phymath999: 对于这方程的右边进行微小扰动之后, 这样的解依旧是存在的. 换句话说, 这些讨论对于微扰是足够稳定的.

Sunday, February 15, 2015

对于这方程的右边进行微小扰动之后, 这样的解依旧是存在的. 换句话说, 这些讨论对于微扰是足够稳定的.

对于这方程的右边进行微小扰动之后, 这样的解依旧是存在的. 换句话说, 这些讨论对于微扰是足够稳定的.

TSIo Shao，成长中的数学工作者 收起

感觉上, 虽然上面的回答涉及的无一例外都是很有趣的数学问题, 但是距离真正的"暴力破解"还是有那么一丁点远......我理解的暴力应该是, 虽然结论看上去很简洁, 但是证明的过程却充满了非常复杂的技巧和非常独到的思想. 如果还要求优美, 则就远远不能单纯是技巧的堆砌.
我来写一个我认为真正算得上"暴力破解"的.
1954年阿姆斯特丹的国际数学家大会上, E. Calabi 提出了一个命题(Proceedings of the ICMs 去几何与拓扑那一节可以看到原文):
对于任何一个容许Kahler度规 $g$ 的紧复流形 $M$ , 给定了任意一个上同调于其第一陈类(前面有一个常数因子, 不过这个在下文中不重要, 姑且说同调于第一陈类)的闭微分形式 $\psi$ , 一定存在唯一的一个Kahler度规 $g'$ , 使得 $g'$ 的Ricci形式恰好等于 $\psi$ .
这就是有名的Calabi 猜想. 为了照顾没学过微分几何的人, 稍微解释一下: "容许Kahler度规的紧复流形"可以简称为紧Kahler流形. 紧Kahler流形本身是一类非常特殊的空间. 在这个空间上面可以定义各种各样的"长度", 但是满足Kahler条件的"长度"(Kahler度规)却要受到很严格的限制; 比如说, Kahler度量的Ricci形式必须要代表流形本身的第一陈类(是一个仅和空间本身的拓扑有关的不变量). Calabi猜想以极其不平凡的方式反过来"放松"了对Kahler度规的限制, 即建立了第一陈类的上同调类和Kahler度规之间的一一对应. 它对于微分几何和代数几何有着极其深远的影响.
这个猜想到底有多大的分量呢? 丘成桐发表于1978年的文章(给个链接: On the ricci curvature of a compact kähler manifold and the complex monge-ampére equation, I)证明了Calabi猜想, 这直接导致他获得了1982年的菲尔兹奖. 所以现在这个命题都叫做Calabi-Yau定理. 具体到这个猜想本身的分量, 只需举物理学中的一个例子即可. 从Calabi-Yau定理可以轻松地导出所谓Calabi-Yau流形的存在性, 而这种流形在弦论中扮演了极其重要的角色. 即便只是读过一点科普书, 也应该知道所谓"蜷缩得极小的额外维"; 这些"额外维"指的就是Calabi-Yau流形.
回到猜想本身. 看上去, 它是一个纯几何的猜想; 它所说的是在容许的范围内对一个度规进行合理的形变, 使得它变成想要的样子. 然而, 这类形变问题实际上都有着很深刻的分析学背景(最好的例子是Hodge理论, 相当于紧微分流形上的偏微分方程理论同其本身的几何特性之间的联系, 可惜这里不能展开), 很难期望纯"几何"的解决方式. 所以, 要想解决Calabi猜想, 必须要借助非常非常"硬"的暴力手段. 打个比方, 如果这个数学问题是一个核桃, 那么Atiyah等等数学家会选择用合适的工具和精妙的技艺撬开核桃, 而丘成桐等等则选择用坚硬的锤子直接砸开核桃. 这才是真正的暴力破解.
