时间、动力学和混沌：Poincare的“不可积系统的积分”
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来自: [已注销] 2007-11-13 21:44:54
Ilya Prigonine 著
（1990年10月2－3日在美国Minnesota州Saint Peter市Gustavus Adolphus学院第26届Nobel会议上的演讲）
一．时间质疑
时间总是与我们形影不离. 时间确为我们生存的1维. 它既使哲学家又使科学家神魂颠倒. 常听人说，科学已经解决了时间问题. 此话当真？确实，物理学的基本方程，无论是经典物理的还是量子物理的，它们的一个十分重要的性质就是时间的可逆性. 在这些方程中，我们可以用（－t）取代（＋t）而不使这些方程的形式有所改变. 与此相反，在宏观世界中，我们处理的是不可逆过程：（＋t）和（－t）并不起同样的作用. 这便存在着一个“时间箭头”. 因此，我们就得到一条奇怪的结论：在微观动力学世界中，没有正常的时间顺序，而宏观世界中所发生的则完全相反. 例如，若我们考虑图1中所表示的一个摆的两种位置，我们不可能说出哪一种位置出现得更早. 对于经典动力学来说，时间已经失去方向. 类似地，在量子力学中，我们不可能说出哪一种波函数是“衰老的”或是“年轻的”. 但这难道就是时间的全部故事吗？时间是如何能从一个时间可逆的世界中显露出来的呢？自从Clausius于1865年提出著名的热力学第二定律以来，这一矛盾已经变得十分尖锐. Clausius断言：“宇宙之熵在增加.”这便诞生了进化宇宙学. 对于每一个孤立系统，熵只能增加. 如Eddington经常所说的：熵表示“时间箭头”. 热力学的形式体系是工程师和物理化学家的工作成果. 当时的大数学家和大物理学家将其视为至多是一件有效的实用工具然而却没有任何功能上的意义. 对熵和微观运动方程之间关系提出质疑的第一个人是Boltzmann. Boltzmann是分子运动论的主要奠基人之一. 他试图将熵增解释为导致分子无序的分子碰撞的结果（Maxwell速度分布律）. Boltzmann的处理结果在今天仍然是极为重要的，因为这种处理对稀薄气体来说可以得到与实验非常吻合的结果. 但是，Boltzmann依然被厄运击倒，因为人们太块地向他指出，他的结果是与动力学的时间可逆性相抵触的[1]. Boltzmann很像一位同时爱着两个女子的男人. 他无法在其两种深信不疑的观点之间进行选择. 他确信时间不可逆的演化是自然界的一条基本特征，但他对于看起来不允许存在一个优越时间方向的经典运动方程也是深信不疑的. 我不能深谈这一问题的细节，但我想强调一下，这一讲座的目的之一是要说明Boltzmann是正确的. 然而这涉及到真正近代的结果，其中现代混沌理论担任着主要角色. 对于Boltzmann那一代人，以及随后的几代人，这一争辩的结论是：时间箭头并不存在于自然之中，而是存在于我们的记忆之中. Einstein的时间（作为不可逆性）是一种“幻觉”的说法，是众所周知的[2].
我曾觉得奇怪的是，这一结论并未引发科学中的危机！我们如何才能否定一个优越的时间方向的存在呢？如Popper所写：“这将使单方向的演变打上一种‘幻觉’的烙印，这将使我们的世界成为一种幻觉，而所有我们的企图只不过是在寻找有关我们世界的越来越多的幻觉.”经典科学的目的是用普适的时间可逆规律来描述自然界的行为. 反省一下该目标与17世纪中流行的神学概念之间的关系是有趣的. 对于上帝，在过去、现在和将来之间当然是没有区别的. 是科学没有将我们带到更接近于上帝的宇宙观[2]吗？ 经典科学的这一目标从来就没有实现过. 常常是，当科学看起来更接近于这一目标时，每一次都会有某些东西出了毛病而失灵. 这对西方科学的历史有奇迹般的影响. 如你所知，量子力学是基于时间可逆的Schrodinger方程的，但它不得不引入测量过程，不得不将基本作用归之于观测者以得到一种自恰的诠释. 广义相对论以几何学的“超时间”的理论为起始，发现为了得到我们宇宙的宇宙学演化的自恰描述需要某种初始奇异性或不稳定性. 为了描述自然，我们既需要定律，又需要事件，这反过来又意味着时间因素的存在. 这种时间因素在包括量子论和相对论在内的动力学系统的传统表述中本来是弃之不顾的. 去年在Minnesota召开的Nobel会议上有一个争议颇多的题目：“科学的终端？”我并不相信我们能够谈论科学的终端，但确实我们面临着某种与科学的经典思想体系有关的推理形式的终结. 我在这里想要说明，对于新的科学推理系统的建立，非平衡态物理学和“混沌”肯定将起到关键的作用.
二．时间佯谬的形成
20 世纪是以时间箭头为本质的各种完全出乎意料的发现为特点的. 例子是不稳定基本粒子的发现和进化宇宙学的发现. 然而，在本讲座中我首先想要强调的是涉及宏观尺度的过程，如在非平衡态物理学中所研究的那些过程. 第一个论点是：与Boltzmann所确信的恰恰相反，不可逆性起着建设性的作用. 不可逆性不仅包含在导致无序的过程中，而且也可以导致有序. 这已经表示在如图3所示的极简单的例子中. 考虑两个装有两种组分例如氢气和氮气的箱子. 若箱子是等温的，则这两种组分在两个箱子中的比例是相同的. 反之，若我们建立一种温度差，则我们就观测到组分之一如氢气的浓度在温度较高的那一个箱子中变得较大. 在本实验中与热流有关的无序被用来产生“有序”. 这是十分具有代表性的. 不可逆性既导致有序又导致无序. 一个惊人的例子是化学振荡的情况. 若我们有一种化学反应可将“红”分子变成“兰”分子，反之亦然. 已经从理论上和实验上证明，在远离平衡的情形下，该反应可以呈现时间周期性的行为. 反应容器呈现时红时兰，且不断地持续下去. 我要强调化学相干性的出现是何等地出乎意料. 我们通常将化学反应设想为分子间随机碰撞的结果. 显然，在远离平衡的情形下不可能是这么一种情况. 为了产生化学振荡我们需要长程关联. 当我们将这类系统驱动到更远离平衡时，这种振荡可以在时间上变得十分不规则. 于是我们便谈论到“耗散混沌”；不过，我将不深入这一课题的更多细节，在许多教科书中对此所进行的讨论都相当好[3,4]. 重要的是，不可逆性导致了新的空间时间结构（我称之为“耗散结构”），这对于理解我们周围的世界是至关重要的. 因此，不可逆性是“真实”的，它不可能仅存在于我们的记忆之中. 我们不得不使用这种或那种方式将不可逆性纳入微观动力学的框架. 最近已经出现了许多处理该问题的专著，但我在这里要提一下由Peter Coveney和Roger Highfield的著作《时间之箭》[5]（译注：有中译本，江涛等译，湖南科学技术出版社，1994）所作的卓越介绍. 在该书中，他们将此问题称为“时间的最大奥秘”.
但是如何解决这一佯谬呢？
在我的同事和我所做的工作中，我们遵循时间箭头必然与动力学不稳定性有关的思想. 我首先来叙述不稳定动力学系统的一个最简单例子：所谓面包师变换. 见图4. 我们考虑一个正方形. 我们压缩它并将右半部置于左半部之上如图4所示. 这就引起了正方形表面的逐步细化. 这显然是一个不稳定的动力学系统，因为无论多么近的两点最终将出现在相距很远的条纹中. 该系统可用Lyapunov指数来表征：
（2.1）
两邻近轨道之间的距离 随时间指数地增长. 系数 被称为Lyapunov指数；在面包师变换情形中它等于 . 正Lyapunov指数的存在是“混沌”系统的特征. 于是，存在一条时间的标准线；超出这条标准线，则轨道的概念失效，必须使用概率的描述. 这是大家都很清楚的. 然而，我想要强调的是，除了运动学时间t之外，对于该系统我们还能引入“第二种－内部”时间T；这种时间度量产生一种给定的配分所需要的移动次数. 例如，从图4的状态[a]出发要得到状态[c]，我们需要移动两次. 正如我们的小组所证明的，特别是在Misra教授的工作[6]中将这一内部时间用一算符表示后，该算符形成了一种非常类似于我们在量子力学中所用到的那种非对易代数. 一旦你有了内部时间，构造一个熵从而将面包师变换与时间箭头联系起来则是很容易的事.
