薛定谔方程为什么要用复数表示热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间 ...
不可逆過程使系統的熵增加, information lost into heatbath
最浅层的答案是，拉普拉斯算子是Coordinate-free的。
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确切地说，拉普拉斯算子是阶数最低的，从scalar function 到scalar function 的 Coordinate-free的 平移不变的不平庸的算子， up to a factor。
物理研究的对象要求具有平移和旋转的对称性，拉普拉斯算子就是满足这两条的阶数最低的算子。
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确切地说，拉普拉斯算子是阶数最低的，从scalar function 到scalar function 的 Coordinate-free的 平移不变的不平庸的算子， up to a factor。
物理研究的对象要求具有平移和旋转的对称性，拉普拉斯算子就是满足这两条的阶数最低的算子。
很好的问题.
我不熟悉 Laplacian 的分析和几何方面的意义. 但是从表示论的角度看重要的对象应该是 Casimir elements, 后者与 Laplacians 有自然的类比关系.
MO 上也有一些讨论: http://mathoverflow.net/questions/54986/why-is-the-laplacian-ubiquitous
很好的问题.
我不熟悉 Laplacian 的分析和几何方面的意义. 但是从表示论的角度看重要的对象应该是 Casimir elements, 后者与 Laplacians 有自然的类比关系.
MO 上也有一些讨论: http://mathoverflow.net/questions/54986/why-is-the-laplacian-ubiquitous
我不熟悉 Laplacian 的分析和几何方面的意义. 但是从表示论的角度看重要的对象应该是 Casimir elements, 后者与 Laplacians 有自然的类比关系.
MO 上也有一些讨论: http://mathoverflow.net/questions/54986/why-is-the-laplacian-ubiquitous
好像很多物理现象最后的数学描述都是拉普拉斯方程或者双调和方程。作为力学生，我只说说在力学里面的一些东西：流体力学中速度势和流势都满足拉普拉斯方程；弹性力学中平面问题的艾里应力函数满足的是双调和方程……除了很多物理现象的数学描述的最后形式是拉普拉斯方程外，在拉普拉斯方程出现的初期，数学家们由这个方程推出了很多重要的函数：贝塞尔函数，勒让德函数等等。反正在我看来吧，拉普拉斯方程真挺重要的。
好像很多物理现象最后的数学描述都是拉普拉斯方程或者双调和方程。作为力学生，我只说说在力学里面的一些东西：流体力学中速度势和流势都满足拉普拉斯方程；弹性力学中平面问题的艾里应力函数满足的是双调和方程……除了很多物理现象的数学描述的最后形式是拉普拉斯方程外，在拉普拉斯方程出现的初期，数学家们由这个方程推出了很多重要的函数：贝塞尔函数，勒让德函数等等。反正在我看来吧，拉普拉斯方程真挺重要的。
并没有什么特别的东西。
数理方程 是将物理中的一些形式接近的方程放在一块，一起讲，免得每次上课的时候都需要讲如何解这类方程。
比如说，
你在坐标表象下解薛定谔绘景的时候，哈密顿量中就有拉普拉斯算子。。
电动力学中， B 和 E 消去一个之后就是 拉普拉斯算子。
扩散方程振动方程 这类方程的都会带有拉普拉斯算子。
并没有什么特别的东西。
数理方程 是将物理中的一些形式接近的方程放在一块，一起讲，免得每次上课的时候都需要讲如何解这类方程。
比如说，
你在坐标表象下解薛定谔绘景的时候，哈密顿量中就有拉普拉斯算子。。
电动力学中， B 和 E 消去一个之后就是 拉普拉斯算子。
扩散方程振动方程 这类方程的都会带有拉普拉斯算子。
数理方程 是将物理中的一些形式接近的方程放在一块，一起讲，免得每次上课的时候都需要讲如何解这类方程。
比如说，
你在坐标表象下解薛定谔绘景的时候，哈密顿量中就有拉普拉斯算子。。
电动力学中， B 和 E 消去一个之后就是 拉普拉斯算子。
扩散方程振动方程 这类方程的都会带有拉普拉斯算子。
