作者: mgtsai (鐵軌不是我偷的) 看板: Math
標題: Re: 請問一下"李群"......
時間: Mon Aug 22 20:16:06 2005
※ 引述《Liubae (月光下的劉玄德!)》之銘言：
: 請問一下~~
: 數學中的"李群"到底是在學些什麼呢??
: 最好需要先修過什麼科目再學李群比較好?
: 懇請各位大大答覆~~
: 感謝!!
基礎知識：
群論 (--> 一般群的基本概念，不過不用念太深，大概知道一些基本概念即可，
因為李群是連續群，與數學系課堂上所教的離散群重點不同）
線性代數 (--> 群表現／李代數，將群用矩陣的方式表達李群，
這一點在李群的實際應用上很重要)
進階知識（可有可無，有的話可以加深對李群內涵的理解）：
微分幾何 (--> 李群基本上是高維微分流形，有許多微分幾何的性質）
代數拓撲 (--> 探討李群的拓撲性質）
延伸知識（個人認為這部分的知識比進階知識更重要，
因為它提供了大量的實際應用素材以供操作與練習）
古典力學／剛體旋轉：最早所接觸的實際李群：SO(3)，
一般在大一的普通物理會講一些，但不深入，
這部分若能深入學習，可以對李群建立起一定程度的概念
電動力學／電磁場：U(1) fibre bundle / SO(3;1)
要連相對論的部分一起學
量子力學：這是才李群的重頭戲所在，從費米子的自旋 SU(2) 開始，
就是一連串的李群與李代數的實際操弄
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還有，李群的問題，可以建議你上物理板上問
以過去的經驗而言，在數學板問李群問題通常得不到什麼回答
因為李群是物理吃飯的工具
甚至連量子力學的基本假設：測不準原理，基本上就是一種李代數
所以，在物理板問李群問題，有可能會得到比較多的回答
莱昂哈德·欧拉用欧拉角（Euler
Angle）来描述刚体在三维欧几里得空间的取向。对于任何一个参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。所以，刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。换句话说，任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。
 三个欧拉角：
(α ，β，γ ) 。蓝色的轴是 xyz-轴，红色的轴是 XYZ-坐标轴。绿色的线是交点线 (N) 。
静态的定义
对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。
参阅右图。设定 xyz-轴为参考系的参考轴。称 xy-平面与 XY-平面的相交为交点线，用英文字母（Ｎ）代表。 zxz 顺规的欧拉角可以静态地这样定义:
α 是 x-轴与交点线的夹角， β 是 z-轴与Z-轴的夹角， γ 是交点线与X-轴的夹角。
很可惜地，对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规。科学家对此从未达成共识。每当用到欧拉角时，我们必须明确的表示出夹角的顺序，指定其参考轴。
实际上，有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。欧拉角方法只是其中的一种。此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义。
角值范围
α，γ 值从 0 至 2π 弧度。 β 值从 0 至 π 弧度。 对应于每一个取向，设定的一组欧拉角都是独特唯一的；除了某些例外：
两组欧拉角的 α ，一个是 0 ，一个是 2π ，而 β 与 γ 分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。 两组欧拉角的 γ ，一个是 0
，一个是 2π ，而 α 与 β 分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。
旋转矩阵
别种顺序
在经典力学里，时常用 zxz 顺规来设定欧拉角；照着第二个转动轴的轴名，简称为 x
顺规。另外，还有别种欧拉角组。合法的欧拉角组中，唯一的限制是，任何两个连续的旋转，必须绕着不同的转动轴旋转。因此，一共有 12 种顺规。例如，y
顺规，第二个转动轴是 y-轴，时常用在量子力学，核子物理学，粒子物理学。另外，还有一种顺规，xyz 顺规，是用在航空航天工程学；参阅Tait-Bryan
angles。
动态的定义
我们也可以给予欧拉角两种不同的动态定义。一种是绕着固定于刚体的坐标轴的三个旋转的复合；另外一种是绕着实验室参考轴的三个旋转的复合。用动态的定义，我们能更了解，欧拉角在物理上的含义与应用。特别注意，以下的描述,
XYZ 坐标轴是旋转的刚体坐标轴；而 xyz 坐标轴是静止不动的实验室参考轴。
A) 绕着 XYZ 坐标轴旋转：最初，两个坐标系统 xyz 与 XYZ
的坐标轴都是重叠著的。开始先绕着 Z-轴旋转α 角值。然后，绕着 X-轴旋转β角值。最后，绕着 Z-轴作角值γ的旋转。
B) 绕着 xyz
坐标轴旋转：最初，两个坐标系统 xyz 与 XYZ 的坐标轴都是重叠著的。开始先绕着 z-轴旋转γ角值。然后，绕着 x-轴旋转α 角值。最后，绕着
z-轴作角值β的旋转。
参阅欧拉角图，定义 A 与静态定义的相等，这可以直接用几何制图方法来核对。
欧拉角性质
欧拉角在SO(3)上，形成了一个坐标卡 (chart) ；SO(3)是在三维空间里的旋转的特殊正交群。这坐标卡是平滑的，除了一个极坐标式的奇点在 β =
0 。
类似的三个角的分解也可以应用到SU(2)；复数二维空间里旋转的特殊酉群；这里，β 值在 ０ 与 2π
之间。这些角也称为欧拉角。
应用
欧拉角广泛地被应用于经典力学中的刚体研究，与量子力学中的角动量研究。
在刚体的问题上, xyz
坐标系是全局坐标系， XYZ
坐标系是局部坐标系。全局坐标系是不动的；而局部坐标系牢嵌于刚体内。关于动能的演算，通常用局部坐标系比较简易；因为，惯性张量不随时间而改变。如果将惯性张量（有九个分量，其中六个是独立的）对角线化，那么，会得到一组主轴，以及一个转动惯量（只有三个分量）。
在量子力学里， 详尽的描述SO(3)的形式，对于精准的演算，是非常重要的，
并且几乎所有研究都采用欧拉角为工具。在早期的量子力学研究，对于抽象群理论方法(称为Gruppenpest)，
物理学家与化学家仍旧持有极尖锐的反对态度的时候；对欧拉角的信赖，在基本理论研究来说，是必要的。
欧拉角的哈尔测度有一个简单的形式sinβdαdβdγ
通常在前面添上归一化因子 π2 / 8 。例如，我们要生成均匀随机取向，使α，γ从 0 至 2π 均匀的选随机值；使 β = arccos(z) ， z 从 -
1 至 1 均匀的选随机值。
单位四元数，又称欧拉参数，提供另外一种方法来表述三维旋转。这与特殊酉群的描述是等价的。四元数方法用在大多数的演算会比较快捷，概念上比较容易理解，并能避免一些技术上的问题，如万向节锁
(gimbal lock) 现象。因为这些原因，许多高速度三维图形程式制作都使用四元数
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