2. 徑向與法向：質點作圓周運動時，質點的軌跡為一個圓，與圓相切的線稱為切線，與切線垂直的線稱為法線，法線的方向即法向。半徑的延長線一定與切線垂直，所以徑向與法向是同樣的方向；計算向心加速度（法線方向的加速度）的時候，通常法向以向著圓心的方向為正向，此時應注意徑向與法向的正負方向相反。
3. 軸向與法向：旋轉軸的方向就是軸向。長軸的垂直切斷面與軸向（縱長方向）垂直，與切斷面平行的方向稱為切向，與切斷面垂直的方向稱為法向，此時法向與軸向相同，遠離切斷面的方向為正，向著切斷面為負。
參考資料Beer & Johnston著，應用力學─動力學
在无线电导航中或无线电测量中，特指通过某一中心点（线）延展出来的磁力线方向
天线的故事——一条绳子的启蒙
直到高一第一学期（1949年秋季），我的课余兴趣还停留在玩儿无线电上。我当时是北京四中的业余无线电小组的“头儿”。小组中有能人。北京的小报上报导过我们小组的活动，特别提到我们去清华大学求教专家，增长我们的无线电知识。恰恰是这个报导，和清华大学之行，使我从“玩儿无线电”上金盆洗手了。
对高中生来说，能看懂收音机的线路图，也能分辨出各个部分的功能：高放，外差变频，中放，检波，功放，电源整流等等，还能粗略说出为什麽有这些功能。根据这些浅近的理解，就可以换零件，改装，重组，试图达到自己的目的。这是高中生的玩儿法。它同初中生的玩儿法——按图装配听个响儿——已大不相同。
对于我和一些小组成员，最不明白的是天线。天线的功能当然是接受电磁波信号（收音机），或产生电磁波信号（发射机）。但是，天线为什麽能接受和发射? 通俗无线电书籍上就语焉不详了。语焉不详还不要紧，就怕误导。
有的书籍，在天线之上画上几条曲线。其形状就像小人书里武侠们身后的螺旋状曲线，表示武侠们翻几个筋斗, 驾着云就来了，或走了。用武侠的来去比喻电磁波的来去，当然是100% 误导。
有的书较认真，多说了几句：天线杆上有电荷，也有电流，可以产生电场和磁场，电磁波就是由电场和磁场构成的。这有道理。
好，那我们也来认真一下。杆状天线上的电流是沿杆方向的，所以磁力线应是围绕天线杆的圆环，即磁力线垂直于天线杆，这在许多书上都有。又，天线上如有电荷，应是沿天线杆方向分布的，它们的电力线应是是垂直于天线杆，沿径向方向的，这在许多书上也有。这样，天线杆外的电场与磁场相互垂直。很好，电磁波的电场和磁场就是处处相互垂直的。书上又说，电磁波的传播方向垂直于电场及磁场。这样，天线外电磁波的传播方向应是平行于天线杆的。亦即，沿杆向上，或沿杆向下。
这个推论只基于四个垂直关系：磁场与天线杆垂直；电场与天线杆垂直；电场与磁场相互垂直；电磁波传播方向与电场磁场二者垂直。这在很多普及读物上都有，不需要任何中学以上的知识。
如果电磁波真是沿天线杆方向发射，杆状天线就应指向接受者所在的方向。
这个结论显然不对。四中西边的官园里，就有高大的杆状天线，指向天空。难道它的目的是发射给天上的接受者？当时（1949年），还没有人上太空，连飞机都很少。
我业余无线电小组的成员决定去清华大学电机系去请教。当时，清华大学电机系的声望，在北京的中学生里，绝对是排名第一的，超过物理系。许多同学的大学目标是清华电机系。
无线电小组中，五六个有自行车的成员，找了一个好天，结伴直奔清华园。当时的北京城外（即如今二环以外）极少公共汽车，也没有像样的柏油路面。北京城里的学生上街游行，“反饥饿，反内战”，少有清华和燕京的学生参加，就因为进城交通不便。
