引用:
原帖由 chernzy 于 2011-3-31 21:44 发表非常不同。随机积分（严格来说， Wiener 测度）是无穷维空间上的概率测度，
是的，就是轨道空间给测度做积分，这应该就是随机积分，也不知道两者有什么不同，所以不知道为什么没有严格的数学基础
如果像随机积分一样把
然而，现代物理并不依赖于这种积分的存在性。
其中积分域
[ 本帖最后由 季候风 于 2011-4-3 12:54 编辑 ]
随机积分（严格来说， Wiener 测度）是无穷维空间上的概率测度;在场论中，经典相空间一般都是无穷维空间。无穷维缺少有限维的一个重要性质，即平移旋转不变的 Lebesgue 测度的存在性
Lipschitz连续的函数几乎处处可导，而Weierstrass函数是无处可导的连续函数的例子。
音乐快递：Wiener 测度）是无穷维空间上的概率测度，并不能 ...
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Wiener 测度）是无穷维空间上的概率测度，并不能分解为概率密度和基本测度的乘积. 来源: marketreflections 于2011-10-03 11:48:39 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] ...;
Hausdorff01 一个集合的测度与它的Hausdorff测度是不相关的。 2、有理数是分形结构，但它的Hausdorff维小于1, 随机积分（严格来说， Wiener 测度）是无穷维空间上的概率测度，并不能分解为概率密度和基本测度的乘积
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2014年1月2日 - 如果空间是2维的，那么，同样的积分将给出引力场是距离r的反比 ... 音乐快递：
2014年1月2日 - 物理书上讲路径积分往往不讲测度的具体定义，而是直接从一些实例出发做 ... 音乐快递：Wiener 测度）是无穷维空间上的概率测度，并不能分解为.
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这是概率论发展史上的一个重要里程碑，为概率论的迅速发展铺平了道路[3]。柯尔莫 .... 不等式等；（2）研究无穷维线性空间和无穷维流形上的马列奥万分析与随机微分几何问题。 ... 他们严格证明了一些两维空间上统计力学模型的标度极限具有共形不变性。 ... 粒子系统与测度值过程及其遍历性研究，包括：（1）利用拟正则狄氏型理论构造 ...
[PDF]
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維納的工作對於概率是極富成效的。它不僅給老問題注入 ... 現在把定義在連續函數空間的一種描述布朗運動的測度稱為維納測度，關於這個測度的積分稱為維納積分。
问个问题，测试一下极坐标还有数鞋家不？ - 天空之城 - 幻想在线
2008年12月4日 - 11 篇文章 - 6 位作者
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（包括其它介质内）不能高于真空中的光速？因为我们不知道真空是啥
諾伯特·維納- MBA智库百科
wiki.mbalib.com/zh-tw/诺伯特·维纳
概率统计的研究与发展 - 中国科学院院刊
Lebesgue 积分的产生及其影响* - 数学进展
advmath.pku.edu.cn/CN/.../downloadArticleFile.do?...id... - 轉為繁體網頁
本世紀多才多藝和學識淵博的科學巨人：維納
159.226.2.2:82/gate/big5/mtw.kepu.net.cn/gb/.../3.../3_20_1020.htm
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Lipschitz连续的函数几乎处处可导，而Weierstrass函数是无处可导的连续函数的例子。
