果 就有一个 使得
(17)
在检查由两个算符的可能结合中，我们已经找出了其中有两种结合总是等于
零的。现在看看那些不等于零的。考虑(14)所列的第一结合， ( ) ( ) 22 22 12 i i i i 2 2 3x xx φ φφ φ φ φ ∂ ∂∂ ∇⋅ ∇ =∂ ∂ =∂ ∂ = + + ∂ ∂∂ (18) 因此在这个式子中我们没必要保留那个括号，所以，在不引起混乱的情况下写成 () ( ) 2 φ φφ ∇⋅ ∇ =∇⋅∇ = ∇⋅∇ =∇ φ (19)
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这里我们把 看成一个新的算符，这是一个标量算符。由于经常出现在物理学
中，因而它被赋予一个名称，即 Laplace 算符： 2∇ 22 2 22 12 ii 2 2 3x xx ∂ ∂∂ ∇ =∂ ∂ = + + ∂ ∂∂ (20) 由于 Laplace 算符是一个标量算符，就可以用它来对一个矢量进行运算——这意
味着对在直角坐标系的每一个分量进行同一种运算： ( ) 22 ˆ iiA Ax∇ = ∇ K (21)
另一结合由于 () ( ) ( )
()
() 2
ijk j ijk j mnk m n ki
ijk mnk j m n
im jn in jm j m n
j i j j j i
ii
A AA A A AA AA ε ε ε εε δ δ δ δ ⎡⎤ ∇× ∇× = ∂ ∇× = ∂ ∂ ⎣⎦ = ∂ ∂ = − ∂ ∂ =∂ ∂ −∂ ∂ =∂ ∇⋅ −∇ KK K (22)
因而 () ( ) 2A A ∇× ∇× =∇ ∇⋅ −∇ A K KK (23) 而这里出现的 ( ) A∇ ∇⋅ K 也就是我们仅剩的还未考虑的一个组合，不过是偶尔会
出现的一种矢量场罢了，对它没什么特别需要注意的。
把上面的结论放在一起：
(24)
() () () () ( ) ( ) () 2 2 2 scalar field 0 vector field 0
vector field vector field
A
A
A A A AA
φφ φ ∇⋅ ∇ =∇ = ∇× ∇ = ∇ ∇⋅ = ∇⋅ ∇× = ∇× ∇× =∇ ∇⋅ −∇ = ∇⋅∇ =∇ = K K K K K KK
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附录：不同坐标系中的梯度算子
设某一给定正交坐标系的三个单位矢量为 ，而线元的平方可以表示为
，那么体积元（其中
ˆi u
2 ii ds g du = 2 123 g g g g = ）
12 dV 3 gdu du du= (A1)
梯度算子的作用则分别为
2
11 ˆ ,
1
ˆ ,
ii iii
kki ijk i
i
j iii
fg f uA uu gg gA gg A g f A u f gu u g u g ε ⎛⎞ ∂∂ ∇= ∇⋅ = ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ ⎛⎞∂ ∂ ∂ ∇× = ∇ = ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ ∂ K K (A2) 例如，对于柱坐标系有 2 2 2 2 ds dr r d dz2 θ = ++ (A3)
即 2 1, , rr zz gg gr g r θθ = = = = (A4)
因此，体积元为 dV gdrd dz rdrd dz θ θ == (A5)
而
()
()
22
2
2 2 2
1 ˆˆ ˆ
11
11
11 ˆˆ ˆ
z
r
zrz
f f f f r z r r z f f f fr r r r r z A A A rA r r r z A A A A r A A rr r z z r r r θ θ θ θ θ θ θ θ θθ ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛⎞ ∇ = + + ⎜⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝⎠ ∂ ∂∂ ∇⋅ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ∇× = − + − + − ⎜ ⎟ ⎜⎜⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝⎝⎠ K K Az ∂ ⎞ ⎟ ⎠
(A6)
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而对于球坐标系，则有 2 2 2 2 2 2 sin ds dr r d r d 2 θ θϕ = + + (A7)