电机系并不重视我们访问。也难怪，几个中学生嘛，懂什麽？接待我们的是一位年轻教师，也许只是个研究生。接待者的专长大概是电路。他总是用电路来解释电磁波，一直不提电场磁场。好像电磁波与电场磁场无关。他说，天线是个开放电路，所以能把电磁波发射出去。这种解释，甚至说不清“垂直-垂直-垂直-垂直”是否有错，错在那里。有点糊弄人，似是而非。不算100% 误导，就算99.9% 吧。
乘兴而来，败兴而归。
到了高一第二学期，无线电的玩儿兴顿然消失，我最终退出了无线电小组。
高二开始有物理课，讲课教师是四中的镇校之宝——张子谔老师。张老师的课，生动，有趣。说到雷电的时候，张老师特别提醒大家，不要学屈原。正在公演的郭沫若的话剧“屈原”里，有名的“雷电颂”一场，是屈原在雷电交加时指天发誓：“电啊！你这宇宙中最犀利的剑呀！……你劈吧，劈吧，劈吧！把这比铁还坚固的黑暗，劈开，劈开，劈开！”。很多同学喜欢用歇斯底里腔调朗诵。教室里一片“劈呀” “劈呀”。
幸好，屈原最终没有被劈到。张老师说那是因为屈原命大。命不够大的人，千万别在打雷时指天发誓，少跟雷电逗着玩儿。
雷击问题，很像天线问题。天线收到电磁波信号，就如同电磁波信号“劈”到了 天线。雷电交加时，收音机嘎嘎乱响，那就是闪电发射的电磁波在“劈” 天线。
那末，发射机呢？似乎应当反过来，是天线主动在“劈”。“劈”谁？谁被“劈”？如果屈原拿着一台无线电发射机指天发誓，在雷雨交加时，发射机天线是不是会多“劈”出点电磁波？我没敢去问。张老师是长辈，威望太高，有点令人望而生畏。
高二代数课老师是王景鹤，年轻，随和，风趣，不修边幅，安徽人，口音不重，和学生混得很熟。得知王老师是西南联大物理系毕业的，我就到他的单身宿舍问他天线如何发射，也谈到高一时的清华之行。王老师听后哈哈大笑：“你们是跑错了衙门，这种问题，你们应当去找物理系。”他还说，清华物理系的教授，很多是从西南联大回来的，他认识。
王景鹤老师告诉我：“你说的‘垂直-垂直-垂直-垂直’关系都对，天线周围是有你说的那种电磁场，不过，那种电磁场不是电磁波。电磁波里的电场是由振荡的磁场产生的，而磁场又是由振荡的电场产生的。‘垂直-垂直-垂直-垂直’电磁场是所谓的静场，或近场。不存在沿着天线杆向上或向下发射的电磁波。”这一段话，简单否定了“官园天线”的目标是太空人。
王老师又说：“杆状天线周围的电场不仅有你说的垂直于天线杆的电场，而且有平行于天线杆的电场。”第一次听到！
“如果电荷有加速度，电信号的传播速度有限（不是无限），就会产生平行于天线杆的电场。” ——为——什——麽？
王老师拿出一张纸，画上一条直线：“如果这是一条绳子，你握住一端，另一端拴在树干上，拉紧，绳子是直的，同你竖直的身体垂直。绳子相当于静场。
“如果你的手突然上提，或上下晃一晃，绳子上会有一段打弯。”王老师画了一个弯。
“打弯的的一段绳子，并不同你的身体垂直，它有平行于你身体的分量。打弯的一段不是静止的，它会从你的手的一端，一直跑到树干。绳子拉得愈紧，‘打弯’跑得愈快。”这不难懂，找一条长绳，再找一棵树，就容易验证。
“如果绳子很长，打弯的一段一直在向外传播，同你彻底脱离关系。这就是‘发射’
“再，如果绳子被拉得无限紧，绳子永远是直的，不会打弯，因为这种绳子上的信号传播速度是无限大。实际上，绳子不可能被拉得无限紧。拉得太紧，绳子早就断了。但是，物理就是要思考极端情况，才容易弄明白。”
“物理就是要思考极端情况，才容易弄明白。”有道理。
绳子相当于电力线，“手突然上提”或“上下晃一晃”（振荡一下）相当于天线中电荷的加速运动。如果电信号沿电力线传播速度有限（绳子不是被无限拉紧），就一定有一段电力线“打弯”，不再同你的身体垂直，而有平行分量，它向外传播。这就是“有加速度的电荷会发射电磁波”的原因。
“所以，发射电磁波是由于天线中（或闪电中）的加速运动电荷‘劈’到了天线周围的静场或近场，产生了电磁波的电场和磁场。”