受教了，我原以为测度只是和积分有关系，原来和微分也有关系
- wolfking97: 回复 寂寞一生傲天穹 :Weierstrass之前很多人（包括高斯）都认为连续函数基本就可导了（这也许是因为一旦用手去画连续函数，往往都是Lipschitz的）。Weierstrass函数给出了第一个反例。事实上给定适当的测度后至少一点可导的函数在连续函数中是个零测集，就是说Weierstrass那种函数才是常态。
2015-3-24 11:27回复 - DTSIo: 回复 @wolfking97 :这个也和选取的测度有关吧，如果选Wiener测度自然是零测的，但是鉴于函数空间里没有Lebesgue测度的类似物，用测度描述疏密似乎有些不令人满意。其实最准确的刻画应该还是Baire纲吧。
2015-3-24 17:57回复 - DTSIo: 回复 @wolfking97 :并不等价。毕竟测度的定义太过任意，而在函数空间上也没有Lebesgue测度这种和线性结构相容的好测度。不过按Wiener测度的话，具有高于1/2的Holder指数的连续函数集合是零测度的。当然这只能从一个方面表示它很稀疏（比如说在实数集里就有满测度的第一纲集和零测的第二纲集）
2015-3-25 17:01回复 -
还有1条回复，点击查看
这个函数虽然不是Lipschitz的，但是在适当的条件下它还是Holder连续的，所以还是有一点点正则性的。参见Zygmund。
受教了，我原以为测度只是和积分有关系，原来和微分也有关系
群上同调论是什么？它在物理学上有什么用？
1个答案
同调（Homology）是一个很深刻的数学方法。上同调是Cohomology。可以把很多大类无限维空间的之间的联系结构抽象为有限维空间，可以解释很多对称结构，这个展开讲没边了，我说几个同调理论在物理中的应用，讲完之后再举一个简单的微积分例子解释同调的方法论。
1. 电磁场
电场可以看做微分形式(differential form)中的1-形式，磁通量可以看成2-形式。二者都属于某种函数空间中，其有限能量空间可以通过微分算子联系，而通过微分算子构成的德拉姆上同调链(de Rham complex)的同调群正好是其电磁场的介质区域的Betti数。微分揭示拓扑结构，挺神奇的。
2. 规范场
规范场和李代数（或者李群 Lie algebra/group）联系紧密。李群的上同调理论则可以揭示很多规范场中的对称结构。
3. 拓扑量子场
上同调论的精彩战场之一，不用给空间加上度量的量子场论，纯粹在拓扑空间上的抽象积分，同调理论正好不需要依赖于度量空间，某些空间的商空间是特殊酉群(SU)，很多物理现象可以用特殊酉群来描述，比如标准模型中的弱电对称。
------------------------------------------------------
同调是什么呢？简单的例子可以从3维空间里面的向量微积分Stokes定理讲起，与我刚才说过的德拉姆上同调（de Rham cohomology）有关。
最基本Stokes公式如下：
在曲面
对于向量场旋度点乘上带有法向量的积分，是包围这个曲面的曲线上这个向量场的线积分。
这个可以看做积分的牛顿-莱布尼兹公式在3维的推广。实际上我们还可以用下面非常抽象的，不依赖于度量的积分表示：
其中d是外微分算子，
是取边界。
这个广义的不依赖于度量的公式，是说流形上，微分形式的外微分的积分，可以变成流形边界上的积分。这样就把外微分和取边界联系了起来。我们可以得到下面两个de Rham链式结构：
其中
是p维光滑流形，而
是光滑的p-形式。边界每取一次，维度下降，外微分每取一次，微分形式变高一阶。
de Rham同调群的得到既可以由边界算子出发，也可以由外微分算子得到。在第一个链里面，同调群可以由对p维流形取边界的核空间模掉对(p+1)维流形取边界的相空间得到：
这个同调群的维度就是我刚才说的Betti数了。
通过另外一个微分算子的链，得到的叫上同调结构，在三维流形上，外微分d有几个比较好的性质，对0-形式的外微分d是grad（梯度），对1-形式的外微分d是curl（旋度），对2-形式的外微分d是div（散度）：