重要的是要注意，内部时间是指一种全局的如正方形配分所表示的那种性质；这是一种“拓扑”性质. 仅仅当将正方形作为一个整体考虑时，你才能将其与一定的内部时间或一种“年龄”相联系. 就如你在看某人时那样. 你将赋予他的年龄并不依赖于其身体的一个特殊部位，而是从一种全局性的判断得到的. 面包师变换及其与时间箭头的关系的详细叙述可以在我与Nicolis教授合著的书[4]中找到. 然而，面包师变换对应于高度理想化的情形. 在此基础上还并不清楚为何时间箭头如被热力学第二定律普适的正确性所验证的那样，在自然界是如此之普遍. 这就是现在我想转而讨论的问题.
三．Poincare定理和混沌科学：巨Poincare系统
1889 年，Poincare提出一个基本问题[7,8]. 我必须指出，他的问题并非是用现在这些我用于讨论的名词来阐述的. Poincare问，物理世界是否同构于一个由非相互作用单元所构成的系统？众所周知，能量（“Hamiltonian”H）一般由两项之和构成：所包含的各单元的动能和对应于这些单元之间相互作用的势能. 因此，Poincare的问题是：“我们能消除相互作用吗？”
这的确是一个非常重要的问题. 如果Poincare的回答是肯定的，那么世界上就可能没有相干性，就没有生命，也没有Nobel会议. 他证明了你一般不能消去相互作用；进而，他给出了此结果的理由. 所以，这是非常幸运的. 理由是各单元之间存在共振. 人人都熟悉共振的思想. 这是孩子们学习荡秋千的方式. 让我们来更精确地描述Poincare的问题. 我们从如下形式的Hamiltonian出发：
（3.1）
式中 是动量和坐标. 于是我们问这样的问题:我们是否能将其化为形式
（3.2）
式中 为新的动量（所谓作用变量）. 在这种形式中，Hamiltonian只依赖于动量. 为了实行从（3.1）到（3.2）的变换，Poincare考虑了一类保持Hamilton理论结构的变换（所谓正则变换或么正变换）. 更确切地说，Poincare考虑了形为
（3.3）
的Hamiltonian，其中 为耦合常数， 为既依赖于动量 又依赖于坐标 （被称为角变量）的势能. 对于2个自由度，势能可展成Fourier级数
（3.4）
式中 为整数. 微扰技术的应用便导致形为
（3.5）
的表达式. 其中频率 被定义为 . 在这里我们看到了共振（或“小除数”）的危险作用
（3.6）
显而易见，可以预料当（3.6）为零而（3.5）中的被除数不为零时将出现困难. 这已被Poincare称为“动力学的根本困难”[7]. 于是我们就得到了动力学系统的Poincare分类[7,8,10]. 如果存在“充分”的共振，系统即为“不可积”的. 对于共振作用的理解的关键进展是50年代由Kolmogorov、Arnold和Moser所取得的（所谓KAM理论[3]）. 他们已经证明了，若（3.3）中的耦合常数足够小（还有一些其他我不准备在此时讨论的条件被满足的话），则“大多数”轨道如可积系统中那样仍然是周期性的. 这并不令人惊奇. 公式（3.6）可以被写成
有理数与无理数相比是“稀罕的”. 然而，无论耦合常数取何值，现在已经知道另外还将出现由正Lyapunov指数所代表从而以“混沌”为特征的随机轨道. 这确实是一个根本性的结果，因为在人们一直以为是决定论性描述的堡垒的动力学的核心处出现了无规性是十分出人意料的. 不过，应当强调，KAM理论并未解决Poincare不可积系统的积分问题. 人们广泛引用Arnold的如下论断：即使是只有2个自由度的动力学，系统也远远超越我们当今的数学.
但是存在一类我们称之为巨Poincare 系统（LPS）的动力学系统. 对于这一类系统，我们确实可以完全地消去Poincare的发散性从而对一类Poincare“不可积系统”真正地“积分”. 该结果是我与我的Brussels和Austin的同事们数年研究工作的成果[9]，然而只是在最近才解决了积分巨Poincare系统这一问题. 我想一开始就应对Tomio Petrosky、长谷川（Hiroshi Hasegawa）和高木（Shuichi Tasaki）的根本性贡献[10-14]表示感谢.
首先，什么是巨Poincare系统？这是一个具有“连续”谱的系统. 例如，公式（3.4）中的Fourier级数已由Fourier积分代替. 共振条件取一新的形式. 具有任意自由度的小系统的共振条件为（见（3.4））
（3.7）
式中 为整数. 前已提及，共振条件即表示频率之间存在有理关系. 对于巨Poincare系统，条件（3.4）必须代之以
（3.8）
式中 为实数. 现在共振条件是“处处存在”的. 该情况类似于面包师变换，其中也是几乎所有的运动都是无规运动. 而且，巨Poincare系统是以涉及共振积分的相互作用为特征的（例子见下）. 在我将讨论例子之前，我要强调的是，巨Poincare系统的思想在量子力学中仍然是有意义的. 频率 变成能级. 对于小系统，共振条件（3.7）将对应于偶然“简并”. 但对于巨Poincare系统，我们有连续谱，情况变得与经典力学十分类似. 巨Poincare系统具有惊人的普遍性. 我们在经典物理和量子物理中处处可以遇到它们. 让我给出两个例子. 物质与电磁场之间的相互作用导致辐射的激发（见图6）. 激发态的寿命由物理学家所称的Fermi黄金律给出1级近似，此定律涉及到对共振的积分
（3.9）
式中 为关于辐射的频率， 为关于不稳定态的能级. 这是共振积分的一个例子. 所有含有“碰撞”的多体系统都是LPS（见图7），因为碰撞也涉及共振（见第五节）. 巨Poincare系统在通常的意义中是不可积的，因为有Poincare共振，但我们在这一讲座中想要指出的是，我们可以通过消去所有Poincare 发散性的新方法来对它们进行积分. 这便得到了动力学（经典的或量子的）一种新的“整体”形式. 当我们在这里处理混沌系统时，我们便可期望得到动力学在此形式中的新特征. 确实，我们将发现，与可积系统的动力学相比较，无规性的作用增大了；首先是时间对称性的破缺，因而不可逆性显现于该新动力学的心脏. 从某种意义上来说，我们转换了时间佯谬的通常形式. 通常的方法是试图从基于时间可逆方程的动力学来导出时间箭头. 相反,我们现在是推广动力学以包括不可逆性.
我们可将这种情况归纳为下图：
图的顶部是可积系统类（经典的或量子的）. 这是动力学所探索的主要领域. 动力学可积系统的基本结构可表达为著名的定律（或原理），如断言轨道是使得某些泛函（作用量）为极小的作用量原理. 这种结构已经成为量子力学和广义相对论的出发点.
然而Poincare定理为可积系统设置了界限. 因此基本问题将是：其后将发生什么？现在是如何解决小除数这一问题的？计算机的计算并不会导致无穷大！
我们曾经提及，第一级台阶是KAM理论. 共振的物理效应是无规运动的出现. 对于LPS，几乎所有运动都是无规的. 于是值得注意的事实是，我们又能“积分”运动方程了. 但现在动力学的结构变得与可积系统根本不同. 我们现在不得不偏离动力学方案中与经典传统相联系的固有结构，这是极为诱人的.
四．Poincare定理与量子力学的本征值问题
我想要讨论的第一个例子是量子力学. 众所周知，量子力学已经引起我们思想中的一场革命. 在经典力学中，“可观测量”由数表示. 量子力学所采取的新观点是用算符表示可观测量. 例如Hamiltonian 现在变为Hamiltonian算符 . 我们可用本征函数 和本征值与此算符相联系：
（4.1）
算符 作用在本征函数 上，重新产生该函数与本征值 的积. 本征值对应于关于算符 的物理量的数值. 一旦我们有了完备的本征函数集和本征值，我们就有了关于 的“谱”表示（顶标 已略去）.
（4.2）
求谱表示（或解本征值问题）是量子力学的中心问题；然而，这种问题仅在很少的几种简单情形下被求解，而在大多数时候我们必须求助于微扰技巧. 如在Poincare定理中那样，我们可从形为
（4.3）
的Hamiltonian 开始；这里我们假定对“未扰动”Hamiltonian ，本征值问题是可以求解的. 于是我们来找 的可展成耦合常数 的幂次的本征态和本征值. 就是在这里，可以作出与Poincare分类的联系. 对于不可积Poincare系统，本征函数和本征值展为耦合常数的幂次将由于小除数的发散性而引起Poincare突变. 在Petrosky与作者最近的论文[10]中已经研究了Poincare定理与量子力学本征值问题之间的关系.
让我们再来考虑量子跃迁问题（见图6）（实际上我们考虑的是省略了虚过程的、被称之为Friedrichs模型的简单形式[15]）. 当我们试图用通常的微扰论来求解该问题时，我们面临着Poincare的发散性；在这一例子中，该发散性与形为
（4.4）
的除数有关，其中 为激发态的能量， 为对应于波矢 的模的辐射能量. 为了避免发散性，我们必须给出（4.4）中除数的意义.
