Saturday, February 14, 2015

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欧拉角广泛地被应用于经典力学中的刚体研究,与量子力学中的角动量研究

四元数- onezeros的专栏- 博客频道- CSDN.NET

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2009年10月25日 - 所有单位四元数的集合组成一个三维球S3和在乘法下的一个群(一个李群)。S3是行列式为1的实正交3×3正交矩阵的群SO(3,R)的双重复盖,因为每两个 .... 矩阵表示,类似的例子还有对经典力学中刚体的转动的不可交换性的表述。 ... 四元数某些时候会用在电脑绘图(及相关的图像分析)上表示三维物件的旋转及方位

欧拉角

时间:2010-09-17  来源:影像园  作者:本站整理讨论】【留言


莱昂哈德·欧拉用欧拉角(Euler Angle)来描述刚体在三维欧几里得空间的取向。对于任何一个参考系,一个刚体的取向,是依照顺序,从这参考系,做三个欧拉角的旋转而设定的。所以,刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。换句话说,任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。
三个欧拉角: (α ,β,γ  ) 。蓝色的轴是 xyz-轴,红色的轴是 XYZ-坐标轴。绿色的线是交点线 (N) 。三个欧拉角: (α ,β,γ ) 。蓝色的轴是 xyz-轴,红色的轴是 XYZ-坐标轴。绿色的线是交点线 (N) 。
目录

静态的定义

对于在三维空间里的一个参考系,任何坐标系的取向,都可以用三个欧拉角来表现。参考系又称为实验室参考系,是静止不动的。而坐标系则固定于刚体,随着刚体的旋转而旋转。
参阅右图。设定 xyz-轴为参考系的参考轴。称 xy-平面与 XY-平面的相交为交点线,用英文字母(N)代表。 zxz 顺规的欧拉角可以静态地这样定义:
α 是 x-轴与交点线的夹角,
β 是 z-轴与Z-轴的夹角,
γ 是交点线与X-轴的夹角。
很可惜地,对于夹角的顺序和标记,夹角的两个轴的指定,并没有任何常规。科学家对此从未达成共识。每当用到欧拉角时,我们必须明确的表示出夹角的顺序,指定其参考轴。
实际上,有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。欧拉角方法只是其中的一种。此外,不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述,或用不同的名字表示同样的欧拉角。因此,使用欧拉角前,必须先做好明确的定义。
角值范围
α,γ 值从 0 至 2π 弧度。
β 值从 0 至 π 弧度。
对应于每一个取向,设定的一组欧拉角都是独特唯一的;除了某些例外:
两组欧拉角的 α ,一个是 0 ,一个是 2π ,而 β 与 γ 分别相等,则此两组欧拉角都描述同样的取向。
两组欧拉角的 γ ,一个是 0 ,一个是 2π ,而 α 与 β 分别相等,则此两组欧拉角都描述同样的取向。
旋转矩阵

别种顺序
在经典力学里,时常用 zxz 顺规来设定欧拉角;照着第二个转动轴的轴名,简称为 x 顺规。另外,还有别种欧拉角组。合法的欧拉角组中,唯一的限制是,任何两个连续的旋转,必须绕着不同的转动轴旋转。因此,一共有 12 种顺规。例如,y 顺规,第二个转动轴是 y-轴,时常用在量子力学,核子物理学,粒子物理学。另外,还有一种顺规,xyz 顺规,是用在航空航天工程学;参阅Tait-Bryan angles。

动态的定义

我们也可以给予欧拉角两种不同的动态定义。一种是绕着固定于刚体的坐标轴的三个旋转的复合;另外一种是绕着实验室参考轴的三个旋转的复合。用动态的定义,我们能更了解,欧拉角在物理上的含义与应用。特别注意,以下的描述, XYZ 坐标轴是旋转的刚体坐标轴;而 xyz 坐标轴是静止不动的实验室参考轴。
A) 绕着 XYZ 坐标轴旋转:最初,两个坐标系统 xyz 与 XYZ 的坐标轴都是重叠著的。开始先绕着 Z-轴旋转α 角值。然后,绕着 X-轴旋转β角值。最后,绕着 Z-轴作角值γ的旋转。
B) 绕着 xyz 坐标轴旋转:最初,两个坐标系统 xyz 与 XYZ 的坐标轴都是重叠著的。开始先绕着 z-轴旋转γ角值。然后,绕着 x-轴旋转α 角值。最后,绕着 z-轴作角值β的旋转。
参阅欧拉角图,定义 A 与静态定义的相等,这可以直接用几何制图方法来核对。

欧拉角性质

欧拉角在SO(3)上,形成了一个坐标卡 (chart) ;SO(3)是在三维空间里的旋转的特殊正交群。这坐标卡是平滑的,除了一个极坐标式的奇点在 β = 0 。
类似的三个角的分解也可以应用到SU(2);复数二维空间里旋转的特殊酉群;这里,β 值在 0 与 2π 之间。这些角也称为欧拉角。

应用

欧拉角广泛地被应用于经典力学中的刚体研究,与量子力学中的角动量研究。
在刚体的问题上, xyz 坐标系是全局坐标系, XYZ 坐标系是局部坐标系。全局坐标系是不动的;而局部坐标系牢嵌于刚体内。关于动能的演算,通常用局部坐标系比较简易;因为,惯性张量不随时间而改变。如果将惯性张量(有九个分量,其中六个是独立的)对角线化,那么,会得到一组主轴,以及一个转动惯量(只有三个分量)。
在量子力学里, 详尽的描述SO(3)的形式,对于精准的演算,是非常重要的, 并且几乎所有研究都采用欧拉角为工具。在早期的量子力学研究,对于抽象群理论方法(称为Gruppenpest), 物理学家与化学家仍旧持有极尖锐的反对态度的时候;对欧拉角的信赖,在基本理论研究来说,是必要的。
欧拉角的哈尔测度有一个简单的形式sinβdαdβdγ 通常在前面添上归一化因子 π2 / 8 。例如,我们要生成均匀随机取向,使α,γ从 0 至 2π 均匀的选随机值;使 β = arccos(z) , z 从 - 1 至 1 均匀的选随机值。
单位四元数,又称欧拉参数,提供另外一种方法来表述三维旋转。这与特殊酉群的描述是等价的。四元数方法用在大多数的演算会比较快捷,概念上比较容易理解,并能避免一些技术上的问题,如万向节锁 (gimbal lock) 现象。因为这些原因,许多高速度三维图形程式制作都使用四元数

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