周期性边界条件 自由边界条件的话，原子链两端都是自由振动的，所以模式是无穷多并且连续的（就相当于无穷大空间中的电磁场), 非驻波形式的振动不能生存（在很短的时间内就会被自己的干涉给消散掉，相当于自己把自己吃了），但驻波就可以生存

引入周期性边界条件是为了描述有限区域内自由电子的运动规律，并且不考虑表面效应，如果不引入的话电子的几率波会出现相消 (in terms of complex number)，即粒子会从有限区域内跑出去。


裙子的矮子花 (黑化，迎战) 2012-03-15 22:20:33
这么想：自由边界条件的话，原子链两端都是自由振动的，所以模式是无穷多并且连续的（就相当于无穷大空间中的电磁场嘛！）
然后周期性边界条件是什么呢？其实，就是把两端的原子连接在一起，这样形成一个环，这么处理理论上解起来更方便，因为每个原子的微分方程都长得很像嘛，并且边界都一样。
但其实这么处理有一个更隐藏的地方在于，原来两端的原子连接在一起了，这样就不是自由运动了，这就可以认为是束缚住了。（对应的就是有限闭区域中的电磁场了，可以想象为一个腔，其中的电磁场模式就是分立的了）

那么为什么是分立的呢？就是因为形成了驻波。因为非驻波形式的振动不能生存（在很短的时间内就会被自己的干涉给消散掉，相当于自己把自己吃了），但驻波就可以生存，这个是为什么呢？你可以按照一根振动弦的模型自己去计算一下：就是两端固定的话，这根弦上的振动只能是分立的频率，这些频率所对应的就是驻波。这样你就能理解为什么非驻波不能生存了。当然，两端固定还不是周期性边界条件，两端振动一致才是周期性边界条件，这么说来，两端固定其实束缚更多。

这么想：自由边界条件的话，原子链两端都是自由振动的，所以模式是无穷多并且连续的（就相当于无 这么想：自由边界条件的话，原子链两端都是自由振动的，所以模式是无穷多并且连续的（就相当于无穷大空间中的电磁场嘛！） 然后周期性边界条件是什么呢？其实，就是把两端的原子连接在一起，这样形成一个环，这么处理理论上解起来更方便，因为每个原子的微分方程都长得很像嘛，并且边界都一样。 但其实这么处理有一个更隐藏的地方在于，原来两端的原子连接在一起了，这样就不是自由运动了，这就可以认为是束缚住了。（对应的就是有限闭区域中的电磁场了，可以想象为一个腔，其中的电磁场模式就是分立的了） 那么为什么是分立的呢？就是因为形成了驻波。因为非驻波形式的振动不能生存（在很短的时间内就会被自己的干涉给消散掉，相当于自己把自己吃了），但驻波就可以生存，这个是为什么呢？你可以按照一根振动弦的模型自己去计算一下：就是两端固定的话，这根弦上的振动只能是分立的频率，这些频率所对应的就是驻波。这样你就能理解为什么非驻波不能生存了。当然，两端固定还不是周期性边界条件，两端振动一致才是周期性边界条件，这么说来，两端固定其实束缚更多。 以上纯个人理解，请轻拍~~ ... 穿裙子的矮子花
谢谢你的回答，对我启发很大；两端固定条件下确实比两端振动一致的约束要多，前者k取1到正无穷的整数，后者k取负无穷到正无穷的整数。波尔的原子模型是不是也用到时了类似的原理？
可不可以这么说：引入周期性边界条件是为了描述有限区域内自由电子的运动规律，并且不考虑表面效应，如果不引入的话电子的几率波会出现相消 (in terms of complex number)，即粒子会从有限区域内跑出去。
是不是还可以推广一下：任意一个波长的波放在一个有限区域内都会自发形成驻波？


Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2012-03-16 12:46:55
因为单个动量算符在空间反射下差一个负号，所以如果边界条件明显破缺空间反射对称性（比如开放边界），动量算符在边界上就会出问题，需要特别定义。周期性边界就保持空间反射对称，所以动量是厄米的。但是我们一般不追求动量的厄米性，只追求Hamiltonian的厄米性。因为Hamiltonian不厄米，能量就会有虚部，而能量是时间演化的生成元，虚能量会使波函数随时间衰变，这样的系统不能形成定态。如果Hamiltonian有空间反射对称性，动量算符必须以p^2的形式出现，这样无论什么边界条件，Hamiltonian都是厄米的，所以无所谓边界条件。但是如果空间反射对称性破缺，比如有轨道自旋耦合，那么就会出现正比于动量的项，这时候周期性边界就是最方便的。

删除

赞 回应

Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2012-03-16 13:00:06

什么叫系统的实际情况？系统的实际情况就是有边界的。实验室里没有任何材料是无限大的。而材料边界的实际情况是什么？是不知道。实际材料的边界可以是任何东西，可以是真空，也可以还是材料本身。如果你认为材料的外面什么都没有，那边界就是开放的；如果认为材料的外面还是材料，那边界就是周期的。所以这就告诉我们，无论怎么处理材料的边界都无所谓，因为实际材料不会告诉我们它的边界应该是什么。因此对边界条件持无所谓的态度，才是最实际的态度。所以说周期性边界根本不需要什么理由。前面说的保持厄米性这些理由都是abstract nonsense而已，凝聚态物理从来不追求形式。

周期性边界条件与波数的物理意义

来自: Warrior Solo 2012-03-15 20:15:08

在计算一维单原子链时用到了周期性边界条件，exp(-i(Naq))=1，得出波数q取N个不同的值，N为原胞个数；
在计算金属中的自由电子时，也用到了周期性边界条件，如在一维条件下，ψ(x+L)=ψ(x)，也可得出波数k=2πn/L,n=...-1,0,1,2,...的离散值。
为什么一加上周期性边界条件就出现波数的离散值？周期性边界条件的物理意义是什么？

顺便问问波数的物理意义是什么，好像在晶体学中是指倒空间，是正空间的傅立叶变换（老实说这句话我十分不解），在固体物理中又是指动量空间，怎么把这两者结合起来？

1人 喜欢 喜欢

回应 推荐 喜欢 只看楼主