在这里引入了Poincare不可积系统在新的推广意义中“可积”的基本要素. 我们引进动力学状态的“自然时间编序”. 为使我们所要说的更清楚，考虑一个平凡的例子. 一块石头可以掉入一水池并产生向外发射的波. 我们也许可以有逆反的情况：入射波将使一石头跃出（见图8）. 实际上，只有一种情形是可能实现的：自然的时间编序是先落下石头，然后波发射. 类似地，为了给出Poincare除数的意义，我们必须对动力学状态进行时间编序——首先有不稳定原子状态，然后有辐射的激发. 这相当于Bohr的原子受激辐射图像，辐射相当于推迟波. 更确切地，我们将除数
（4.5）
与跃迁 相联系，而将除数
（4.6）
与跃迁 相联系. 如我们所证明的[11,12]，这一简单规则导致当我们对辐射的波长积分时所有Poincare发散性的消除. 这就是理论物理中通过“解析开拓”表示过去和未来的差别的标准做法．一般读者对我们按照它们所联系的过程类型不同而修改Poincare除数这一点，是可以接受的. 我们用这种方式便可得到Schrodinger方程的复数解. 本征值现在包含了相当于阻尼的虚部，而本征态有一种破缺的时间对称性. 我们选择这一简单例子是由于在这种情况下存在一个标准解，然而，该标准解对于耦合常数不是解析的（粒子从谱中消失了[15]）.
因而，我们能够将我们的结果与标准处理进行比较，看看我们的方法是否有意义. 我们的确恢复了全部已知的结果，然而除此之外，当我们具有破缺时间对称性的态时，我们可以引进一个起到Boltzmann H函数作用的泛函. 当粒子受激辐射并向基态衰变时，这一泛函单调下降（见图9）. 我们也可以至少作为一种思想实验而在衰变开始之后的时间 作时间反演. 此结果示意性地表示在图10中. 在反演时刻 ，H量有一跳变 ，其中 是不稳定状态的寿命. 然后H开始下降，在 处我们有H =H ；H的下降一直持续到粒子衰减完为止. 因为我们将H函数与粒子衰变相联系，故衰变成为一种不可逆过程.
我们可以将我们已经做的总结如下：为了避免Poincare的灾变，我们扩充了变换类型从未扰动的Hamiltonian （见（4.3））的本征函数得到完整Hamiltonian的本征值. 用比较技术性的术语说，情况如下：Poincare只考虑了在其他性质中保持本征值为实数的正则（或么正）变换. 我们引进了产生复本征值的更为一般的变换. 这些变换的特殊选择来自我们对于动力学状态的时间编序的推导.
从困扰量子力学的认识论方面的问题来看，此结果已具有重大的意义. 我们首先记得量子力学的基本方程是波函数 的Schrodinger方程
（4.7）
所有的量子力学教科书都指出该方程是时间可逆的和决定论的（我们将一些与弱相互作用有关的“病态”情况剔除在外）. 的物理诠释是，它表示一种几率“幅”. 可是,几率性质却由
（4.8）
给出. 我们将在下一节回到从几率幅 到几率性质 这种转变上来.
量子力学可能是最成功的物理学理论，但对其概念性基础的讨论一直没有停止过. 我推荐一本由J. S. Bell所著的新书《量子力学中可以说的和不可以说的》[16]. 它们是量子跳变吗？这是一个极会引起争议的话题. Schrodinger方程（4.7）描述一种光滑演变. 那么为何会有量子跳变？此外，（4.7）是时间对称的：若存在自发发射，则亦必定有自发吸收. 流行的Copenhagen诠释是，量子跳变是我们的测量造成的. 这将是十分奇怪的，因为所有的化学和生命都是量子跳变的结果，那么生命是如何成为我们的测量的结果的呢？我们的方法解决了这一问题，因为该方法将量子跳变与只能出现在（我们的）未来的一种不可逆事件联系了起来.
在我们回到构造量子力学的概念性基础与动力学不稳定性之间密切联系的这些吸引人的问题之前，让我们作出如下评论：
我们已经处理的例子是一个非常简单的例子，因为我们可以在通常量子描述的框架内（所谓“Hilbert空间”中）引入一种自然的时间编序. 但一般来说，这是不可能的（想一想所有态都作对称作用的散射）. 于是我们将在下一节看到，我们必须在统计描述的层次上引入一种自然的时间编序. 这就会得到LPS在十分普遍的情况下的积分，从而导致动力学有与过去根本不同的新形式.
五．Poincare定理与动力学的统计阐述
从第四节中所研究的例子来看，对于我们如何才能避免Poincare灾变现在应当很清楚了：只有通过在理论中引入动力学状态的一种时间编序，它对于小除数将采用非常明确的“规则化”步骤（见（4.5）和（4.6））. 然而怎样引入这种时间编序呢？如我们现在将要看到的，这里我们必须转入统计描述. 使人意外的是，我们的处理方法确证了Boltzmann于一个多世纪前处理气体动力学的方法. 但是Boltzmann不可能猜到混沌理论的出现，也不会知道他正在研究“不可积Poincare系统”.（他，以及Maxwell之所以将希望寄托在遍历性理论上，是因为遍历性理论对于平衡的理解确实有用，但对动力学目的并非如此.）
在统计联系早期，Gibbs引入了一个相当基本的概念：“Gibbs系综”. 他不去考虑单个动力学系统而是考虑与构成每一个动力学系统的粒子的坐标 和动量 相联系的在相空间中演化的大量动力学系统（见图11）. 于是在描述中使用了相空间中的几率分布：
（5.1）
这种描述对于量子系统也是有意义的. 而几率分布 就被称作“密度矩阵”. 一旦我们知道了 ，我们便能计算出粒子的速度分布以及存在于粒子间的关联.
那么此时时间如何进入这种描述？
我们来考虑一种经典气体. 粒子会碰撞而且这些碰撞产生关联（见图12）. 首先我们有二体关联，然后是三体关联；随着时间的持续，关联涉及到越来越多的粒子.
关联的形成有点使人联想起进行会谈的两个人（会谈相当于一次碰撞）. 即使当会谈双方离开，他们的会谈印象仍然保留着. 关于这一会谈的信息将随着时间的推移散布给越来越多的参与者.
假定我们观测一杯水. 在这杯水中有一时间箭头；实际上，该时间箭头将永远保持着，相当于新关联的产生，这种关联涉及到总是增长的粒子数. 按照存在于分子间的关联，我们可以区分“年轻的”水和“年老的”水！最近所做的计算机实验证明了二体关联出现得非常快，而三体关联涉及到较长的时间尺度，如此等等. 关联的这种定向流破坏了经典描述中的对称性. 让我们从（一个多体系统的） 时刻的无关联态A转变到时间为的涉及多重关联的态B（见图13）. 显然，从A到B的转变涉及到与从B到A的逆转变十分不同的物理过程.
我们将不得不引入关联的时间编序于动力学以避免Poincare灾变：二体关联先于三体关联出现，如此等等. 因而我们必须使用关联的时间演变来描述动力学.
这相当于是与经典动力学不同的观点：问题不再是研究每一粒子随时间变化的位置和动量，而是追踪粒子间关系的发展[17]. 在此概念框架内，我们可以通过将向较高关联的转变处理为“未来定向”，将向较低关联的转变处理为“过去定向”，恰如在（4.5）和（4.6）中我们所做的那样，来避免Poincare灾变.
由Gibbs系综理论可以得到密度矩阵 的时间发展方程
（5.2）
它在形式上类似于Schrodinger方程（4.7）. 即所谓的Liouville算符，可以利用经典力学和量子力学中的Hamiltonian表示. 我们提到过Poincare处理了形为
（5.3）
的Hamiltonian. 这相当于Liouville算符的分解
（5.4）
为求解Liouville方程（5.2），我们必须如在Schrodinger方程情形中那样求解本征值问题（见（4.1））
（5.5）
对于可积系统，这没有问题. 而Liouville方程（5.2）则将索然无味，因为问题将化为通常的动力学问题（求轨道或波函数）. 然而，对于不可积系统，问题从根本上改观了. 换言之Liouville方程描述了由于与未扰动系统有关的运动不变量的破坏而引起的混沌的出现.
又是Poincare定理妨碍我们通过展为耦合常数 的幂次的么正变换（保持 的实数性）求出（5.5）的解. 业已提到，我们是通过在理论中引入如下补充性因素来解决这一困难的：关联的时间编序. 于是我们得到可以求解的复本征值问题，它将导致阻尼，并通过H函数的出现导致不可逆性（见第四节）. 该新动力学具有一些突出的特征，它呈现出对于经典或量子理论中所描述的可积系统的动力学特征的基本偏离.
