样才能保证向心力的存在符合事实.类似的当曲面
向外突出时候所得到结果应该是
mgcosθ-FN =mv2
R
所得到的元功为
ΔW =μmgΔscosθ-μmv2Δs
R
对整个弧长累加的结果是得到功比沿斜面下滑滑动
摩擦力做的总功要少.以前结果是我们在直线下滑
时进行了理想处理认为在任意一个转角处没有机械
能损耗,实际上速度的改变是需要力的作用,这样就
导致用直线逼近曲线的结果与直接用曲线求得的结
果存在一定的差异.因此,W1 >W2,正确结论为A.
PDF]常见直线与曲线比较问题的深度分析 - 北仑明港高级中学
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1 相同位移无初速度曲面与斜面下滑快慢比较. 如图1所示, ... 等),如图2(a),必然是曲线运动下滑的时间比直线. 下滑的 .... 所示,对小球受力分析,对小球沿着水平方向再次应 ... 对整个弧长累加的结果是得到功比沿斜面下滑滑动 ... 果存在一定的差异.轉為繁體網頁
进行曲线进行分割用微元法求解相应问题的
时,任意曲线运动应该用一系列的圆形进行逼近,这
样才能保证向心力的存在符合事实.类似的当曲面
向外突出时候所得到结果应该是
mgcosθ-FN =mv2
R
所得到的元功为
ΔW =μmgΔscosθ-μmv2Δs
R
对整个弧长累加的结果是得到功比沿斜面下滑滑动
摩擦力做的总功要少.以前结果是我们在直线下滑
时进行了理想处理认为在任意一个转角处没有机械
能损耗,实际上速度的改变是需要力的作用,这样就
导致用直线逼近曲线的结果与直接用曲线求得的结
果存在一定的差异.因此,W1 >W2,正确结论为A.
“最速降线”摆线等时性 就是在光速随高度下降而增加（加速度恒为重力加速度 g）的介质里光线传播的路径。用这样的类比思想，约翰成功地算出了这条曲线就是前面提到的摆线。
数学变分法最速降线求解和摆线等时性_土豆_高清视频在线观看
摆线_百度文库
wenku.baidu.com/view/f813582acfc789eb172dc811.html
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2010年11月19日 - ... 原理最速降线摆线的定义摆线别称及原因摆线的性质摆线参变量方程摆线的 ... 时，若沿着A，B 间的摆线，滑落所需时间最短，因此摆线又称最速降曲线。 ... 瓦里斯，
wenku.baidu.com/view/f813582acfc789eb172dc811.html
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数学变分法最速降线求解和摆线等时性_视频在线观看- 56.com
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2008年9月6日 - 数学变分法最速降线求解和摆线等时性. ... 发布时间. 视频时间. 时间倒序. 发布顺序. 发布时间. 加载中. 发送. 首页> 科教> ...
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最速降线问题 - 中华数学竞赛网 - 圣才学习网
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2012年7月24日 - 因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线（旋轮线）又称等时曲线。 数学家十分关注最速降线问题，大数学家欧拉也在1726年开始发表 ...
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最速降线 - 文档检索 - 维普网
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组合机床的发展及概念自控线王茂伟 分享者:kehai 时间:2014-06-03 关键词:组合 ... 中的海伦”，在物理中称为“最速降线”。摆线是一类重要的曲线，齿轮的齿的纵断面、 ...
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一小球在大碗里向下滚动，它是在上面滚得快，还是在下边滚 ...
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按投票排序 按时间排序 ... 雷鸣、翁武、知乎用户 等人赞同 ... 1) 如果大碗的横截面是一个最速降线(摆线_百度百科)，在条件1成立的前提下，可以看作是小球在一根
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模式识别与人工智能 - 北京玛格泰克科技发展有限公司
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数学家集体相，看你能认出多少大牛来 - Matrix67.com
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拟常曲率黎曼流形的有关性质- 中国学术期刊网络出版总库
222.91.161.204:8080/grid2008/brief/detailj.aspx?...
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融合李群理论与特征子空间基的图像目标跟踪-Image object ...
