phymath999: “一个物质粒子或物质粒子系可以怎样同一个（标量）波场相对应"

Sunday, February 8, 2015

“一个物质粒子或物质粒子系可以怎样同一个（标量）波场相对应"

需要同时知道动量和坐标的一阶导，信息是一样多的。如果关心的是某一个的演化，最终还是要遇到二阶微分方程。

HY LI，PKU Physics Ugrad 收起

知乎用户、侯宇航赞同

量子力学的基本假设/公设包含有以下一条:
物理系统的一个确定的状态用希尔伯特空间中的向量"描述".
在非相对论性量子力学中, 时间和空间不"平权"; 时间是作为参数被而不是可观测量的本征值被引入的. 人们希望一个好的理论能够预测物理系统如何"演化", 亦即, 在数学语言中, 描述物理系统状态的向量和时间的关系如何. 薛定谔方程就是作为预测一个孤立物理系统如何随时间演化的基本假设被引入量子力学的.

牛顿质点力学中, 牛顿第二定律的地位可以与薛定谔方程 (描述的量子态时间演化的规律) 在量子力学中的地位相类比. 但是需要注意的是, 牛顿第二定律的数学描述是一个二阶微分方程, 这意味着我们要知道质点在 $t=0$ 时刻的位置和速度才能预言质点未来的运动; 薛定谔方程是一个一阶微分方程, 就是说我们不需要知道物理系统在 $t=0$ "下一时刻"的状态, 就可以预言所有 $t>0$ 时刻的系统状态.

需要说明的是, 我们原则上无法测量单个物理系统的相邻两个时刻的状态. 请参见 Quantum Zeno effect (量子芝诺效应): "对量子系统的连续测量会冻结其演化".
这一点可以大概说明如下.

在0时刻测量到系统处于状态 $|\psi\rangle$ 以后, 经过 $\delta t$ 时间以后, 一般而言 $\delta|\psi\rangle$ 是 $\mathcal O(\delta t)$ 量级 (以模长); 但是系统在此时刻测量到系统坍缩到其它态的概率量级为 $\mathcal O((\delta t)^2)$ ; 若 $\delta t\rightarrow0$ 并且测量连续进行, 系统将不演化.(数学上, $\lim_{\epsilon\rightarrow0}{\left[1+\mathcal O(\epsilon^2) \right]^{\frac{1}{\epsilon}}}=1$ )

就是说, 我们测量到 $|\psi(t=0)\rangle$ 以后, 是无法通过测量其自由演化得到的 $|\psi(t=\delta t)\rangle$ 的.我认为这说明, 薛定谔方程是只能是一阶微分方程这个事实是和量子理论其它部分相容的; 如果薛定谔方程是二阶微分方程甚至以上, 量子力学其它基本假设就有可能不是正确的.

一个可能的解决方案是, 在 $t=0$ 时刻制备大量的 $|\psi\rangle$ 态, 测量 $\delta t$ 以后这个系综的状态; 然而这样, 越精确的预言将要求越大的系综. 我不知道这是否可行, 请熟悉的知友指正.

[DOC]薛定谔方程

course.zjnu.cn/qm/eWebEditor/.../潘益洁-薛定谔方程.doc 轉為繁體網頁

薛定谔方程式主要分为含时薛定谔方程式与不含时薛定谔方程式。含时薛定谔方程式相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随时间演变。不含时 ...

如何理解薛定谔方程？ - 物理学- 知乎

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一般的薛定谔方程就说了一个很简单的事情：哈密顿算符是时间演化的生成子： ... 所以不含时的、定态的薛定谔方程就更好理解了：就是如果一个系统处于稳定状态 ...

如何理解薛定谔方程？

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赵永峰，DON'T do theory in an experimental lab.