后来知道，以绳子“打弯”（或称kink）说明电磁波的产生和传播，是汤姆孙（J.J.Thomson，英）首创的。他注意到电力线的一些性质类似于被拉紧（不是无限紧）的绳子。加速运动电荷会使电荷本身的静场（近场）的电力线打弯，产生了电磁波 [1]。电荷周围的静电场，永远跟着电荷走。所以，只要电荷有加速运动，就会“劈”到电场，发射电磁波。
插几段有关电磁波的历史。
1865年，麦克斯韦（J. Maxwell，苏格兰）建立了电磁学的基本方程后，预言有电磁波存在。
直到二十年后，1886年，才有赫兹（H. Hertz，德）证实电磁波的存在。赫兹证明，人造的放电（实验室里的的闪电），能发射电磁波。据传，当时有人问赫兹，你这个发明有什麽用？他说，没什麽用，除了在表演时，会令在场仕女们惊奇和尖叫。
又过了十年，马可尼（G. Marconi，意）开始建造天线，愈造愈大，逐步证实，电磁波信号可以传递数十，数百，上千公里。他创建了第一个商用无线电报公司。这是电磁波实用之始，其势头至今未减。
天线一词（Antenna，意为昆虫的触角）可能就是马可尼等首用的。
尽管如此，直到那时，为什麽放电（或闪电，或天线）能发射电磁波？还没有一个完整的理论。马可尼设计天线，还是用经验公式，如马可尼律：电磁波的有效传播距离正比于杆状天线高度的平方。
1898 – 1900年，A. Lienard（法）和E. Wiechart （德）前后独立地得到了完整的运动电荷的电磁场解。 Lienard – Wiechart （L-W） 公式严格分清了与加速度无关的近场（“垂直”场），和加速度产生的辐射场（电磁波）。
L-W 公式为电荷电流发射电磁波奠定了理论基础。马可尼律等不过是它的推论。 L – W 公式的计算过程很繁复，不易普及（不过，早在60年代，费曼在他称之为“普及水平”的物理中，已开始用L – W公式解释电磁波了 [2]）。
1903年，汤姆孙在耶鲁大学作演讲时，用电力线的打弯说明加速电荷如何发射电磁波。“打弯”图像不但能正确地区分近场和辐射场，也能证明近场不参与能量传输，而辐射场携带能量。J.J. Thomson的“打弯”图像甚至还可以部分地得到L – W公式 [3]。所以，“打弯”解释虽然简洁易懂，但不失严谨有效 [3]。这远远不是“开放LC电路产生电磁波”的说法所能比的。
以下一项，也容易查实：1949年，在清华园里误导我们的“开放电路”说，迄今仍流传于一些中文的百科网站，甚至高中教材上。
后来，王景鹤老师还借给我一些通俗的量子论读物，其中介绍原子是如何产生辐射的，即如何发光，发X-射线等等，原子没有天线，也没有LC 回路，但与天线发射电磁波有相通的道理，都是由于电荷的加速运动。
上大学后，我还回四中看望过王景鹤老师。他同我在北大的第一位物理老师——黄昆教授——在西南联大是同学，他们讲起物理来，有一种类似的“味道”。
西南联大之后，黄先生远赴英伦留学，1950年回国。王老师则过海去台北教中学，1949年回大陆。
肃反运动后，再去四中，就没有见到王老师了。因台湾一段历史，王老师被当局怀疑为暗藏的反革命分子，离开了四中。数年之后，又听说，王老师已被调到北京师范学院教数学了。
不过，我再也没有见到过他。也不知他是否还保持着当年的风趣，潇洒和智睿……
从四中出来的人不少，回忆文章也很多，但很少提到王景鹤老师。我曾受惠于王景鹤老师，特别忘不掉他的一条绳子的启蒙。故草此文以记之。
[1] J.J.Thomson, Electricity and matter, （Charles Scribner’s Sons，1904）.