匿名用户、匿名用户、未雨绸缪狮子座 赞同
这三类方程是最简单的双曲、抛物和椭圆方程，一般来说越简单的越容易被我们观察到，因此出现的更多（多少有点人择原理的感觉。。。。），比如场论（粒子）里面基本上都是极小耦合。
--------
补充几句，
二阶方程的初始条件或者边界条件是容易具有明确的物理意义的，零阶是位置，一阶是动量，一般性的物理经验是这两个条件确定时系统的演化是确定的。高阶导数出现时需要根据具体的问题具体讨论。
波动方程的物理意义是场位形扰动在空间的传播，并且波包不会衰减。波动方程具有Lorentz协变性，因此只需要波源和接收者两者的相对位置和运动关系即可确定物理实在。
扩散方程或者叫热方程，后面你还会学到复的Schrodinger方程，也具有“传播”的性质，但这时波包一定会随时间散开。扩散方程不具有Lorentz或者Galileo协变性，因此物理实在是随参考系的选择而表现不同的，所以需要波源和接收者相对背景参考系一起确定。
Laplace方程描述稳态（没有时间嘛），物理意义比如电势能，Newton引力势能，稳定的温度场等等，这个可以这样想：考虑一个布满空间的格点，相邻的格点由同一种轻弹簧连接，格点之间的距离是弹簧的平衡距离，现在假设格点被同种质点代替，质点可以移动，边界条件确定了边界上质点的位置，那么这时整个弹簧质点系统的稳定位置，当格点间距趋向于零时，就是Laplace方程的解。所以一般来说Laplace算子是场内部弹性势能的响应。（叙述的太啰嗦了- -，一般好一点的教材应该会讲吧）
这些物理意义从拉氏量和格林函数的角度可以直接看出来，所以学习数学物理方法这两个话题一定要好好学！（有些老师会略讲这些）
对维数的依赖。
量子化后还要考虑可重整性，系统的自恰性（反常的出现），对规范对称性的保持，等等，一般来说这些可以剔除掉高阶微分算子。以后补充（实际上是编不下去了，谁来写个靠谱的答案= =）
这三类方程是最简单的双曲、抛物和椭圆方程，一般来说越简单的越容易被我们观察到，因此出现的更多（多少有点人择原理的感觉。。。。），比如场论（粒子）里面基本上都是极小耦合。
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补充几句，
二阶方程的初始条件或者边界条件是容易具有明确的物理意义的，零阶是位置，一阶是动量，一般性的物理经验是这两个条件确定时系统的演化是确定的。高阶导数出现时需要根据具体的问题具体讨论。
波动方程的物理意义是场位形扰动在空间的传播，并且波包不会衰减。波动方程具有Lorentz协变性，因此只需要波源和接收者两者的相对位置和运动关系即可确定物理实在。
扩散方程或者叫热方程，后面你还会学到复的Schrodinger方程，也具有“传播”的性质，但这时波包一定会随时间散开。扩散方程不具有Lorentz或者Galileo协变性，因此物理实在是随参考系的选择而表现不同的，所以需要波源和接收者相对背景参考系一起确定。
Laplace方程描述稳态（没有时间嘛），物理意义比如电势能，Newton引力势能，稳定的温度场等等，这个可以这样想：考虑一个布满空间的格点，相邻的格点由同一种轻弹簧连接，格点之间的距离是弹簧的平衡距离，现在假设格点被同种质点代替，质点可以移动，边界条件确定了边界上质点的位置，那么这时整个弹簧质点系统的稳定位置，当格点间距趋向于零时，就是Laplace方程的解。所以一般来说Laplace算子是场内部弹性势能的响应。（叙述的太啰嗦了- -，一般好一点的教材应该会讲吧）
这些物理意义从拉氏量和格林函数的角度可以直接看出来，所以学习数学物理方法这两个话题一定要好好学！（有些老师会略讲这些）
对维数的依赖。
量子化后还要考虑可重整性，系统的自恰性（反常的出现），对规范对称性的保持，等等，一般来说这些可以剔除掉高阶微分算子。以后补充（实际上是编不下去了，谁来写个靠谱的答案= =）
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补充几句，
二阶方程的初始条件或者边界条件是容易具有明确的物理意义的，零阶是位置，一阶是动量，一般性的物理经验是这两个条件确定时系统的演化是确定的。高阶导数出现时需要根据具体的问题具体讨论。
波动方程的物理意义是场位形扰动在空间的传播，并且波包不会衰减。波动方程具有Lorentz协变性，因此只需要波源和接收者两者的相对位置和运动关系即可确定物理实在。
