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Morse Theory小知识
| 用户登陆 | 刷新 | 本版嘉宾: 萍踪浪迹 季候风 星空与道德 gage |
kanex  发表文章数: 860 武功等级: 弹指神通 (第六重) 内力值: 343/343 |  Morse Theory小知识 Morse Theory小知识 part 1 这几天看球和修电脑，浪费时间啊，呵呵。写得很快，估计错漏不少。 考虑如何将一张椅子靠椅子腿立在平地上（我们禁止它躺下去……）。那么有三种方法：四条腿立着，两条腿立着，一条腿立着。我们说这三种情况都对应到Hamiltonian的critical point，就是一阶导数等于0的点，或者说d=0的点也行，所以都是系统稳定时可能的状态。但是很明显三种情况的稳定度不同，第一种很稳定，第二种有一个不稳定方向，第三种有两个不稳定方向――事实上它是一个极大值，很不稳定。所以我们区别对待，他们的Morse index分别是0,1,2。所以有1个index 0的点，4个index 1的点，4个index 0的点。看到这么有趣的事情我们已经可以肯定会与configuration space(只考虑简单的静力学)的拓扑有关，那么事实也是这样。只考虑静力学的好处是不用碰symplectic，那么此时Hamiltonian无非是一个从configuration space到R的map，那么我们现在就知道某个manifold到R的map的critical point的Morse index可以揭示这个manifold的拓扑。很多时候critical point是一个submanifold，特别是我们为了方便计算设置比较对称的potential的时候，譬如草帽型的potential在整个凹的一圈都可以稳住，这时候要用morse-bott theory。说到这里感觉似乎和自发对称性破缺也可以有一些有趣的联系吧。另外，有办法直接从拓扑上得出有五个Lagrange点么。但一般的情况critical point是non-degenerate的，一个一个孤立的，就是一阶导数等于0但det［Hessian］，which叫discriminant，不见得等于0，二阶导数构成的matrix叫Hessian。注意Laplacian就是tr［Hessian］。所以这个和hodge theory有紧密联系，一直联系到index theorem和torsion那边毫无问题。写到这里我想到不知Hessian的characteristic polynomial有没有人研究，其实可以构造一些characteristic class吧。这个想法似乎也挺有趣，我想会对我的其它想法有用的。 我们注意一个事实：椅子要倒的话无论向哪个方向倒都肯定会倒向稳定点为止。于是我们知道在critical point之间存在flow，基于明显的原因叫gradient flow。如果两个点的index相差1，那么flow显然就是0维的，我们可以数具体的倒的方法有几种［如果manifold是无限维，例如在floer中，有可能是无限种］，例如一条腿倒到两条腿有一种办法；如果两个点的index相差2或以上，那么flow是差值减1，例如从一条腿倒到四条腿的方向不少，但是我们一定可以continuous deform它使得它经过一些中间点，每次index减少1：先倒到两条腿，再倒到四条腿。Witten用quantum tunneling解释这个，可能有点小题大做。看到这里又会令人觉得其实不必取d=0的点作为critical point，随便选定一个close的1-form在它的零点间也有flow，道理是：若想在R里回到原处，那么不能一直向一个方向走。不过我们知道在S^1里可以一直朝一个方向走，因为它compact，那么这个复杂很多。那么这些是Novikov的想法。 这个例子里面的configuration space具体是什么样子，不大适宜用来说明。我们看经典的例子，一个map: X->R，X是torus，将它立起来嵌入R^3来induce一个metric，R值是每点的高度。那么从下往上index分别是0，1，1，2。我们发现每经过一个index为n的 critical point就等于加上了一个n-cell，或者说是n-handle。粘的方式是粘到边界上，原因从几何直观上可以看得很明白。所以torus是由1个0-cell，2个1-cell，1个2-cell组成的。这个很有趣，因为我们知道n-cell的数量显然对n-th singular homology group的dimension给出了一个上限。所以有一个morse inequality。另外我们希望在index相等的点之间不存在flow，如果有的话略做perturbation干掉它，满足这样的map叫Morse function。立着的torus的上下两个index1之间的点间有flow，我们perturbation一下，结果就是每个index为1的点接收两条从2来的flow，给出两条到0的flow。 我们可以进一步细化这个结果，即Morse homology，which is isomorphism to singular homology。方法大致是先选择一个orientation，然后k-chain是index为k的点span的Z-module，d(x) = ［x和y之间的flow的条数，符号由定向决定］ * (y)，我们可以检验一下dd=0，那么这个dd=0的原因就是因为定向之后正反恰好可以抵消。我们看立起来的torus的例子，的确可以算homology，H_1(X;Z)等于Z_2。如果X是躺着的torus，那么critical manifold是下上两个S^1，它们的index分别是0和1，我们知道S^1是1维的，于是我们用[n, n+dim]来记录这种情况，就是[0,1], [1,2]，此时flow显然也是1维的，要用morse-bott来定义homology。 