超流体没有粘滞性，熵也为零
[PPT]粒子性
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產生[raising ( )]和湮滅[lowering ( )]算符. and. 簡諧振子 ... 故對一確定之分佈 其所有相異態間交換. 正規化 ... 動量表象：. 動量特徵函數 （ mom entum eigenfunction ）.
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2010年9月15日 - 动量算符确实是一个厄米算符返回目录4/52 1.2 （位置算符）本征值与本 ..... 举例来说，湮没与产生算符对于同一状态的交换子等于一；其他的交换子皆为零。 .... 自旋产生和湮灭算符作用于本征矢量上可以得到： 其中然而与轨道角动量 ...
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2011年12月18日 - 由算符之间的交换关系说明由Dirac 确立的量子力学的基本原理。 用升降算 ... 为Fermion 产生和湮灭算符，??为动量。 Fermion 多体系统的二次量子 ...
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... 相对流动而彼此间无. 摩擦（无动量交换）。 ... 是超流体宏观运动的动量，R是质心坐标。若各粒子不均匀，在 .... 引入新的波色产生和湮灭算符和：. 其中和为两个待定 ...
第六章 波色系统：超流性
6.1液He⁴中的超流相变
自然界中的氦有两种稳定的同位素： 和 。 是费米子， 是玻色子。氦原子间相互作用很
弱，原子的质量很小从而零点振动能很大，这使得在常压下直到接近绝对零度氦仍可保持液态。
在很低的温度下，量子效应起主导作用，因此液氦是典型的量子液体。
液He⁴有两个不同的相：正常相He I和超流相He II，正常相沿饱和蒸汽压曲线降温，在温度
和比容
处发生He I到He II的相变。相变无潜热和体积变化，在相变点比热以对数
形式趋于无穷大，表明这是二级相变。比热线很像λ，因此此相变又称为λ相比，曲线AB称为λ线。
在T=0附近，比热以 规律趋于零。
6.2 液He II的特性 二流体模型
液He II的特性：
1. 液He II能沿极细的毛细管流动而不呈现任何粘滞性，这称为超流性。而且存在一个临
界速度，在这个速度以上，超流性被破坏。
2. 如用一细丝悬挂一薄圆盘浸泡在液He II里，并让圆盘作扭转振动，可以用来测粘滞系
数。结果比“毛细管”法测得的大10⁶倍（与正常相的相似）。且测得的系数强烈依赖
于温度，随T→0K而趋于零。
3. 当液He II由容器A通过多孔塞（或极细的毛细管）流出时，A内液He II的温度升高（见
右下图）。这称为机械热效应，其逆过程称为热机械效应。
4. 液He II的热导率很大，数量级为室温下铜的800
倍，而且其热导与通常流体不同，并不正比于
温度梯度。
二流体模型的解释：
1. 液He II由正常流体和超流体两种成分组成。
超流体没有粘滞性，熵也为零；正常流体具
有粘滞性和熵，用 和 表示超流体和正常
流体的质量密度，速度场为 和 ，则总质
量密度为：
，总质量流为：
2. T=0K时，全部液体为超流体； 时，全部为正常成分。二者之间时 是温度的函
数。
3. 超流成分的速度场是无旋的，即
。且两种流体成分可以相对流动而彼此间无
摩擦（无动量交换）。
只有超流成分可通过毛细管，这解释了特性一；
只有正常流体成分才对圆盘振动起阻尼作用，这解释了特性二；
机械制热效应：由毛细管流出的只是超流成分，不带走熵。因而容器内流体的单位质量
的熵将增加，导致温度增加。这解释了特性三；
特性四：设想均匀温度的液He II中，某点附近温度突然稍稍上升。按二流体模型，热点
的 要增加，而 将减小，造成两种成分的密度涨落。为恢复平衡，热点附近的
超流成分将向热点流动，同时正常成分将向反方向流动而离开热点，这称作“内运流”。
这种内部调整进行的很快，使液He II有极好的导热性。
由于液He II中有两种成分，朗道预言He II中会有两种独立的振动波：若 和 方向一致，