扩散方程或者叫热方程，后面你还会学到复的Schrodinger方程，也具有“传播”的性质，但这时波包一定会随时间散开。扩散方程不具有Lorentz或者Galileo协变性，因此物理实在是随参考系的选择而表现不同的，所以需要波源和接收者相对背景参考系一起确定。
Laplace方程描述稳态（没有时间嘛），物理意义比如电势能，Newton引力势能，稳定的温度场等等，这个可以这样想：考虑一个布满空间的格点，相邻的格点由同一种轻弹簧连接，格点之间的距离是弹簧的平衡距离，现在假设格点被同种质点代替，质点可以移动，边界条件确定了边界上质点的位置，那么这时整个弹簧质点系统的稳定位置，当格点间距趋向于零时，就是Laplace方程的解。所以一般来说Laplace算子是场内部弹性势能的响应。（叙述的太啰嗦了- -，一般好一点的教材应该会讲吧）
这些物理意义从拉氏量和格林函数的角度可以直接看出来，所以学习数学物理方法这两个话题一定要好好学！（有些老师会略讲这些）
对维数的依赖。
量子化后还要考虑可重整性，系统的自恰性（反常的出现），对规范对称性的保持，等等，一般来说这些可以剔除掉高阶微分算子。以后补充（实际上是编不下去了，谁来写个靠谱的答案= =）
很多物理量在时空中是守恒的，例如质量、能量和动量，这些物理量在实际过程中应用得非常广泛，比如流体力学、传热学、传质学、电磁场等等，在控制体中描述这些物理量流入和流出的方法最方便的就是散度了，求散度的方法就是对这个物理量使用拉普拉斯算子，拉普拉斯算子就是对空间求二阶导啦
很多物理量在时空中是守恒的，例如质量、能量和动量，这些物理量在实际过程中应用得非常广泛，比如流体力学、传热学、传质学、电磁场等等，在控制体中描述这些物理量流入和流出的方法最方便的就是散度了，求散度的方法就是对这个物理量使用拉普拉斯算子，拉普拉斯算子就是对空间求二阶导啦
布朗运动在函数空间上的表示就是拉普拉斯算子，所以很多扩散现象（粒子，分子与热传导，病毒的扩散等等）从宏观、唯象角度都可以用关于拉普拉斯算子的方程逼近
那个剑客什么的理论基本就是把很多无关的理论混合在一起。说的话和LZ你的问题根本没多少关系。不用费力去理解他说出来的一些名词的意义。那完全浪费时间。因为那些名词本身就没有意义。如果再这样不负责任的回答问题，我会删掉。
原来这是三张图片。。。感觉后面还有话啊。
另外这感觉还是我1楼说的问题。
他们用复数表式导出了（3）式，又反过来说如果不用复数表式就不满足（3）式。
那用实数表式也能得出一个四阶方程呢，这能算理由吗？
疑惑啊。
另外这感觉还是我1楼说的问题。
他们用复数表式导出了（3）式，又反过来说如果不用复数表式就不满足（3）式。
那用实数表式也能得出一个四阶方程呢，这能算理由吗？
疑惑啊。
楼上高人 啊
http://wenku.baidu.com/view/d8cb60d8d15abe23482f4d4e.html###
位形空间下的拉普拉斯算子就是动量空间中的动量模平方，
而大多数能量又都具有动量模平方的形式，
自然拉普拉斯算子的就能拥有如此的重要性与普遍性。
数理方程 是将物理中的一些形式接近的方程放在一块，一起讲，免得每次上课的时候都需要讲如何解这类方程。
比如说，
你在坐标表象下解薛定谔绘景的时候，哈密顿量中就有拉普拉斯算子。。
电动力学中， B 和 E 消去一个之后就是 拉普拉斯算子。
你自己看看那人回复的和问题有关系吗？？？？
正交力学矢量运算、波函数态迭加原理…都与‘复变函数’有关！否则‘复变函数’是不能应用于微观量子世界粒子力学量描述的！正因如此，薜氏方程就有复变函数解、同时反证了量子力学世界能量、力学量正交耦变性可用量子相干共轭态描述。
楼主的问题是：【薛定谔方程为什么要用复数表示】？ 【我翻到2.3，推出薛定谔方程后说“因为如果用实数形式的表式，就不能得出薛定谔方程】？
这个问题有两个要点：
1）经典物理（经典力学，电动力学等）可以用复数描述，但是不用也行。
2）量子力学：必须用复数描述，不用不行。
一个是不用也行，另一个是不用不行，尽管是一字之差，但意义大不相同。为什么是这样？
这个问题有两个要点：
1）经典物理（经典力学，电动力学等）可以用复数描述，但是不用也行。
2）量子力学：必须用复数描述，不用不行。
一个是不用也行，另一个是不用不行，尽管是一字之差，但意义大不相同。为什么是这样？
仔细看了K~先生的推导过程,发现:原来"薛定谔方程为什么要用复数表示"推导结果,关键是方程中有与粒子周期性运动的虚数符号!这样一来,问题重新回到楼主的问题.等于没回答.只是在证明"薛方程引入虚数"的合理性,而不是必需性!另外请K~先生不要弄错了:虚数符号不是代表周期性,有能量耦变换的正交性含意.