为了定性地理解发生了什么，我们来更为贴切地分析“碰撞”的思想中所包含的内容. 实际上，一次碰撞已经相当于一个复杂的过程，在此过程中粒子接近、通过共振交换能量、然后分开. 我们可以将一次碰撞视为一个接一个的共振所束缚的态[8]. 在一Hamilton系统中（硬球情况作为一种极限情况不在考虑之列），一次碰撞并非一个自发的类点事件，而是在空间和时间上都具有广延性的.
最近，Petrosky与作者已经证明，Liouville算符 的谱基本上由碰撞的动力学确定. 这即意味着对适用于可积系统的通常动力学方法的根本性偏离；在可积系统中，发展演化可分解为一个接一个的自发时空事件（使人联想起Feynman图）. （对于熟悉动力学的读者，我提一下：传统的动力学方程Fokker-Planck方程含有二阶导数；这恰恰是由于碰撞被描述为一种二体关联所致.）为此， LPS的动力学仅能在统计的层次上被阐述，因为我们既不可能在经典情况中将动力学化为轨道，也不可能在量子情况中将动力学化为波函数. 我们在这里所处理的是可积系统中完全不会出现的动力学状态，这对于动力学的伟大传统并不那么令人吃惊. 然而，这种偏离已经出现在KAM理论中，但在那里行为是如此地复杂以至于任何定量描述都不可能（我们不得不使用由于共振叠加而坍缩的共振环定性判据）. 对由于共振而引起并导致Poincare不可积性的物理过程给出一种简单描述，正是通过对LPS的研究所实现的主要进展.
我们的处理已经被对LPS的简单例子作出的数值计算所证实. 我们可以从一种（尽可能接近于相空间中的一点的）统计分布出发. 于是我们看到系统经历了相当于Lyapunov不稳定性（见（2.1））的出现、相空间中的折叠和由于“碰撞”而引起的扩散的各个阶段.
我想再次强调的主要论点是，不稳定性破坏了轨道（或在量子力学中是波函数）概念本身，因为现在基本描述是使用了统计系综.
现在让我们给出一些结论性的意见.
六．结论性的观点
Poincare不可积动力学系统的积分对于LPS导致了一种新形式的动力学，它包含了不可逆性（破缺的时间对称性），并在经典和量子力学中呈现出几率的越来越大的作用. 我们在第二节中描述过的时间佯谬已用这种方式消除掉了（见图14）.
在“旧”情况中，我们不得不在微观的时间可逆的层次与备有时间箭头的宏观层次之间架桥连线（图14）. 然而，时间怎么可能产生于无时间？
现在（图15）我们有了一个新的具有时间对称破缺的微观层次；通过平均的步骤，从该微观层次中出现宏观耗散层次. “旧”的微观层次已变成不稳定的.
这可以得到对混沌作用的一种较好的理解. 实际上，混沌存在两种十分不同的表现. 当我们研究包括耗散的宏观方程，例如反应扩散方程或流体的Navier-Stokes方程时，我们已面对属于LPS的基本微观描述的情形. 换言之，正是这种方程的存在预先设定了“动力学混沌”. 这并不令人奇怪. 确实，例如摩擦或扩散的性质涉及到能量通过碰撞的交换. 这些宏观方程可以导致混沌（化学混沌和湍流）. 这种耗散混沌处在动力学混沌的“顶部”. 我们曾提及，耗散混沌是自组织的一部分，因为它出现在非平衡和非线性系统中. 化学相干性例子是振荡化学反应. 因此，简言之，出现于非平衡态中的宏观有序是动力学混沌的产物. 甚至趋于平衡时也成为动力学混沌的结果. 所以，在所有这些情况中，我们有“有序来自混沌”[1]. 我们也曾提及LPS是演化的系统. 一旦初始条件给定，它们便将经历诸如由Lyapunov指数所描述的各种阶段，扩散过程 . 然而，不可逆性并不与Newton时间（或其Einstein推广）有关，而是与表示构成系统的各单元之间的“内部”时间有关（诸如粒子之间的关联）. 我们不可能使关联的流停止，因为我们无法阻止不稳定原子态的衰变.
Nobokov曾写道：是真实的东西就不能被控制，能控制的就不是真实的. 这句话在这里也是成立的. 除了求解时间佯谬外，通过LPS的积分所得到的动力学定律取得了许多远远超出我们原始动机的结果. 我们已在第四节提及与量子力学认识论方面的问题的一些关系. 我们现在更进一步. 众所周知，量子力学的基本量是几率幅 ，满足Schrodinger方程（4.7），但我们只能作几率的测量！所以，我们需要从波函数所描述的“潜在可能”变成几率所描述的“真实情况”的另一种机制. 在Paul Davies所写的《新物理学》[19]的引论中，他写道：“在岩层底部，量子力学提供了一种高度成功的对微观系统的观测结果进行预测的办法，但当我们问一下观测进行时实际上发生了什么时，我们什么也得不到！”从例如Hugh Everett III的大千世界诠释，到John von Neumann和Eugene Wigner的求助于观测者灵感的神秘思想，都是为解开这一佯谬所作的企图. 在半个世纪的争论之后，量子观测的辩论一如以往仍旧那么活跃. 极小和极大的物理学问题都是难以对付的，然而这一新领域——思维和物质的接合部也许将被证明是新物理学中最有前途的传统. 有趣的是，当我们在新动力学描述中直接处理几率时，可以从动力学不稳定性和混沌中得到该基本问题的解答. 在这种情况中，LPS中的量子力学叠加原理失效是由于动力学不稳定性，而不必求助于任何深奥的考虑如大千世界诠释或引起宏观系统波函数编缩的新宇宙常数的存在. 我们得到了消除掉任何位于物理学之外的观测者主观愿望的真实的量子力学诠释形式.
本世纪已经被量子力学和相对论这两种新的概念性结构所统治. 人们经常强调（见M. Sachs[20]），主观因素通过测量过程的侵入将在我们想要将量子论和相对论结合在一起时引起困难. 然而，不可积动力学系统也可能使相对论变样，因为基本的动力学事件（碰撞）不再对应于瞬时和局域的时空事件.
我相信我们因而确实处在“新物理学”的开端. 迄今为止，我们的自然观都是受可积系统的理论支配的，无论是经典力学还是量子力学. 这相当于一种过分的简化. 我们周围的世界含有不稳定性和混沌，因而需要对一些基本的物理概念进行根本的修正.
让我表达我所确信的结论：将来，Poincare的不可积性定理将被视为一个转捩点，它有点类似于经典力学时期当应用于黑体辐射而导致发散时的发现. 这些发散性必须由量子论来治愈. 类似地，Poincare发散性也必须在我试图以本文中定性方式描述的意义上用动力学新形式来治愈.
鸣谢
本工作是多年来Brussels-Austin小组的工作结果. 我不可能引用所有这些成果，但我还是要特别感谢Cl. George，F. Mayne和T. Petrosky.
我们还要感谢Austin的Texas大学，Solvay研究所能源系，Welch基金会和欧共体委员会的资助.
参考文献
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2． Prigogine I. and I. Stengers. Entre le Temps et Eternite, Fayard, 1988
3． Tabor M. Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics, J. Wiley, 1989
4． Nicolis G. and I. Prigogine. Exploring Complexity，W. H. Freeman, 1989 ;（有中译本《探索复杂性》,四川教育出版社，1986）
5． Coveney P. and R. Highfield. The Arrow of Time, Allen, 1990
6． 总结见[4]
7． Poincare H. Methodes de la Mecanique Celeste, Gauthier-Villars, 1892; 重印本，Dover, 1957
8． 简单说明见I. Prigogine. Non-EquilibriumStatistical Mechanics，Wiley InterScience, 1962; （有中译本《非平衡态统计力学》， 上海科学技术出版社，1984）
9． Prigogine I. From Being to Becoming :Time and Complexity in Phusical Sciences，W. H. Freeman, 1980；（有中译本《从存在到演化》，上海科学技术出版社，1986）
Balescu R. Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical Mechanics, Wiley, 1985
George Cl.,Mayne F. and I. Prigogine. Adv in Chemical Physics, 1985, 61:223
10. Petrosky T. and I. Prigogine. Physica, 1988, 147A:439
11. Hasegawa T., Petrosky T., Prigogine I. and S. Takaki. Foundations of Physics, 1991, 21:263
12. Petrosky T., Prigogine I. and S. Takaki. Physica, 1991,170A:306
13. Prigogine I., Petrosky T. and S. Takski. （待发表）
14. Prigogine I., Petrosky T. and S. Takski. Physica, A（待发表）
15. Balton G. Advanced Field Theory, Wiley TnterScience, 1963
16. Bell J. S. Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge University Press, 1987
17. “关联动力学”的思想在文献[8]中引入.
