常见的current都正比于空间一阶导数，在各项同性空间中密度守恒方程就是时间一阶导数加上current的散度也就是Laplacian。

切矢量(一阶导数)反映了曲线对参数t变化速度,曲率(二阶导数)反映了曲线对参数t变化的加速度.

第四章自由曲线_百度文库

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2012年11月15日 - 在曲线/曲面造型中,一般只用到C1, C2 和G1, G2 连续, 切矢量(一阶导数)反映了曲线对参数t变化速度,曲率(二阶导数)反映了曲线对参数t变化的 ...

发布于 2014-12-01 收起评论感谢分享收藏 • 没有帮助 • 举报

嗯，"current正比于空间一阶导数"至少同时解释了扩散型方程和波动方程的本质~

波动、扩散、稳态过程归结到最后都有空间二阶导，感觉不只是推导和形式上的巧合。应该有深层的物理意义吧？

二阶方程的初始条件或者边界条件是容易具有明确的物理意义的，零阶是位置，一阶是动量

数理方程是将物理中的一些形式接近的方程放在一块，一起讲，免得每次上课的时候都需要讲如何解这类方程。
比如说，
你在坐标表象下解薛定谔绘景的时候，哈密顿量中就有拉普拉斯算子。。
电动力学中， B 和 E 消去一个之后就是拉普拉斯算子。
扩散方程振动方程这类方程的都会带有拉普拉斯算子。

发布于 2014-11-28 1 条评论感谢分享收藏 • 没有帮助 • 举报

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匿名用户

匿名用户、匿名用户、未雨绸缪狮子座赞同

这三类方程是最简单的双曲、抛物和椭圆方程，一般来说越简单的越容易被我们观察到，因此出现的更多（多少有点人择原理的感觉。。。。），比如场论（粒子）里面基本上都是极小耦合。
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补充几句，
二阶方程的初始条件或者边界条件是容易具有明确的物理意义的，零阶是位置，一阶是动量，一般性的物理经验是这两个条件确定时系统的演化是确定的。高阶导数出现时需要根据具体的问题具体讨论。
波动方程的物理意义是场位形扰动在空间的传播，并且波包不会衰减。波动方程具有Lorentz协变性，因此只需要波源和接收者两者的相对位置和运动关系即可确定物理实在。
扩散方程或者叫热方程，后面你还会学到复的Schrodinger方程，也具有“传播”的性质，但这时波包一定会随时间散开。扩散方程不具有Lorentz或者Galileo协变性，因此物理实在是随参考系的选择而表现不同的，所以需要波源和接收者相对背景参考系一起确定。
Laplace方程描述稳态（没有时间嘛），物理意义比如电势能，Newton引力势能，稳定的温度场等等，这个可以这样想：考虑一个布满空间的格点，相邻的格点由同一种轻弹簧连接，格点之间的距离是弹簧的平衡距离，现在假设格点被同种质点代替，质点可以移动，边界条件确定了边界上质点的位置，那么这时整个弹簧质点系统的稳定位置，当格点间距趋向于零时，就是Laplace方程的解。所以一般来说Laplace算子是场内部弹性势能的响应。（叙述的太啰嗦了- -，一般好一点的教材应该会讲吧）
这些物理意义从拉氏量和格林函数的角度可以直接看出来，所以学习数学物理方法这两个话题一定要好好学！（有些老师会略讲这些）
对维数的依赖。
量子化后还要考虑可重整性，系统的自恰性（反常的出现），对规范对称性的保持，等等，一般来说这些可以剔除掉高阶微分算子。以后补充（实际上是编不下去了，谁来写个靠谱的答案= =）

编辑于 2014-12-13 添加评论感谢分享收藏 • 没有帮助 • 举报

很多物理量在时空中是守恒的，例如质量、能量和动量，这些物理量在实际过程中应用得非常广泛，比如流体力学、传热学、传质学、电磁场等等，在控制体中描述这些物理量流入和流出的方法最方便的就是散度了，求散度的方法就是对这个物理量使用拉普拉斯算子，拉普拉斯算子就是对空间求二阶导啦

发布于 2014-12-02 收起评论感谢分享收藏 • 没有帮助 • 举报

张某人

矢量的散度不是与哈密顿算符作点积么？

2014-12-02 回复赞 0 赞举报

知乎用户（作者）回复张某人

对于矢量场，确实是那样。对于常物性标量场，直接用拉普拉斯算子就OK啦

问个题外的，双调和方程是解析函数当中讲的共轭调和函数吗，即从一个调和函数可以完全推出另一个，两函数分别是同一个解析函数的实、虚部？

2014-11-29 回复赞 0 赞举报

张某人（作者）

双调和函数是两阶拉普拉斯方程，用@代表拉普拉斯算子的话，拉普拉斯方程是@U=0，也可称为调和方程，而双调和方程就是@@U=0。另外你说的那个共轭调和函数组成解析函数的实部和虚部，有些情况下可以把这个解析函数称作复势。

2014-11-29 回复赞 0 赞举报

张某人（作者）回复无姓无名

抱歉，直接评论原回答而不是回复你了。

2014-11-29 回复赞 0 赞举报

无姓无名

讨论问题而已，没事。。

2014-11-29 回复赞 0 赞举报

Ebony and Ivory

跟弯曲有关的东西貌似都很喜欢空间的四阶导数→_→

跟弯曲有关的东西貌似都很喜欢空间的四阶导数→_→

数学期望是一阶原点矩（表示分布重心）、方差是二阶中心距（表示离散程度）、偏态是三阶中心矩（表示分布偏离对称的程度）、峰态是四阶中心距（描述分布的尖峰程度，例如正态分布峰态系数=0）

