小球沿斜面和凹曲面下滑相同位移，是不是沿凹曲面一定比沿斜面快？
四分之一圆周下滑的小球时间大概是1.8√(r/g),比斜面下滑快，沿最速降线下滑也比斜面快，所以我想会不会凹曲面就一定比斜面下滑得快？那凸曲面是不是就一定比斜面下滑得慢？
1个答案
在重力作用且忽略摩擦力的情况下，一个质点在一点A以速率为零开始，沿某条曲线，去到一点不高于A的B，怎样的曲线能令所需的时间最短呢？这就是最速降线问题，又称最短时间问题、最速落径问题。在部分欧洲语言中，这个问题称为Brachistochrone，即希腊语中的“最短”（brochistos）和“时间”（chronos）。这条线段就是摆线，可以用变分学求证。
有哪些反直觉的物理现象？
2014-05-27 16:01:22来源:知乎精选
最速降线问题（Brachistochrone）
问题描述：在重力作用且忽略摩擦力的情况下，一个质点在一点
以速率为零开始，沿某条曲线，去到一点不高于
的
，怎样的曲线能令所需的时间最短呢？这就是最速降线问题，又称最短时间问题、最速落径问题。
答案：这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线。(我第一次看到这个问题的时候，直觉里觉得答案应该是以水平距离和垂直距离为半轴的椭圆的四分之一)
约翰·伯努利的证明:
费马原理说明，两点间光线传播的路径是所需时间最少的路径。约翰·伯努利利用该原理，通过假设光在光速以恒定竖直加速度（也就是重力加速度
）加速的介质中运动形成的轨迹来导出最速降线。
运用机械能守恒定律，可以导出在恒定重力场中运动的物体的速度满足：
式中
表示物体在竖直方向上下落的距离。通过机械能守恒可知，经不同的曲线下落，物体的速度与水平方向的位移无关。
约翰·伯努利注意到，根据折射定律，一束光在密度不均的介质中传播时存在一常数：
式中
为常数，
为轨迹与竖直方向的夹角，
为水平方向路径微分，
为运动方向路径微分。
通过上述方程，我们可以得到两条结论：
为了简化过程，我们假设质点（或光束）相对于原点(0,0)有坐标
- 在刚开始，当质点的速度为零时，夹角也必然是零。因此，最速降线在起始处与竖直方向相切。
- 当轨迹变为水平即夹角变为90°时，速度达到最大。
，且当下落了竖直距离
后达到了最大速度，则：
整理折射定律式中的各项并平方得到：
可以解得
对
有：
代入
和
的表达式得到：
这是一个由直径为
的圆所形成的倒过来的摆线的微分方程。
等时降线(tautochrone curve或isochrone curve)
问题描述：在重力作用且忽略摩擦力的情况下，一个质点在连接
、
两点（
点高于
点）的特定圆弧任意一点以速度为零开始，到达
点的时间均相等。
答案：该特定圆弧的解是摆线，而下滑所需的时间与摆线绕转圆的半径平方根成正比，与重力场强度的平方根成反比。
证明：
将质点放在一曲线上，则质点下滑的时间与最低点和释放点之间的长度无关。简谐运动也具有类似的性质。如果一个质点只受到一个定点方向，与两点间距离成正比的力作用，则此物体自由释放后将会做简谐运动，且无论释放点的位置，此质点作简谐运动的周期皆相同。故我们可以假设在等时降线上运动的物体与作简谐运动的物体有相似的行为，即
其中
为最低点与质点之间的弧长。假定释放时
，我们可解得：
为最低点与释放点之间的弧长，而在最低点时
，故下滑所需的时间有：
而一个沿斜面自有下滑的物体，其加速度为：
其中
为曲线与水平面之间的夹角，综合上述得：
所以
对
的变化率有：
所以有：
以及：
我们假设
以及
，得：
此方程即为一标准摆线方程，且绕转圆的半径为
。
摆线：一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹，又称旋轮线。
参数方程：
笛卡尔坐标方程（直角坐标系）：
微分方程：
摆线的性质：
1．它的长度等于旋转圆直径的 4 倍。尤为令人感兴趣的是，它的长度是 一个不依赖于
的有理数。
