group white 給定集合X，X的一個「排列」就是把X中元素排序的某個可能方案。舉例說，如果X = {A, B, C}，那麼ACB和BCA就是X的兩個不同排列。在數學上，排列也可被看成X上的一個「雙射」(Bijection)，即「一一到上函數」(One-one Onto Function)(註1)。

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給定集合X，X的一個「排列」就是把X中元素排序的某個可能方案。舉例說，如果X = {A, B, C}，那麼ACB和BCA就是X的兩個不同排列。在數學上，排列也可被看成X上的一個「雙射」(Bijection)，即「一一到上函數」(One-one Onto Function)(註1)。

群論與魔方：排列的表示法與運算

筆者在《群論與魔方：群論基礎知識》中指出，可以把魔方群RUBIK的元素(即對魔方的各種操作)看成對魔方54個小面的排列，從而把RUBIK看成排列群S₅₄的子群。把魔方的操作處理成排列可幫助了解魔方的奧秘，因此本章將介紹與排列有關的幾個重要課題，包括排列的表示法、排列的複合和求逆運算，以及「對換」和排列「奇偶性」的概念。

兩行式與循環式

給定集合X，X的一個「排列」就是把X中元素排序的某個可能方案。舉例說，如果X = {A, B, C}，那麼ACB和BCA就是X的兩個不同排列。在數學上，排列也可被看成X上的一個「雙射」(Bijection)，即「一一到上函數」(One-one Onto Function)(註1)。為了突出排列作為一種特殊函數的性質，我們可以把排列表達為「兩行式」(Two Line Notation)，例如前述的兩個排列ACB和BCA便可以表示為
在上式中，第一行和第二行分別代表「定義域」和「對應域」(對於任何「雙射」而言，它的「定義域」和「對應域」必然等同)，每一列的上下對應關係代表函數關係，例如左面的「兩行式」便代表把A映射為A，把B映射為C，把C映射為B。根據組合數學，X若包含n個元素，則X共有n!個排列。

「兩行式」固然有直觀易明的優點，但在記寫上卻頗為費勁，因為每次都要寫出兩行內容重覆(僅在次序上可能不同)的元素。因此，數學家又創造出一種較簡便的記法，稱為「循環式」(Cycle Notation)。「循環式」的特點是僅用一行元素表達排列，該行元素由一或多個括弧組成。不同括弧中的元素各自獨立，彼此之間沒有映射關係；但在每個括弧中左右相鄰的任意兩個元素之間則具有映射關係，即居於左邊的元素映射到居於右邊的元素。此外，還規定每個括弧中居於最右的元素映射到居於最左的元素(因此每個括弧實際上是一個圓圈，最右和最左的元素實際上是相鄰的)。舉例說，前述的兩個排列ACB和BCA便可以表示為
(A)(BC)            (ABC) 請注意在上面第一個「循環式」中，(A)自成一個括弧，這代表把A映射為A；(BC)則表示把B映射為C，並把C映射為B (請記著每個括弧實際上是一個圓圈，所以C既在B的右邊，也在B的左邊)。

對於「循環式」，有兩點須作說明。首先，由於各個括弧各自獨立而每個括弧實際上是圓圈，在寫出「循環式」時，各個括弧可以任意次序排列，而每個括弧可以隨意以任何一個元素作為開始。例如上面兩個「循環式」便可以分別改寫為
(CB)(A)            (BCA) 其次，為盡量簡化寫法，我們約定「循環式」中任何只包含一個元素的括弧都可以略去不寫。這也就是說，我們約定任何沒有在「循環式」中寫出來的元素都各自組成一個括弧。舉例說，上面第一個「循環式」便可以改寫為
(CB) 反過來看，當我們看到以上這個「循環式」沒有寫出A時，便可推斷A自成一個括弧。

當然，當我們想寫出「恆等排列」(Identity Permutation)(即把每個元素映射為自身的排列)的「循環式」時，由於這個「循環式」的所有括弧都只包含一個元素，如果把所有括弧都略去不寫，我們的「循環式」將會是空的，所以我們又約定，對於「恆等排列」，它的「循環式」可表達為任意一個元素組成的括弧。舉例說，對於前述的X = {A, B, C}來說，它的「恆等排列」便可以表達為以下三種「循環式」中的任何一種：
(A)            (B)            (C)

排列的複合和求逆運算

由於排列是一種函數，我們可以對排列進行複合，這種複合跟上一章討論的對稱變換的複合具有相同的原理。我們可以利用「循環式」進行複合運算，其方法是把要進行複合的排列的「循環式」並排寫出來(先進行的排列寫在左邊，後進行的排列寫在右邊)，然後逐個元素從左到右追蹤它們的映射結果，並把追蹤結果寫成「循環式」。

以下用一個例子說明上述運算過程。設X = {A, B, C, D, E, F}，我們想求(ABCDEF)與(BACEF)進行複合的結果。首先把這兩個「循環式」並排寫出來(其中「•」代表複合運算)：
(ABCDEF) • (BACEF) 我們可以從任意一個元素開始運算，故假設從A開始：第一個排列把A映射為B，第二個排列則把B映射為A，所以複合的結果就是把A映射為A。由此可知在複合結果中(A)自成一個括弧。接著計算B的映射結果：第一個排列把B映射為C，第二個排列則把C映射為E，所以複合的結果就是把B映射為E。接著計算E的映射結果：第一個排列把E映射為F，第二個排列則把F映射為B，所以複合的結果就是把E映射為B。由此可知在複合結果中(BE)自成一個括弧。接著計算C的映射結果：第一個排列把C映射為D，第二個排列不包含D，故知該排列把D映射為D，所以複合的結果就是把C映射為D。接著計算D的映射結果：第一個排列把D映射為E，第二個排列則把E映射為F，所以複合的結果就是把D映射為F。最後計算F的映射結果：第一個排列把F映射為A，第二個排列則把A映射為C，所以複合的結果就是把F映射為C。由此可知在複合結果中(CDF)自成一個括弧。綜合以上結果，便可得
(ABCDEF) • (BACEF) = (BE)(CDF)     (1) 請注意在上式右端我們無需把(A)寫出來。