经典力学或经典电磁学涉及到的波动方程，一定含时间的二阶偏导数，其最简单的形式是
(∂²ψ/∂t²)=a∇²ψ （1）
其中a是实常数。由于 a是实数，状态函数ψ无论你表示电场强度E，磁感应强度B，还是矢势A，这些都是可测量，实验测量到的必然是实数。这是这个原因，
1）在经典物理部分，完全可以不引入复数。
2）在经典物理部分，为了方便人们使用复数，甚至引入了复电流，复电压，等物理量，但在引入这些物理量时都声明：最后结果仅取实数（或虚数）部分。
还要注意，由于波动方程中含有时间的二阶偏导数，因此我们不能说：在时刻t，体系的状态用函数ψ(x,y,z,t)描述，只能说t时刻的状态用ψ(x,y,z,t)及∂ψ/∂t一起描述。
(∂²ψ/∂t²)=a∇²ψ （1）
其中a是实常数。由于 a是实数，状态函数ψ无论你表示电场强度E，磁感应强度B，还是矢势A，这些都是可测量，实验测量到的必然是实数。这是这个原因，
1）在经典物理部分，完全可以不引入复数。
2）在经典物理部分，为了方便人们使用复数，甚至引入了复电流，复电压，等物理量，但在引入这些物理量时都声明：最后结果仅取实数（或虚数）部分。
还要注意，由于波动方程中含有时间的二阶偏导数，因此我们不能说：在时刻t，体系的状态用函数ψ(x,y,z,t)描述，只能说t时刻的状态用ψ(x,y,z,t)及∂ψ/∂t一起描述。
1924年德布罗意提出了“物质波”假设：沿x方向运动的能量是E，动量是p的自由粒子t时刻的状态由波函数
Ψp=Ae^i(kx-ωt) （2）
其中E=ħω,p=ħk（称为德布罗意关系）
要承认这个假设就得承认“体系t时刻的状态完全由t时刻的波函数ψ(r,t)描述”。要承认这点，波函数ψ(r,t)满足的方程式只能是关于时间t的一阶偏微分方程（不能是二价）。这种方程最简单的形式是
(∂ψ/∂t)=a∇²ψ (3)
其中a是实常量。 物理上把这类方程称为扩散方程（或热传导方程），理论上能证明：这类方程没有波动解。这说明德布罗意假设与当时大家熟识的理论是冲突的。如何解决这个冲突？其中最简单的办法就是去掉方程（3）中a必须是实数的约定。只要a是复数，则方程（3）完全可以有波动解。
Ψp=Ae^i(kx-ωt) （2）
其中E=ħω,p=ħk（称为德布罗意关系）
要承认这个假设就得承认“体系t时刻的状态完全由t时刻的波函数ψ(r,t)描述”。要承认这点，波函数ψ(r,t)满足的方程式只能是关于时间t的一阶偏微分方程（不能是二价）。这种方程最简单的形式是
(∂ψ/∂t)=a∇²ψ (3)
其中a是实常量。 物理上把这类方程称为扩散方程（或热传导方程），理论上能证明：这类方程没有波动解。这说明德布罗意假设与当时大家熟识的理论是冲突的。如何解决这个冲突？其中最简单的办法就是去掉方程（3）中a必须是实数的约定。只要a是复数，则方程（3）完全可以有波动解。
由于(∂ψ/∂t)=a∇²ψ (3)
中的a是复数，波函数ψ必然是复数。这是量子力学必须引入复数的关键原因。
顺便说明一下，经典电动力学也常用(2)式描述单色平面波
Ψp=Ae^i(kx-ωt) （2）
经典电动力学与量子力学都采用（2）式，两者的区别是：
经典电动力学认为：(2)式中的实数（或虚数）部分描述单色平面波（并非全部）；
量子力学认为：(2)式的全部描述单色平面波，不能只要实部（或虚部），单纯的实部描述的不是单色平面波，而是驻波。
中的a是复数，波函数ψ必然是复数。这是量子力学必须引入复数的关键原因。
顺便说明一下，经典电动力学也常用(2)式描述单色平面波
Ψp=Ae^i(kx-ωt) （2）
经典电动力学与量子力学都采用（2）式，两者的区别是：