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黄山林、王涛、谢迪等人赞同

其实薛定谔方程非常好理解啊…………
一般的薛定谔方程就说了一个很简单的事情：哈密顿算符是时间演化的生成子：
$\hat{H}|\phi\rangle=i\hbar\frac{d|\phi\rangle}{dt}$
或者说，态的时间演化可以形式地写成：
$|\phi,t\rangle=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}|\phi,0\rangle$

那么哈密顿算符是什么，这个其实完全是从经典力学中的哈密顿量来的。哈密顿量是什么？其实就是能量函数……所以不含时的、定态的薛定谔方程就更好理解了：就是如果一个系统处于稳定状态不随时间变化，它的能量守恒：
$\hat{H}|\phi\rangle=E|\phi\rangle$

能量为什么和时间有关，能量和时间是什么关系，这都是经典力学中就很清楚的东西：即能量是因为时间平移对称性而产生的守恒量。

哦，对了，需要多说一句。一般说到薛定谔方程，是特指哈密顿算符取成类似牛顿力学的样子：
$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(\hat{x})$
这和牛顿力学中能量的表达式是一样的。而相对论性的“薛定谔方程”，则是两个：Klein-Golden方程和狄拉克方程，它们的哈密顿量是相对论中的能量表达式。但第一个方程问题很大，Dirac方程在低能状况下还凑合，但也有问题。所以通常说到相对论性量子力学，都只把它当做过渡理论。真正的相对论性量子力学，是量子场论。虽然哈密顿量长得一样，但场论是多体理论。

对了，还需要再说一句……或许你会有疑问，为什么 $\hat{\bm{p}}=-i\hbar\nabla$ ，（ $\nabla=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})$ ），这个源头也要回想一下经典力学里动量是什么。动量是空间平移操作的生成子，这和能量是时间演化操作的生成子是一样的。所以，平移 $\delta\bm{x}$ 后的状态 $|a'\rangle$ 与平移前的状态 $|a\rangle$ 可以形式地写成：
$|a'\rangle=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{\bm{p}}\cdot \delta\bm{x}}|a\rangle\approx(1-\frac{i}{\hbar}\hat{\bm{p}}\cdot \delta\bm{x})|a\rangle$
在坐标表象中，我们用坐标来标记系统的状态，即用态在坐标本征态上的分解展开（有点类似于你在直角坐标系中写一个向量的3个分量）来表示这个态，展开“系数”叫做波函数。所以我们将态用坐标本征态展开：
$|a\rangle=\int|\bm{x}\rangle\langle \bm{x}|a\rangle d\bm{x}$
那么（第一步的平移就是把态平移而已，第二步则是做了代换 $\bm{x}'=\bm{x}+\delta \bm{x}$ ，因为积分限是全空间所以不变，第三部就是单纯的函数泰勒展开）
$|a'\rangle=\int|\bm{x}+\delta\bm{x}\rangle\langle \bm{x}|a\rangle d\bm{x}=\int|\bm{x}'\rangle\langle \bm{x}'-\delta\bm{x}|a\rangle d\bm{x}'=\int|\bm{x}'\rangle(1-\delta\bm{x}\cdot\nabla)\langle \bm{x}'|a\rangle d\bm{x}'$
我们和
$|a'\rangle=(1-\frac{i}{\hbar}\hat{\bm{p}}\cdot \delta\bm{x})|a\rangle$
对比一下，由于平移 $\delta\bm{x}$ 是任意（小）的，所以
$\hat{\bm{p}}|a\rangle=-i\hbar\int|\bm{x}'\rangle\nabla\langle\bm{x}'|a\rangle$
$\langle\bm{x}'|\hat{\bm{p}}|a\rangle=-i\hbar\nabla\langle\bm{x}'|a\rangle$
也就是对坐标表象中的波函数而言， $\hat{\bm{p}}=-i\hbar\nabla$ 。 显示全部

编辑于 2013-12-10 21 条评论感谢分享收藏 • 没有帮助 •

周怡帆，物理系小学生

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姜晶、JY LLLLLL、王子鈺等人赞同

或许我可以给出一个更直观，恐怕是不够严谨的认识。
经典波动函数为 $A(x,t)=A_{0}e^{i(kx-\omega t)}$ (此式可参加任何一本电动力学教科书，均有详细推导过程）。
在量子力学中，可认为波函数与经典波动方程对应（具体可能是先猜想，后实验认定），且对于微观粒子，有下述德布罗意关系 $\nu =E/h,\lambda =h/p$ ,带入经典波动方程，得 $\varphi (x,t)=\varphi _{0}exp[-i(Et-\hat{p}x)/\hbar]$ 。
如上式所给出的信息，便可推知 $i\hbar\frac{\partial }{\partial t} \varphi =E\varphi$ 。接着按照经典力学的定义，有哈密顿量 $H$ 与能量 $E$ 等价，便可最终得出薛定谔方程。
顺带的，也把动量 $p$ 表达出来，即 $\hat{p}=-i\hbar\frac{\partial }{\partial x}$ 。
当然赵兄无穷小演化算符的说法，显然更严谨，朗道的书里写得非常详细，不过初学者可能会觉得不够直观。通过平面波来理解，大抵更容易构建量子力学与经典物理的桥梁。