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复活节闲扯：一场激动人心的数学公开挑战赛| 科学人| 果壳网 ...
www.guokr.com/article/22018/?page=5
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部分讨论的汇集_流形_782_新浪博客
blog.sina.com.cn/s/blog_647e8a1a0100gr12.html
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最速降线问题
“想象一个小球，仅受重力，从点 A 出发沿着一条没有摩擦的斜坡滚至点 B。怎样设计这条斜坡，才能让小球在最短的时间内到达点 B？”
这个在数学史上被称为“最速降线”的知名问题，最早是由著名的意大利科学家伽利略（Galileo Galilei）于 1630 年提出来的。他在研究后认为最速降线应该是圆弧，但可惜的是这个答案并不是正确的。时间又过了 60 多年，1696 年 6 月，来自瑞士巴塞尔（Barsel，这座城市不仅是数学世家伯努利的故乡，也是欧拉的故乡，有一个由欧拉解决的著名数论问题就是以这座城市命名的）的约翰・伯努利（Johann Bernoulli）在《教师学报》（Acta Eruditorum）上又重新提出这个问题，并向全欧洲的数学家提出公开挑战。这个别出心裁却又十分容易理解的问题吸引了当时全欧洲的数学家，而最后给出了正确解答的人也都是数学史上赫赫有名的巨人。这也让这次挑战成为了数学史上最激动人心的一场公开挑战。
数学家之间公开挑战的传统要追溯到 16 世纪在意大利的博洛尼亚（Bologna）。16 世纪初的博洛尼亚曾是欧洲数学思想的大熔炉，全欧洲的学生都会来到博洛尼亚大学。他们甚至还“发明”了一项新的观赏运动——数学比赛。这听起来有些匪夷所思，但在当时确实有大批的观众从各地涌来，围观数学家们互相之间用数学斗法。其中最有名的一次，是在塔塔里亚（Tartaglia）和费奥（Fior）间上演的，是一场关于求出一元三次方程通解的世纪智力大战。
言归正传，在约翰・伯努利发出挑战后的半年里，他收到的唯一一份答案来自《教师学报》的主编，他的老师莱布尼茨（Gottfriend Wilhelm Leibniz）。在莱布尼茨的要求下，他将接受答案的最后期限推迟到 1697 年的复活节，以便有更多的数学家能参与到这场挑战中来。
我们都知道，过两点的直线段是两点间的最短路径。但使质点的运动时间最短的运动轨迹，却不是那么的显而易见。这个问题和以往人们见过的那些求极值的问题是有本质区别的。借助微积分，人们可以求出一个函数的极值；但最速降线问题要求的并不是某个传统函数的极值点，而是要在一簇曲线（过 A、B 两点的所有曲线）中，求出能让质点运动时间最短的那条。这是一个以函数（小球的运动轨迹）为自变量，以实数（小球运动的时间）为函数值的函数，也就是所谓的泛函。我们要求的就是这样一个泛函的极值。正如后文将要介绍的那样，这类问题形成了一个全新的数学分支——变分学。
1697 年的复活节很快就到了，约翰・伯努利一共收到了五份正确答案。这五份答案分别来自他自己，他的老师莱布尼茨，他的哥哥雅各布・伯努利（Jakob Bernoulli），他的学生洛必达（Guillaume Francois Antonie de L'Hospital），还有一位来自英国的匿名数学家。最后这份答案虽然没有署名，但显然出自赫赫有名的牛顿（Issac Newton）之手。虽然五人的解法各不相同，但他们的答案全都一样——最速降线就是摆线。
同一个答案
所谓摆线（cycloid），就是当圆沿一条直线运动时，圆周上一定点所形成的轨迹。其实当时的数学家对这种曲线并不陌生，帕斯卡和惠更斯都曾研究过这一重要的曲线。但大部分人都没有想到，这条线同时也是人们苦苦追寻的最速降线。而我们大家对摆线也不陌生。还记得小时候玩过的那种能够画出各种漂亮曲线的玩具吗？一块塑料板上开着几个圆形的大洞，还有几块较小的圆形塑料片，不同半径处留有一些孔。把这些看似普通的小圆片放进大圆孔中，再将圆珠笔插在小孔里并带动小圆片沿着大圆的圆周运动，就能在纸上留下各种美丽的曲线。这些曲线也都是摆线，只不过是另一种被称为“内摆线”（hypocycloid）的摆线。它们是由给定圆在另一个圆内运动时，圆周上一定点形成的轨迹。