[2] R. Feymann, Lectures on Physics (CIT，1963).
[3] J. Tessman，1967, American Journal of Physics，35, 523; H. Padmanabhan, ibid, 2009, 77, 151.
2012， Tucson
对高中生来说，能看懂收音机的线路图，也能分辨出各个部分的功能：高放，外差变频，中放，检波，功放，电源整流等等，还能粗略说出为什麽有这些功能。根据这些浅近的理解，就可以换零件，改装，重组，试图达到自己的目的。这是高中生的玩儿法。它同初中生的玩儿法——按图装配听个响儿——已大不相同。
对于我和一些小组成员，最不明白的是天线。天线的功能当然是接受电磁波信号（收音机），或产生电磁波信号（发射机）。但是，天线为什麽能接受和发射? 通俗无线电书籍上就语焉不详了。语焉不详还不要紧，就怕误导。
有的书籍，在天线之上画上几条曲线。其形状就像小人书里武侠们身后的螺旋状曲线，表示武侠们翻几个筋斗, 驾着云就来了，或走了。用武侠的来去比喻电磁波的来去，当然是100% 误导。
有的书较认真，多说了几句：天线杆上有电荷，也有电流，可以产生电场和磁场，电磁波就是由电场和磁场构成的。这有道理。
好，那我们也来认真一下。杆状天线上的电流是沿杆方向的，所以磁力线应是围绕天线杆的圆环，即磁力线垂直于天线杆，这在许多书上都有。又，天线上如有电荷，应是沿天线杆方向分布的，它们的电力线应是是垂直于天线杆，沿径向方向的，这在许多书上也有。这样，天线杆外的电场与磁场相互垂直。很好，电磁波的电场和磁场就是处处相互垂直的。书上又说，电磁波的传播方向垂直于电场及磁场。这样，天线外电磁波的传播方向应是平行于天线杆的。亦即，沿杆向上，或沿杆向下。
这个推论只基于四个垂直关系：磁场与天线杆垂直；电场与天线杆垂直；电场与磁场相互垂直；电磁波传播方向与电场磁场二者垂直。这在很多普及读物上都有，不需要任何中学以上的知识。
如果电磁波真是沿天线杆方向发射，杆状天线就应指向接受者所在的方向。
这个结论显然不对。四中西边的官园里，就有高大的杆状天线，指向天空。难道它的目的是发射给天上的接受者？当时（1949年），还没有人上太空，连飞机都很少。
我业余无线电小组的成员决定去清华大学电机系去请教。当时，清华大学电机系的声望，在北京的中学生里，绝对是排名第一的，超过物理系。许多同学的大学目标是清华电机系。
无线电小组中，五六个有自行车的成员，找了一个好天，结伴直奔清华园。当时的北京城外（即如今二环以外）极少公共汽车，也没有像样的柏油路面。北京城里的学生上街游行，“反饥饿，反内战”，少有清华和燕京的学生参加，就因为进城交通不便。
电机系并不重视我们访问。也难怪，几个中学生嘛，懂什麽？接待我们的是一位年轻教师，也许只是个研究生。接待者的专长大概是电路。他总是用电路来解释电磁波，一直不提电场磁场。好像电磁波与电场磁场无关。他说，天线是个开放电路，所以能把电磁波发射出去。这种解释，甚至说不清“垂直-垂直-垂直-垂直”是否有错，错在那里。有点糊弄人，似是而非。不算100% 误导，就算99.9% 吧。
乘兴而来，败兴而归。
到了高一第二学期，无线电的玩儿兴顿然消失，我最终退出了无线电小组。
高二开始有物理课，讲课教师是四中的镇校之宝——张子谔老师。张老师的课，生动，有趣。说到雷电的时候，张老师特别提醒大家，不要学屈原。正在公演的郭沫若的话剧“屈原”里，有名的“雷电颂”一场，是屈原在雷电交加时指天发誓：“电啊！你这宇宙中最犀利的剑呀！……你劈吧，劈吧，劈吧！把这比铁还坚固的黑暗，劈开，劈开，劈开！”。很多同学喜欢用歇斯底里腔调朗诵。教室里一片“劈呀” “劈呀”。
幸好，屈原最终没有被劈到。张老师说那是因为屈原命大。命不够大的人，千万别在打雷时指天发誓，少跟雷电逗着玩儿。