2．在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍。
3．圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度——事实上，在特定的地方它甚至是静止的。
4．当物体从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底部（等时降线）。
【高扬的回答(59票)】:
这个比较经典，条件是杆件不变形，重心在桌子边缘。很容易实现，要求并不苛刻。
还有在果壳上看到的一篇文章，讲解的比较详细。揭秘实验：刀尖上的平衡舞
【郭子的回答(23票)】:
泊松亮斑
在委员会的会议上泊松指出，根据菲涅耳的理论，应当能看到一种非常奇怪的现象：如果在光束的传播路径上，放置一块不透明的圆板，由于光在圆板边缘的衍射，在离圆板一定距离的地方，圆板阴影的中央应当出现一个亮斑，在当时来说，这简直是不可思议的，所以泊松宣称，他已驳倒了波动理论。菲涅耳和阿拉果接受了这个挑战，立即用实验检验了这个理论预言，非常精彩地证实了这个理论的结论，影子中心的确出现了一个亮斑。
这一成功，为光的波动说增添了不少光辉。 泊松是光的波动说的反对者，泊松根据菲涅耳的计算结果，得出在一个圆片的阴影中心应当出现一个亮点，这是令人难以相信的，过去也从没看到过，因此泊松认为这个计算结果足够证明光的波动说是荒谬的。但是恰巧，菲涅耳和阿拉果在试验中看到了这个亮斑，这样，泊松的计算反而支持了光的波动说。过了不久，菲涅耳又用复杂的的理论计算表明，当这个圆片的半径很小时，这个亮点才比较明显。经过实验验证，果真如此。菲涅耳荣获了这一届的科学奖，而后人却戏剧性地称这个亮点为泊松亮斑。 菲涅耳开创了光学的新阶段。他发展了惠更斯和托马斯·杨的波动理论，成为“物理光学的缔造者”。
【Ivony的回答(23票)】:
光速不变
不仅仅是光速不变反直觉，由于光速不变导致的洛伦兹变换和狭义相对论告诉我们不同惯性系不具备同时性，同一段距离和时间以及速度在不同惯性系看起来会不一样，唯一不变的是光速。
双缝实验
微观粒子（如电子）通过双缝时，将自己与自己干涉造成干涉条纹，此实验证明了所有微观粒子都是波粒二相性的。
不确定性
动量与位置不能同时测定，机械唯物主义宣告破产。
宇称不守恒
镜像的世界并不遵循同样的规则。
强等效原理
引力场与加速度等价，直接推论是引力将导致光线偏折。
说几个不是量子物理相对论的吧，因为量子物理和相对论里面反直觉的东西一抓一大把。
超导体
某些物体在一个较低的温度电阻将等于零。
光是电磁波
可见光是特定频率区间的电磁波。
单摆的周期是固定的
单摆的周期与振幅无关，只与摆绳的长度有关。
人眼无法区分复合色和纯色
简单说单一频率的橙色，和红色与黄色的叠加，人眼是分不出来的，看起来两个都是一样的橙色。
纸船烧水
用纸叠一个小船，装上水，放在酒精灯上烧，由于水会吸收热量，导致纸永远也到不了燃点。
【知乎用户的回答(3票)】:
第一个想到的是泊松亮斑：
由于光的衍射，当单色光照射在宽度小于或等于光源波长的小圆板或圆珠时，会在之后的光屏上出现的一个极小的亮斑。
不但反直觉还有这极反转的剧情，因为泊松亮斑的提出者泊松，是光的波动学的反对者，作为一个理性黑，他通过波动学的计算方式，得出在一个圆片的阴影中心应当出现一个亮点，他觉得这太JB扯淡了，并且认为这个计算结果足够证明光的波动说是荒谬的。
结果菲涅尔通过实验，发现了这一亮斑！
就这样，你辛辛苦苦做的用来驳斥对方的论据，反而支持了对方。
初中刚看到的时候，直接无语了，所以说实验有多重要啊。
【知乎用户的回答(9票)】:
其实个人觉得第一名的答案并不是非常反直觉。如果让大多数人凭直觉猜的话，是大概能猜出等时降线的形状的。如果联想到等时降线和间歇运动的轨迹的相似之处的话，算出曲线的方程其实是比较容易的。
在近代物理中，反直觉的现象实在太多了,而且我也不太了解 =______=. 不过经典力学中也出现过一个让我觉得比较反直觉现象：
