Sunday, February 15, 2015

微分方程的解,滿足疊加原理(或稱線性條件) 传统的纯各向异性扩散模型(一阶导数,用梯度表示)在平滑区域过度扩散,产生“阶梯效应”.

微分方程的解,滿足疊加原理(或稱線性條件)
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由 杨迎春 著作 - ‎2011 - ‎被引用 2 次 - ‎相關文章
摘要: 针对传统的纯各向异性扩散模型(一阶导数,用梯度表示)在平滑区域过度扩散,产生“阶梯效应”. 和四阶PDE(PartialDifferentialEquations)模型(二阶导数, ...

 
微分方程

Differential Equation
 

  十七世紀後,自然科學與技術蓬勃的發展,一個核心的因素是微積分的發明,而微積分之所以能廣泛地應用在各科學課題,則是因為這些問題經常被化歸為解某微分方程的問題。因此,微分方程成為整個十八與十九世紀數學發展的主調,其中包括各種重要微分方程解的研究,求解方法的發展,一般理論的萌芽,在經由反饋而催生新的數學領域。
例子
底下是一些微分方程的例子
(1) $\frac{dy(x)}{dx}=x$
(2) Malthus人口方程:

\begin{displaymath}\frac{dP(t)}{dt}=\lambda P(t),\lambda\in R \end{displaymath}


(3) 虎克定律:

\begin{displaymath}\frac{d^2y}{dx^2}=-\kappa y \end{displaymath}


(4) 牛頓萬有引力方程

\begin{displaymath}
\overrightarrow{X}''=-C\cdot\frac{\overrightarrow{X}}{\vert\vert\overrightarrow{X}\vert\vert^3}
\end{displaymath}


其中 $\overrightarrow{X}(t) = (x(t),y(t),z(t))$, $\vert\vert\overrightarrow{X}(t)\vert\vert^2=x^2(t)+y^2(t)+z^2(t)$, $\overrightarrow{X}$ 代表相對的位置向量,例如行星之於太陽。
(5) d'Alembert 波動方程:

\begin{displaymath}\frac{\partial y(x,t)}{\partial x^2}=c^2\frac{\partial y(x,t)}{\partial t^2}\end{displaymath}


(6) 勢方程或 Laplace 方程:

\begin{displaymath}\Delta V\equiv\frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V}{\partial
z^2}=0\end{displaymath}


其中 V(x,y,z) 為空間位置函數。
(7) Fourier 熱傳導方程:

\begin{displaymath}\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{1}{\kappa^2}\Delta T\end{displaymath}


$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$,T(x,y,t) 溫度函數。
(8) Largrange 最小曲面方程:

(1+q2)r-2pqs+(1+p2)t=0


其中 z=z(x,y) 為曲面之函數式, $p\equiv\frac{\partial z}{\partial x}$, $q\equiv\frac{\partial z}{\partial y}$, $r\equiv\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$, $s\equiv\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$, $t\equiv\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$
(9)Maxwell 方程式:

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{lll}
\mbox{curl}  H&=&\frac{1}{c}\fra...
...\epsilon E)&=&\rho\\
\mbox{div}(\mu H)&=&0
\end{array}\right.
\end{displaymath}


由這些例子,我們知道微分方程就是指一些函數的方程式或方程組,而且式中還包括了這些函數的導函數或偏導函數。
 
對外搜尋關鍵字:
Malthus人口方程
萬有引力方程
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Bessel函數
Legendre函數
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微分方程的一些基本分類
如果在方程式中,我們關心的函數都是某單一變數的函數(例如(1)、(2)、(3)、(4)),則稱為常微分方程(ODE, ordinary differential equation,在物理系統中最常見的變數是時間 t);不然稱為偏微分方程(PDE, partial differential equation);如果方程式不只一個,則通稱為微分方程組(例如(4)、(9));一個滿足微分方程的函數稱為一個解,通常微分方程的解並不唯一,經常要給定恰當的起始條件才能確定:如果微分方程的解,滿足疊加原理(或稱線性條件)
F(x),G(x) 為解,則 $\alpha F(x)+\beta G(x)$ 也是解, $\alpha,\beta \in \mathbf{R}$
則稱為線性方程,(如(1)、(2)、(3)、(5)、(6)、(7)),不然則稱為非線性方程((4)、(8)),線性常微分方程組,數學家已經非常了解它們的性質,線性偏微分方程也有許多研究,但是非線性則相對地要困難許多。
  

