来自: 垃圾君 2014-07-15 18:03:19
先是看到一个关于有效质量的提问，我就简单看了一下书，看到布洛赫波的形式，发现一些疑问。
1.将布洛赫函数（e^{ikr} u_k(r)）波包看做准粒子后，推得群速度的表达式。然后代入功能原理，得到d（hk）/dt = F，则称k为准动量。所以布洛赫函数中的k没有物理意义而只是参数么？
2.德布罗意关系，p=hk只是针对平面波的k才是有效的吗？
3. 接着想到，电子在磁场中运动，正则动量并不是机械动量。那么如果动量算符作用在磁场运动电子的能量本征态上，得到的是机械动量的平均值吗？
1.将布洛赫函数（e^{ikr} u_k(r)）波包看做准粒子后，推得群速度的表达式。然后代入功能原理，得到d（hk）/dt = F，则称k为准动量。所以布洛赫函数中的k没有物理意义而只是参数么？
2.德布罗意关系，p=hk只是针对平面波的k才是有效的吗？
3. 接着想到，电子在磁场中运动，正则动量并不是机械动量。那么如果动量算符作用在磁场运动电子的能量本征态上，得到的是机械动量的平均值吗？
see: http://www.douban.coPhantom_Ghost (Glaube am Chaos) 2014-10-07 02:09:17
m/group/topic/634828 12/
都说准动量不是真实的动量，那它为什么有动量守恒？
1. 每一个守恒量都与一个对称性相联系。Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2014-09-29 10:15:01
2. 与平移对称性相连系的守恒量就叫做动量。
3. 平移对称性分为两种：连续平移对称性，离散平移对称性。
4. 与连续平移对称性相联系的守恒量称为（真实）动量，与离散平移对称性相联系的守恒量称为准动量。
5. 在固体中，由于晶格结构的存在，连续平移对称性被破缺了，因此（真实）动量不再守恒。
6. 但是由于晶格的周期性，系统仍然具有离散平移对称性，因准动量守恒。
7. 恰恰因为准动量不是真实的动量，因此它才可以在真实动量不守恒的时候仍然保持守恒！
安 (圈圈~↖(^ω^)↗) 2014-09-30 16:12:56
1. 每一个守恒量都与一个对称性相联系。 2. 与平移对称性相连系的守恒量就叫做动量。 3. 平移 1. 每一个守恒量都与一个对称性相联系。 2. 与平移对称性相连系的守恒量就叫做动量。 3. 平移对称性分为两种：连续平移对称性，离散平移对称性。 4. 与连续平移对称性相联系的守恒量称为（真实）动量，与离散平移对称性相联系的守恒量称为准动量。 5. 在固体中，由于晶格结构的存在，连续平移对称性被破缺了，因此（真实）动量不再守恒。 6. 但是由于晶格的周期性，系统仍然具有离散平移对称性，因准动量守恒。 7. 恰恰因为准动量不是真实的动量，因此它才可以在真实动量不守恒的时候仍然保持守恒！ ... Everett再问下总的动量应该是守恒的吧，如果声子准动量守恒的系统里动量不守恒那他的动量给谁了？（另外我还没学到那个程度，所以还不知道离散的平移对称性怎么和准动量联系
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- 关于准动量的守恒，首先是根本上真实动量守恒出于连续平移对称性，准动量守恒也就是晶格离散对称性的表现: $[\text{T}(R_n)，H ]=0$。也因为晶格系统不具有连续对称性，所以出现Goldstone模（格波）以及动量守恒是相差整数倍倒格矢内成立的准动量守恒。
Phantom_Ghost (Glaube am Chaos) 2014-10-01 21:15:29
然后我们来从1D晶格为例来看看里面的物理图像
能谱$E_n(k)$中$k$ 并非对应着电子真实动量,而是称为简约波矢，它是平移对称算符$\text{T}(R_n)$的量子数，其与自由电子波矢关系是相差整数倍的倒格矢。仔细来说，简约波矢本（为了避免混淆这里就用$k$表示简约波矢，而$\mathbf{k}$表示自由波矢）身就是对应于晶格平移对称算符特征值$\lambda=\exp(ik\cdot R_n)$的量子数 （其中$R_n$为正格矢），简约波矢$k$可以相差整数倍倒格矢而本征值$\lambda$没变化：$k\to k+G_n$ ；为了使得$k$与特征值一一对应，于是限制$k$取值在第一布里渊区，也称为简约布里渊区。那么简约波矢与自由波矢：$\mathbf{k}=\frac{2\pi n}{a}+k$