梯度场的旋度是0，旋转场的散度是0。
通过刚才第二个链结构在三维流形上构造出来的叫上同调群：
这是对p-形式取外微分的核空间模掉对(p-1)-形式的外微分的相空间。这个上同调群，竟然和刚才边界算子得到同调群结构相同！这是理论证明的结果，可以看成是一个同调群这种分析方法意外收获吧。
于是，我们还可以用同调的方法去分析传统的向量场势的构造问题，一个简单的例子就是，在一个2维环形面（有个洞）上，有一个散度0的向量场，那么我们能不能找到一个势函数，让其等于这个势的散度？当没洞的时候，微积分就可以得出结果，答案是可以。有洞的时候，这个时候借助同调群和上同调群结构相同，我们就可以很容易发现这个势其实和旋度场差了个1维空间。这个换面的例子的直接物理应用就是，可以看出空心金属圈里面的电磁环流是个什么样的场。
像下面两张图这样有复杂拓扑结构的区域里面的电磁场问题，有了用上同调群维度就是Betti数这个性质，就可以让很多麦克斯韦方程组导出的偏微分方程复杂混合边界问题里面的解的结构变得清晰起来：
---------------------------------------------------------
我自己对同调理论也是只知皮毛，希望大家查漏补缺。最后我想说的是，很多人物理或者数学博士读完了都不一定会用得到同调理论，所以大家没看懂我在说什么狗屁也完全没有关系的呀。
1. 电磁场
电场可以看做微分形式(differential form)中的1-形式，磁通量可以看成2-形式。二者都属于某种函数空间中，其有限能量空间可以通过微分算子联系，而通过微分算子构成的德拉姆上同调链(de Rham complex)的同调群正好是其电磁场的介质区域的Betti数。微分揭示拓扑结构，挺神奇的。
2. 规范场
规范场和李代数（或者李群 Lie algebra/group）联系紧密。李群的上同调理论则可以揭示很多规范场中的对称结构。
3. 拓扑量子场
上同调论的精彩战场之一，不用给空间加上度量的量子场论，纯粹在拓扑空间上的抽象积分，同调理论正好不需要依赖于度量空间，某些空间的商空间是特殊酉群(SU)，很多物理现象可以用特殊酉群来描述，比如标准模型中的弱电对称。
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同调是什么呢？简单的例子可以从3维空间里面的向量微积分Stokes定理讲起，与我刚才说过的德拉姆上同调（de Rham cohomology）有关。
最基本Stokes公式如下：
在曲面
对于向量场旋度点乘上带有法向量的积分，是包围这个曲面的曲线上这个向量场的线积分。这个可以看做积分的牛顿-莱布尼兹公式在3维的推广。实际上我们还可以用下面非常抽象的，不依赖于度量的积分表示：
其中d是外微分算子，
是取边界。这个广义的不依赖于度量的公式，是说流形上，微分形式的外微分的积分，可以变成流形边界上的积分。这样就把外微分和取边界联系了起来。我们可以得到下面两个de Rham链式结构：
其中
是p维光滑流形，而是光滑的p-形式。边界每取一次，维度下降，外微分每取一次，微分形式变高一阶。de Rham同调群的得到既可以由边界算子出发，也可以由外微分算子得到。在第一个链里面，同调群可以由对p维流形取边界的核空间模掉对(p+1)维流形取边界的相空间得到：
这个同调群的维度就是我刚才说的Betti数了。
通过另外一个微分算子的链，得到的叫上同调结构，在三维流形上，外微分d有几个比较好的性质，对0-形式的外微分d是grad（梯度），对1-形式的外微分d是curl（旋度），对2-形式的外微分d是div（散度）：
梯度场的旋度是0，旋转场的散度是0。
通过刚才第二个链结构在三维流形上构造出来的叫上同调群：
这是对p-形式取外微分的核空间模掉对(p-1)-形式的外微分的相空间。这个上同调群，竟然和刚才边界算子得到同调群结构相同！这是理论证明的结果，可以看成是一个同调群这种分析方法意外收获吧。
