Monday, February 16, 2015

white qm povm 每个可观测量 A 可以通过状态空间中的一个厄米算符来表示，可观测量 A 在状态的期望值（即测量结果的平均值）为。进一步的，对应于可观测量的厄米算符的所有本征态构成希尔伯特空间中的正交归一的完备函数系。

"泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而
且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是
“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概
念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。"

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泛函分析在建立量子理论的数学基础方面的不可替代作用。第一部分：泛函 ..... 所相应的是广义特征向量。当然他当时的表达 ... 出的数学上的谱可以用来解释物理学上原子的谱，因此纷纷来找希尔 .... 统计诠释、态叠加原理、Schrödinger 方程、力学量的算符表示和全 ... 在经典物理框架下，描述一个物体的状态可以用它的位置和动量.

每个可观测量 A 可以通过状态空间中的一个厄米算符来表示，可观测量 A 在状态的期望值（即测量结果的平均值）为。进一步的，对应于可观测量的厄米算符的所有本征态构成希尔伯特空间中的正交归一的完备函数系。

数学理论
1930年保罗·狄拉克出版了他的著作《量子力学原理》（Principles of Quantum Mechanics），这是整个科学史上的一个里程碑之作。狄拉克将量子力学的最重要的基础严谨地公式化，在狄拉克的理论中一个量子系统有三个主要部分：量子态、可观察量和动力学（即其发展趋势），此外物理对称性也是一个非常重要的特性。

公设
非相对论性的单粒子量子力学的数学理论基于以下公设：

一个物理系统于时间点 t 的状态可以由希尔伯特空间中的一个归一化矢量来定义。这里的希尔伯特空间指的是定义了内积的平方可积的线性矢量空间。
每个可观测量 A 可以通过状态空间中的一个厄米算符来表示，可观测量 A 在状态的期望值（即测量结果的平均值）为。进一步的，对应于可观测量的厄米算符的所有本征态构成希尔伯特空间中的正交归一的完备函数系。任意一个态矢量都可以由该算符的本征态展开。如果系统处于算符的本征态上，对应的可观测量具有唯一确定的测量值，即该本征态对应的本征值。对于任意的态，观测量的测量值是各本征值的带权平均。量子力学中的测量是不可逆的，测量后系统处于该测量值的一个特征矢量上。
位置算符和动量算符之间满足正则对易关系。由此对易关系可以确定动量算符的表达式，而所有的其他算符都可以由位置算符和动量算符表出。由算符的对易式可导出不确定性原理：两个可观察量和之间的不确定性为。
状态矢量的动力学演化由薛定谔方程表示：，在这里哈密顿算符通常对应于系统的总能量。
为了描写无法获得最多信息的量子状态物理学家创造了密度矩阵。密度矩阵包含了它所描写的系统通过测量可以获得的最多信息。

近年来数学家和物理学家才找到了一个非常广义的可观察量的数学描述，即广义量子测量（POVM）。这个理论在传统的教科书中基本上还未提到。完备正映射（completely positive maps）可以非常广泛、而且在数学上非常优美地描写量子系统的运算

学者顾世建保真率与量子相变

来源: marketreflections 于 2010-12-12 17:24:40 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读： 21 次 (3702 bytes)

回答: 古典物理学原理：古典物理的所谓质变都被归结为系统位形（Configuration）的改变，这仍要用归结为自身同一的粒子的运动由 marketreflections 于 2010-12-12 10:56:29

http://www.sciencenet.cn/blog/user_content.aspx?id=308724

学者顾世建发表于 2010-4-4 8:48:25
分类：学术科研│查看评论：4 │ 浏览：1265 打印推荐给朋友

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保真率与量子相变

量子相变是凝聚态物理中的一个重要课题。它指的是在绝对零温下，量子多体系统的物理学性质随着系统参量，如外场、相互作用等的改变而发生的质的变化。

在物理学中，我们对热力学相变相对比较熟悉。最常见的热力学相变大概是冰、水、水蒸气之间的相互转变。为了描述热力学相变，我们通常用自由能，熵等热力学函数来刻画物理学量的突变——即热力学函数在参数空间的奇异性；并由此建立了一套完整的描述（连续）相变的理论——建立在序参量基础上的对称破缺理论。当温度趋向于零的时候，自由能变为基态能量，其对系统参数的导数也变为基态能量对参数的导数。同样的，对称破缺理论也被应用到量子相变中去。豪无疑问，对称破缺理论相当成功。

