Wednesday, February 11, 2015

外 微 分. 尹小玲. 以下仅在三维空间中讨论, 指數函數來逼近函數f(x) 的原因之一是下面即將講到的Euler 公式: 指數函數可以

[DOC]外微分
jpkc.sysu.edu.cn/sxfx/jiaoan/wwf.doc

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外 微 分. 尹小玲. 以下仅在三维空间中讨论。 一、微分的外积运算. 微分的外积定义：对三维空间中自变量的微分，，，其外积运算用表示，如与的外积记为，它们满足 ...
[PDF]複分析五講第一講
w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d342/34204.pdf
Gauss 公式設V 是空間封閉曲面Σ 所圍成的閉區域, 函數P(x, y, z), Q(x, y, z), 及 ... 三維空間, (0.1) 為Stokes 公式; 當ω 為二次外微分形式, (0.1) 就是Gauss 公式。

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    w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d302/30202.pdf
    微積分基本定理(微分形式): 設函數f(t) 在區間[a, b] 上連續, x 是區間[a, b] 中一個 ..... 是相同的, 於是在三維空間中, 任意三次外微分形式的外微分均為零! 關於外微分算 ...

    • 外微分_百度文库

    wenku.baidu.com/view/742714ce6137ee06eff91835.html
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    2012年12月18日 - 关键词：外微分场论1、 引言在关于多元函数积分的学习中，我们可以得出 ... 在三维空间中，我们只能得到四种相应的外微分形式，但是按照外微分算 ...

  • 高等代数学 - 第 367 頁 - Google 圖書結果

    https://books.google.com.hk/books?isbn=7302082278 - 轉為繁體網頁
    张贤科, ‎许甫华 - 2004
    耍经一个算子的变换·这里一个张量称为交错的,是指它决定的多线性函数(在张量积 ... 为 0 ;也相骂于张量的坐标分量有交错性·例 12 · 1 在三维欧几里得空间的积分中。 ... 爪 V 二 V 中元素称为一次外微分形式,例如九 d 工十尤 dy 十九 dz ·爪 V 申元素 9 ...

  • [PDF]微积分严格化之后(续一) Ξ an (x )dx = ∫ an (x )dx = ∫

    166.111.121.20:9080/mathjournal/.../xusj200202000.caj....
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    11 在L ebesgue 积分意义下, 连续函数f 使(1) 成立, 当且仅当f 是绝对连续函数。 .... 外微分形式, 这就是Green 公式; 当8 为三维空间中的一张曲面, Ξ 为一次外微分 ...

  • [PDF]对微积分中主要矛盾的粗浅认识(续二) Ξ

    166.111.121.20:9080/mathjournal/.../xusj200001000.caj....
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    dx = 01 由微分的外乘积乘上函数组成的微分形式称为外微分形式1 微分在外乘积 ... 外微分形式的次数1 于是: 若P , Q , R , A , B , C, H 为三维欧氏空间中变数x , y , z ...

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    w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d342/34204.pdf
    Gauss 公式設V 是空間封閉曲面Σ 所圍成的閉區域, 函數P(x, y, z), Q(x, y, z), 及 ... 三維空間, (0.1) 為Stokes 公式; 當ω 為二次外微分形式, (0.1) 就是Gauss 公式。

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    微積分基本定理(微分形式): 設函數f(t) 在區間[a, b] 上連續, x 是區間[a, b] 中一個 ..... 是相同的, 於是在三維空間中, 任意三次外微分形式的外微分均為零! 關於外微分算 ...

  • [DOC]第八节微分形式的外微分

    course.shufe.edu.cn/jpkc/jcjx/sxfx/math.../_13ch_4.doc

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    第八节微分形式的外微分. 一微分形式及其外积. 我们知道, 一个可微函数的全微分为 . 它是的线性组合, 一个很自然的想法是将看作一个线性空间的基. 设是上的区域, ...

    •  
     
    第八节 微分形式的外微分

    一 微分形式及其外积

    我们知道, 一个可微函数的全微分为

    .

    它是的线性组合, 一个很自然的想法是将看作一个线性空间的基.