不同的解法
让我们回到众人给出的最速降线的解法上。莱布尼茨、牛顿、洛比达都是用他们擅长的微积分来解决这个问题的。伯努利兄弟的解法就值得特别地说一说了。约翰的解法应该是最漂亮的解法了。他利用了费马原理（Fermat's principle），将小球的运动类比成光线的运动。费马原理又叫做“最短光时”原理，说的是光线在传播时总会选择光程极短的那条路径。那么，“最速降线”就是在光速随高度下降而增加（加速度恒为重力加速度 g）的介质里光线传播的路径。用这样的类比思想，约翰成功地算出了这条曲线就是前面提到的摆线。
这种解法出人意料地用到了费马原理，实在是太巧妙了！在物理学中，费马原理被认为是“最小作用量原理”（principle of least action）在几何光学中的特例。 而最小作用量原理则是物理学定律普遍遵循的规律，甚至被称为“物理定律的定律”。
不知你想过没有，当我们将一个小球抛出后，它为什么会沿着所谓的抛物线运动？你可能会说，因为小球只受重力作用，根据牛顿第一定律，它在水平方向上速度恒定不变；而根据牛顿第二定律，它在竖直方向上做匀变速运动。这两个运动合起来就使得小球的运动轨迹成了一条抛物线。这确实不错，但现在让我们换一个角度来考虑这个问题。从整体的角度考虑，小球在被抛出后，为什么不沿着其他的路径运动，却总是沿着抛物线运动呢？同样，我们在考察了连接小球起点和终点的所有曲线后，会发现只有在沿着抛物线运动时，小球的动能和势能的差在运动过程中对时间的积分（这就是所谓的“作用量”）才是最小的。注意，在这里我们同样是在一簇曲线中，求出一条曲线使得某个量达到极值。这种在一簇曲线中，求出某条曲线使得函数取到极值的思想就是变分的核心思想。也就是说，我们又是在用变分求泛函的极值。
再回过头来看看约翰・伯努利的哥哥——雅各布・伯努利的解法。虽然雅各布的解法相对于约翰的解法来说更复杂更麻烦，但他的解法更具有一般性，体现了变分的思想。约翰的学生，伟大的数学家欧拉吸收了这一思想，并从 1726 年开始发表相关的论文，最终于 1744 年首先给出了这类问题的解法，并创立了变分学这一新的数学分支。投资者用它来计算最大利润，工程师用它来计算最小损耗，建筑师用它来优化架构。它成为了微积分理论中最强大的工具之一。
《数理同源》-3-哪条路径最快？
精选
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2. 哪条滑梯最快？
谁都见过儿童乐园的滑梯。滑梯有各种各样的形状，孩子们从上面飞速滑下，不亦乐乎！但你是否想过：什么形状的滑梯，才能使得滑动者到达地面的时间最短呢？这实际上是一个著名的数学问题，微积分方法的出现促成了它的解决，并由此而开拓了一门与物理学紧密联系的新的数学分支：变分法和泛函分析。
别着急，且听我们慢慢道来，先从微积分建立之后，欧洲两位数学家：伯努利兄弟之争说起。
瑞士的伯努利家族是世界颇负盛名的科学世家，出了好几个有名的科学家，驰骋影响学界上百年。学物理的人都知道流体力学中有一个著名的伯努利定律，说的是有关不可压缩流体沿着流线的移动行为，由丹尼尔•伯努利（DanielBernoulli，1700－1782）提出。丹尼尔的父亲和伯父则都是他们那个时代著名的数学家。
有意思的是，伯努利家族这几个科学家之间，相处得并不和谐。互相在科学成就上争名夺利、纠纷不断。尤为后人留下笑柄的是丹尼尔的父亲约翰•伯努利【1】。
约翰•伯努利（JohannBernoulli，1667-1748）和他的哥哥雅各布•伯努利（JakobI. Bernoulli，1654-1705）都为微积分的发展作了杰出贡献。约翰进入巴塞尔大学时，比他大13岁的雅各布已经是数学系教授，因此，约翰向大哥学习数学。两人既是兄弟手足，又是导师和学生的关系。
约翰天资聪明，拜大哥为师的两年之后，数学能力就达到了与哥哥能一比高低的水平。没想到智力水平的高低并不等价于人品和修养的高低，约翰不服雅各布，雅各布却仍然将弟弟看成一个学生，两兄弟之间逐渐形成了一种不十分友好的竞争状态。约翰十分妒忌雅各布在巴塞尔大学的崇高地位，于是，无论在私底下，还是在大庭广众中，两人经常互相较劲。不过，世人可以不齿于他们互相嫉妒诋毁的人格，却不能否认他们这种竞争较劲的状态，还算有利于学术。从下面的几个例子，便是对以上说法的佐证。