但是，建立在能量（或自由能）展开基础上的对称破缺理论是否是我们理解相变的唯一窗口？答案却也是否定的。为了理解保真度与保真率在量子相变中的应用，让我们回到对于相变的原始理解。

相变相变，顾名思义，指的是一个状态到另一个状态的改变。比如，如果不用仪器，我们几乎无法区分一杯1.0摄氏度的水和另一杯3.0摄氏度的水，因为它们看起来几乎是一样的;但是一杯1.0摄氏度的水和一块-1.0摄氏度的冰，我们就可以一眼看出不同来。道理很简单，因为处在同一个相之中的两个物质状态比较接近，而分别处在两个不同相中的物理状态，不管它们在参数空间是多少接近（比如零下0.0001度冰与零上0.0001度水），它们却有着本质的区别。我们对这种状态之间的比较其实在潜意识中利用了信息学上的概念，就是保真度（fidelity）。

在经典物理中，保真度指的是物理学信息在物理演化过程中对原始信息的忠诚度。比如，在电子音箱系统中，音乐发烧友口中所谓的“高保真”指得就是经各种功率放大器处理后的音乐及视频信息与原始物理媒介所储存的信息的高度一致性。所以，保真度定义了两个状态之间的距离。在量子信息论中，保真度常常被用来描述一个量子态经过量子通道后与原始输入态之间的距离。数学上，保真度定义为两个物理状态的波函数的内积，所以也可理解为从一个状态到另一个状态的跃迁几率。这样，具体到量子相变之中，如果我们选取两个在参数空间相隔固定比较小的距离的物理状态，然后计算它们之间的保真度。我们期望保真度在同一个相之中，应该比较接近1.0 ，因为来自同一个相的两个物理状态比较接近。相反，保真度在相变点附近应该最大程度的偏离1.0，因为这时两个物理状态非常不一样（见下图）。基于这样一种理解，我们期望保真度在相变点附近会出现极小值或奇异性（后者一般出现在无限大系统中），这一点已经被许多工作证实。

另一方面，用保真度来研究相变有相当的随意性，这是因为保真度的计算依赖于两个状态在参数空间的微小距离。这时，我们可以把保真度在参数空间做级数展开

。

我们会发现它的零级项就是1，但没有一级导数。保真度级数展开式中的主导项是它的二级导数，被叫做保真率(fidelity susceptibility)。基态保真率在数学上可表示为

，

其中HI是驱动项。显然，保真率的表达式与能量的二阶导数量

在形式上非常类似。但由于其分母上的平方项，保真率在量子相变点附近表现出更加明显的奇异性。

我们知道，基态能量的二级导数表示的是能量对驱动参量一种响应；而保真率则是状态本身对驱动参量的响应。从这层意义上，保真率似乎比能量的二级导数有更加明确的物理意义，因为它直接刻画状态本身，而不是热力学函数。

到现在为止，保真率已被证实是研究量子相变的一种有效工具，也为我们理解量子相变提供了一个新的视角。

有兴趣的朋友可参考《物理》杂志上的评述性文章，
http://www.wuli.ac.cn/ch/common/view_abstract.aspx?file_no=20100301&flag=1

如果希望进一步了解保真度在量子相变的应用这个正在发展的领域，可参考另一个评述性文章：http://arxiv.org/abs/0811.3127

本文引用地址：http://www.sciencenet.cn/blog/user_content.aspx?id=308724
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