薛定谔方程是偏二阶微分方程 , 解是波函数(ψ)，解前要假设一个条件（在处理ψ时引入的参数）——n、l、m（就是主量子数、角量子数、磁量子数

"：“一个物质粒子或物质粒子系可以怎样同一个（标量）波场相对应，"

这个如果你有幸到全国冬令营决赛这个才会考到，我参加过竞赛，这里说不了太多，多了你也不明白，只能简单说说了： 薛定谔方程是偏二阶微分方程，不同的条件下有不同的解。你不需要会解，但要了解解的意义（决赛）：它的解是波函数(ψ)，解前要假设一个条件（在处理ψ时引入的参数）——n、l、m（就是主量子数、角量子数、磁量子数啦，高中里说主量子数是电子层、角量子数是能层、磁量子数是轨道），这样才有唯一解。 解下来的波函数ψ（r、θ、φ）可以看成是三个变量rθφ的乘积。 我们把它分成两个函数的乘积：R（r）·Y（θ，φ）。R就叫函数的径向部分，Y就表示函数的角度部分。波函数本身没有意义，但它的平方有意义，将它（ψ^2）×体积就是D（r）——径向分布函数，它与ψ的径向部分有关。它表示电子在原子核距离内出现的概率密度，而刚刚说的Y平方后就是Y^2，它就叫角度分布函数，描述电子云的出现形状，如p是哑铃型等，而ψ2的形象化描述，就是著名的电子云图。



一道关于薛定谔方程的题目。。。

2012-11-15 22:40 394449762 | 分类：物理学 | 浏览226次

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题目如图，第一问的中的t=t0的波函数和t=0时的波函数有什么关系吗？第一问怎么做？一定要解含时薛定谔方程吗？
谢谢各位高人~

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2012-11-15 23:36

提问者采纳

不用解含时薛定谔方程，这里的解其实就是从含时薛定谔方程解过来的，只不过是把波函数拆分成了定态项和时间项，然后发现定态项正好满足H算符*波函数=E波函数。
t0时刻的波函数可以用0时刻的乘以时间项因子exp(-iEt/h)，注意完整的应该是每个能级的波函数乘以对应的时间因子（里面的E应该写成En），然后对所有的态乘以某个系数求和。
这里给出了0时刻的初态波函数，其实是告诉了你态n=1和2（将波函数展开，利用2倍角公式可以知道正弦项有两个，分别对应于n=1和2），以及前面的系数。
具体的波函数百度里不好打出来，你感兴趣的话可以留个邮箱，我用公式编辑器做好发给你看看。

平均能量可以用En乘以对应的概率求和即可。

左半部的概率只需要波函数的模平方0到a/2积分就可以了。

提问者评价

这个题目明白了，太谢谢你了

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finalbk | 来自团队知识黑洞 | 五级 采纳率56%

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其他1条回答

2012-11-15 23:33 irislight | 九级

第一问你仔细观察波函数的形式，明显是有两部分组成，给定的波函数是ψ1与ψ2叠加态
我大概讲个方法，你看用n=1，和n=2的定态波函数与该波函数求内积，看看有什么发现？
其实你仔细观察就能发现，初态波函数是有ψ1与ψ2组合而成的，
注意sin（）cos（）=1/2sin2（），
在套用定态波函数随时间演化的规律，ψn（t）=ψXexp（iEnt），把两个本征态的本征能级带入即可。
所以第一问很easy的，只要你熟悉波函数的态叠加原理就能一眼看出来~
年轻人，你还是太年轻了，题做的少

电子和核的相互作用项难以分开 （动能算符+势能算符）*波函数=能量的本征值*波函数,





"

经典力学的谐振子与薛定谔方程的谐振子解


已有 181 次阅读2011-6-4 14:31|个人分类:随便瞎写|系统分类:科普集锦|关键词:量子力学

初等量子力学中，在讲到薛定谔方程时，一般都会求解几个势场作为范例，其中就包含了谐振子解。刚才在豆瓣上看到有人提问，似乎对这个解的含义不甚明了。 




量子力学中的波函数Ψ(t,x,y,z)，可以看作一个经典场。这个经典场的特别之处在于其统计诠释，不过在这里可以不管这个。薛定谔方程决定了波函数在时空中的分布，即以(t,x,y,z)为变量，Ψ的函数形式。在定态情形，波函数可分离变量：Ψ(t,x,y,z) = χ(t)ψ(x,y,z)，因此定态薛定谔方程其实给定了一个经典场ψ(x,y,z)在空间中的分布。当然这个分布和势能表达式是有关的，因为定态薛定谔方程中有势能项。打个并不贴切的比方：设想有一只碗，碗底形状就好比是势能函数U(x,y)，往碗里倒水，每一点的水深h(x,y)就是一个和空间坐标有关的函数，且取决于势能分布。假如碗底的形状有二次形式：U = (1/2)mω(x^2 + y^2)，就意味着势能有谐振子形式。倒入一定高度的水（相当于总能量给定），就不难写出此时h(x,y)的表达式。

 

谐振子的定态波函数解也是差不多的意思，只不过求解过程要更复杂些，最终求得的，是在谐振子这个势场中，波函数经典场的空间分布函数



▽2ψ(x，y，z)+(8π2m/h2)[E-U(x，y，z)]ψ(x，y，z)=0
我来解释一下:
先看一下数学形式:
这是一个二阶线性偏微分方程，ψ(x，y，z)是待求函数，它是x,y,z三个变量的复数函数(就是说函数值不一定是实数，也可能是虚数)。式子最左边的倒三角是一个算符，意思是分别对ψ(x，y，z)的x,y,z坐标求偏导的平方和。
再看一下物理含义:
这是一个描述一个粒子在三维势场中的定态薛定谔方程。所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场;所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。其中，E是粒子本身的能量;U(x，y，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。薛定谔方程有一个很好的性质，就是时间和空间部分是相互分立的，求出定态波函数的空间部分后再乘上时间部分e^(-t*i*2π/h)以后就成了完整的波函数了(时间部分记得不太清楚了，指数上的系数不保证正确)。
最后看一下薛定谔方程的解--波函数的性质。1.虽然任意给定的E都可以解出一个函数解，但只有满足一定条件的分立的一些E值才能给出有物理意义的波函数;2.由于薛定谔方程是一个线性微分方程，所以任意几个解的线性组合还是薛定谔方程的解