通过合理设置Morse function，我们可以使得它是self-indexing：所有index=n的点都映射到n上。那么我们可以把一个3-manifold切成两半，一半是[0,3/2]，一半是[3/2,3]，这叫Heegaard splitting，每一半都是一个D^3加上一堆1-handle，叫handlebody of genus g，这个就和braid theory相当像了。从category的角度看braid也的确capture了3-groupoid的精髓。很明显，我们接下来应该研究这两边是怎么连起来的，有什么类似braid move的move，这是Heegaard diagram。 Récoltes et semailles
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西门吹牛  发表文章数: 469 武功等级: 空明拳 (第三重) 内力值: 416/416 |  Re: Morse Theory小知识 后生可畏! 一舞剑气动四方,天下英雄莫能挡 形踪飘忽疑无影,冷面郎君傲雪霜
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季候风  发表文章数: 291 武功等级: 太极剑法 (第四重) 内力值: 370/370 | Re: Morse Theory小知识 另外我们希望在index相等的点之间不存在flow，如果有的话略做perturbation干掉它，满足这样的map叫Morse function。 ~~~~~~~~ Morse function 没有这么严格, 只需要临界点非退化就行. 满足这种横截性要求的 Morse 函数 f 和黎曼度量 g 叫做 Morse-Smale. 这个要求的本质是模空间维数等于 Morse 指标的差. 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟
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| kanex 发表文章数: 860 武功等级: 弹指神通 (第六重) 内力值: 343/343 | Re: Morse Theory小知识 I mean Morse-Smale. typo... Récoltes et semailles
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gage  发表文章数: 466 武功等级: 空明拳 (第三重) 内力值: 415/415 | Re: Morse Theory小知识 不错。不过我猜只有学过Morse理论的人看得懂。你说的Hessian其实是那个Morse函数的Hessian, 其trace与Laplacian还差一点点，它是局部定义的。所以需要flow. 另外，几何里面有几个地方出现hessian或其特征多项式。首先有一个专门的hessian几何，其次hessian的特征多项式基本上就是其特征值的初等对称多项式的一个函数，这一点在某些几何比如仿射微分中有些分析。楼主的idea, 我觉得是这样的，Witten同学通过flow把临界点的信息和Hodge理论联系起来，楼主可能希望类似的可以用来考虑characteristic class. 想法不错。但有几个障碍。其一，一个函数的Laplacian依赖于流形上的坐标系的选取。其二，临界点是一个局部性质，但是characteristic不是。如果楼主希望将Morse临界点和示性类联系起来，这个恐怕不大行得通，当然这只是我的粗略的看法。楼主可以看看张伟平的某些文章。不过，按照Witten的方式flow一下，总是可以做点事的。关于form的Morse理论，范惠军和Jost有一篇文章详细讨论了这个方面的东西，我没有看过，不过范告诉我说他们的文章统一了以前的Morse理论（我也没有问他的统一什么意思，懒得问），楼主若有兴趣可以找来看一下。总之，现在纯粹的Morse理论没什么好做的了，零零星星的也有一些这方面的工作，比如有个Schwarz用分析的方式来处理Morse理论，还因此找到了工作(job)，其实Schwarz所做的只是将以前的东西严格地写出来了，而很多人都知道这回事，同样懒得写出来而已。 打住。 繁星满目的夜晚，我举头四望，从此我知道众星都离我远去。 一只小小的温度计，向我们报告宇宙那无比的寒冷和荒凉。
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| gage 发表文章数: 466 武功等级: 空明拳 (第三重) 内力值: 415/415 | Re: Morse Theory小知识 纠正一下，Witten那个technique不是flow, 应该叫做deformation. 繁星满目的夜晚，我举头四望，从此我知道众星都离我远去。 一只小小的温度计，向我们报告宇宙那无比的寒冷和荒凉。
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| kanex 发表文章数: 860 武功等级: 弹指神通 (第六重) 内力值: 343/343 | Re: Morse Theory小知识 不。我不是用这个来考虑示性类。我不认为这种想法有任何意义。 Hessian无非是个matrix。示性类无非是matrix的abelian invariant。 我的想法是构造它来研究Lie group - valued morse theory，包括以后推广到non-abelian的情况。Novikov的S^1无非是U(1)的情况。 Récoltes et semailles