雷击问题，很像天线问题。天线收到电磁波信号，就如同电磁波信号“劈”到了 天线。雷电交加时，收音机嘎嘎乱响，那就是闪电发射的电磁波在“劈” 天线。
那末，发射机呢？似乎应当反过来，是天线主动在“劈”。“劈”谁？谁被“劈”？如果屈原拿着一台无线电发射机指天发誓，在雷雨交加时，发射机天线是不是会多“劈”出点电磁波？我没敢去问。张老师是长辈，威望太高，有点令人望而生畏。
高二代数课老师是王景鹤，年轻，随和，风趣，不修边幅，安徽人，口音不重，和学生混得很熟。得知王老师是西南联大物理系毕业的，我就到他的单身宿舍问他天线如何发射，也谈到高一时的清华之行。王老师听后哈哈大笑：“你们是跑错了衙门，这种问题，你们应当去找物理系。”他还说，清华物理系的教授，很多是从西南联大回来的，他认识。
王景鹤老师告诉我：“你说的‘垂直-垂直-垂直-垂直’关系都对，天线周围是有你说的那种电磁场，不过，那种电磁场不是电磁波。电磁波里的电场是由振荡的磁场产生的，而磁场又是由振荡的电场产生的。‘垂直-垂直-垂直-垂直’电磁场是所谓的静场，或近场。不存在沿着天线杆向上或向下发射的电磁波。”这一段话，简单否定了“官园天线”的目标是太空人。
王老师又说：“杆状天线周围的电场不仅有你说的垂直于天线杆的电场，而且有平行于天线杆的电场。”第一次听到！
“如果电荷有加速度，电信号的传播速度有限（不是无限），就会产生平行于天线杆的电场。” ——为——什——麽？
王老师拿出一张纸，画上一条直线：“如果这是一条绳子，你握住一端，另一端拴在树干上，拉紧，绳子是直的，同你竖直的身体垂直。绳子相当于静场。
“如果你的手突然上提，或上下晃一晃，绳子上会有一段打弯。”王老师画了一个弯。
“打弯的的一段绳子，并不同你的身体垂直，它有平行于你身体的分量。打弯的一段不是静止的，它会从你的手的一端，一直跑到树干。绳子拉得愈紧，‘打弯’跑得愈快。”这不难懂，找一条长绳，再找一棵树，就容易验证。
“如果绳子很长，打弯的一段一直在向外传播，同你彻底脱离关系。这就是‘发射’
“再，如果绳子被拉得无限紧，绳子永远是直的，不会打弯，因为这种绳子上的信号传播速度是无限大。实际上，绳子不可能被拉得无限紧。拉得太紧，绳子早就断了。但是，物理就是要思考极端情况，才容易弄明白。”
“物理就是要思考极端情况，才容易弄明白。”有道理。
绳子相当于电力线，“手突然上提”或“上下晃一晃”（振荡一下）相当于天线中电荷的加速运动。如果电信号沿电力线传播速度有限（绳子不是被无限拉紧），就一定有一段电力线“打弯”，不再同你的身体垂直，而有平行分量，它向外传播。这就是“有加速度的电荷会发射电磁波”的原因。
“所以，发射电磁波是由于天线中（或闪电中）的加速运动电荷‘劈’到了天线周围的静场或近场，产生了电磁波的电场和磁场。”
后来知道，以绳子“打弯”（或称kink）说明电磁波的产生和传播，是汤姆孙（J.J.Thomson，英）首创的。他注意到电力线的一些性质类似于被拉紧（不是无限紧）的绳子。加速运动电荷会使电荷本身的静场（近场）的电力线打弯，产生了电磁波 [1]。电荷周围的静电场，永远跟着电荷走。所以，只要电荷有加速运动，就会“劈”到电场，发射电磁波。
插几段有关电磁波的历史。
1865年，麦克斯韦（J. Maxwell，苏格兰）建立了电磁学的基本方程后，预言有电磁波存在。
直到二十年后，1886年，才有赫兹（H. Hertz，德）证实电磁波的存在。赫兹证明，人造的放电（实验室里的的闪电），能发射电磁波。据传，当时有人问赫兹，你这个发明有什麽用？他说，没什麽用，除了在表演时，会令在场仕女们惊奇和尖叫。
又过了十年，马可尼（G. Marconi，意）开始建造天线，愈造愈大，逐步证实，电磁波信号可以传递数十，数百，上千公里。他创建了第一个商用无线电报公司。这是电磁波实用之始，其势头至今未减。
天线一词（Antenna，意为昆虫的触角）可能就是马可尼等首用的。
