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[DOC]第八节微分形式的外微分
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第八节 微分形式的外微分
一 微分形式及其外积
我们知道, 一个可微函数
的全微分为


它是
的线性组合, 一个很自然的想法是将
看作一个线性空间的基.


设
是
上的区域, 记
,
(
)为
上连续可微函数全体. 将
看作一组基, 其线性组合








称为一次微分形式,简称1-形式. 1-形式的全体记为
(或
).


如果对
中的元素定义加法、数乘、零元和负元等,
就可以使
成为一个
上的线性空间. 对于任意
:






定义
和
(
)为





进一步定义
中的零元为


且定义负元为

显然
成为一个
上的线性空间.


为了得到二次微分形式, 我们先引入向量的外积这个概念.
设
,
为平面
上两个线性无关的向量, 我们将行列式
称为向量
与
的外积, 记为
, 即








平面上的向量的外积的讨论可以推广到
上去. 设


定义他们的外积为

它是由
所张成的平行
面体的有向体积. 而且这种体积满足反对称性和分配律.


类似于向量的外积, 规定

因此共有
个有序元


以这些有序元为基就可以构造一个线性空间
. 其中
的元素称为二次微分形式. 简称2-形式. 于是
中的元素可以表示为




这种形式称为2-形式的标准形式.
一般地, 在
中任意选取
个组成有序元, 记为



这里
是从集合
中选取的任意
个整数. 规定




以这些有序元为基构造一个线性空间
. 其中
的元素称为
次微分形式. 简称
-形式. 于是一般k-形式就可以表示为





这种形式称为
形式的标准形式.

显然, 当
时, 总有
, 因此
.







现在把
中的
理解为一种运算. 对于任意
:





定义
与
的外积为



它是
中的元素.

下面把这样的外积定义推广到任意的
和
上去. 若记
为线性空间
之和, 即有
, 于是
是一个
(因
)维的线性空间, 因此
中的元素的一般形式为










记
,
. 则



它是
形式. 对一般
形式
和
形式
, 定义
和
的外积
为









它是
形式. 对于
形式
,我们补充定义




二 外微分的基本概念
设
为区域,
上的可微函数
的全微分为




这可以理解为: 一个
-形式作了微分运算后成为了
-形式.


现在将微分运算推广到
上去. 对
中的任意一个
-形式.




定义


同时,对空间
上的任意一个元素


定义

这样,微分运算
就是线性的, 即
,
,其中
为常数. 这样的微分运算
称为外微分. 显然,







性质1 设
为
-形式,
为
-形式, 则





证明 (留作练习).
设
, 定义
. 在下面的讨论中,我们假设微分形式的系数都具有二阶连续偏导数.


例13.34 设
为
-形式, 证明



证明 由于
具有二阶连续偏导数, 因此
. 所以




性质2 对任意
, 有


证明 由于
的线性性, 只要证明


这种情形即可. 这时

由于
具有二阶连续偏导数, 因此
. 所以




因此再由性质1可得




二 外微分的应用
首先看Green公式

其中闭区域
的边界由分段光滑的曲线L所围成. 若将
看成有向面积元素,那么如果将它看成是正面积元素
的话, 上式就可以表示为




对于
-形式
, 则由外微分的定义可得





于是有下式成立

再看Stokes公式


其中
为分段光滑的空间有向闭曲线,
是以
为边界的分片光滑的有向曲面,
的正向与
的侧符合右手规则. 对于
-形式
,由外微分的定义可得










于是Stokes公式则变为

同样地, 对于Gauss公式

其中空间区域
由分片光滑的双侧封闭曲面
所围成. 如果我们将有向体积元素
看成是正体积元素
的话, 它就可以表示为





对于
-形式
, 我们有






于是Gauss公式则变为

这样, Green公式、Gauss公式和Stokes公式就可以统一地写成如下形式:

这个式子统称为Stokes公式. 它说明了, 高次的微分形式
在给定区域上的积分等于低一次的微分形式
在低一维的区域边界上的积分.


习题14.8
1.
设
,
, 证明: 当
时,
.




2.
设
,
,证明:
.



3.
设
,
, 为
上的
形式, 证明





4. 证明性质1.
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