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| kanex 发表文章数: 860 武功等级: 弹指神通 (第六重) 内力值: 343/343 | Re: Morse Theory小知识 I know witten's susy article. I will write on it in part 2. Récoltes et semailles
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| kanex 发表文章数: 860 武功等级: 弹指神通 (第六重) 内力值: 343/343 | Re: Morse Theory小知识 个人感觉morse theory和fiber bundle互为dual，存在紧密的联系并不奇怪。 两年前有个想法：如果用em 4-potential做为坐标建立物理体系，该如何转换现有的理论－－如果你是一个电子，你会如何看这个宇宙。那么这个想法相当难入手，恐怕第一步是要靠morse theory。 Récoltes et semailles
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| kanex 发表文章数: 860 武功等级: 弹指神通 (第六重) 内力值: 343/343 | Re: Morse Theory小知识 make my point clearer: 我不是想将现有的R-valued morse theory和fiber bundle的示性类联系起来。这缺乏意义和前途。 我是想从Hessian构造类似示性类的物体，然后借助它们来研究Lie group-valued morse theory。 Récoltes et semailles
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windowsxp  发表文章数: 138 武功等级: 罗汉拳 (第五重) 内力值: 167/167 | Re: Morse Theory小知识 Hodge理论在本质上是要求空间有度规的，度规使得协变和逆变的差别消失。 Laplacian与度规有关。一个函数的Laplacian依赖于流形上的坐标系的选取这个说法不确切。流形上有意义的东西都是与坐标无关的。 Morse理论应该属于奇点理论，与度规无关，所用概念多用芽来定义。 奇点与常点有本质的不同，只有对于奇点，其hessian矩阵才与坐标无关，也就是对应一张量（可用芽来定义，但不是微分形式）,而常点的hessian矩阵则与坐标有关。 在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
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| gage 发表文章数: 466 武功等级: 空明拳 (第三重) 内力值: 415/415 | Re: Morse Theory小知识 Lie group valued Morse theory, 这个我不太清楚是否有人做过。 一个类似的东西是Lie group valued moment map, 到arxiv上搜索Meinrenken可以找到相关的几篇文章，也许有用。 你的题目看起来很有意思，提两个建议， 其一，这个题目有没有意义不是你我说了算数，首先看导师的意见，然后看其他人---主要是那些大人物。 其二，题目本身，一方面，你的函数取值范围不是一维的。你所考虑的最简单的情形，Lie群为2维的环面群T^2, 或者Lie群就是最简单的平面R^2, 也就是说你要考虑的是向量值函数的临界点理论。这个恐怕相当困难。需要搞清楚你到底可以推广以前的什么结论。Novikov是采用了一个沿着正则值的切割这种拓扑手段来做的，现在你不能用这个方法了。 繁星满目的夜晚，我举头四望，从此我知道众星都离我远去。 一只小小的温度计，向我们报告宇宙那无比的寒冷和荒凉。
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| gage 发表文章数: 466 武功等级: 空明拳 (第三重) 内力值: 415/415 | Re: Morse Theory小知识 回windowxp网友 ========== Hodge理论在本质上是要求空间有度规的，度规使得协变和逆变的差别消失。 Laplacian与度规有关。一个函数的Laplacian依赖于流形上的坐标系的选取这个说法不确切。流形上有意义的东西都是与坐标无关的。 =================================== gage:楼主Kanex的文章中没有说函数的Laplacian, 说的是函数的Hessian的Trace相当于一个Laplacian. 自然我也没有说过“一个函数的Laplacian依赖于流形上的坐标系的选取”。 =================================== Morse理论应该属于奇点理论，与度规无关，所用概念多用芽来定义。 =================================== gage:我们只是讨论研究Morse理论的一种方法，而这种方法就要先在流形上取一个满足一点条件的Riemann度量。Morse理论与度规无关，采用度规是一个新的技术(相对于纯拓扑的方法而言)。 =================================== 奇点与常点有本质的不同，只有对于奇点，其hessian矩阵才与坐标无关，也就是对应一张量（可用芽来定义，但不是微分形式）,而常点的hessian矩阵则与坐标有关。 =================================== gage:不管你在那个点考虑，函数的Hessian都与坐标系有关。不知道你想说什么。 =================================== 繁星满目的夜晚，我举头四望，从此我知道众星都离我远去。 一只小小的温度计，向我们报告宇宙那无比的寒冷和荒凉。