注: 所谓"纯几何"指的也不是初等几何学那种添几条辅助线倒一倒角玩玩相似三角形的"直观"的几何. 想要知道含义的, 可以看一看, 比如, 陈省身对Gauss-Bonnet定理的内蕴证明.
到底是怎么暴力破解的呢?
借助一些非常几何的简单讨论, 可以把所要求解的形变问题完全转化成下面的偏微分方程问题:
$\det\left(g_{i\overline{j}}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^i\partial \overline{z}^{j}}\right)=Ce^F\det\left(g_{i\overline{j}}\right)$ ,
其中 $\varphi$ 是要求解的未知函数, 而其它的量统统代表已知的函数. 问题转化为: 对于任何适合命题条件的已知函数组, 证明解 $\varphi$ 的存在性和唯一性(可以差一个常数加项, 这从方程本身很容易看出来).
这个偏微分方程是极其复杂的, 因为它是完全非线性的方程. 要想体会其复杂程度, 不妨只在流形的复维数为2的时候把左右两边的行列式展开, 就可以稍微体会到其艰深.
接下来就是显示丘成桐的"暴力破解"功力的时候了. 在这之前, 几何学家往往避免过多地触及微分方程, 即使碰到了, 处理方式也往往带有非常明显的几何学的考虑. 举例来讲, Frobenius定理就可改写为关于一阶偏微分方程组可积性的定理, 而它的证明是几何的, 证明出来之后也是要用来处理诸如叶状结构之类的几何问题.
显然, 这些"软"手段在这里都失效了. 如果不写成微分方程的形式, 你该如何处理度规的存在性和唯一性问题? 对于Calabi猜想, 有一句话说"不变的记号都是骗人的", 指的就是必须要选定坐标域进行计算. 但是如果写成了微分方程的形式, 你该怎么证明解的存在性? 哪一条几何学的定理能够处理这样级别的存在性问题?
注: 我们知道, 度规为平直的充要条件是相应的Riemann曲率张量等于零. 这等价于"好"坐标系的存在性, 也归结为微分方程的可积性问题, 应用Frobenius定理即可证明. 然而这里所涉及的是坐标这种"身外之物", 不是度规本身这种内在的结构.
丘成桐给出了极其硬碰硬的手段: 直接依靠偏微分方程的理论来证明解的存在性和唯一性. 为什么说不全是技巧的堆砌? 因为一则证明中用到的方法其实追本溯源都源自很朴素的思想, 二则这证明本身为以后的几何学指明了方向(几何分析).
限于篇幅, 这里不可能给出全部的细节, 只能大致地勾勒一下丘的证明思路.
注: 丘成桐在这之前就已经积累起来了一系列的关于流形上偏微分方程的技巧, 在这里可说是集其大成.
其实, 仔细分析起来, 这个方程也并非是没有突破点的. 根据条件, $g$ 应该是一个Kahler度规, 而形变的结果 $g+\mathrm{Hess}\varphi$ 也是一个Kahler度规. 这表示: 为了让这方程在几何上有意义, 这方程就必须是强椭圆的. 而对于强椭圆的微分方程, 已经有一套比较完善的正则性理论(存在性, 唯一性和正则性). 这正是一个突破点; 如果强椭圆性和方程本身相容, 那么至少解的唯一性就可以保证了(通过极值原理). 至于存在性, 线性偏微分方程的理论中已经有使用连续形变方法证明存在性的例子(例如Schauder理论里面就有这样一个小小的技巧), 即将一个"陌生"的算子, 通过不改变某些特殊性质的形变, 变成一个熟悉的简单的算子, 然后就可以直接照搬简单的算子的结论了. 这里也采用了这种连续形变的方法. 具体说来, 考虑"形变"的方程