二阶方程的初始条件或者边界条件是容易具有明确的物理意义的，零阶是位置，一阶是动量，一般性的物理经

冯某某、知乎用户、张小若等人赞同

统计学上的矩和物理上的矩，都是数学上的矩的特例，英語都是moment。

力矩看似好像和统计没关系，那不妨多加几个力，再看看公式。
设两个力F1和F2分别作用于位置r1和r2，力矩为F1 X r1 + F2 X r2
再看统计的例子，两个量x1和x2，相对权重为w1和w2，加权平均值为x1 w1 + x2 w2
现在看出相同了吧？力矩就是以力为“权”的，位置的加权一阶矩，当然这个权没有归一。
物理里还有一个moment，但是被翻译成了转动惯量[1]。
请自己看定义，统计上这是以质量为"权"的，位置的二阶矩。

现在给出数学上矩的定义[2]，
一个函数f(x)的n阶矩就是对(x-c)^n f(x)积分
简单起见，用了函数举例，其实用测度定义得更一般。

如果f(x)是分布函数，这就是统计矩了；
如果f(x)是力的分布，n=1，就是力矩了；
如果f(x)是质量分布，n=2，就是转动惯量了。
其他物理上的moment还有：
磁矩（电流的矩），角动量（动量的矩），电偶极矩（电荷的矩）等。

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Moment_(mathematics)

编辑于 2011-11-15 1 条评论感谢分享收藏 • 没有帮助 • 举报

赵卿元，统计学

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杨艾森、卫毛、吴楠等人赞同

这个问题要从物理学、统计学和语源学三个角度回答。现在第一位的匿名用户认为物理和统计中的m矩都是数学概念的特例，这是对的。但历史上出现的顺序应该是物理moment -> 统计moment -> 数学moment，并且数学moment完全是对此的归纳，并不是起源。

先整理一下历史：力矩这个概念最早是由阿基米德提出的，著名的“给我一个支点，我就能撬动地球”就是关于力矩最著名的名言。

The works of Archimedes including On the Equilibrium of Planes which contains statics and levers, was translated into Latin by Gerard of Cremona (c. 1114–1187 AD). Therefore it seems likely that Archimedes used "moving power" to describe the effect of a lever in moving a mass on the other end, and being proportional to the product of the applied force and its distance from the fulcrum on the other end.

最初的时候阿基米德可能是用”moving power“即”移动能量“来描述这一现象，后来在拉丁语被翻译成movimentum，到英语就变成了moment，中文翻译是矩。另一个容易混淆的概念是momentum, 中文一般翻译成动量，拉丁词源是momentum，意思也是"movement, moving power"。所以moment和momentum本来就是同源，只是到近代科学后被用来指代不同的物理量了。

moment更被人熟知的含义是“一瞬间”，这个意思可能是从momentum这个拉丁语来的，也有可能是从古法语里moment这个词来的。这个词汇发展到现在，在物理中和在生活中的含义已经很不一样了，但究其根源，都是”移动“的意思。

统计学里moment这个概念是从物理学引申出来的。前面的回答都给出了很好的定义，读者也可以参考Moments - Definition of Statistics Terms这里的解释。初学统计的人（包括我自己）往往对“moment”特别是中文翻译“矩”感到困惑，这丝毫不奇怪，因为它离原始含义“to move"或者“移动”已经太远了。

至于wikipedia上关于数学moment的概括Moment (mathematics)，我认为并不是太有意义。这个page里的reference和see also基本都是统计学的文献，可以说数学家一般是不会讲moment这个概念的。

参考资料：
1. Torque vs Moment
2. Meaning of the word "Moment"?
3. Online Etymology Dictionary
4. Moments - Definition of Statistics Terms
5. Moment (mathematics)

发布于 2014-08-09 2 条评论感谢分享收藏 • 没有帮助 • 举报

Richardkwo，椅子爱好者

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知乎用户、郭小奥、李林橦等人赞同

都是同一类的泛函: $\int r^m f(r) dr$ , 其中 $r$ 表示坐标， $f(r)$ 是“分布”的密度函数。在概率统计中， $f(r)$ 是概率密度函数；在物理里面 $f(r)$ 则是密度函数，描述物体的质量如何在空间上分布。

但他们起的作用在统计和物理上有所不同：在统计里面，矩描述的是概率分布的形状，比如二阶中心距，也就是方差，描述分布关于中心的弥散程度；在物理上，矩可以看成对作用量强度的度量（比如力矩）、物体对单位作用量响应大小的度量（比如转动惯量）。例如，其中的转动惯量 $I=\int r^2 \rho(r) dr$ 可以看成是某种“质量”，转动惯量越大，单位力矩对物体产生的角加速度越小。

发布于 2014-03-04 添加评论感谢分享收藏 • 没有帮助 • 举报

知乎用户，FDU&Sociology /student/shutterbug

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黄山、戚风菜卷、知乎用户等人赞同

统计中矩 $E\left[ (X-A)^{k} \right]$ 的定义是各点对某一固定点A离差幂的平均值。如果A=0，则是原点矩，A=均值，则是中心距。K是阶数。
统计中引入矩是为了描述随机变量的分布的形态。
数学期望是一阶原点矩（表示分布重心）、方差是二阶中心距（表示离散程度）、偏态是三阶中心矩（表示分布偏离对称的程度）、峰态是四阶中心距（描述分布的尖峰程度，例如正态分布峰态系数=0）