则振动波传递密度和压强的变化，这是普通的声(第一声)；若 和 方向相反，则可能
在保持总密度
基本不变的情况下， 分别有涨落。由于超流成分熵为
零， 的涨落决定了熵密度的涨落和温度的涨落（如图所示）。
6.3 超流体的涡旋运动
昂萨格和费因曼在理论上指出，在液He II的基态或液He II的超流成分中，可以存在一种“组
织化的运动”----量子化的涡旋。设N个玻色子组成的超流体的基态波函数为 ，若液He II相
以匀速 运动，则系统波函数为：
这里
是超流体宏观运动的动量，R是质心坐标。若各粒子 不均匀，在局部意义
上上式仍是一个较好的近似。即在比速度发生显著变化的距离小得多的范围内，由局部位
移引起的波函数的相位变化为：
现在考虑超流体的涡旋。设想液He II相中的一个闭合环，使环上每一原子从其原位置移到
其最近邻位置上。由于波函数的对称性，波函数不变。因此这种位移引起的波函数的相位
变化必为2π的整数倍，即
注意求和只对环上的所有原子求和，对宏观尺度的闭合环，求和可换为积分：
这表明，环流是量子化的，环流量子为h/m。由此可证超流成分的无旋性。由斯托克斯定理，
S为积分回路包围的曲面面积。若此区域是单连通的，且流速 在S内处处连续，则左方的
积分可以随S连续地趋于零，但右方不能·连续变化，故只有
但对复连通区域或 有奇点的情形上式不成立。如一个中心在r=0处的柱对称的涡旋，其速度
场为
。r=0是 的奇点。除涡旋轴（r=0）外，我们仍有
，
但对以r=0为中心且垂直于z轴的圆的积分回路，我们有
实验已观测到量子化涡旋，其半径为1Å左右。
圆柱型容器中超流体的旋转：
对正常液体，由于重力和离心力，液体的自由表面呈抛物面状：
对超流体又如何？
实验发现超流体和正常液体的形状是一样的。如何与
的假设协调？
如右图，考虑一系列互相平行的涡旋线的均匀分布阵列。
每一（最小）涡旋的环流为h/m，以N表示单位面积的涡
旋线数。考虑半径为r及r+dr的两园之间的封闭面元。涡
旋线环流之和是N2πrdrh/m。除去r和r+dr的园边界外，相
邻涡旋的速度场彼此抵消。
另一方面，面元周界内的净环流又可以计算如下：
两种算法的结果应相等，故有
若要超流体和正常液体以相同的方式旋转，只需取
即可。涡旋线间的距离
，当
ω=1rad/s时，d约为0.1mm量级，这远比量子化涡旋大。
6.4 朗道超流理论
朗道理论的基本图像是把液He II看成受弱激发的量子波色系统，弱激发态与基态(T=0K)的偏离
表现为在安稳的背景上出现了由元激发或准粒子组成的气体，后者与二流体模型中的正常液
体成分对应，而前者代表超流成分（回忆上章最后一节的另一个例子）。
当温度很低时，元激发的密度很低，可以把它们看作元激发的理想气体。令 和 代表元
激发的动量和能量， 表示相应的元激发数，则系统低激发态的总能量和动量为：
朗道进一步假设液He II中存在两种不同的波色型元激发（准粒子），即声子和旋子。当
时，液He II的比热随 变化，这是声子的特征，其能谱为ε=cp，c为声子速度。当温度稍高时，
比热有一如exp[-Δ/kBT]的附加项，其中Δ为常数。由此推测对较大的动量，元激发能量有一个
能隙，朗道假定在这个动量范围内能谱为：
是旋子的有效质量。
热力学性质：
这里准粒子被看作是理想波色气体，准粒子数目不
确定，系统的化学势为零。准粒子在能量 的平均占
据数为：
由此可得内能：
和定容比热
因此声子部分贡献的比热为：
旋子贡献的比热在假设 为小量时，可得
这些结果与实验符合的很好。
超流的临界速度(T=0)：
设质量为M的超流体以宏观速度v运动，其动量和能量为：
因此动量和能量的任何变化必满足：
设这一变化是由超流体产生了一个新的元激发引起，其动量为 ，能量为 。
按能量和动量守恒，元激发的动量和能量必由消耗超流体的宏观流动的动量和能量而来，故
因此我们有
或
上式说明，要能产生元激发，必须超流体的宏观流速大于 ；反之对一切小于 的v
值，则由于宏观流动而产生新的元激发是不可能的，即流体继续保持超流。由此得到超流判
据：
即为超流的临界速度。由此易知自由粒子能谱
不可能有超流，因
6.5简并性近理想波色气体 波戈留波夫变换