$\det\left(g_{i\overline{j}}+\frac{\partial^2\varphi_t}{\partial z^i\partial \overline{z}^{j}}\right)=c_te^{tF}\det\left(g_{i\overline{j}}\right),c_t=\frac{\mathrm{Vol}_g(M)}{\displaystyle{\int_{M}e^{tF}\omega^n_g}}$
参数 $t$ 等于1的时候方程回归原来的方程, 而等于零的时候则给出一个极其平凡的方程 $\det(g+\mathrm{Hess\varphi})=\det(g)$ . 这方程当然存在解(常数), 精确到常数加项的唯一性也不难通过极大值原理证明. 如果设 $S$ 是区间 $[0,1]$ 内使得上面这个"形变"方程有解的那些参数 $t$ 的集合, 那么只要能证明 $S$ 又开又闭, 就可以由连通性得出 $S=[0,1]$ ; 从而对于 $t =1$ (原来的方程), 解是存在的.
$S$ 的开性的直观含义是, 只要对于某一个参数t这"形变"的方程存在解, 则对于这方程的右边进行微小扰动之后, 这样的解依旧是存在的. 换句话说, 这些讨论对于微扰是足够稳定的. 为此只需要借助基本的Schauder理论和标准的隐函数定理即可证明这个稳定性. 这是Calabi在提出猜想后不久就解决了的部分.
而 $S$ 的闭性的直观含义则是, 解的序列应该在某种意义下收敛到一个解. 这是非常难以证明的; 实际上, 哪怕是对于线性的微分方程, 都很容易构造出来按任何意义都不收敛到解的解序列. 丘成桐的力量就体现在这里: 他没有进行任何的迂回, 而是直接借助复杂的偏微分方程理论给出了解的先验估计(即假定解存在的情况下, 估计解的各种性质; 尽管听上去很复杂, 但是这种例子在初等数学里面都有的是, 比如确定代数方程的解落在哪一个区间里面就属于先验估计). 只要有了先验估计, 后面的收敛问题就可以做为并不复杂的推论而得到了.
为了进行估计, 要先想办法把方程转化成贴近线性问题的形式. 可以针对某一个自变量微分而得到:
$\sum_{i,j}g'^{i\overline{j}}\frac{\partial^2}{\partial z^i\partial \overline{z}^{j}}\frac{\partial \varphi}{\partial z^k}=-\sum_{i,j}g'^{i\overline{j}}\frac{\partial g_{i\overline{j}}}{\partial z^k}+\frac{\partial F}{\partial z^k}+ \frac{\partial }{\partial z^k}\log\det\left(g_{i\overline{j}}\right)$
其中 $g'=g+\mathrm{Hess} \varphi$ 表示形变得到的新度规, 上标表示取逆. 这下问题就清楚了: 为了应用标准的线性椭圆微分方程的理论, 就需要对于函数 $\varphi$ 直到第三阶的导数进行估计(实际上对于二阶导数, 只须估计 $g+\mathrm{Hess}\varphi$ 的特征值即可, 因为控制方程椭圆性的其实就是它的特征值). 换句话说, 只要我们能够得到下面的四个不等式:
$\sup_M|\varphi|\leq C_0(M,g,F)$ ,
$\sup_M|\nabla\varphi|\leq C_1(M,g,F)$ ,