那个时代的欧洲数学家，有一股互相出难题来挑战学术界的风气。1691年，哥哥雅各布建议数学家们研究悬链线（Catenary）问题，也就是两端固定的绳子（或链条）由于重力而自由下垂形成的曲线到底是个什么形状的问题。这个问题现在看起来简单，但在微积分和牛顿力学尚未建立以及刚刚建立的年代，却是不容易解决的。伽利略在1638年就曾经错误地猜测悬链线是抛物线，后来（1646年），17岁的少年惠更斯证明了悬链线不是抛物线。但不是抛物线，又是什么线呢？它的方程是怎么样的？当时谁也不知道答案。悬而未决的悬链线问题在等待着微积分的到来【2】！
图1：悬链线和方程
雅各布收到了好几个答案，其中包括萊布尼茨、惠更斯以及他的弟弟约翰•伯努利。他们成功地用微积分解决了这个问题，证明了悬链线是如图1中所示的公式所描述的双曲余弦函数。因为这个问题的成功，骄傲自负的约翰得意非凡，认为这是他在兄弟之争中的辉煌胜利，并更加瞧不起这个他认为“愚笨”的哥哥。约翰在多年后写给朋友的一封信中，还津津有味地描述了当时掩饰不住的“赢了哥哥”的狂喜心态【3】：
“我哥哥对此问题的努力一直都没有成功，最后却被我解决了。我不是想自夸，但我为什么要隐瞒真相呢？在我找到答案后第二天早上，狂奔到我的兄弟那儿，看到他还在为此而苦苦挣扎。他总是像伽利略那样傻想，认为悬链线可能是抛物线。我兴奋激动地告诉他，错了，错了！抛物线是代数曲线，悬链线却是一种超越曲线transcendentalcurve……”
其实，雅各布的数学成就并不逊色于弟弟，他活得没有弟弟长，50岁就去世了。约翰活到了80岁。雅各布短短的学术生涯中，对微积分及概率论作出很多贡献，其中最为众人所知的是“大数定律”。此外，数学中有许多以伯努利命名的术语，其中十几个都是雅各布的功劳。
1696年，約翰也对欧洲数学家提出了一个挑战难题，那就是著名的最速降落轨道（Brachistochrone curve）问题，也就是我们在本节开头所问的“哪条滑梯最快？”的问题。
假设A和B是地面上高低不同（A不低于B）左右有别的两个点，如图2左图所示。一个没有初始速度的小球，在无摩擦力只有重力的作用下从A点滑到B点。从A到B的轨道可以有很多很多，各自有不同的形状和长短，见图2中间一图。问题是：这其中的哪一条轨道，将使得小球从A到B的时间最短？
如果问的是距离最短，大家在直观上都知道答案是直线，但现在是要你求出所花时间最短的曲线，直观就不太顶用了。有人估计约翰自己当时已经得出了这个问题的答案，而提出这个问题的目的之一是挑战牛顿，其二则是奚落自己的哥哥。奚落雅各布是约翰的嫉妒心所致，为啥又要挑战牛顿呢？原因是在牛顿与萊布尼茨对微积分发明权的争夺战上，约翰是始终坚定地站在自己的老师萊布尼茨一边的。
约翰原来规定答案必须在1697年1月1日之前寄出，后来在萊布尼茨的建议下，将期限延长至复活节。期限延长后，为了确保牛顿得知此事，约翰亲自将问题单独寄了一份给他。牛顿毕竟是大师，当时已经年过半百，正在繁忙于他的改铸新币的工作，自己也承认脑瓜子已经大不如年轻时机敏。但无论如何，据说牛顿在下午4点钟收到邮件后，仅仅用了一个晚上便解决了这个问题【4】，并且立即匿名寄给了约翰。这使约翰大为失望，因为他自己解决这个问题花费了两个星期的时间。虽然牛顿未署真名，约翰仍然猜出了是他，并且也不得不佩服地说：“我从利爪认出了雄狮！”（Irecognize the lion by his paw）。复活节时，约翰共收到五份答案：除了约翰自己和牛顿的之外，还有莱布尼兹、法国的洛必达侯爵、以及他的哥哥雅各布。
图2：最速落径问题
最速落径问题被视为数学史上第一个被仔细研究的变分问题，它导致了变分法的诞生，之后更开辟出泛函分析这一崭新广阔的数学领域。
变分法是什么？它和原始的微积分思想有何异同点？
有了微积分之后，人们学会了处理函数的极大值极小值问题。比如，当我们研究上抛物体所形成的抛物线轨道时，物体能到达的最高点便对应于抛物线的极大值。用微积分的语言来描述，极大极小值，和鞍点，都是曲线上函数y（抛出物体的高度）对自变量x（抛出物体的水平位移）的一阶导数为0的点。变分法处理的也是极值问题，不同的是，变分法的自变量不是一个变数x，而是一个变动的函数y（x）。比如说在上述的最速落径问题中问的是，从A到B的各种轨道（即图2中间图中的各种曲线），即各种函数y（x）中，哪一条轨道能使得下滑的时间最短？在这儿，需要求极值的函数是“下滑的时间”，自变量呢，则是在端点A和B固定了的所有“函数”。也就是说，变分法要解决的是“函数的函数”的极值问题。数学家们将这种“函数的函数”称为“泛函”，而变分之于泛函，便相当于微分之于函数。
