布朗运动在函数空间上的表示就是拉普拉斯算子，所以很多扩散现象（粒子，分子与热传导，病毒的扩散等等）从宏观、唯象角度都可以用关于拉普拉斯算子的方程逼近
二阶导为什么重要呢？因为二阶导是曲率。
为什么 空间二阶导（拉普拉斯算子）这么重要？
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《数理方程》课上讲的三类基本方程，方程的一边都是拉普拉斯算符，另一边分别是时间二阶导、一阶导和0，为什么空间二阶导这么重要？它有什么样的数学和物理意义？
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本来不觉得这个问题提的好，但是看到这样一个答案：
坐标无关的算子，或者叫内蕴算子，在黎曼几何里由特征值衍生的，是很多的。这不足以解释为什么Laplacian算子为何重要。或者说这个答案指示了一种性质，但是这个性质也不是刻画性质（Characterizing Property），因此我觉得这个答案并没有答到点子上。
另外一个看似合理的答案：
简短的这句话，“从表示论的角度看重要的对象应该是 Casimir elements, 后者与 Laplacians 有自然的类比关系.”我来断一下句，作者的原意应该是Laplacian可以看作是Lie代数上的Casmir元，这在sl^{n}(\mathbb{C})中很显然，但是在更加一般的场合，甚至说gl^{n}(\mathbb{C})就并不显然。而且Casmir元如果我没记错的话主要是用来证对应表示的完全可约性的(complete reducibility,usage by Harris& Wallach)，它在gl中，可给定坐标计算，如果它还有更深刻的与Laplacian的联系或者我的理解有不足的地方，请指教。
最合理的解释要用到所谓的Hodge-Laplace理论。浅显地说，我们能够定义一种Hodge*算子，这种算子的定义形式上是这样的：对于至少是浸入（immersed）到某个n维流形里面的p维闭子流形，我们考虑其子外代数上的Hodge*算子:
而Hodge-Laplace算子在给定R^n的典型坐标下可以计算出这确实是传统上定义在Riem流形上的trace(D^2)。然后我们把
的p次微分形式称为p次调和形式。读者最好检查一下这个算子的线性性，因为我宣称这些定义在同一个Riem流形上的p次调和形式全体是实向量空间，记作
。好了，那么为什么要研究这套看似更复杂的语言来刻画简单定义的Laplacian呢？答案是Hodge定理：
上面所说的在于实的状况，但是Hodge理论本身重要性在于研究复流形，就不多讲了。
假如读者有进一步的兴趣，Stein的Harmonic Analysis是一本百科全书，所知道的一定比我更全面。
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Hu：我敦促L来写这个答案，很大程度上是因为现在我们似乎需要一些稍微serious的问题，和一些稍微serious的答案。
Zhu：問問題可以local一些，However you should have a global view，觀點有趣也是可以的。
by L
revised by L JiangD Hu Zhu 显示全部
最浅层的答案是，拉普拉斯算子是Coordinate-free的。我觉得有必要更深刻地解答一下。
坐标无关的算子，或者叫内蕴算子，在黎曼几何里由特征值衍生的，是很多的。这不足以解释为什么Laplacian算子为何重要。或者说这个答案指示了一种性质，但是这个性质也不是刻画性质（Characterizing Property），因此我觉得这个答案并没有答到点子上。
另外一个看似合理的答案：
我不熟悉 Laplacian 的分析和几何方面的意义. 但是从表示论的角度看重要的对象应该是 Casimir elements, 后者与 Laplacians 有自然的类比关系.这个也许是一个可能的解释，但是同样不很正确。
简短的这句话，“从表示论的角度看重要的对象应该是 Casimir elements, 后者与 Laplacians 有自然的类比关系.”我来断一下句，作者的原意应该是Laplacian可以看作是Lie代数上的Casmir元，这在sl^{n}(\mathbb{C})中很显然，但是在更加一般的场合，甚至说gl^{n}(\mathbb{C})就并不显然。而且Casmir元如果我没记错的话主要是用来证对应表示的完全可约性的(complete reducibility,usage by Harris& Wallach)，它在gl中，可给定坐标计算，如果它还有更深刻的与Laplacian的联系或者我的理解有不足的地方，请指教。