$0<\lambda(M,g,F)\leq g+\mathrm{Hess}\varphi\leq\Lambda(M,g,F)$ (作为二次型),
$\sup_M|\nabla^3\varphi|\leq C_3(M,g,F)$ ,
就可以通过反复地应用Schauder理论来证明: 任何解序列一定存在收敛到解的子序列. 这下就需要面对一个纯粹的分析学问题了.
为了估计第零到第二阶的导数, 需要一个非常关键的式子:
$\Delta\varphi=f,-m\leq f\leq C_1e^{C\sup\varphi-\inf\varphi}$ ,
其中的常数只依赖于所有的已知量. 假若能够得到一个对 $\sup|\varphi|$ 的先验估计, 那么这个关键的不等式便通过 $\varphi$ 本身(零阶导数)限制了 $\Delta\varphi$ . 据此, Schauder理论(不是传统的Schauder内估计, 而是更广泛意义下的; 不用Schauder理论, 转而考虑 $M$ 上的Green函数和Poisson方程似乎也能达到同样的目的)便能够给出一阶导数的估计, 而方程本身外加此不等式立刻给出了对 $g+\mathrm{Hess}\varphi$ 的特征值的估计. 换句话说, 丘把高阶导数的估计转化成了对函数本身的估计. 这是很了不起的.
这个式子可以通过选取合适的辅助函数, 并反复应用极大值原理而得到. 具体说来, 丘成桐考虑了这样一个辅助函数:
$e^{-C\varphi}(m+\Delta\varphi)$ ,
其中 $C$ 是某个适当大的常数, 不过虽然可以很大但是只依赖于原来的度规 $g$ . 这个函数的选取是大有讲究的(据说丘为了选这个辅助函数费了不少的力气), 因为它是非负的而又能够在 $M$ 上的某一点 $p$ 达到它的最大值(它是连续函数, 而 $M$ 是紧集). 从而若令 $h[\varphi]=\sup(e^{-C\varphi}(m+\Delta\varphi))$ , 即有
$0< m+\Delta\varphi\leq e^{C\sup\varphi}h[\varphi]$ .
于是如果能够得到 $h[\varphi]=\sup(e^{-C\varphi}(m+\Delta\varphi))$ 的只依赖于 $\sup|\varphi|$ 的先验估计, 这个辅助不等式就可以得到证明了.
为此, 计算 $、'(e^{-C\varphi}(m+\Delta\varphi))$ :