于是，我们还可以用同调的方法去分析传统的向量场势的构造问题，一个简单的例子就是，在一个2维环形面（有个洞）上，有一个散度0的向量场，那么我们能不能找到一个势函数，让其等于这个势的散度？当没洞的时候，微积分就可以得出结果，答案是可以。有洞的时候，这个时候借助同调群和上同调群结构相同，我们就可以很容易发现这个势其实和旋度场差了个1维空间。这个换面的例子的直接物理应用就是，可以看出空心金属圈里面的电磁环流是个什么样的场。
像下面两张图这样有复杂拓扑结构的区域里面的电磁场问题，有了用上同调群维度就是Betti数这个性质，就可以让很多麦克斯韦方程组导出的偏微分方程复杂混合边界问题里面的解的结构变得清晰起来：
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我自己对同调理论也是只知皮毛，希望大家查漏补缺。最后我想说的是，很多人物理或者数学博士读完了都不一定会用得到同调理论，所以大家没看懂我在说什么狗屁也完全没有关系的呀。
- DTSIo：话说de Rham定理说的是de Rham上同调群和相应阶数的奇异实系数上同调群（同调群的对偶）同构......如果奇异同调群是有限秩的（比如流形是紧的情况），那么自然可以知道de Rham上同调群和实系数奇异同调群同构。但是一般来讲不能得到有限秩的断言。所以中间有一段应该稍加修改。
总体来讲很清晰！不错！
- 2014-08-03 09:18 回复 - 奇异点：大神你满篇都说了些什么！我想去LHC打扫卫生。
- 2013-11-01 04:49 回复 - ZiYuan：这里面的Ker和Im是对于什么变换来说的
- 2013-06-01 04:25 回复 - Majorana：这还只是上同调。。。群上同调其实可以纯代数的来定义。
- 2013-05-28 14:12 回复 - AlephAlpha：你好像只讲了同调论，没讲群上同调论啊……
- 2013-03-24 02:25 回复 - 非乌龟：回复@狂咲丿Scarlet：应该是GTM，咔咔
- 2013-03-23 19:23 回复 - X_Deus：回复@wugui：没注意看，反正是黄色封面的，和一堆黄色封面的书放在一起。。。当时完全不知道这是讲什么的书，看词根似乎是“同类，同构”一类的意思。。。反正我是用不着了。。。类似的书架子上还有很多，都是没有中文名字的。。。
- 2013-03-23 19:19 回复 - 非乌龟：回复@狂咲丿Scarlet：是gtm的么
- 2013-03-23 19:13 回复 - 白糖糖：回复@呆头鹅：+1
- 2013-03-22 16:53 回复 - X_Deus：昨天逛书店，看到一本厚厚的书，书名就叫Homology。。。
- 2013-03-22 08:45 回复 - MathChief：回复@Sheldon：谢谢提问，pathtohappiness说的对，应该是像空间，这天杀的拼音输入法……
- 2013-03-22 06:24 回复 - pathtohappiness：回复@Sheldon：核空间的意思就是把定义域中的哪个子空间映射为零，而相空间应该是像空间吧，它说的是把整个定义域映射为值域中的哪个子空间。这样说来，ker(curl)/im(grad)的意思应该就是指无旋场构成的空间，但在此把只相差一个梯度场的两个场当作是相同的。换句话说，我们想知道有没有哪个无旋场不是某个标量场的梯度；如果有的话，有哪些。
- 2013-03-22 05:21 回复 - Sheldon：请问核空间和相空间是什么意思呢？看了你的描述，总觉得和AdS/CFT有点儿关系
- 2013-03-22 01:11 回复 - Sheldon：后面的说明看懂了八、九成！就数你讲的最明白啦。
- 2013-03-22 01:03 回复 - pathtohappiness：以前看过但觉得很不好懂，现在看到这些实例想起一点了，谢谢！
- 2013-03-21 23:27 回复 - 呆头鹅：看到最后一句，身心觉得很放松。
- 2013-03-21 22:
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