最合理的解释要用到所谓的Hodge-Laplace理论。浅显地说，我们能够定义一种Hodge*算子，这种算子的定义形式上是这样的：对于至少是浸入（immersed）到某个n维流形里面的p维闭子流形，我们考虑其子外代数上的Hodge*算子:
而Hodge-Laplace算子在给定R^n的典型坐标下可以计算出这确实是传统上定义在Riem流形上的trace(D^2)。然后我们把
给定实紧定向Riem流形M，这就直接告诉我们研究上同调，研究调和形式就足够了。为什么这个结果这样漂亮？因为PDE理论可以告诉我们一些调和（算子）方程的优良性质，这是一般的微分方程所不具备的。最简单的就是调和方程的特征函数解法，这直接关系到第一特征值的估计。（实调和p形式）同构于（上同调向量空间）
上面所说的在于实的状况，但是Hodge理论本身重要性在于研究复流形，就不多讲了。
假如读者有进一步的兴趣，Stein的Harmonic Analysis是一本百科全书，所知道的一定比我更全面。
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Hu：我敦促L来写这个答案，很大程度上是因为现在我们似乎需要一些稍微serious的问题，和一些稍微serious的答案。
Zhu：問問題可以local一些，However you should have a global view，觀點有趣也是可以的。
by L
revised by L JiangD Hu Zhu 显示全部
最浅层的答案是，拉普拉斯算子是Coordinate-free的。
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确切地说，拉普拉斯算子是阶数最低的，从scalar function 到scalar function 的 Coordinate-free的 平移不变的不平庸的算子， up to a factor。
物理研究的对象要求具有平移和旋转的对称性，拉普拉斯算子就是满足这两条的阶数最低的算子。
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确切地说，拉普拉斯算子是阶数最低的，从scalar function 到scalar function 的 Coordinate-free的 平移不变的不平庸的算子， up to a factor。
物理研究的对象要求具有平移和旋转的对称性，拉普拉斯算子就是满足这两条的阶数最低的算子。
知乎用户，牧人驱犊返, 猎马带禽归
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匿名用户、玄清少主、Lance Cotton 等人赞同
很好的问题.
我不熟悉 Laplacian 的分析和几何方面的意义. 但是从表示论的角度看重要的对象应该是 Casimir elements, 后者与 Laplacians 有自然的类比关系.
MO 上也有一些讨论: http://mathoverflow.net/questions/54986/why-is-the-laplacian-ubiquitous
我不熟悉 Laplacian 的分析和几何方面的意义. 但是从表示论的角度看重要的对象应该是 Casimir elements, 后者与 Laplacians 有自然的类比关系.
MO 上也有一些讨论: http://mathoverflow.net/questions/54986/why-is-the-laplacian-ubiquitous
好像很多物理现象最后的数学描述都是拉普拉斯方程或者双调和方程。作为力学生，我只说说在力学里面的一些东西：流体力学中速度势和流势都满足拉普拉斯方程；弹性力学中平面问题的艾里应力函数满足的是双调和方程……除了很多物理现象的数学描述的最后形式是拉普拉斯方程外，在拉普拉斯方程出现的初期，数学家们由这个方程推出了很多重要的函数：贝塞尔函数，勒让德函数等等。反正在我看来吧，拉普拉斯方程真挺重要的。
并没有什么特别的东西。
数理方程 是将物理中的一些形式接近的方程放在一块，一起讲，免得每次上课的时候都需要讲如何解这类方程。