即 2222 1, , sin , sinrr g g r g r g r θθ ϕϕ θ θ = = = = (A8)
因此，体积元为 2 sin dV gdrd d r drd d θ ϕ θ θ == ϕ (A9)
而
() () () ()
2
22 22 22
2
2
11 ˆ ˆˆ sin 1 1 1 sin sin sin 1 1 1 sin sin sin 1 ˆsin sin 1 ˆ sin sin r r f f f fr r r r 2 f ff fr r r r r r A A r A A r r r r A A A r r A rA rr ϕ θ θ ϕ ϕ θϕ θ θ ϕ θ θ θ θ θ θ θθ θϕ θ θ θ ϕ θ θϕ ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∇ = + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂∂∂ ∇⋅ = + + ∂ ∂ ∂ ⎡ ∂ ⎤ ∂ ∇× = − ⎢⎥ ∂∂ ⎣⎦ ⎡⎤ ∂∂ +− ⎢⎥ ∂∂ ⎣⎦ K K ∂ ()1 ˆ rArA rr θθ ϕ θ ∂ ∂⎡ ⎤ +− ⎢ ⎥ ∂∂⎣ ⎦
(A10)
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现代物理的公理化结构（3）
|||
由公理1，引入三个动量分量来表征局部空间，则，一切物理量都可以表达为关于动量坐标的函数。
这样，动能写成为动量坐标的函数就是物理规律了。由于能量对空间坐标的偏导数给出协变力，从而，协变力在原则上就等于：能量对动量的偏导数和动量对空间偏导数的几何积给出的代数式。这是我们最为熟悉的数理方程。
另一方面，热力学则使用全微分的形式以物理量的微分关系来建立基础规律，而把某个物理量对另一个物理量的偏导数称为“比”，“系数”作为物质运动的可测量属性，从而，物理量间的偏导数成为更为基本的物理性质量。
这两个理论发展方向的联合就促成了把物理量分成为两类：一类是作为坐标（自在自为的自变量）使用的，一类是作为在其上的函数使用的。这种描述下的偏导数就是物性变化量。显然，这种描述方法与具体的坐标选择无关，一般的把它称为张量描述或抽象描述。
对这种描述而言，被作为坐标的那类物理量间的关系，也就是抽象的几何关系定义了一个特定类的物理时空结构。一个最为典型的例子是：E02=E2-p2c2定义了量子力学的动量、能量为时空坐标的空间结构，而ds2=c2dt2-dx2-dy2-dz2定义了相对论下的时空结构，二者具有形式上的完全等价性。
因而，现代物理学隐含了这样一条公理2：对于时空中的运动，总可以选择某类物理量作为广义的坐标，从而把另一类物理量表达为这个时空中的函数。这种函数关系就是物理学的基本规律。而时空的结构则是更为基本的物理规律。从而，这是物理学的一般研究方法。
现代物理的几何代数化之所以如此的重要就在于：更为基本的物理规律是由物理坐标时空的几何性质来表达的。
推论1：一旦给出了空间的结构，在其上的微分运算规则也就被给定了，对物理量的代数运算理论，也就是算子理论，在本质上是作为果的目标量与作为因的自变量间的函数关系的形式表现，从而算子的运算法则就是物理学基本规律的组成部分。
换句话说，在公理2之下，空间上的算子理论就是物理学基本规律中最为核心的组成部分。其典型代表就是量自力学的Dirac 算符理论。
而更为给人印象深刻的是，李代数就是量子力学的等价物。
人们发出惊叹：数学取代了物理学！
但是，绝非如此：现代物理把其基本规律数学化（几何化），从而突出了作为自变量的那类物理量与作为因变量（目标物理量）间的函数关系，尤其是微分变化关系，从而取得了重大的理论进步！
否定（或是贬低）这种进步的势力是很大的，然而，这种否定的代价是造成否定者自身的止步，而根本不会对物理学产生任何正面的贡献。
推论2：物理学的新分类依据是，所选自变量群的空间属性，如果它们有同样的几何结构，就是一类的。因而，物理学最基本的研究就是研究某一群物理量的内在几何代数结构。
以群论，微分几何为代表的现代数学“自然的”成为物理规律的组成部分，而且是最为重要的组成部分。我们对此只能是吃惊！
作为例子，量子力学和广义相对论具有相同的代数几何结构，从而属于同一类的物理学科。
到了这个时候，你无论是如何的反驳还是支持，如果不理解其中的本质论点（逻辑结构），都算是门外汉。
推论3：这种时空观是彻底的物理化的。因而，研究物理就是研究时空及其上的算子
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