$\begin{array}{ccc} \Delta'(e^{-C\varphi}(m+\Delta\varphi)) &= \displaystyle{C^2e^{-C\varphi}\sum_{i,\bar{j}}g'^{i\bar{j}}\varphi_i\varphi_{\bar{j}}(m+\Delta\varphi)}\\&-\displaystyle{Ce^{-C\varphi}\sum_{i,\bar{j}}g'^{i\bar{j}}\varphi_i(\Delta\varphi)_{\bar{j}}} \\&-\displaystyle{Ce^{-C\varphi}\sum_{i,\bar{j}}g'^{i\bar{j}}\varphi_{\bar{j}}(\Delta\varphi)_{i}}\\&-e^{-C\varphi}\left(C(\Delta'\varphi)(m+\Delta\varphi)-\Delta'(\Delta\varphi)\right)\\ & & \end{array}$
这里出现了直到四阶的导数, 要想办法消去. 丘成桐应用一系列的不等式将其中高于二阶的导数全都消去了.
首先对前三项利用Cauchy-Schwarz-Young不等式可以得到
$\Delta'(e^{-C\varphi}(m+\Delta\varphi))\geq &-\displaystyle{\frac{e^{-C\varphi}}{m+\Delta\varphi}\sum_{i,{j}}g'^{i\bar{j}}(\Delta\varphi)_i(\Delta\varphi)_{\bar{j}}}\\&-e^{-C\varphi}\left(C(\Delta'\varphi)(m+\Delta\varphi)-\Delta'(\Delta\varphi)\right)\\$
为了方便计算, 可以取定一个特殊的坐标系而让右边的表达式得到适当的简化, 最后还是可以得到不依赖坐标(coordinate free, or covariant)的表达式的. 选好此坐标系的同时, 还可以对方程本身再微分两次, 得到二至四阶导数之间的联系. 应用此方法经过一些细致的计算即可消去四阶导数, 从而得到这样一个不等式:
$\Delta'(e^{-C\varphi}(m+\Delta\varphi)) &\geq e^{-C\varphi}\left(\Delta F-m^2R\right)-mCe^{-C\varphi}(m+\Delta\varphi)\\&+(C+R)e^{-C\varphi}e^{-F/(m-1)}(m+\Delta\varphi)^{1+1/(m-1)}$
其中 $R$ 是只与原来的度规 $g$ 的Riemann曲率有关的一个常数, 而 $C$ 被取得适当大使得 $C+R>1$ .
现在, 考虑使得 $e^{-C\varphi}(m+\Delta\varphi)$ 取最大值的点 $p$ . 由初等微积分立刻知道在这一点处, $、'(e^{-C\varphi}(m+\Delta\varphi))\leq0$ , 从而立刻就可以由初等的不等式知道 $(m+\Delta\varphi)(p)$ 是被一个只于背景常数有关的常量 $C_1$ 控制的; 又可立刻算出对流形上的任何点 $z$ ,
$e^{-C\varphi}(m+\Delta\varphi)(z)\leq e^{-C\varphi}(m+\Delta\varphi)(p)\leq C_1e^{-C\inf \varphi}$
由此即证得重要的辅助不等式 $\Delta\varphi=f,-m\leq f\leq C_1e^{C\sup\varphi-\inf\varphi}$ .
由Green函数方法可以得出 $\sup\varphi$ 和 $||\varphi||_{L^1(M)}$ 的估计. 又, 通过同一个辅助函数 $e^{-N\varphi}(m+\Delta\varphi)$ ( $N$ 是一个远远比前面的 $C$ 大的常数, 但是依旧无关于要求解的函数), 计算 $、'(e^{-N\varphi}(m+\Delta\varphi))$ 之后, 按照同之前相仿的步骤, 可以导出一个限制了 $e^{-N\varphi}$ 的Sobolev模的不等式
$\int_M|\nabla e^{-N\varphi/2}|^2\leq C_{10}(M,g,F)\int_M|e^{-N\varphi}|^2$
根据Sobolev空间的嵌入定理, 可以得到 $e^{-N\varphi}$ 的积分的估计(只依赖 $M,g,F$ ).
接下来, 根据对一阶导数的Schauder估计, 容易通过中值定理知道, 可以适当选取只依赖流形本身的常数 $C_7$ ,使得 $\varphi$ 在半径 $r=C_7|\inf\varphi|/(1+e^{-C\inf\varphi})$ 的测地球中取值的上界不超过其最小值的一半. 这样就可以估计出 $e^{-N\varphi}$ 在这测地球上的积分的一个下界(决定于 $\inf\varphi$ ). 但 $e^{-N\varphi}$ 的积分估计是已知的, 所以可以解出: 事实上 $\inf\varphi$ 也可以被估计出来.
至此, 丘成桐完成了对不高于二阶的导数的先验估计.
对于第三阶的导数, 丘成桐考虑的是 $|\nabla^3\varphi|_{g^{'}}$ 的估计. 对这一项求Laplacian, 借助极值原理即可得到对三阶导数的估计了. 其实这一部分单独拿出来看也相当地暴力. 截图为证(论文原图):
这只是计算中的一小部分.
上面的这些概括是很简略的. 实际上具体做起来, 这些内容全都是非常非常复杂的计算, 尽管背后的想法是朴素的. 这确实是当得起"砸核桃"的说法: 为了达到目的, 不进行迂回, 只是将问题一步步地纳入到熟悉的框架之下, 然后进行直接的计算来表明可以在多大程度上应用已知的结果.
然而, 总体来讲, 这个证明却也是很美的. 抛开它对于几何和分析的巨大意义, 它也可说是在几条简单的结论之下蕴含了丰富的信息, 并且体现了一种用蛮力对抗复杂的气势. 这在数学中实在是非常少见.
尾注: 我还会随时修改的.
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点赞的人数在缓慢增长中, 于是我决定再补两笔, 把丘成桐使用的那个辅助函数贴上来... 显示全部

编辑于 2014-11-21 收起评论感谢分享收藏 • 没有帮助 •

phymath999

Sunday, February 15, 2015

对于这方程的右边进行微小扰动之后, 这样的解依旧是存在的. 换句话说, 这些讨论对于微扰是足够稳定的.

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