正如每一個函數有其「逆函數」一樣，每一個排列也有其「逆排列」(Inverse Permutation)。給定任何排列的「循環式」，只需把該式中每個括弧中元素的排列次序顛倒過來，便可求得該排列的「逆排列」。舉例說，設X = {A, B, C, D, E, F}，並有排列(ABC)(DEF)。只需把ABC和DEF分別變為CBA和FED，便可求得原來排列的逆排列，即
[(ABC)(DEF)]⁻¹ = (CBA)(FED) 如要驗證上述求逆運算所得結果正確，可進行以下運算：
(ABC)(DEF) • (CBA)(FED) = (CBA)(FED) • (ABC)(DEF) = (A)

排列複合運算的一個性質

接著我們來看排列複合運算的一個性質，這個性質在下一章中將有重要應用。回顧(1)所示的複合運算，我們發現在運算過程中，每一個元素在進行複合的兩個排列中有時作為映射的「輸入項」(Input)，有時作為映射的「輸出項」(Output)(註2)。事實上，對於任何排列複合運算，我們有以下性質。

排列複合運算性質：設X1和X2為集合X的兩個排列，那麼在計算X1 • X2的過程中，X中每一個元素在X1和X2中都會恰好作為「輸入項」一次，並恰好作為「輸出項」一次。

為理解上述性質，我們把(1)重新寫為「兩行式」的形式：
在每個「兩行式」中，上面一行的元素就是「輸入項」，而下面一行的元素就是「輸出項」。由於排列具有「雙射」的性質，所以在每個「兩行式」中，每個元素恰好出現於上、下兩行各一次。由於第一個「兩行式」的「輸出項」是作為第二個「兩行式」的「輸入項」，所以在上述運算中，A、B、C、D、E、F中的每一個在上列兩個「兩行式」中必會恰好作為「輸入項」一次，並恰好作為「輸出項」一次，由此驗證了上述「排列複合運算性質」。容易看到任何排列複合運算都必然具備上述性質。

對換與奇偶性

在「循環式」中，剛好包含兩個元素的括弧具有特殊的地位，稱為「對換」(Transposition)。容易證明，任何排列的「循環式」都可改寫成一系列「對換」的複合。舉例說，(ABC)(DEF)便有以下改寫方案(以下略去複合運算符「•」)：
(ABC)(DEF) = (AB)(AC)(DE)(DF)     (2) 讀者可自行驗證上式是正確的。一般地，設有「循環式」(A₁A₂...A_n)(B₁B₂...B_m)...(Z₁Z₂...Z_k)，其中不包含只有一個元素的括弧，而且A₁...A_n、B₁...B_m、Z₁...Z_k中沒有兩個是相同的元素，那麼我們有
(A₁A₂...A_n)(B₁B₂...B_m)...(Z₁Z₂...Z_k) = (A₁A₂)...(A₁A_n)(B₁B₂)...(B₁B_m)(Z₁Z₂)...(Z₁Z_k)     (3) 上式是把任何「循環式」改寫成對換複合的標準方案，但不是唯一的方案。事實上，一個「循環式」有多種改寫方案。舉例說，上述的(ABC)(DEF)便有以下改寫方案：
(ABC)(DEF) = (AB)(AC)(DE)(AF)(DA)(AF)     (4) 雖然給定某一「循環式」，其改寫方案並不唯一，但所有改寫方案所含「對換」的數目必然全是奇數，或者全是偶數(證明從略)，例如上述(ABC)(DEF)的兩種改寫方案便分別包含4個和6個「對換」，而4和6都是偶數。

由此我們可以定義排列的「奇偶性」(Parity)。對於任何排列，如果可以把其「循環式」改寫成奇數個對換的複合，那麼該排列稱為「奇排列」(Odd Permutation)，否則就是「偶排列」(Even Permutation)。根據這個定義，前述的(ABC)(DEF)是一個「偶排列」。

從直觀上說，「對換」代表把兩個元素對調位置。因此，把某個排列寫成「對換」的複合，就等於把該排列重新理解為一系列對調位置的結果。舉例說，(ABC)(DEF)本來代表原來排第一的元素跑到第二位置，原來排第二的元素跑到第三位置，原來排第三的元素跑到第一位置...，這個排序結果可以直觀地表達成：
ABCDEF → CABFDE 但根據(2)，上述排序結果亦可透過一系列對調位置達成，即排第一、第二位的元素先對調位置，接著排第一、第三位的元素對調位置，然後排第四、第五位的元素對調位置，最後排第四、第六位的元素對調位置。上述四步對調位置的結果也可以直觀地表達成：

ABCDEF	→ BACDEF
	→ CABDEF
	→ CABEDF
	→ CABFDE

請注意以上兩個結果是一致的，由此驗證了(2)的正確性。本章所述的很多概念在魔方上有很廣泛的應用，這將留待下一章再作介紹。
註1：設F為從「定義域」(Domain) X映射到「對應域」(Codomain) Y的函數，我們說F是「一一」(One-one)的，當且僅當對X中任何兩個元素x和y，如果x ≠ y，則F(x) ≠ F(y)。F是「到上」(Onto)的，當且僅當對Y中任何元素y而言，都有X中元素x使得F(x) = y。

註2：設F把A映射為B，我們說A是F的「輸入項」(即作為「定義域」的元素)，B是F的「輸出項」(即作為「對應域」的元素)。

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