这里我们用一个简并型近理想波色气体模型来来微观地给出液He II的声子能谱。
近理想气体是稀薄的（即密度低），相互作用很弱（可以看作微扰）的粒子系统。此外我
们仅考虑系统的低温性质，这时量子效应很明显。几个相关参数：
• 散射长度a,它反映相互作用势的强度和作用范围；
• 平均热波长 ，它代表粒子波包的平均空间范围，属于量子效应，低温时 可以很大；
• 粒子间平均距离:
（n为气体密度）。
我们假定这三个参数间有如下关系（L为容器线度）：
因此相互作用可以按小量 展开。
哈密顿量及其简化：
设近理想波色气体由N个全同的，自旋为零的波色子组成，系统哈密顿量为：
采用二次量子化表述，上式可写为：
其中第二式的求和要满足动量守恒条件， 及 分别为动量为p的单粒子态的产生和湮灭算
符，它们满足波色算符的对易关系：
相互作用矩阵元为
其中
是动量为p的单粒子态的波函数。
把波函数表达式代入即可得
这里
在低温下，由量子力学低能散射的波恩近似，对散射长度a我们有:
在低能散射下，动量转移p很小，可取近似
。因此
因此体系的哈密顿量可写为：
再进一步，我们可以考虑波戈留波夫近似，即 和 近似地代之以C数（可交换数） 而且
由于我们只考虑低激发态，有：
因此 和
可看作小量，我们只保留到二次项，而略去三次及以上的高阶小量。故
其中
二次项的六项近似为
因此哈密顿量最终近似为：
波戈留波夫变换：
类似上章末节，我们可以通过波戈留波夫变换来把哈密顿量严格对角化。
引入新的波色产生和湮灭算符 和 ：
其中 和 为两个待定参数，常取为实数，且
可以验证若令
则
和 满足波色对易关系（注意这两个参数还有一个自由度）。上式的逆变换为：
带入到哈密顿量表达式中得
我们可取两个待定参数的值使得：
则上式最后一项为零，
哈密顿量被对角化。
解出参数的值可得：
其中:
从上面u和 的结果我们发现，如果散射长度a<0，u为虚数，从而对某些动量 的元
激发可使 为虚数，这是粒子间存在吸引作用不可能产生波色-爱因斯坦凝聚的原因。
于是哈密顿量可看作能量为 的假想粒子（准粒子或元激发）的能量之和，
是准粒子的粒子数算符。而 为基态能量。把求和换做积分后可解出 ：
由此可得单个粒子的平均基态能：
在T=0K时，我们有：
，于是
化学势：
压强：
普通声速为：
能谱： 由前面的能量公式，容易发现：
我们得到了声子谱，但没有旋子谱。
超流判据：由上节，稳定的超流态速度需满足：
这是可以实现的，但也要求系统有排斥势。
故哈密顿量为：
其中
不同动量的粒子数：
我们必须区分真实粒子的粒子数
和准粒子的粒子数
前者可用后者很
方便的表示出来：
上面由于准粒子数不是固定的，所以其化学势
把前面的结果带入，对 我们有：
因此有零动量的粒子数为：
绝对零度时，不存在准粒子，所以
但这时
因此绝对零度时仍有部分真实粒子不处在零动量态上！这显示了理想气体和非理想气体的区
别。
6.6 液He II中正常流体的质量密度
液He II可无摩擦通过毛细管，这表明超流体的粘滞系数为零。由前一节可知，超流体的稳定
性要求其流动速度小于某个值：
于是，保持超流态必须
对声子：
对旋子：
由于二流体模型中的正常部分由元激发组成，因此液He II中正常部分的质量密度可从准粒子
气体来求出。
设准粒子气体整体以宏观平移速度 相对于液体运动，这时气体的分布函数为
其中 是静止时的分布函数。于是单位体积气体的动量为：
在 很小时，把
按 展开，有
由于易知大括号内第一项积分为零，所以
这就获得了液He II中正常部分的质量密度。
对声子谱，
利用波色-爱因斯坦分布可得
对旋子谱，用玻耳兹曼分布近似表示其分布，我们可得
由这两个表达式可知，温度非常低时声子对正常部分的贡献较大，但在3.6 K，二者的贡献差
不多，更高温时旋子的贡献占优。
机械制热效应：由毛细管流出的只是超流成分，不带走熵。因而容器内流体的单位质量
的熵将增加，导致温度增加
机械制热效应：由毛细管流出的只是超流成分，不带走熵。因而容器内流体的单位质量
的熵将增加，导致温度增加
机械制热效应：由毛细管流出的只是超流成分，不带走熵。因而容器内流体的单位质量
的熵将增加，导致温度增加
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