用近自由电子模型给出能谱后可以看到能量随着简约波矢$k$增大而提高（很自然的结果，类比一下自由运动电子的能谱为$E(\mathbf{k})=\frac{\hbar\mathbf{k}^2}{2m}$。而前面规定了简约波矢在第一布里渊区取值后，相当于将各个真实波矢对应的能带都通通平移整数倍的倒格矢到简约布里渊区中表示，也即用$k、n$两个"量子数"去代替一般的满足周期性边界条件意义下的自由波矢$\mathbf{k}$“量子数”（再次提醒这里所谓自由波矢$\mathbf{k}$也不是晶格中电子真实动量对应的波矢，仅仅是不考虑晶格的周期势场的自由状态下电子波包的动量）。
近自由电子的1D简约布里渊区是$[-\frac{\pi}{a},+\frac{\pi}{a}]$
为此，能谱除了标出简约波矢外，还需要相应的能带指标$n$（也就是上面$k-\mathbf{k}$关系中的整数$n$）作为标记：$E_n(k)$ ；同理，波函数标记就变为$\psi_{nk}(r)$ 。
既然$k$是晶格平移对称算符的量子数，那么地，同一个能带的电子波函数以及能谱都是相应$k$的周期函数：$E_n(k)=E_n(k+G_n)$.
由此可以引入能谱另一种表示：周期布里渊区表示。亦即简约布里渊区图像的关于简约波矢k的周期延拓而派生出的能带图像。
若取消不用能带指标$n$这个量子数，则将对应各个能带对应到到不同布里渊区中，即将$E(k)$用表示为$k$的单值函数，各能带$E_1(k)、E_2(k)、E_3(k)...$对应得k取值分别限制于第一、二、三...等等各个布里渊区。实际上相当于在晶格周期势场中依旧用满足周期性边界条件的自由波矢的取值去标志能带（然而要注意，这种自由波矢和真正自由电子的自由波矢意义不同，这里我们可以看到实际上简约布里渊区表示和扩展布里渊区表示完全是等价同一回事，所以周期晶格势场中“简约波矢”和所谓“自由波矢”实际上对于能谱来说都是等价表述的不同取值的量子数而已）这种能带表示方法称为扩展布里渊区表示。
电子在晶格中的简约波矢并不是电子真实动量算符的特征值，而它的意义只是在具有晶格平移周期势场中标记电子状态的其中一个量子数（类似于具有完全连续平移对称空间中标记电子不同运动状态的动量p，只不过晶格内是离散的平移对称）；根据Bloch定理知道
$\psi_k(r)\sim\exp(ik\cdot r)u(r)$，而将动量算符$(-i\hbar\nabla)$作用于$\psi_k(r)$时可以得到$\nabla u(r)$这个项，而$u(r)$就是由于晶格周期势场造成 电子自由波$\exp(ik\cdot r)$在晶格势场$V(r)$影响下形成的晶格中电子的Bloch波函数，在弱周期势场解(近自由电子近似)下的Bloch波函数正是入射自由波与散射波的相干叠加；于是真正要论及电子真实动量，其实是需要将晶体整体在于电子散射作用过程产生的动量也计算入内，因此晶格中电子真实动量和电子的简约波矢对应的“动量”$\hbar k$并不是简单地正比关系。然而在固体系统里面，我们只对电子在晶格这个大的背景下表现出来的运动行为感兴趣，因此与晶格耦合的那部分动量归入背景部分就将略去不考察，所以才引入准动量方便描述，特别是在讨论响应电磁场的动力学过程，电子在倒格矢空间中也就表现出犹如有动量$\hbar k$（同时也具有有效质量$m^*_{ij}(k)= \hbar^2\left[\frac{\partial^2E(k)}{\partial k_i\partial k_j}\right]^{-1}$），因此称这种简约波矢对应的非真实的动量为“晶格动量”或“准动量”。故在电子-声子相互作用散射过程中遵循所谓准动量守恒的：$\hbar k_1 - \hbar k_2 = \hbar q + G_n$（$\hbar q$为声子动量）。
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