Atiyah-Sniger定理, 示性类体现了流行的局域性质和整体性质之间的关系

示性类和次级示性类用来标识不等价的纤维丛，前者主要有陈类、Pontrjagin类、欧拉类（这三种的建立的基础是陈-weil同态）、Stiefel-Whintney类（这种不能建立前述同态，是通过公理化方法得到的），后者主要指陈-Simons形式（标志奇维流形上的上同调类）。示性类的基础是de Rham上同调理论，核心在于找到流形上的（对于纤维丛理论就是底流形）闭形式（是该上同调群的生成元），而由于底流形上的曲率二形式满足Bianchi等式，导致由曲率定义的对称迹多项式为闭形式，以此标志纤维丛的示性类。这里用的是曲率二形式，容易看出它描述偶维流形的上同调类，而对于奇维流形，需要借助联络这个非张量的量，我们熟悉的A-B效应，就是在S^1上曲率为零的形况下，示性类非平庸（有次级示性类）的典型例子。利用母函数（基函数）我们可以得到其他形式的示性类，比如对于复矢从可有k陈类得到Todd函数（类），对于实从可以得到L多项式（类），并且可以进一步积分得到L亏格。示性类体现了流行的局域性质和整体性质之间的关系。流形大范围整体性质的分析在近代场论中很重要，比如量子反常的根源在于拓扑非平庸，等等。


新浪网友

具体讲一下Atiyah-Sniger定理及在物理上的应用

2011-7-10  13:20举报删除分享回复(0)

远山雪

       示性类衡量的是流形的拓扑非平庸特性，在（八）中举得A-B效应的例子，用最简洁的话说，就是S^1次级示性类非平庸。A-S指数定理可以说是特殊的示性类，它进一步将流形上椭圆微分算子的解指数和流形的拓扑特性相联系，在物理上这样的椭圆微分算子，比如Dirac算子，它的的解指数通常为手征费米子（或者SUSY中费米子和玻色子）数目的差，因此通过A-S定理，我们可以预期的是这种差是流形整体的拓扑不变量（要想深刻的理解这一点就必须清楚A-S定理所言为何物）。单极子、孤立子、瞬子解都可以通过A-S定理与零能（手征）费米子数之差建立联系。

       示性类衡量的是流形的拓扑非平庸特性，在（八）中举得A-B效应的例子，用最简洁的话说，就是S^1次级示性类非平庸。A-S指数定理可以说是特殊的示性类，它进一步将流形上椭圆微分算子的解指数和流形的拓扑特性相联系，在物理上这样的椭圆微分算子，比如Dirac算子，它的的解指数通常为手征费米子（或者SUSY中费米子和玻色子）数目的差，因此通过A-S定理，我们可以预期的是这种差是流形整体的拓扑不变量（要想深刻的理解这一点就必须清楚A-S定理所言为何物）。单极子、孤立子、瞬子解都可以通过A-S定理与零能（手征）费米子数之差建立联系。
       

2011-7-10  19:38举报删除分享回复(0)

远山雪

我敢肯定你如果不自己仔细研读相关数学理论的推导，你不大可能真的知道这些理论在说什么。我可以讲得很诙谐幽默把理论本身的概貌给你，但是这对你有什么用呢？地狱你得自己进。

2011-7-10  20:29举报删除分享回复(0)

新浪网友

人家第一段已经说清楚了什么是Atiyah-Sniger指标定理。

2011-7-11  09:22举报删除分享回复(0)

新浪网友

还是没太懂。

2011-7-12  17:07举报删除分享回复(0)

新浪网友

——雅俗两故事，AS定理的实质        （转载）
AS指标定理果真有所称之奇妙威风？无有夸大暗炒之嫌？
要回答这些问题，我们必须了解AS指标定理讲了些什么。

先让我们讲一个小故事。听鼓。
晨钟暮鼓，寺庙常规。据说，一般和尚都能够根据钟鼓之音得知钟鼓是否完好，有的高僧则可以由钟鼓之音得知气候演变进而推得世道之走向，小则为善男信女解疑释惑，指点迷津，大则为皇室社稷消灾引福，护国安民。却

——雅俗两故事，AS定理的实质        （转载）
AS指标定理果真有所称之奇妙威风？无有夸大暗炒之嫌？
要回答这些问题，我们必须了解AS指标定理讲了些什么。

先让我们讲一个小故事。听鼓。
晨钟暮鼓，寺庙常规。据说，一般和尚都能够根据钟鼓之音得知钟鼓是否完好，有的高僧则可以由钟鼓之音得知气候演变进而推得世道之走向，小则为善男信女解疑释惑，指点迷津，大则为皇室社稷消灾引福，护国安民。却说明朝初年，五台山因为助开国君朱元璋有功，获皇上特别褒扬恩赐，名号高出少林一等，住持乃率众弟子在练功场内，连日大作法事以庆祝之。场面异常壮观。仅大鼓黄钟就各有百余。一日，礼至中途，突然方丈大叫停止。发生何事？原来，老方丈听出其中有两面大鼓有破洞，其中一面有一个破洞在鼓底，另一面鼓则有两个破洞，一上一下。方丈高声叫停，缘自破鼓之音为寺庙之大忌，必得避之。仔细检视，小和尚果然在两面大鼓上找出了那几个小小破洞。
高僧凭借鼓音，即可得知鼓面必有破洞数处，何也？