回到当初约翰提出最速落径问题后收到的五份答案。尽管牛顿的才能使约翰沮丧，他仍然得意地认为自己的方法是所有答案中最简洁漂亮的，而认为他哥哥雅各布的方法最笨最差。牛顿等其余三人用的是微积分方法，在此不表。伯努利弟兄方法的差别何在呢？
约翰的答案简洁漂亮，是因为他借用了光学中费马的光程（或时间）最短原理。法国数学家费马（Fermat，Pierrede，1601-1665）是个很奇怪的学者，他是法院的法律顾问，算是个业余数学家。他的特点是不怎么发表著作，经常是只在书的边缘处写下一些草率的注记，或者是偶然地将他的发现写信告诉他的朋友。现在看来，即使是这种草率注记中的三言两语，已经使世人震撼忙碌不已，要是费马正儿八经地专门研究数学，那还了得？例如，1637年，费马在阅读《算术》一书时，曾写下注记：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下……”。就是这一段短短的注记，后来被称之为“费马大定理”的猜想，就困惑了数学家们整整358年！
言归正传，费马研究光学时发现，光线总是按照时间最小的路线传播。这个原理，是几何光学的基础，可以从后来的惠更斯原理推导出来。事实上，费马原理现代版的更准确表述应该是：光线总是按照时间最小、或最大、或平稳点的路线传播。换言之，光线传播的经典路径是变分为0的路径。所以事实上，有关光线传播的费马原理应该算是变分法的最早例子，但在当时，人们尚未认识到这点，也没有进行详细的理论研究。
约翰·伯努利毕竟脑瓜子灵活，将费马原理信手拈来，把小球在重力场中的运动类比于光线在介质中的传播，导出了最速落径问题中那条费时最短的路径所满足的微分方程。这个微分方程的解，实际上就是同时代的惠更斯曾经研究过的“摆线”（沿直线滚动的圆的边界上一点的轨迹）。或者说，最速落径就是倒过来看的摆线，见图2中的右图。
约翰很得意地将最速落径问题中的物体类比于光线，貌似轻而易举地解决了问题，也得到了正确的答案（图3a）。用现代物理学对光的理解来审查约翰的解法，光和物体的确可以类比。但在当时，约翰的方法恐怕只能算是一种投机取巧，因为他完全没有证据来说明这种做法的正确性。
雅各布·伯努利的方法虽然被约翰看不上，认为太繁复，但却在繁复的推导中闪烁出新的变分思想的光辉。雅各布没有使用像现成的费马原理这类的东西，而是从重力运动下小球遵循的物理和几何规律来仔细推敲这个问题。他首先假设小球是沿着一条时间最短的路线下滑的，然后考虑：如果在某个时刻，小球的路线稍微偏离了这条时间最短的路线，走了别的什么路径的话，会发生什么情况呢（图3b）？大家可以注意到，上述雅各布的做法已经是一种变分的思想，因为他是在考虑所有微小偏离路径中使得时间最小的那个偏离。然后，雅各布用二阶导数的方法证明了，在这种情形下，为了使小球继续走时间最短的路，它的路线的微分偏离量，dx和dy，应该满足的方程，就正好是摆线所满足的微分方程。
图3：（a）约翰使用折射定律（b）雅各布用二阶导数的分析方法
从图3中可粗略看出，约翰简单地使用费马折射定律，雅各布用考虑二阶导数的“繁琐”方法，最后都导致了同样的公式，即图3a和图3b中间的方程，解决了最速落径问题。
简单之美的确诱人，但从上面的故事也悟出一个道理：外表简洁漂亮的未必见得正确，繁复冗长的功夫也可能并没有白费。
伯努利兄弟的你争我斗推动了变分法和泛函分析的发展。没过几年，哥哥雅各布就去世了。看来，约翰是过不了没有竞争对手的日子，他继而又把对雅各布的嫉妒心转移到了自己的天才儿子丹尼尔•伯努利的身上，据说他为了与儿子争夺一个奖项把丹尼尔赶出了家门，后来还窃取丹尼尔的成果据为己有。约翰与另一位数学家洛必达之间也有一段纷争，因为众所周知的“洛必达法则”，实际上是约翰·伯努利发现的。约翰曾经被洛必达以一纸合约聘请为私人数学老师，洛必达并非有意剽窃伯努利的成果，但伯努利为此久久不能释怀。更多的故事不在这儿讲，只付诸一笑。
图3的公式推导见附件：
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