 
歷史
最早談及微分方程的數學家是 Huygens 與 Leibniz,最先以微積分技巧處理微分方程可能是 James Bernoulli 的等時曲線問題(牛頓的方法是幾何的),但是在早期分析史上最重要的兩個問題來源是
(1) 弦震動問題:
它在與 ODE 的簡諧運動方程或波型方程(形如(3))有關,在 PDE 則是波動方程。弦震動問題並引發 d'Alembert、Euler、Danial Bernoulli 關於作為起始條件的弦函數可以具有什麼性質的論戰。這次爭論最起碼有兩個意義: (一)它讓數學家意識到非解析函數的重要,並省思函數一詞的意義(見函數)。 (二)藉由 D. Bernoulli 猜測弦函數可以表成無窮三角級數和,開啟後來所謂 Fourier 級數大門(見Fourier)。
(2) n 體問題:
由牛頓重力定律,探討 n 個星球彼此的作用歷程,就是天體力學中的 n 體問題。當 n=2 時,牛頓已充分解出,並推導出 Kepler 的行星運動定律(參看行星運動三大定律),$n \geq 3$ 的問題沒有一般解,因此刺激了一系列天體問題的研究,Euler、Laplace、Lagrange 都有重要的貢獻,到了十九世紀末,經由 Poincaré 的新觀點,開始微分方程的定性研究,並開啟所謂動力系統的領域(渾沌即為其中一支)。另外由於考慮星球總引力,也導出了所謂的 Laplace 方程(即(6)),相同的想法也出現在電磁學中。
有意義而且影響深遠的微分方程來源,主要是物理與幾何,除了前面所列舉的方程外,舉例來說還有,Euler 以及 Navier-Stokes 的流體力學方程,愛因斯坦廣義相對論的愛因斯坦方程,量子力學中的 Schördinger 方程,Dirac 方程,幾何上的測地線方程,最小曲面(子流形)方程等等。 相當多的微分方程都可以用一種系統性的看法來推導出來,這就是稱為函數空間「微積分學」的變分學(加上最小作用原理)。另外在解決 PDE 問題時可以利用對稱性,分離變數,將問題化歸為 ODE 的問題。
  

 
方法
解決 ODE 的最基本方法是微積分基本定理,例(1)是顯然的,例(2)可以經由分離變數,變成

\begin{displaymath}
(\ln P)'=\lambda t\quad\Rightarrow\quad P=c\cdot e^{\lambda t}
\end{displaymath}


n 階線性微分方程組的求解,藉由線性代數與特徵方程式原則上可以說是清楚了。但是要求「確解」,即使是例(1)這種類型的方程也力有未逮,例如 $\frac{dy}{dx}=\sin^2x$。 解決這個問題的方法,首先可能是重新定義所謂的特殊函數 (special function),例如Bessel 函數,Legendre 函數,以及採用無窮級數法。而 PDE 的問題通常就更困難了。 因此後來在所謂的求解意義上發生了兩類轉折
(1) 所謂存在性(或加上唯一性)的解決方式,論證在某些特定的條件下,解一定會存在,但是通常並不知道解真正的模樣,在 ODE 最基本的是下述定理:
存在唯一性定理. 如果 f(t,y)(t0,y0) 上連續,則一階微分方程

\begin{displaymath}
\left\{ \begin{array}{l}
y'(t) \;=\; f(t, y(t)) \\
y(t_0)\;=\; y_0 \end{array}\right.
\end{displaymath}


有解且僅有一解。
在 PDE 則有 Cauchy-Kovalevskaya 存在性定理。由於存在性定理的需求,也促進泛函分析的發展(當然另一個來源是量子力學)。
(2) 另外則是採用數值計算的方式,在已知解存在的情形下,以最有效率的方式,來求近似解,最簡單的例子是 ODE 中的歐拉法。由於廿世紀中期之後電子計算機的發達,運用數值方法來求微分方程的解,已經是一們相當專門的學科。
  

 (撰稿:翁秉仁∕台大數學系)

相關網頁:
數學與科學:行星運動三大定律(曹亮吉)
數學與科學:生態學之 Lokta-Volterra 模型(翁秉仁)
數學與科學:傳染病之擴散模型(翁秉仁)
數學與科學:人口成長模型(翁秉仁)


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編輯:李渭天最後修改日期:9/18/2001

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