经典电动力学认为：(2)式中的实数（或虚数）部分描述单色平面波（并非全部）；
量子力学认为：(2)式的全部描述单色平面波，不能只要实部（或虚部），单纯的实部描述的不是单色平面波，而是驻波。
回复：1）电磁场满足的是麦氏方程组，这个方程组的系数全是实数，因此相应的场变量如E,B,A当然是实数，不可能是复数。在具体计算时人们选用复数仅仅是为了方便，完全可以不用。
2）用复数处理电磁学问题有个重要约定：最后结果只能选取这个复变函数的实数部分（或虚数部分），不能全选取。这说明电磁学问题本质上是实函数问题。
量子力学采用复数关键原因是基本假定中含有：“体系t时刻的状态用t时刻的波函数描述”，（经典电磁学不可能有这条假设）因此相应的波动方程只能含t的一阶偏导数。要含t一阶偏导数方程有波动解，这个方程的系数不可能全是实数。这是量子力学采用复数的依据。用不着做过多的人为解析。例如虚数单位i，基本意义就是根号负一，其它的解析全是人为的，谁愿意接受就接受，不接受也无所谓。
说得绝对一些，对电磁学问题，用不用复数完全是个人的爱好，不存在一定要用的问题；
对量子力学，你不用复数不行。
2）用复数处理电磁学问题有个重要约定：最后结果只能选取这个复变函数的实数部分（或虚数部分），不能全选取。这说明电磁学问题本质上是实函数问题。
量子力学采用复数关键原因是基本假定中含有：“体系t时刻的状态用t时刻的波函数描述”，（经典电磁学不可能有这条假设）因此相应的波动方程只能含t的一阶偏导数。要含t一阶偏导数方程有波动解，这个方程的系数不可能全是实数。这是量子力学采用复数的依据。用不着做过多的人为解析。例如虚数单位i，基本意义就是根号负一，其它的解析全是人为的，谁愿意接受就接受，不接受也无所谓。
说得绝对一些，对电磁学问题，用不用复数完全是个人的爱好，不存在一定要用的问题；
对量子力学，你不用复数不行。
那是个人理解吧。
麦氏方程组可以完全不用复数的到它的解答，电磁能之间的互相变换也可以不用复数处理，是否用复数仅仅是个人的喜爱。
“个人喜爱”（可能很有道理）与“必须”有原则区别，把两者等同是不合适的，我认为你在本帖的所有回复都存在这个问题。说白话，你在回复中涉及到的问题，我完全可以不用复数处理，从这个角度说，你在本帖的回复就是文不对题。至于这些回复本身是否一定正确？我不想评论。
麦氏方程组可以完全不用复数的到它的解答，电磁能之间的互相变换也可以不用复数处理，是否用复数仅仅是个人的喜爱。
“个人喜爱”（可能很有道理）与“必须”有原则区别，把两者等同是不合适的，我认为你在本帖的所有回复都存在这个问题。说白话，你在回复中涉及到的问题，我完全可以不用复数处理，从这个角度说，你在本帖的回复就是文不对题。至于这些回复本身是否一定正确？我不想评论。
薛定谔方程为什么要用复数表示
那个剑客什么的理论基本就是把很多无关的理论混合在一起。说的话和LZ你的问题根本没多少关系。不用费力去理解他说出来的一些名词的意义。那完全浪费时间。因为那些名词本身就没有意义。如果再这样不负责任的回答问题，我会删掉。
原来这是三张图片。。。感觉后面还有话啊。
另外这感觉还是我1楼说的问题。
他们用复数表式导出了（3）式，又反过来说如果不用复数表式就不满足（3）式。
那用实数表式也能得出一个四阶方程呢，这能算理由吗？
疑惑啊。
另外这感觉还是我1楼说的问题。
他们用复数表式导出了（3）式，又反过来说如果不用复数表式就不满足（3）式。
那用实数表式也能得出一个四阶方程呢，这能算理由吗？
疑惑啊。
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