18. Hasegawa H. and B. Saphir. （待发表）
19. Davis P. (ed) The New Physics, Cambridge University Press, 1989
20. Sachs M. Einstein versus Bohr , Open Court, Illinois, 1988
（1990年10月2－3日在美国Minnesota州Saint Peter市Gustavus Adolphus学院第26届Nobel会议上的演讲）
一．时间质疑
时间总是与我们形影不离. 时间确为我们生存的1维. 它既使哲学家又使科学家神魂颠倒. 常听人说，科学已经解决了时间问题. 此话当真？确实，物理学的基本方程，无论是经典物理的还是量子物理的，它们的一个十分重要的性质就是时间的可逆性. 在这些方程中，我们可以用（－t）取代（＋t）而不使这些方程的形式有所改变. 与此相反，在宏观世界中，我们处理的是不可逆过程：（＋t）和（－t）并不起同样的作用. 这便存在着一个“时间箭头”. 因此，我们就得到一条奇怪的结论：在微观动力学世界中，没有正常的时间顺序，而宏观世界中所发生的则完全相反. 例如，若我们考虑图1中所表示的一个摆的两种位置，我们不可能说出哪一种位置出现得更早. 对于经典动力学来说，时间已经失去方向. 类似地，在量子力学中，我们不可能说出哪一种波函数是“衰老的”或是“年轻的”. 但这难道就是时间的全部故事吗？时间是如何能从一个时间可逆的世界中显露出来的呢？自从Clausius于1865年提出著名的热力学第二定律以来，这一矛盾已经变得十分尖锐. Clausius断言：“宇宙之熵在增加.”这便诞生了进化宇宙学. 对于每一个孤立系统，熵只能增加. 如Eddington经常所说的：熵表示“时间箭头”. 热力学的形式体系是工程师和物理化学家的工作成果. 当时的大数学家和大物理学家将其视为至多是一件有效的实用工具然而却没有任何功能上的意义. 对熵和微观运动方程之间关系提出质疑的第一个人是Boltzmann. Boltzmann是分子运动论的主要奠基人之一. 他试图将熵增解释为导致分子无序的分子碰撞的结果（Maxwell速度分布律）. Boltzmann的处理结果在今天仍然是极为重要的，因为这种处理对稀薄气体来说可以得到与实验非常吻合的结果. 但是，Boltzmann依然被厄运击倒，因为人们太块地向他指出，他的结果是与动力学的时间可逆性相抵触的[1]. Boltzmann很像一位同时爱着两个女子的男人. 他无法在其两种深信不疑的观点之间进行选择. 他确信时间不可逆的演化是自然界的一条基本特征，但他对于看起来不允许存在一个优越时间方向的经典运动方程也是深信不疑的. 我不能深谈这一问题的细节，但我想强调一下，这一讲座的目的之一是要说明Boltzmann是正确的. 然而这涉及到真正近代的结果，其中现代混沌理论担任着主要角色. 对于Boltzmann那一代人，以及随后的几代人，这一争辩的结论是：时间箭头并不存在于自然之中，而是存在于我们的记忆之中. Einstein的时间（作为不可逆性）是一种“幻觉”的说法，是众所周知的[2].
我曾觉得奇怪的是，这一结论并未引发科学中的危机！我们如何才能否定一个优越的时间方向的存在呢？如Popper所写：“这将使单方向的演变打上一种‘幻觉’的烙印，这将使我们的世界成为一种幻觉，而所有我们的企图只不过是在寻找有关我们世界的越来越多的幻觉.”经典科学的目的是用普适的时间可逆规律来描述自然界的行为. 反省一下该目标与17世纪中流行的神学概念之间的关系是有趣的. 对于上帝，在过去、现在和将来之间当然是没有区别的. 是科学没有将我们带到更接近于上帝的宇宙观[2]吗？ 经典科学的这一目标从来就没有实现过. 常常是，当科学看起来更接近于这一目标时，每一次都会有某些东西出了毛病而失灵. 这对西方科学的历史有奇迹般的影响. 如你所知，量子力学是基于时间可逆的Schrodinger方程的，但它不得不引入测量过程，不得不将基本作用归之于观测者以得到一种自恰的诠释. 广义相对论以几何学的“超时间”的理论为起始，发现为了得到我们宇宙的宇宙学演化的自恰描述需要某种初始奇异性或不稳定性. 为了描述自然，我们既需要定律，又需要事件，这反过来又意味着时间因素的存在. 这种时间因素在包括量子论和相对论在内的动力学系统的传统表述中本来是弃之不顾的. 去年在Minnesota召开的Nobel会议上有一个争议颇多的题目：“科学的终端？”我并不相信我们能够谈论科学的终端，但确实我们面临着某种与科学的经典思想体系有关的推理形式的终结. 我在这里想要说明，对于新的科学推理系统的建立，非平衡态物理学和“混沌”肯定将起到关键的作用.
二．时间佯谬的形成
20 世纪是以时间箭头为本质的各种完全出乎意料的发现为特点的. 例子是不稳定基本粒子的发现和进化宇宙学的发现. 然而，在本讲座中我首先想要强调的是涉及宏观尺度的过程，如在非平衡态物理学中所研究的那些过程. 第一个论点是：与Boltzmann所确信的恰恰相反，不可逆性起着建设性的作用. 不可逆性不仅包含在导致无序的过程中，而且也可以导致有序. 这已经表示在如图3所示的极简单的例子中. 考虑两个装有两种组分例如氢气和氮气的箱子. 若箱子是等温的，则这两种组分在两个箱子中的比例是相同的. 反之，若我们建立一种温度差，则我们就观测到组分之一如氢气的浓度在温度较高的那一个箱子中变得较大. 在本实验中与热流有关的无序被用来产生“有序”. 这是十分具有代表性的. 不可逆性既导致有序又导致无序. 一个惊人的例子是化学振荡的情况. 若我们有一种化学反应可将“红”分子变成“兰”分子，反之亦然. 已经从理论上和实验上证明，在远离平衡的情形下，该反应可以呈现时间周期性的行为. 反应容器呈现时红时兰，且不断地持续下去. 我要强调化学相干性的出现是何等地出乎意料. 我们通常将化学反应设想为分子间随机碰撞的结果. 显然，在远离平衡的情形下不可能是这么一种情况. 为了产生化学振荡我们需要长程关联. 当我们将这类系统驱动到更远离平衡时，这种振荡可以在时间上变得十分不规则. 于是我们便谈论到“耗散混沌”；不过，我将不深入这一课题的更多细节，在许多教科书中对此所进行的讨论都相当好[3,4]. 重要的是，不可逆性导致了新的空间时间结构（我称之为“耗散结构”），这对于理解我们周围的世界是至关重要的. 因此，不可逆性是“真实”的，它不可能仅存在于我们的记忆之中. 我们不得不使用这种或那种方式将不可逆性纳入微观动力学的框架. 最近已经出现了许多处理该问题的专著，但我在这里要提一下由Peter Coveney和Roger Highfield的著作《时间之箭》[5]（译注：有中译本，江涛等译，湖南科学技术出版社，1994）所作的卓越介绍. 在该书中，他们将此问题称为“时间的最大奥秘”.
但是如何解决这一佯谬呢？
在我的同事和我所做的工作中，我们遵循时间箭头必然与动力学不稳定性有关的思想. 我首先来叙述不稳定动力学系统的一个最简单例子：所谓面包师变换. 见图4. 我们考虑一个正方形. 我们压缩它并将右半部置于左半部之上如图4所示. 这就引起了正方形表面的逐步细化. 这显然是一个不稳定的动力学系统，因为无论多么近的两点最终将出现在相距很远的条纹中. 该系统可用Lyapunov指数来表征：
（2.1）
两邻近轨道之间的距离 随时间指数地增长. 系数 被称为Lyapunov指数；在面包师变换情形中它等于 . 正Lyapunov指数的存在是“混沌”系统的特征. 于是，存在一条时间的标准线；超出这条标准线，则轨道的概念失效，必须使用概率的描述. 这是大家都很清楚的. 然而，我想要强调的是，除了运动学时间t之外，对于该系统我们还能引入“第二种－内部”时间T；这种时间度量产生一种给定的配分所需要的移动次数. 例如，从图4的状态[a]出发要得到状态[c]，我们需要移动两次. 正如我们的小组所证明的，特别是在Misra教授的工作[6]中将这一内部时间用一算符表示后，该算符形成了一种非常类似于我们在量子力学中所用到的那种非对易代数. 一旦你有了内部时间，构造一个熵从而将面包师变换与时间箭头联系起来则是很容易的事.
重要的是要注意，内部时间是指一种全局的如正方形配分所表示的那种性质；这是一种“拓扑”性质. 仅仅当将正方形作为一个整体考虑时，你才能将其与一定的内部时间或一种“年龄”相联系. 就如你在看某人时那样. 你将赋予他的年龄并不依赖于其身体的一个特殊部位，而是从一种全局性的判断得到的. 面包师变换及其与时间箭头的关系的详细叙述可以在我与Nicolis教授合著的书[4]中找到. 然而，面包师变换对应于高度理想化的情形. 在此基础上还并不清楚为何时间箭头如被热力学第二定律普适的正确性所验证的那样，在自然界是如此之普遍. 这就是现在我想转而讨论的问题.