我说的就是上面这个 Gyroscope 了。如图，这个装置可以绕着最底端的紫色 pivot 自由转动。如果图中的转盘角速度为0，那么整个装置会在自身重力下向下转动。但当转盘（图中的那个 spinning wheel）以较高的角速度我说的就是上面这个 Gyroscope 了。如图，这个装置可以绕着最底端的紫色 pivot 自由转动。如果图中的转盘角速度为0，那么整个装置会在自身重力下向下转动。但当转盘（图中的那个 spinning wheel）以较高的角速度
开始转动以后，整个装置就不会下落，而会绕着竖直方向以角速度
进动（precess）。
对于刚开始接触力学的人来说，这确实很反直觉。图中明明装置明明有「向下」（实际上这是错误的）的力矩，但为什么转盘开始高速转动以后，整个装置就不会掉下去了呢? 不过呢，这个反直觉现象形成的本质原因是人们对角速度，角动量，力矩的方向性没有直观的认识。如果对这些物理量的矢量性质有比较好的理解，这个现象也不太反直觉了。
【GeoffroyX的回答(8票)】:
朝乒乓球或纸的中间吹气，两物体向中间移动
【DanielFC的回答(7票)】:
1.牛顿第一定律
一切物体在没有受到力的作用时（或合外力为零时），总保持匀速直线运动状态或静止状态。
直觉认为，力是维持运动的原因；而这个反直觉定律成为了传统力学体系的基石。
2.普朗克量子假说
在1900年10月19日，普朗克在德国物理学会会议上根据实验数据归纳了黑体辐射能量密度分布公式。其中，这个公式中含有一个常量h，使辐射能量密度并不是连续分布的。
经典力学定律认为，能量应该是呈连续态的；即使是普朗克本人，都试图将量子说纳入经典轨道。但实际上，量子态的发现，推动了整个原子物理学的发展。
3.德布罗意波
波粒二象性不只是光子才有，一切微观粒子，包括电子和质子、中子，都有波粒二象性。
之前物理学界一直认为，波动性和粒子性只在光子中同时存在，带静质量的粒子不可能具备波动性。但1927年，柯林顿·戴维森与雷斯特·革末在贝尔实验室验证了这个反直觉的定律；1929年，德布罗意因此获诺贝尔物理学奖。
4.海森堡不确定关系
微观粒子的不确定性原理常被称为测不准原理，后来因为容易被错误理解为这个原理是测量仪器扰动粒子状态造成的结果而更名为不确定性关系。它揭示了粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应的动量。即粒子的动量和位置不能同时被确定。
日常认知一直认为，粒子运动的轨道是确定的；但海森堡不确定关系则说明了，粒子在一段时间内的运动，实质上只是模糊不清，无法观察到的轨域。
写了一大段，发现题目问的是物理现象，举的例子则是物理原理，所以我自己写的也好像有点偏题。
那最后送一个双锥体上滚的视频吧：
锥体上滚 http://v.youku.com/v_show/id_XMTc3Njg3Nzg4.html
为了方便阅读，把楼下反重力珠链的视频也再发一次吧：
神奇小实验：“悬浮”的钢珠链 http://v.youku.com/v_show/id_XNTc3MDIxNzg0.html
【知乎用户的回答(13票)】:
忽略空气阻力，羽毛和铁球同时落地
【知乎用户的回答(9票)】:
光线的路径是B图，但人眼看到的却是D图。光线的路径是B图，但人眼看到的却是D图。
【知乎用户的回答(4票)】:
孤立波。
1834年秋，英国科学家、造船工程师罗素在运河河道上看到了由两匹骏马拉着的一只迅速前进的船突然停止时，被船所推动的一大团水却不停止，它积聚在船头周围激烈地扰动，然后形成一个滚园、光滑而又轮廓分明的大水包，高度约为0.3～0.5米，长约10米，以每小时约13公里的速度沿着河面向前滚动。罗素骑马沿运河跟踪这个水包时发现，它的大小、形状和速度变化很慢，直到3～4公里后，才在河道上渐渐地消失。罗素马上意识到，他所发现的这个水包决不是普通的水波。普通水波由水面的振动形成，振动沿水平面上下进行，水波的一半高于水面，另一半低于水面，并且由于能量的衰减会很快消失。他所看到的这个水包却完全在水面上，能量的衰减也非常缓慢(若水无阻力，则不会衰减并消失)。并且由于它具有圆润、光滑的波形，所以它也不是激波。罗素将他发现的这种奇特的波包称为孤立波，并在其后半生专门从事孤立波的研究。他用大水槽模拟运河，并模拟当时情形给水以适当的推动，再现了他所发现的孤立波。现在在实验室可轻易实现。