编辑于 2013-12-11 15 条评论感谢分享收藏 • 没有帮助 •

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匿名用户

Allan Chen、Gwynpleina、Yu Deng 赞同

薛定谔方程：
$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\bm x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2\psi(\bm x) + V(\bm x) \psi(\bm x)$
“波函数” $\psi(\bm x)$ 是归一的，故此做变量代换： $\psi(\bm x) = e^{-\frac{i}{\hbar} S}$ ， $S$ 是某一个函数，可以得到：
$\frac{\partial}{\partial t} S + \frac{\bm p^2}{2m} + V(\bm x) = \frac{i\hbar}{2m}\nabla^2 S$ —— ［1］,
或更加明显的：
$\partial_t S + H(\nabla S, \bm x, t) = \frac{i\hbar}{2m}\nabla^2 S$ ——［2］
这里， $\bm p = \nabla S$ ，为“正则动量”， $H = \frac{\bm p^2}{2m} + V(\bm x)$ 为哈密顿量。

若 $\hbar \to 0$ ，我们得到经典力学的哈密顿－雅科比方程。由于 $\hbar$ 较小， $S$ 可以写成 $S = S_\text{cl} + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{\hbar}{i}\right)^n S_n$ ，
这里 $S_\text{cl} = \int d\bm q\cdot \bm p_\text{cl}$ 为经典作用量。而波函数可以写作， $\psi(\bm x,t) = \exp\Big[\frac{i}{\hbar} \int d\bm q \cdot \bm p_\text{cl} + S_1 + \frac{\hbar}{i} S_2 + \cdots \Big]$ ， $\hbar \to 0$ 是波函数发散，故其没有经典对应。

可以证明［Roncadelli & Schulman, 2007］，上面的方程［2］是哈密顿－雅科比方程量子化的结果，即：
$\partial_t \hat S + H(\nabla_{\hat{q}} \hat S, \hat {\bm q}, t) = 0.$ —— ［3］
将其在坐标基展开，既可以得到方程［2］。

－－－
这可以作为薛定谔方程诸多前世今生之一。

编辑于 2015-01-06 添加评论感谢分享收藏 • 没有帮助 •

HY LI，PKU Physics Ugrad

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知乎用户、侯宇航赞同

在0时刻测量到系统处于状态 $|\psi\rangle$ 以后, 经过 $\delta t$ 时间以后, 一般而言 $\delta|\psi\rangle$ 是 $\mathcal O(\delta t)$ 量级 (以模长); 但是系统在此时刻测量到系统坍缩到其它态的概率量级为 $\mathcal O((\delta t)^2)$ ; 若 $\delta t\rightarrow0$ 并且测量连续进行, 系统将不演化.(数学上, $\lim_{\epsilon\rightarrow0}{\left[1+\mathcal O(\epsilon^2) \right]^{\frac{1}{\epsilon}}}=1$ )

编辑于 2015-01-05 收起评论感谢分享收藏 • 没有帮助 •

从余草木

有一个“只”被答主写成了“不”...

2015-01-06 回复赞 0 赞

HY LI（作者）回复匿名用户

是的。但是它需要同时知道动量和坐标的一阶导，信息是一样多的。如果关心的是某一个的演化，最终还是要遇到二阶微分方程。

2015-01-06 回复赞 0 赞

HY LI（作者）回复从余草木

没有。我说的是“不需要知道下一时刻”云云。

2015-01-06 回复赞 0 赞

phymath999

Sunday, February 8, 2015

“一个物质粒子或物质粒子系可以怎样同一个（标量）波场相对应"

如何理解薛定谔方程？ - 物理学- 知乎

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赵永峰，DON'T do theory in an experimental lab.

周怡帆，物理系小学生

匿名用户

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Sunday, February 8, 2015

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赵永峰，DON'T do theory in an experimental lab.

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