三．Poincare定理和混沌科学：巨Poincare系统
1889 年，Poincare提出一个基本问题[7,8]. 我必须指出，他的问题并非是用现在这些我用于讨论的名词来阐述的. Poincare问，物理世界是否同构于一个由非相互作用单元所构成的系统？众所周知，能量（“Hamiltonian”H）一般由两项之和构成：所包含的各单元的动能和对应于这些单元之间相互作用的势能. 因此，Poincare的问题是：“我们能消除相互作用吗？”
这的确是一个非常重要的问题. 如果Poincare的回答是肯定的，那么世界上就可能没有相干性，就没有生命，也没有Nobel会议. 他证明了你一般不能消去相互作用；进而，他给出了此结果的理由. 所以，这是非常幸运的. 理由是各单元之间存在共振. 人人都熟悉共振的思想. 这是孩子们学习荡秋千的方式. 让我们来更精确地描述Poincare的问题. 我们从如下形式的Hamiltonian出发：
（3.1）
式中 是动量和坐标. 于是我们问这样的问题:我们是否能将其化为形式
（3.2）
式中 为新的动量（所谓作用变量）. 在这种形式中，Hamiltonian只依赖于动量. 为了实行从（3.1）到（3.2）的变换，Poincare考虑了一类保持Hamilton理论结构的变换（所谓正则变换或么正变换）. 更确切地说，Poincare考虑了形为
（3.3）
的Hamiltonian，其中 为耦合常数， 为既依赖于动量 又依赖于坐标 （被称为角变量）的势能. 对于2个自由度，势能可展成Fourier级数
（3.4）
式中 为整数. 微扰技术的应用便导致形为
（3.5）
的表达式. 其中频率 被定义为 . 在这里我们看到了共振（或“小除数”）的危险作用
（3.6）
显而易见，可以预料当（3.6）为零而（3.5）中的被除数不为零时将出现困难. 这已被Poincare称为“动力学的根本困难”[7]. 于是我们就得到了动力学系统的Poincare分类[7,8,10]. 如果存在“充分”的共振，系统即为“不可积”的. 对于共振作用的理解的关键进展是50年代由Kolmogorov、Arnold和Moser所取得的（所谓KAM理论[3]）. 他们已经证明了，若（3.3）中的耦合常数足够小（还有一些其他我不准备在此时讨论的条件被满足的话），则“大多数”轨道如可积系统中那样仍然是周期性的. 这并不令人惊奇. 公式（3.6）可以被写成
有理数与无理数相比是“稀罕的”. 然而，无论耦合常数取何值，现在已经知道另外还将出现由正Lyapunov指数所代表从而以“混沌”为特征的随机轨道. 这确实是一个根本性的结果，因为在人们一直以为是决定论性描述的堡垒的动力学的核心处出现了无规性是十分出人意料的. 不过，应当强调，KAM理论并未解决Poincare不可积系统的积分问题. 人们广泛引用Arnold的如下论断：即使是只有2个自由度的动力学，系统也远远超越我们当今的数学.
但是存在一类我们称之为巨Poincare 系统（LPS）的动力学系统. 对于这一类系统，我们确实可以完全地消去Poincare的发散性从而对一类Poincare“不可积系统”真正地“积分”. 该结果是我与我的Brussels和Austin的同事们数年研究工作的成果[9]，然而只是在最近才解决了积分巨Poincare系统这一问题. 我想一开始就应对Tomio Petrosky、长谷川（Hiroshi Hasegawa）和高木（Shuichi Tasaki）的根本性贡献[10-14]表示感谢.
首先，什么是巨Poincare系统？这是一个具有“连续”谱的系统. 例如，公式（3.4）中的Fourier级数已由Fourier积分代替. 共振条件取一新的形式. 具有任意自由度的小系统的共振条件为（见（3.4））
（3.7）
式中 为整数. 前已提及，共振条件即表示频率之间存在有理关系. 对于巨Poincare系统，条件（3.4）必须代之以
（3.8）
式中 为实数. 现在共振条件是“处处存在”的. 该情况类似于面包师变换，其中也是几乎所有的运动都是无规运动. 而且，巨Poincare系统是以涉及共振积分的相互作用为特征的（例子见下）. 在我将讨论例子之前，我要强调的是，巨Poincare系统的思想在量子力学中仍然是有意义的. 频率 变成能级. 对于小系统，共振条件（3.7）将对应于偶然“简并”. 但对于巨Poincare系统，我们有连续谱，情况变得与经典力学十分类似. 巨Poincare系统具有惊人的普遍性. 我们在经典物理和量子物理中处处可以遇到它们. 让我给出两个例子. 物质与电磁场之间的相互作用导致辐射的激发（见图6）. 激发态的寿命由物理学家所称的Fermi黄金律给出1级近似，此定律涉及到对共振的积分
（3.9）
式中 为关于辐射的频率， 为关于不稳定态的能级. 这是共振积分的一个例子. 所有含有“碰撞”的多体系统都是LPS（见图7），因为碰撞也涉及共振（见第五节）. 巨Poincare系统在通常的意义中是不可积的，因为有Poincare共振，但我们在这一讲座中想要指出的是，我们可以通过消去所有Poincare 发散性的新方法来对它们进行积分. 这便得到了动力学（经典的或量子的）一种新的“整体”形式. 当我们在这里处理混沌系统时，我们便可期望得到动力学在此形式中的新特征. 确实，我们将发现，与可积系统的动力学相比较，无规性的作用增大了；首先是时间对称性的破缺，因而不可逆性显现于该新动力学的心脏. 从某种意义上来说，我们转换了时间佯谬的通常形式. 通常的方法是试图从基于时间可逆方程的动力学来导出时间箭头. 相反,我们现在是推广动力学以包括不可逆性.
我们可将这种情况归纳为下图：
图的顶部是可积系统类（经典的或量子的）. 这是动力学所探索的主要领域. 动力学可积系统的基本结构可表达为著名的定律（或原理），如断言轨道是使得某些泛函（作用量）为极小的作用量原理. 这种结构已经成为量子力学和广义相对论的出发点.
然而Poincare定理为可积系统设置了界限. 因此基本问题将是：其后将发生什么？现在是如何解决小除数这一问题的？计算机的计算并不会导致无穷大！
我们曾经提及，第一级台阶是KAM理论. 共振的物理效应是无规运动的出现. 对于LPS，几乎所有运动都是无规的. 于是值得注意的事实是，我们又能“积分”运动方程了. 但现在动力学的结构变得与可积系统根本不同. 我们现在不得不偏离动力学方案中与经典传统相联系的固有结构，这是极为诱人的.
四．Poincare定理与量子力学的本征值问题
我想要讨论的第一个例子是量子力学. 众所周知，量子力学已经引起我们思想中的一场革命. 在经典力学中，“可观测量”由数表示. 量子力学所采取的新观点是用算符表示可观测量. 例如Hamiltonian 现在变为Hamiltonian算符 . 我们可用本征函数 和本征值与此算符相联系：
（4.1）
算符 作用在本征函数 上，重新产生该函数与本征值 的积. 本征值对应于关于算符 的物理量的数值. 一旦我们有了完备的本征函数集和本征值，我们就有了关于 的“谱”表示（顶标 已略去）.
（4.2）
求谱表示（或解本征值问题）是量子力学的中心问题；然而，这种问题仅在很少的几种简单情形下被求解，而在大多数时候我们必须求助于微扰技巧. 如在Poincare定理中那样，我们可从形为
（4.3）
的Hamiltonian 开始；这里我们假定对“未扰动”Hamiltonian ，本征值问题是可以求解的. 于是我们来找 的可展成耦合常数 的幂次的本征态和本征值. 就是在这里，可以作出与Poincare分类的联系. 对于不可积Poincare系统，本征函数和本征值展为耦合常数的幂次将由于小除数的发散性而引起Poincare突变. 在Petrosky与作者最近的论文[10]中已经研究了Poincare定理与量子力学本征值问题之间的关系.
让我们再来考虑量子跃迁问题（见图6）（实际上我们考虑的是省略了虚过程的、被称之为Friedrichs模型的简单形式[15]）. 当我们试图用通常的微扰论来求解该问题时，我们面临着Poincare的发散性；在这一例子中，该发散性与形为
（4.4）
的除数有关，其中 为激发态的能量， 为对应于波矢 的模的辐射能量. 为了避免发散性，我们必须给出（4.4）中除数的意义.
