亥姆霍兹定理 无旋无散的场不可能存在于整个空间，只能存在于局部空间，这种场是由区场外的源产生的。

无旋无散的场不可能存在于整个空间，只能存在于局部空间，这种场是由区场外的源产生的。

所画场线四种场的一种，并不是唯一的。

n旋度与散度的区别：

n旋度是矢量，而散度是标量。

旋度与产生矢量场的旋涡源(矢量)相联系，而散度与产生矢量场的通量源(标量）相联系

n旋度与各场分量在与其垂直的方向上的变化有关;

n

n

n散度与各场分量沿各自方向上的变化有关。

n矢量场的分类

　根据散度和旋度是否为零，

　可将矢量场分为四种基本类型：

n无旋无散场(调和场)

　矢量场 F 在区域 V 内处处有

　Ñ´Fº0， Ñ·F º 0

 说明：调和场只能存在于有限区域内，是由区域之外的源产生的

n有散无旋场(无旋场)

　矢量场 F 在区域 V 内处处有

　Ñ´F º 0， 但 Ñ·F=r ¹0

　仍有F=-Ñu，代入Ñ·F=r 得

　Ñ2u=-r ，这是泊松方程。

　

　对于有散无旋场，

   可先通过求解泊松方程求得 u 后,

    再由 F＝ - Ñu 计算矢量场 F。

n有旋无散场(无散场)

　矢量场 F 在区域 V 内处处有

　 Ñ·F º 0， 但 Ñ´F ＝J¹0，

    利用恒等式Ñ·(Ñ´A ) º 0，可令F＝Ñ´A

　（A称为矢量位）

　代入Ñ´F ＝J得

　为得到唯一的定解，还需给定Ñ·A,

　若令Ñ·A＝0，得

　这是矢量位 A 的矢量泊松方程。

对于有旋无散场，

   可先由矢量泊松方程求得 A 后,

    再由 F＝Ñ´A 计算矢量场 F。

n亥姆霍兹定理

   在有限区域V内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件（即限定区域V的闭合面S上的矢量场的分布）惟一地确定，

n亥姆霍兹定理的含义

一般矢量场可以用一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和来表示。此标量函数由它的散度和在边界S上的法向分量完全确定；而此矢量函数则由它的旋度和在边界面S上的切向分量完全确定

n在无界区域内，唯一确定矢量场的条件：

　区域中的源分布（通量源和环流源）

n在有界区域内，唯一确定矢量场的条件：

　区域中的源分布（通量源和环流源）和边界上的场分布（实际上反映了边界上的源或区域外的源对区域中的场的贡献。）如果在区域V内矢量场的散度与旋度均处处为零，则由其在边界面S上的场分布完全确定；