比如说，
你在坐标表象下解薛定谔绘景的时候，哈密顿量中就有拉普拉斯算子。。
电动力学中， B 和 E 消去一个之后就是 拉普拉斯算子。
扩散方程振动方程 这类方程的都会带有拉普拉斯算子。
数理方程 是将物理中的一些形式接近的方程放在一块，一起讲，免得每次上课的时候都需要讲如何解这类方程。
比如说，
你在坐标表象下解薛定谔绘景的时候，哈密顿量中就有拉普拉斯算子。。
电动力学中， B 和 E 消去一个之后就是 拉普拉斯算子。
扩散方程振动方程 这类方程的都会带有拉普拉斯算子。
匿名用户、匿名用户、未雨绸缪狮子座 赞同
这三类方程是最简单的双曲、抛物和椭圆方程，一般来说越简单的越容易被我们观察到，因此出现的更多（多少有点人择原理的感觉。。。。），比如场论（粒子）里面基本上都是极小耦合。
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补充几句，
二阶方程的初始条件或者边界条件是容易具有明确的物理意义的，零阶是位置，一阶是动量，一般性的物理经验是这两个条件确定时系统的演化是确定的。高阶导数出现时需要根据具体的问题具体讨论。
波动方程的物理意义是场位形扰动在空间的传播，并且波包不会衰减。波动方程具有Lorentz协变性，因此只需要波源和接收者两者的相对位置和运动关系即可确定物理实在。
扩散方程或者叫热方程，后面你还会学到复的Schrodinger方程，也具有“传播”的性质，但这时波包一定会随时间散开。扩散方程不具有Lorentz或者Galileo协变性，因此物理实在是随参考系的选择而表现不同的，所以需要波源和接收者相对背景参考系一起确定。
Laplace方程描述稳态（没有时间嘛），物理意义比如电势能，Newton引力势能，稳定的温度场等等，这个可以这样想：考虑一个布满空间的格点，相邻的格点由同一种轻弹簧连接，格点之间的距离是弹簧的平衡距离，现在假设格点被同种质点代替，质点可以移动，边界条件确定了边界上质点的位置，那么这时整个弹簧质点系统的稳定位置，当格点间距趋向于零时，就是Laplace方程的解。所以一般来说Laplace算子是场内部弹性势能的响应。（叙述的太啰嗦了- -，一般好一点的教材应该会讲吧）
这些物理意义从拉氏量和格林函数的角度可以直接看出来，所以学习数学物理方法这两个话题一定要好好学！（有些老师会略讲这些）
对维数的依赖。
量子化后还要考虑可重整性，系统的自恰性（反常的出现），对规范对称性的保持，等等，一般来说这些可以剔除掉高阶微分算子。以后补充（实际上是编不下去了，谁来写个靠谱的答案= =）
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补充几句，
二阶方程的初始条件或者边界条件是容易具有明确的物理意义的，零阶是位置，一阶是动量，一般性的物理经验是这两个条件确定时系统的演化是确定的。高阶导数出现时需要根据具体的问题具体讨论。
波动方程的物理意义是场位形扰动在空间的传播，并且波包不会衰减。波动方程具有Lorentz协变性，因此只需要波源和接收者两者的相对位置和运动关系即可确定物理实在。
扩散方程或者叫热方程，后面你还会学到复的Schrodinger方程，也具有“传播”的性质，但这时波包一定会随时间散开。扩散方程不具有Lorentz或者Galileo协变性，因此物理实在是随参考系的选择而表现不同的，所以需要波源和接收者相对背景参考系一起确定。
Laplace方程描述稳态（没有时间嘛），物理意义比如电势能，Newton引力势能，稳定的温度场等等，这个可以这样想：考虑一个布满空间的格点，相邻的格点由同一种轻弹簧连接，格点之间的距离是弹簧的平衡距离，现在假设格点被同种质点代替，质点可以移动，边界条件确定了边界上质点的位置，那么这时整个弹簧质点系统的稳定位置，当格点间距趋向于零时，就是Laplace方程的解。所以一般来说Laplace算子是场内部弹性势能的响应。（叙述的太啰嗦了- -，一般好一点的教材应该会讲吧）
这些物理意义从拉氏量和格林函数的角度可以直接看出来，所以学习数学物理方法这两个话题一定要好好学！（有些老师会略讲这些）
对维数的依赖。
量子化后还要考虑可重整性，系统的自恰性（反常的出现），对规范对称性的保持，等等，一般来说这些可以剔除掉高阶微分算子。以后补充（实际上是编不下去了，谁来写个靠谱的答案= =）
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