在这里引入了Poincare不可积系统在新的推广意义中“可积”的基本要素. 我们引进动力学状态的“自然时间编序”. 为使我们所要说的更清楚，考虑一个平凡的例子. 一块石头可以掉入一水池并产生向外发射的波. 我们也许可以有逆反的情况：入射波将使一石头跃出（见图8）. 实际上，只有一种情形是可能实现的：自然的时间编序是先落下石头，然后波发射. 类似地，为了给出Poincare除数的意义，我们必须对动力学状态进行时间编序——首先有不稳定原子状态，然后有辐射的激发. 这相当于Bohr的原子受激辐射图像，辐射相当于推迟波. 更确切地，我们将除数
（4.5）
与跃迁 相联系，而将除数
（4.6）
与跃迁 相联系. 如我们所证明的[11,12]，这一简单规则导致当我们对辐射的波长积分时所有Poincare发散性的消除. 这就是理论物理中通过“解析开拓”表示过去和未来的差别的标准做法．一般读者对我们按照它们所联系的过程类型不同而修改Poincare除数这一点，是可以接受的. 我们用这种方式便可得到Schrodinger方程的复数解. 本征值现在包含了相当于阻尼的虚部，而本征态有一种破缺的时间对称性. 我们选择这一简单例子是由于在这种情况下存在一个标准解，然而，该标准解对于耦合常数不是解析的（粒子从谱中消失了[15]）.
因而，我们能够将我们的结果与标准处理进行比较，看看我们的方法是否有意义. 我们的确恢复了全部已知的结果，然而除此之外，当我们具有破缺时间对称性的态时，我们可以引进一个起到Boltzmann H函数作用的泛函. 当粒子受激辐射并向基态衰变时，这一泛函单调下降（见图9）. 我们也可以至少作为一种思想实验而在衰变开始之后的时间 作时间反演. 此结果示意性地表示在图10中. 在反演时刻 ，H量有一跳变 ，其中 是不稳定状态的寿命. 然后H开始下降，在 处我们有H =H ；H的下降一直持续到粒子衰减完为止. 因为我们将H函数与粒子衰变相联系，故衰变成为一种不可逆过程.
我们可以将我们已经做的总结如下：为了避免Poincare的灾变，我们扩充了变换类型从未扰动的Hamiltonian （见（4.3））的本征函数得到完整Hamiltonian的本征值. 用比较技术性的术语说，情况如下：Poincare只考虑了在其他性质中保持本征值为实数的正则（或么正）变换. 我们引进了产生复本征值的更为一般的变换. 这些变换的特殊选择来自我们对于动力学状态的时间编序的推导.
从困扰量子力学的认识论方面的问题来看，此结果已具有重大的意义. 我们首先记得量子力学的基本方程是波函数 的Schrodinger方程
（4.7）
所有的量子力学教科书都指出该方程是时间可逆的和决定论的（我们将一些与弱相互作用有关的“病态”情况剔除在外）. 的物理诠释是，它表示一种几率“幅”. 可是,几率性质却由
（4.8）
给出. 我们将在下一节回到从几率幅 到几率性质 这种转变上来.
量子力学可能是最成功的物理学理论，但对其概念性基础的讨论一直没有停止过. 我推荐一本由J. S. Bell所著的新书《量子力学中可以说的和不可以说的》[16]. 它们是量子跳变吗？这是一个极会引起争议的话题. Schrodinger方程（4.7）描述一种光滑演变. 那么为何会有量子跳变？此外，（4.7）是时间对称的：若存在自发发射，则亦必定有自发吸收. 流行的Copenhagen诠释是，量子跳变是我们的测量造成的. 这将是十分奇怪的，因为所有的化学和生命都是量子跳变的结果，那么生命是如何成为我们的测量的结果的呢？我们的方法解决了这一问题，因为该方法将量子跳变与只能出现在（我们的）未来的一种不可逆事件联系了起来.
在我们回到构造量子力学的概念性基础与动力学不稳定性之间密切联系的这些吸引人的问题之前，让我们作出如下评论：
我们已经处理的例子是一个非常简单的例子，因为我们可以在通常量子描述的框架内（所谓“Hilbert空间”中）引入一种自然的时间编序. 但一般来说，这是不可能的（想一想所有态都作对称作用的散射）. 于是我们将在下一节看到，我们必须在统计描述的层次上引入一种自然的时间编序. 这就会得到LPS在十分普遍的情况下的积分，从而导致动力学有与过去根本不同的新形式.
五．Poincare定理与动力学的统计阐述
从第四节中所研究的例子来看，对于我们如何才能避免Poincare灾变现在应当很清楚了：只有通过在理论中引入动力学状态的一种时间编序，它对于小除数将采用非常明确的“规则化”步骤（见（4.5）和（4.6））. 然而怎样引入这种时间编序呢？如我们现在将要看到的，这里我们必须转入统计描述. 使人意外的是，我们的处理方法确证了Boltzmann于一个多世纪前处理气体动力学的方法. 但是Boltzmann不可能猜到混沌理论的出现，也不会知道他正在研究“不可积Poincare系统”.（他，以及Maxwell之所以将希望寄托在遍历性理论上，是因为遍历性理论对于平衡的理解确实有用，但对动力学目的并非如此.）
在统计联系早期，Gibbs引入了一个相当基本的概念：“Gibbs系综”. 他不去考虑单个动力学系统而是考虑与构成每一个动力学系统的粒子的坐标 和动量 相联系的在相空间中演化的大量动力学系统（见图11）. 于是在描述中使用了相空间中的几率分布：
（5.1）
这种描述对于量子系统也是有意义的. 而几率分布 就被称作“密度矩阵”. 一旦我们知道了 ，我们便能计算出粒子的速度分布以及存在于粒子间的关联.
那么此时时间如何进入这种描述？
我们来考虑一种经典气体. 粒子会碰撞而且这些碰撞产生关联（见图12）. 首先我们有二体关联，然后是三体关联；随着时间的持续，关联涉及到越来越多的粒子.
关联的形成有点使人联想起进行会谈的两个人（会谈相当于一次碰撞）. 即使当会谈双方离开，他们的会谈印象仍然保留着. 关于这一会谈的信息将随着时间的推移散布给越来越多的参与者.
假定我们观测一杯水. 在这杯水中有一时间箭头；实际上，该时间箭头将永远保持着，相当于新关联的产生，这种关联涉及到总是增长的粒子数. 按照存在于分子间的关联，我们可以区分“年轻的”水和“年老的”水！最近所做的计算机实验证明了二体关联出现得非常快，而三体关联涉及到较长的时间尺度，如此等等. 关联的这种定向流破坏了经典描述中的对称性. 让我们从（一个多体系统的） 时刻的无关联态A转变到时间为的涉及多重关联的态B（见图13）. 显然，从A到B的转变涉及到与从B到A的逆转变十分不同的物理过程.
我们将不得不引入关联的时间编序于动力学以避免Poincare灾变：二体关联先于三体关联出现，如此等等. 因而我们必须使用关联的时间演变来描述动力学.
这相当于是与经典动力学不同的观点：问题不再是研究每一粒子随时间变化的位置和动量，而是追踪粒子间关系的发展[17]. 在此概念框架内，我们可以通过将向较高关联的转变处理为“未来定向”，将向较低关联的转变处理为“过去定向”，恰如在（4.5）和（4.6）中我们所做的那样，来避免Poincare灾变.
由Gibbs系综理论可以得到密度矩阵 的时间发展方程
（5.2）
它在形式上类似于Schrodinger方程（4.7）. 即所谓的Liouville算符，可以利用经典力学和量子力学中的Hamiltonian表示. 我们提到过Poincare处理了形为
（5.3）
的Hamiltonian. 这相当于Liouville算符的分解
（5.4）
为求解Liouville方程（5.2），我们必须如在Schrodinger方程情形中那样求解本征值问题（见（4.1））
（5.5）
对于可积系统，这没有问题. 而Liouville方程（5.2）则将索然无味，因为问题将化为通常的动力学问题（求轨道或波函数）. 然而，对于不可积系统，问题从根本上改观了. 换言之Liouville方程描述了由于与未扰动系统有关的运动不变量的破坏而引起的混沌的出现.
又是Poincare定理妨碍我们通过展为耦合常数 的幂次的么正变换（保持 的实数性）求出（5.5）的解. 业已提到，我们是通过在理论中引入如下补充性因素来解决这一困难的：关联的时间编序. 于是我们得到可以求解的复本征值问题，它将导致阻尼，并通过H函数的出现导致不可逆性（见第四节）. 该新动力学具有一些突出的特征，它呈现出对于经典或量子理论中所描述的可积系统的动力学特征的基本偏离.
为了定性地理解发生了什么，我们来更为贴切地分析“碰撞”的思想中所包含的内容. 实际上，一次碰撞已经相当于一个复杂的过程，在此过程中粒子接近、通过共振交换能量、然后分开. 我们可以将一次碰撞视为一个接一个的共振所束缚的态[8]. 在一Hamilton系统中（硬球情况作为一种极限情况不在考虑之列），一次碰撞并非一个自发的类点事件，而是在空间和时间上都具有广延性的.