【知乎用户的回答(2票)】:
说个数学上的：
一个实心球，切成4份，仅经过平移旋转，变成两个和原来一样大的球。
学名：塔斯基-巴拿赫分球怪论。学名：塔斯基-巴拿赫分球怪论。http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski-Banach_Theorem
理论上是对的，可惜实现不了。
【子实的回答(2票)】:
反重力珠链：
为什么将一条珠链的一端抛出，整条链子落下的时候会形成喷泉曲线？
第一次看到视频时决定特别诡异，珠链竟然可以“跃出”烧杯再下落。
【肖辉的回答(1票)】:
亲眼见过的实验，有层流实验Laminar Flow 层流展示，角动量守恒1个让你秒懂角动量守恒定律的视频，第一次见真的被吓到了
【知乎用户的回答(1票)】:
“没有见到过冰的人第一次摸的时候会感觉烫！”
致敬马尔克斯，致敬本文所有的答主，真心膜拜你们不掺一丝假意。
看，平流层有一只自由飘扬的文科狗！
【llma的回答(1票)】:
记得小时候看过的一个，说无论多大的一张纸，不可能对折超过8次。
【丁玄枫的回答(1票)】:
自行车行驶时，车轮的上半部分比下半部分转得快。
【知乎用户的回答(0票)】:
渐进自由？
原文地址:知乎
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最速降线问题
“想象一个小球，仅受重力，从点 A 出发沿着一条没有摩擦的斜坡滚至点 B。怎样设计这条斜坡，才能让小球在最短的时间内到达点 B？”
这个在数学史上被称为“最速降线”的知名问题，最早是由著名的意大利科学家伽利略（Galileo Galilei）于 1630 年提出来的。他在研究后认为最速降线应该是圆弧，但可惜的是这个答案并不是正确的。时间又过了 60 多年，1696 年 6 月，来自瑞士巴塞尔（Barsel，这座城市不仅是数学世家伯努利的故乡，也是欧拉的故乡，有一个由欧拉解决的著名数论问题就是以这座城市命名的）的约翰・伯努利（Johann Bernoulli）在《教师学报》（Acta Eruditorum）上又重新提出这个问题，并向全欧洲的数学家提出公开挑战。这个别出心裁却又十分容易理解的问题吸引了当时全欧洲的数学家，而最后给出了正确解答的人也都是数学史上赫赫有名的巨人。这也让这次挑战成为了数学史上最激动人心的一场公开挑战。
数学家之间公开挑战的传统要追溯到 16 世纪在意大利的博洛尼亚（Bologna）。16 世纪初的博洛尼亚曾是欧洲数学思想的大熔炉，全欧洲的学生都会来到博洛尼亚大学。他们甚至还“发明”了一项新的观赏运动——数学比赛。这听起来有些匪夷所思，但在当时确实有大批的观众从各地涌来，围观数学家们互相之间用数学斗法。其中最有名的一次，是在塔塔里亚（Tartaglia）和费奥（Fior）间上演的，是一场关于求出一元三次方程通解的世纪智力大战。
言归正传，在约翰・伯努利发出挑战后的半年里，他收到的唯一一份答案来自《教师学报》的主编，他的老师莱布尼茨（Gottfriend Wilhelm Leibniz）。在莱布尼茨的要求下，他将接受答案的最后期限推迟到 1697 年的复活节，以便有更多的数学家能参与到这场挑战中来。
我们都知道，过两点的直线段是两点间的最短路径。但使质点的运动时间最短的运动轨迹，却不是那么的显而易见。这个问题和以往人们见过的那些求极值的问题是有本质区别的。借助微积分，人们可以求出一个函数的极值；但最速降线问题要求的并不是某个传统函数的极值点，而是要在一簇曲线（过 A、B 两点的所有曲线）中，求出能让质点运动时间最短的那条。这是一个以函数（小球的运动轨迹）为自变量，以实数（小球运动的时间）为函数值的函数，也就是所谓的泛函。我们要求的就是这样一个泛函的极值。正如后文将要介绍的那样，这类问题形成了一个全新的数学分支——变分学。