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| gage 发表文章数: 466 武功等级: 空明拳 (第三重) 内力值: 415/415 | Re: Morse Theory小知识 “一个函数的Laplacian依赖于流形上的坐标系的选取”， ================================================= 对不起，我想我应该是想说“一个函数的Hessian依赖于流形上的坐标系的选取”。 繁星满目的夜晚，我举头四望，从此我知道众星都离我远去。 一只小小的温度计，却透露了宇宙那无比的寒冷和荒凉。
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| kanex 发表文章数: 860 武功等级: 弹指神通 (第六重) 内力值: 343/343 | Re: Morse Theory小知识 对，这个困难一开始就看到了，所以一开始也没有说这个想法。 Récoltes et semailles
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萍踪浪迹  发表文章数: 1983 武功等级: 深不可测 内力值: 645/645 | Re: Morse Theory小知识 Witten应用Morse Theory于SUSY的文章很早很早了。 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵 痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
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| 季候风 发表文章数: 291 武功等级: 太极剑法 (第四重) 内力值: 370/370 | Re: Morse Theory小知识 我的想法是构造它来研究Lie group - valued morse theory ~~~~~~~~~~~ 这不是 WZW 模型吗? 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟
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| windowsxp 发表文章数: 138 武功等级: 罗汉拳 (第五重) 内力值: 167/167 | Re: Morse Theory小知识 1 函数的Hessian的Trace相当于一个Laplacian 这只在欧式空间成立。 2：：：奇点与常点有本质的不同，只有对于奇点，其hessian矩阵才与坐标无关，也就是对应一张量（可用芽来定义，但不是微分形式）,而常点的hessian矩阵则与坐标有关。 =================================== gage:不管你在那个点考虑，函数的Hessian都与坐标系有关。不知道你想说什么。 =================================== 我已经很强调了。奇点与常点有本质的不同。 我的前一贴和现在所说的都是一些基本的事实。 常点的Hessian都与坐标系有关，没有张量性质。Hessian应看作双线性泛函，不要只看作矩阵。 而奇点的Hessian都与坐标系无关，这一点本质上依赖与它是奇点，或者说函数在这一点的梯度为零。对于奇点，Hessian定义了一个对称2阶逆变张量。 奇点为孤立奇点当且仅当Hessian非退化！ 在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
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| windowsxp 发表文章数: 138 武功等级: 罗汉拳 (第五重) 内力值: 167/167 | Re: Morse Theory小知识 Lie group - valued morse theory, 奇点理论对值域作限制就可以了。 示性类好像是用几何构造来定义的，是曲率的多项式函数。示性类不是拓扑不变量！ Morse Theory完完全全的是一个拓扑理论。其目的就是借助流形上的函数对流形进行胞腔分解，从而建立流形的伦型分析。 ：：：：个人感觉morse theory和fiber bundle互为dual，存在紧密的联系并不奇怪。 赞同这种说法，但要具体一下。它们的区别主要在于讨论的对象的对偶性。他们讨论的对象有不同的范畴性。 morse theory其实本质上就是流形上的 恰当余切向量场理论。 我们都知道流形上的切向量场理论，紧流形上切向量场孤立奇点的数量和空间的拓扑不变量是有关的。切向量场理论和微分动力系统的拓扑理论是相关的。 切向量场理论的推广是叶状结构理论，对流形进行的是积分子流形分解，这种分解自然和空间的伦型是有关的。在泊松几何里还有广义的积分子流形分解。 Morse Theory做的是流形的胞腔分解，从而建立流形的伦型分析。 两种理论在框架上是相似的。 morse theory自然的可以这样推广，就是考虑流形上的 任意的余切向量场，而不限定恰当性。 morse theory的另外一个重要的意义恐怕在于它和变分法的联系，为此要引入度规。奇点对应于测地线，测地线得分布式和底空间的伦型有关的。只要引入度规，就可以充分的展开几何分析。霍奇理论和流形上算子谱理论就都有基础了。 其实，目前，流形上各种理论的关系目前还没有充分的展现出来。 几何与力学的大变形理论，几何分析这些理论和方法才刚刚起步，可以期望有很好的前景。 在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
