与其一个一个地解这个常微分方程，不如把所有的状态看作一个空间，每点作为初始状态时的最小消耗看作这个空间上的一个函数，然后这个函数必定满足某种类型的HJ方程。

如何理解哈密顿－雅科比方程？

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许韦浩

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花满圆、知乎用户 赞同

泛泛地说，哈雅方程是想找到一个正则变换，让变换后的哈密顿量是0，这样正则坐标和动量都是守恒量。当然母函数就是要求的S

当然，像楼上说的那样，哈雅方程在量子力学中和薛定谔方程有一定联系。至少形式上如此。当普朗克常熟趋于0时，薛定谔方程退化成哈雅方程，S对应于波函数的相位。

另外，解哈雅方程的常用方法是分离变量：加法形式的分离变量。而解薛定谔方程的常用方法也是分离变量：乘法形式的分离变量。再想到S（概率波的相位）再薛定谔方程中是在e指数上，S的加相当于波函数的乘，这两个方程的关系就更有意思了～～～

与其一个一个地解这个常微分方程，不如把所有的状态看作一个空间，每点作为初始状态时的最小消耗看作这个空间上的一个函数，然后这个函数必定满足某种类型的HJ方程。

老qfwfq

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知乎用户、zh main、知乎用户 赞同

在最优控制（以及随机控制、动态博弈等）里，也会出现类似的Hamilton-Jacobi方程。

一开始包括实际应用中提出的问题是这样的：给定一个初始状态，在一定的限制下，如何达到目的状态同时使得消耗最小。这一般都可以化成解常微分方程的问题。

但是数学家不是这样思考问题的：与其一个一个地解这个常微分方程，不如把所有的状态看作一个空间，每点作为初始状态时的最小消耗看作这个空间上的一个函数，然后这个函数必定满足某种类型的HJ方程。（这里有个很简单但很基本的原理：如果你最终的选择是最优的，则在这期间每一个中间步骤的选择都是最优的）然后通过HJ方程的解我们就可以重新构造出那个常微分方程的解（对任意的初始状态）。

经典力学差不多也可以用这种观点看。实际上上面这个观点我怀疑是从庞家莱起源的：即从单个的常微分方程转变到对整个空间上的动力系统的研究。