1697 年的复活节很快就到了，约翰・伯努利一共收到了五份正确答案。这五份答案分别来自他自己，他的老师莱布尼茨，他的哥哥雅各布・伯努利（Jakob Bernoulli），他的学生洛必达（Guillaume Francois Antonie de L'Hospital），还有一位来自英国的匿名数学家。最后这份答案虽然没有署名，但显然出自赫赫有名的牛顿（Issac Newton）之手。虽然五人的解法各不相同，但他们的答案全都一样——最速降线就是摆线。
同一个答案
所谓摆线（cycloid），就是当圆沿一条直线运动时，圆周上一定点所形成的轨迹。其实当时的数学家对这种曲线并不陌生，帕斯卡和惠更斯都曾研究过这一重要的曲线。但大部分人都没有想到，这条线同时也是人们苦苦追寻的最速降线。而我们大家对摆线也不陌生。还记得小时候玩过的那种能够画出各种漂亮曲线的玩具吗？一块塑料板上开着几个圆形的大洞，还有几块较小的圆形塑料片，不同半径处留有一些孔。把这些看似普通的小圆片放进大圆孔中，再将圆珠笔插在小孔里并带动小圆片沿着大圆的圆周运动，就能在纸上留下各种美丽的曲线。这些曲线也都是摆线，只不过是另一种被称为“内摆线”（hypocycloid）的摆线。它们是由给定圆在另一个圆内运动时，圆周上一定点形成的轨迹。
不同的解法
让我们回到众人给出的最速降线的解法上。莱布尼茨、牛顿、洛比达都是用他们擅长的微积分来解决这个问题的。伯努利兄弟的解法就值得特别地说一说了。约翰的解法应该是最漂亮的解法了。他利用了费马原理（Fermat's principle），将小球的运动类比成光线的运动。费马原理又叫做“最短光时”原理，说的是光线在传播时总会选择光程极短的那条路径。那么，“最速降线”就是在光速随高度下降而增加（加速度恒为重力加速度 g）的介质里光线传播的路径。用这样的类比思想，约翰成功地算出了这条曲线就是前面提到的摆线。
这种解法出人意料地用到了费马原理，实在是太巧妙了！在物理学中，费马原理被认为是“最小作用量原理”（principle of least action）在几何光学中的特例。 而最小作用量原理则是物理学定律普遍遵循的规律，甚至被称为“物理定律的定律”。
不知你想过没有，当我们将一个小球抛出后，它为什么会沿着所谓的抛物线运动？你可能会说，因为小球只受重力作用，根据牛顿第一定律，它在水平方向上速度恒定不变；而根据牛顿第二定律，它在竖直方向上做匀变速运动。这两个运动合起来就使得小球的运动轨迹成了一条抛物线。这确实不错，但现在让我们换一个角度来考虑这个问题。从整体的角度考虑，小球在被抛出后，为什么不沿着其他的路径运动，却总是沿着抛物线运动呢？同样，我们在考察了连接小球起点和终点的所有曲线后，会发现只有在沿着抛物线运动时，小球的动能和势能的差在运动过程中对时间的积分（这就是所谓的“作用量”）才是最小的。注意，在这里我们同样是在一簇曲线中，求出一条曲线使得某个量达到极值。这种在一簇曲线中，求出某条曲线使得函数取到极值的思想就是变分的核心思想。也就是说，我们又是在用变分求泛函的极值。
再回过头来看看约翰・伯努利的哥哥——雅各布・伯努利的解法。虽然雅各布的解法相对于约翰的解法来说更复杂更麻烦，但他的解法更具有一般性，体现了变分的思想。约翰的学生，伟大的数学家欧拉吸收了这一思想，并从 1726 年开始发表相关的论文，最终于 1744 年首先给出了这类问题的解法，并创立了变分学这一新的数学分支。投资者用它来计算最大利润，工程师用它来计算最小损耗，建筑师用它来优化架构。它成为了微积分理论中最强大的工具之一。
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