2011-8-1  01:58举报删除分享回复(0)

新浪网友

（续续上）
原来，不论是鼓面的振动，还是床垫的嗤呀，都满足一个微分方程，我们听到的声音就是这个微分方程的解。解不同，声音就不同，翻译成黑话就是边界条件不同，微分方程的解或曰微分算子的谱就会改变。边界条件包括鼓面，床垫的几何形状，更包括它们的拓扑结构（如洞的数目）。AS就是说，从听到的鼓音或床垫的嗤呀声就知道鼓面的几何以及上面的破洞数，或床垫的形状以及弹簧少了几根。看到这，学过高中物理的人可能觉得一点都不怪：我们不就是从原子分子的光谱得知原子分子结构的吗？这里不就是将通名报姓者从原子分子换成鼓号或床垫而已？其实这离正确答案真的只差一点点了！再想一想

（续续上）
原来，不论是鼓面的振动，还是床垫的嗤呀，都满足一个微分方程，我们听到的声音就是这个微分方程的解。解不同，声音就不同，翻译成黑话就是边界条件不同，微分方程的解或曰微分算子的谱就会改变。边界条件包括鼓面，床垫的几何形状，更包括它们的拓扑结构（如洞的数目）。AS就是说，从听到的鼓音或床垫的嗤呀声就知道鼓面的几何以及上面的破洞数，或床垫的形状以及弹簧少了几根。看到这，学过高中物理的人可能觉得一点都不怪：我们不就是从原子分子的光谱得知原子分子结构的吗？这里不就是将通名报姓者从原子分子换成鼓号或床垫而已？其实这离正确答案真的只差一点点了！再想一想，你说不定就此悟出一条更大的真理呢。

数坛人士就是一群无聊的好事者，专门将一些简单得不能再简单的事实用一些大家都摸不着头脑的句子表达出来。听鼓听床的事，到数学家那里就被弄成如下鬼话式的诀语：
（某些）微分方程的解（的数目）由定义该微分方程的空间的几何拓扑特征全部决定。或更简单地讲，一个空间中某些行为好的微分方程的解的数目是一个拓扑不变量。
这就是指标定理的全部内容。
可见，列位看官其实都已经知道AS，更懂得利用AS，因此AS不光不神秘，简直就是BS。

2011-8-1  02:03举报删除分享回复(0)

新浪网友

呵呵
原来“听鼓”、“听床”之类事件的数学表达式
就是“Atiyah-Sniger指标定理”了

当然不会是无聊了
老方丈的“听鼓”、听床高手的“听床”
正因为没有数学
所以
往往都只能成为
千年传说而已

我想。

2011-8-1  10:45举报删除分享回复(0)

新浪网友

流形上的微分算子（椭圆）
now I have a better guess of it, 

2011-11-18  06:57举报删除分享回复(0)

新浪网友

"1984年的超弦风暴在很大程度上归功于三篇经典文章中的一篇，就是威顿等人的关于卡
拉比-丘紧化的文章。这篇文章大概是所有超弦文章被引用最多的一篇，后来它的引用率仅
仅被一篇文章超过，就是马德西纳 (J. Maldacena) 的关于弦论和规范理论对偶的著名文
章。
卡拉比-丘紧化使得弦论第一次和现代数学的分支代数几何发生关系。

"1984年的超弦风暴在很大程度上归功于三篇经典文章中的一篇，就是威顿等人的关于卡
拉比-丘紧化的文章。这篇文章大概是所有超弦文章被引用最多的一篇，后来它的引用率仅
仅被一篇文章超过，就是马德西纳 (J. Maldacena) 的关于弦论和规范理论对偶的著名文
章。
卡拉比-丘紧化使得弦论第一次和现代数学的分支代数几何发生关系。
　和乐群为SU(3)的空间是一个复空间，同时又是一个所谓的开勒空间 (Kahler)。这样一
个空间叫卡拉比-丘空间，原因是，卡拉比猜测和乐群为SU(3)的空间一定存在一个里奇平
坦的度规--我们前面说过基林旋量的存在要求里奇曲率为零，而丘成桐证明了这个猜测。
这类流形是一类特殊的复流形，卡拉比-丘紧化文章给出了一些构造。这些构造说明这些流
形是代数流形，也就是说可以通过在复欧氏空间用代数方程来规定一个子流形，虽然我们
形式上有了这些流形，还没有人能写出一个里奇曲率为零的度规，这就说明这些流形的确
很复杂。
　算子的零模问题和所谓的指标定理有关。给定一个算子，可以定义其指标，这个指标
是一个整数，即是这个算子的零模个数减去其对偶算子的零模个数。在很多情况下，对偶
算子没有零模，那么原算子的零模个数就等于这个 算子的指标。指标定理说，虽然定义中
涉及到几何即度规，一个算子的指标是一个拓扑数，只和流形的拓扑有关，和几何没有关
系。指标定理在很大程度上推广了欧拉定理以及后来的黎曼-罗赫定理。
当我们用代数方法构造了卡拉比-丘流形后，就可以利用代数几何的结果计算各种算子
的指标，从而确定对应的无质量粒子的个数。举例来说，狄拉克算子的指标是欧拉示性数
的一半。 "

利用代数几何的结果计算各种算子
的指标，从而确定对应的无质量粒子的个数