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星空浩淼  发表文章数: 1743 武功等级: 九阳神功 (第五重) 内力值: 617/617 | Re: Morse Theory小知识 看到楼上诸位的发言，我倒了。 因为我晕了:-) One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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| 星空浩淼 发表文章数: 1743 武功等级: 九阳神功 (第五重) 内力值: 617/617 | Re: Morse Theory小知识 有必要对新来的网友们补充说明一下： 我晕倒了，全是“滔滔江水，连绵不绝”惹的祸，不要误会我晕倒的背后原因，不是你们平时经常在外面那些网站上所看到的“晕倒”所表达出来的那种深刻含义。 你们上面谈论的东西我一点都看不懂，真是惭愧。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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| kanex 发表文章数: 860 武功等级: 弹指神通 (第六重) 内力值: 343/343 | Re: Morse Theory小知识 这不是 WZW 模型吗? ~~~~~~~~~~~~~~ oops, dunno this... 示性类不是拓扑不变量。 ~~~~~~~~~~~~~ 局部看不是。局部看没有任何东西是。乘上fundamental class是。与“积分”对应的是在整个manifold上数奇点的个数。局部数奇点的个数也没有什么意义。 我已经很强调了。奇点与常点有本质的不同。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 事实上从t->0 and t->inf这个最常用的技巧来看，奇点永远可以从某些连续的东西退化而来。这是witten的大量文章的精要。 赞同这种说法，但要具体一下。它们的区别主要在于讨论的对象的对偶性。他们讨论的对象有不同的范畴性。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 本质的区别还是，一个是homology，一个是cohomology。这是微妙而 重要的区别，例如一边的dim应对应于另一边的codim。 morse theory的另外一个重要的意义恐怕在于它和变分法的联系，为此要引入度规。奇点对应于测地线 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 考虑loop space等价于categorification。 Récoltes et semailles
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| kanex 发表文章数: 860 武功等级: 弹指神通 (第六重) 内力值: 343/343 | Re: Morse Theory小知识 与“积分”对应的是在整个manifold上数奇点的个数 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ oops, I mean 构造奇点之间的 flow 算 morse homology。那么这样的话对应的关系还不是很清晰，用witten的trick对应地更清晰。 Récoltes et semailles
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| 季候风 发表文章数: 291 武功等级: 太极剑法 (第四重) 内力值: 370/370 | Re: Morse Theory小知识 晕~~我也看不懂....... 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟
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| gage 发表文章数: 466 武功等级: 空明拳 (第三重) 内力值: 415/415 | Re: Morse Theory小知识 其实，目前，流形上各种理论的关系目前还没有充分的展现出来。 ====================================== 不知道“充分”是什么意思。 繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。 一只小小的温度计，却透露了宇宙那无比的寒冷和荒凉。
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| windowsxp 发表文章数: 138 武功等级: 罗汉拳 (第五重) 内力值: 167/167 | Re: Morse Theory小知识 充分指的是还存在很多问题。 这里有个前提就是要对理论的前景有一定的期望。 如果在各种理论之间存在很多可能的联系，和一些基本问题，但这些联系和问题都还没有得到揭示或解决，我们就可以说理论的发展的不是很充分。充分的展开大致就是这个意思。 在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
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