    设是上的区域, 记, ()为上连续可微函数全体. 将看作一组基, 其线性组合


    称为一次微分形式,简称1-形式. 1-形式的全体记为(或).

    如果对中的元素定义加法、数乘、零元和负元等, 就可以使成为一个上的线性空间. 对于任意:

    ,

    ,

    定义和()为

    ,

    ,

    进一步定义中的零元为

    ,

    且定义负元为


    显然成为一个上的线性空间.

    为了得到二次微分形式, 我们先引入向量的外积这个概念.

    设, 为平面上两个线性无关的向量, 我们将行列式称为向量与的外积, 记为, 即

    .

    平面上的向量的外积的讨论可以推广到上去. 设


    定义他们的外积为

    .

    它是由所张成的平行面体的有向体积. 而且这种体积满足反对称性和分配律.

    类似于向量的外积, 规定

    .

    因此共有个有序元


    以这些有序元为基就可以构造一个线性空间. 其中的元素称为二次微分形式. 简称2-形式. 于是中的元素可以表示为

    .

    这种形式称为2-形式的标准形式.

    一般地, 在中任意选取个组成有序元, 记为

    ,

    这里是从集合中选取的任意个整数. 规定

    .

    以这些有序元为基构造一个线性空间. 其中的元素称为次微分形式. 简称-形式. 于是一般k-形式就可以表示为

    .

    这种形式称为形式的标准形式.

    显然, 当时, 总有, 因此.

    上的连续可微函数称为形式, 它们的全体记为, 它是一个线性空间, 函数是它的一个基.

    现在把中的理解为一种运算. 对于任意:

    ,

    ,

    定义与的外积为


    它是中的元素.

    下面把这样的外积定义推广到任意的和上去. 若记为线性空间之和, 即有, 于是是一个(因)维的线性空间, 因此中的元素的一般形式为

    .

    记,. 则


    它是形式. 对一般形式和形式, 定义和的外积为


    它是形式. 对于形式,我们补充定义


     

     

     

    二 外微分的基本概念

    设为区域, 上的可微函数的全微分为


    这可以理解为: 一个-形式作了微分运算后成为了-形式.

    现在将微分运算推广到上去. 对中的任意一个-形式.

    ,

    定义



    同时,对空间上的任意一个元素


    定义

    .

    这样,微分运算就是线性的, 即, ,其中为常数. 这样的微分运算称为外微分. 显然,


    .

    性质1 设为-形式, 为-形式, 则

    .

    证明 (留作练习).

    设, 定义. 在下面的讨论中,我们假设微分形式的系数都具有二阶连续偏导数.

    例13.34 设为-形式, 证明

    证明 由于具有二阶连续偏导数, 因此. 所以


    .

    性质2 对任意, 有

    证明 由于的线性性, 只要证明


    这种情形即可. 这时

    ,

    由于具有二阶连续偏导数, 因此. 所以


    .

     

    因此再由性质1可得




    .

    二 外微分的应用

    首先看Green公式


    其中闭区域的边界由分段光滑的曲线L所围成. 若将看成有向面积元素,那么如果将它看成是正面积元素的话, 上式就可以表示为


    对于-形式, 则由外微分的定义可得



    .

    于是有下式成立

    .

        再看Stokes公式


    其中为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与的侧符合右手规则. 对于-形式,由外微分的定义可得




    于是Stokes公式则变为

    .

    同样地, 对于Gauss公式


    其中空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面所围成. 如果我们将有向体积元素看成是正体积元素的话, 它就可以表示为


    对于-形式, 我们有




    .

     

    于是Gauss公式则变为

    .

    这样, Green公式、Gauss公式和Stokes公式就可以统一地写成如下形式：

    .

    这个式子统称为Stokes公式. 它说明了, 高次的微分形式在给定区域上的积分等于低一次的微分形式在低一维的区域边界上的积分.

     

    习题14.8

    1.       设, , 证明: 当时, .

    2.       设, ,证明: .

    3.       设, , 为上的形式, 证明

    .

    4.  证明性质1.

     

    外微分_百度文库

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