尽管如此，直到那时，为什麽放电（或闪电，或天线）能发射电磁波？还没有一个完整的理论。马可尼设计天线，还是用经验公式，如马可尼律：电磁波的有效传播距离正比于杆状天线高度的平方。
1898 – 1900年，A. Lienard（法）和E. Wiechart （德）前后独立地得到了完整的运动电荷的电磁场解。 Lienard – Wiechart （L-W） 公式严格分清了与加速度无关的近场（“垂直”场），和加速度产生的辐射场（电磁波）。
L-W 公式为电荷电流发射电磁波奠定了理论基础。马可尼律等不过是它的推论。 L – W 公式的计算过程很繁复，不易普及（不过，早在60年代，费曼在他称之为“普及水平”的物理中，已开始用L – W公式解释电磁波了 [2]）。
1903年，汤姆孙在耶鲁大学作演讲时，用电力线的打弯说明加速电荷如何发射电磁波。“打弯”图像不但能正确地区分近场和辐射场，也能证明近场不参与能量传输，而辐射场携带能量。J.J. Thomson的“打弯”图像甚至还可以部分地得到L – W公式 [3]。所以，“打弯”解释虽然简洁易懂，但不失严谨有效 [3]。这远远不是“开放LC电路产生电磁波”的说法所能比的。
以下一项，也容易查实：1949年，在清华园里误导我们的“开放电路”说，迄今仍流传于一些中文的百科网站，甚至高中教材上。
后来，王景鹤老师还借给我一些通俗的量子论读物，其中介绍原子是如何产生辐射的，即如何发光，发X-射线等等，原子没有天线，也没有LC 回路，但与天线发射电磁波有相通的道理，都是由于电荷的加速运动。
上大学后，我还回四中看望过王景鹤老师。他同我在北大的第一位物理老师——黄昆教授——在西南联大是同学，他们讲起物理来，有一种类似的“味道”。
西南联大之后，黄先生远赴英伦留学，1950年回国。王老师则过海去台北教中学，1949年回大陆。
肃反运动后，再去四中，就没有见到王老师了。因台湾一段历史，王老师被当局怀疑为暗藏的反革命分子，离开了四中。数年之后，又听说，王老师已被调到北京师范学院教数学了。
不过，我再也没有见到过他。也不知他是否还保持着当年的风趣，潇洒和智睿……
从四中出来的人不少，回忆文章也很多，但很少提到王景鹤老师。我曾受惠于王景鹤老师，特别忘不掉他的一条绳子的启蒙。故草此文以记之。
[1] J.J.Thomson, Electricity and matter, （Charles Scribner’s Sons，1904）.
[2] R. Feymann, Lectures on Physics (CIT，1963).
[3] J. Tessman，1967, American Journal of Physics，35, 523; H. Padmanabhan, ibid, 2009, 77, 151.
2012， Tucson
§ 1.6 电势梯度
spe.sysu.edu.cn/course/course/4/build/lesson1-6.htm
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[DOC]《电动力学》第22讲§4.2 唯一性定理
course.sdu.edu.cn/.../8b7d70d7-1663-4293-92b1-801ce1...
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[FLASH]/47 1 46% 《电动力学》第22讲 第4章介质中的电动力学（2 ...
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poisson方程边值问题_数学_编程_作业_天涯问答
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