最近，Petrosky与作者已经证明，Liouville算符 的谱基本上由碰撞的动力学确定. 这即意味着对适用于可积系统的通常动力学方法的根本性偏离；在可积系统中，发展演化可分解为一个接一个的自发时空事件（使人联想起Feynman图）. （对于熟悉动力学的读者，我提一下：传统的动力学方程Fokker-Planck方程含有二阶导数；这恰恰是由于碰撞被描述为一种二体关联所致.）为此， LPS的动力学仅能在统计的层次上被阐述，因为我们既不可能在经典情况中将动力学化为轨道，也不可能在量子情况中将动力学化为波函数. 我们在这里所处理的是可积系统中完全不会出现的动力学状态，这对于动力学的伟大传统并不那么令人吃惊. 然而，这种偏离已经出现在KAM理论中，但在那里行为是如此地复杂以至于任何定量描述都不可能（我们不得不使用由于共振叠加而坍缩的共振环定性判据）. 对由于共振而引起并导致Poincare不可积性的物理过程给出一种简单描述，正是通过对LPS的研究所实现的主要进展.
我们的处理已经被对LPS的简单例子作出的数值计算所证实. 我们可以从一种（尽可能接近于相空间中的一点的）统计分布出发. 于是我们看到系统经历了相当于Lyapunov不稳定性（见（2.1））的出现、相空间中的折叠和由于“碰撞”而引起的扩散的各个阶段.
我想再次强调的主要论点是，不稳定性破坏了轨道（或在量子力学中是波函数）概念本身，因为现在基本描述是使用了统计系综.
现在让我们给出一些结论性的意见.
六．结论性的观点
Poincare不可积动力学系统的积分对于LPS导致了一种新形式的动力学，它包含了不可逆性（破缺的时间对称性），并在经典和量子力学中呈现出几率的越来越大的作用. 我们在第二节中描述过的时间佯谬已用这种方式消除掉了（见图14）.
在“旧”情况中，我们不得不在微观的时间可逆的层次与备有时间箭头的宏观层次之间架桥连线（图14）. 然而，时间怎么可能产生于无时间？
现在（图15）我们有了一个新的具有时间对称破缺的微观层次；通过平均的步骤，从该微观层次中出现宏观耗散层次. “旧”的微观层次已变成不稳定的.
这可以得到对混沌作用的一种较好的理解. 实际上，混沌存在两种十分不同的表现. 当我们研究包括耗散的宏观方程，例如反应扩散方程或流体的Navier-Stokes方程时，我们已面对属于LPS的基本微观描述的情形. 换言之，正是这种方程的存在预先设定了“动力学混沌”. 这并不令人奇怪. 确实，例如摩擦或扩散的性质涉及到能量通过碰撞的交换. 这些宏观方程可以导致混沌（化学混沌和湍流）. 这种耗散混沌处在动力学混沌的“顶部”. 我们曾提及，耗散混沌是自组织的一部分，因为它出现在非平衡和非线性系统中. 化学相干性例子是振荡化学反应. 因此，简言之，出现于非平衡态中的宏观有序是动力学混沌的产物. 甚至趋于平衡时也成为动力学混沌的结果. 所以，在所有这些情况中，我们有“有序来自混沌”[1]. 我们也曾提及LPS是演化的系统. 一旦初始条件给定，它们便将经历诸如由Lyapunov指数所描述的各种阶段，扩散过程 . 然而，不可逆性并不与Newton时间（或其Einstein推广）有关，而是与表示构成系统的各单元之间的“内部”时间有关（诸如粒子之间的关联）. 我们不可能使关联的流停止，因为我们无法阻止不稳定原子态的衰变.
Nobokov曾写道：是真实的东西就不能被控制，能控制的就不是真实的. 这句话在这里也是成立的. 除了求解时间佯谬外，通过LPS的积分所得到的动力学定律取得了许多远远超出我们原始动机的结果. 我们已在第四节提及与量子力学认识论方面的问题的一些关系. 我们现在更进一步. 众所周知，量子力学的基本量是几率幅 ，满足Schrodinger方程（4.7），但我们只能作几率的测量！所以，我们需要从波函数所描述的“潜在可能”变成几率所描述的“真实情况”的另一种机制. 在Paul Davies所写的《新物理学》[19]的引论中，他写道：“在岩层底部，量子力学提供了一种高度成功的对微观系统的观测结果进行预测的办法，但当我们问一下观测进行时实际上发生了什么时，我们什么也得不到！”从例如Hugh Everett III的大千世界诠释，到John von Neumann和Eugene Wigner的求助于观测者灵感的神秘思想，都是为解开这一佯谬所作的企图. 在半个世纪的争论之后，量子观测的辩论一如以往仍旧那么活跃. 极小和极大的物理学问题都是难以对付的，然而这一新领域——思维和物质的接合部也许将被证明是新物理学中最有前途的传统. 有趣的是，当我们在新动力学描述中直接处理几率时，可以从动力学不稳定性和混沌中得到该基本问题的解答. 在这种情况中，LPS中的量子力学叠加原理失效是由于动力学不稳定性，而不必求助于任何深奥的考虑如大千世界诠释或引起宏观系统波函数编缩的新宇宙常数的存在. 我们得到了消除掉任何位于物理学之外的观测者主观愿望的真实的量子力学诠释形式.
本世纪已经被量子力学和相对论这两种新的概念性结构所统治. 人们经常强调（见M. Sachs[20]），主观因素通过测量过程的侵入将在我们想要将量子论和相对论结合在一起时引起困难. 然而，不可积动力学系统也可能使相对论变样，因为基本的动力学事件（碰撞）不再对应于瞬时和局域的时空事件.
我相信我们因而确实处在“新物理学”的开端. 迄今为止，我们的自然观都是受可积系统的理论支配的，无论是经典力学还是量子力学. 这相当于一种过分的简化. 我们周围的世界含有不稳定性和混沌，因而需要对一些基本的物理概念进行根本的修正.
让我表达我所确信的结论：将来，Poincare的不可积性定理将被视为一个转捩点，它有点类似于经典力学时期当应用于黑体辐射而导致发散时的发现. 这些发散性必须由量子论来治愈. 类似地，Poincare发散性也必须在我试图以本文中定性方式描述的意义上用动力学新形式来治愈.
鸣谢
本工作是多年来Brussels-Austin小组的工作结果. 我不可能引用所有这些成果，但我还是要特别感谢Cl. George，F. Mayne和T. Petrosky.
我们还要感谢Austin的Texas大学，Solvay研究所能源系，Welch基金会和欧共体委员会的资助.
参考文献
1． Prigogine I. and I. Stengers. Order out Chaos, Bantam Books,Inc.,（矮脚鸡图书公司），1984；（有中译本《从混沌到有序》，上海译文出版社，1987）
2． Prigogine I. and I. Stengers. Entre le Temps et Eternite, Fayard, 1988
3． Tabor M. Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics, J. Wiley, 1989
4． Nicolis G. and I. Prigogine. Exploring Complexity，W. H. Freeman, 1989 ;（有中译本《探索复杂性》,四川教育出版社，1986）
5． Coveney P. and R. Highfield. The Arrow of Time, Allen, 1990
6． 总结见[4]
7． Poincare H. Methodes de la Mecanique Celeste, Gauthier-Villars, 1892; 重印本，Dover, 1957
8． 简单说明见I. Prigogine. Non-EquilibriumStatistical Mechanics，Wiley InterScience, 1962; （有中译本《非平衡态统计力学》， 上海科学技术出版社，1984）
9． Prigogine I. From Being to Becoming :Time and Complexity in Phusical Sciences，W. H. Freeman, 1980；（有中译本《从存在到演化》，上海科学技术出版社，1986）
Balescu R. Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical Mechanics, Wiley, 1985
George Cl.,Mayne F. and I. Prigogine. Adv in Chemical Physics, 1985, 61:223
10. Petrosky T. and I. Prigogine. Physica, 1988, 147A:439
11. Hasegawa T., Petrosky T., Prigogine I. and S. Takaki. Foundations of Physics, 1991, 21:263
12. Petrosky T., Prigogine I. and S. Takaki. Physica, 1991,170A:306
13. Prigogine I., Petrosky T. and S. Takski. （待发表）
14. Prigogine I., Petrosky T. and S. Takski. Physica, A（待发表）
15. Balton G. Advanced Field Theory, Wiley TnterScience, 1963
16. Bell J. S. Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge University Press, 1987
17. “关联动力学”的思想在文献[8]中引入.
18. Hasegawa H. and B. Saphir. （待发表）
19. Davis P. (ed) The New Physics, Cambridge University Press, 1989
20. Sachs M. Einstein versus Bohr , Open Court, Illinois, 1988
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