Pareto’s law,不能说理想气体（id eal gas）模型没有价值，也不能说帕累托－莱维分布过于理想化而没有实用价值一样

   首先建立了非线性经济系统的一般模型，并对非线性经济系统进行了分类，在此基础上分别对离散型和连续型非线性经济系统的宏观状态演化和微观机制的关系进行了探讨，得到了具有一般意义的结论，然后将这些结论应用于完全垄断、寡头垄断、不完全竞争和完全竞争经济系统的分析中，讨论了在非线性经济系统中竞争与合作共存、宏观状态出现统计周期性的条件，提出了非线性经济系统的统计预测方法，并将这些理论和方法初步应用于分析计算机互联网中竞争与合作共存的情形，负幂律分布是非线性经济系统宏观状态与微观机制关系的一种定量描述，在论文的最后，应用分形理论，研究了负幂律分布的形成机制，并将得到的结论应用到收入分布的分析之中。

 

分形之父芒德勃罗（3） 发布时间： 2013/5/24 10:10:43 被阅览数： 106 次 来源： 哲学网

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4．进出经济学     现在查到芒德勃罗一共发表18篇经济学论文（也许会有几篇的出入），发表时间集中在1959年至1973年。综观芒氏的论文和专著，他只关心一个核心的经济问题——收入分布以及与之有关的价格问题。据他本人讲，他对经济学中的帕累托（Vilfredo Pareto,1848—1923）分布的研究从1957年在哥伦比亚大学和康奈尔大学的时期就开始了，然后在法国里尔大学和综合工科学校继续了这项工作。1973年以后他义无返顾地离开了经济学，专心发展“分形几何学”。与在其他学科一样，经济学界并没有轻易接受他的非正统观点，但芒德勃罗已经得到自己想得到的东西，他并不在乎经济学界当时能否承认他。     芒德勃罗的经济学研究在经济学团体内引起过两次巨大风波，一次是在60年代末，一次是在80年代末。第一次是因为芒氏的观点攻击了当时占支配地位的计量经济学和资产定价理论，第二次是因为芒氏在非线性动力学运动中出尽风头，经济学家受“混沌”的影响，间接评论了芒氏的早期研究工作。两次反响的主流都是怀疑芒氏的理论和方法，即使有一些人受芒氏论文的激励，转而注意自己未曾考虑的方面，也不相信芒氏的理论。     芒德勃罗最早关注经济学问题是从关于收入分配的帕累托定律（Pareto’s law）开始的，这个定律的形式颇像他在语言学词频分布中注意到的齐普夫定律（G.K.Zipf’s law）。意大利经济学家帕累托曾专门分析过收入分布数据，他发现收入分布具有如下特点：收入水平越高，则收入高于这一水平的人口越少。他当时认定收入分布对于人为干预是不变的。芒德勃罗的经济论文发表后，经济学界不以为然。正统经济学家认为数据拟合得并不佳，并且认为芒氏的理论需要微观证据。芒德勃罗看重的不是数据拟合到何种程度， 而是收入分布的长时尾（fattai-ls）现象在尺度变换下具有不变性，即个人收入分布、厂商尺度的收入分布和城市尺度的收入分布都具有这样的“尾巴”。“长时尾”现象暗示存在一种非高斯意义上的稳定分布。芒德勃罗熟悉他老师莱维的工作，立即将它与莱维的“稳定分布”联系起来。     简单说来，稳定分布的含义是，多个独立同分布随机变量序列经过适当的线性总和后，其分布仍然保持不变。稳定分布是无穷可分的，对应于稳定分布的随机过程是稳定过程。稳定分布是比正态分布更广泛的一类分布，其中包含了正态分布。标准正态分布与正态分布都是稳定分布，柯西分布也是一种稳定分布，除此之外还有没有别的重要的稳定分布呢？这正是芒德勃罗急于思考的。     芒德勃罗的经济模型中具有尺度变换下的“不变性”，他认为这十分关键，仅仅凭这一点就值得认真研究。他认为负幂律分布是除了高斯正态稳定分布外最简单、最值得考虑的一种稳定分布。它就像玻意耳（Boyle）的气体模型一样，可能与实际有些差别， 但它是一种重要类型，一种简单的理想情况，只有研究清楚了这种理想情况，才能推而广之从而考虑更复杂的情形。正如我们不能说理想气体（id eal gas）模型没有价值，也不能说帕累托－莱维分布过于理想化而没有实用价值一样。从这种意义上看，经济学界对他的反驳其实均不构成威胁。芒德勃罗是从逻辑分类的角度、从数学可能性的角度思考问题的，其模型撇开经验事实仍然具有理论价值。实际上1963年洛仑兹（Edward Lorenz,1917—）的《确定性非周期流》一文（在非线性科学史上具有重要地位）也具有此性质，洛仑兹方程只是大气运动的一种极度的理论抽象和简化，它甚至可以与实际的大气运动无关，但仍然具有重要理论意义和间接的实际意义。也正因为如此，芒德勃罗与洛仑兹的理想模型的应用也就不限于什么经济学或者气象学，而具有普遍性，可以扩展到相当多的学科。芒德勃罗实际上也是这样做的，他不久后就将莱维稳定过程用于湍流研究，特别强调了“莱维飞行”，现在看来他的确是先行者，历史将公正地记录下他的先驱性工作。     以棉花价格波动为例来讲，芒德勃罗的理论的特点在于，它不是考虑在某一个特定层次产生价格变动的规律，而是跨越层次，寻求尺度变换下的不变性。棉花价格是一种理想的数据源，经济学家对其变动的传统看法是，短期变化与长期变化没有关联，由快涨落导致的瞬间价格变化是随机的，而长期的价格波动是由于显然的宏观经济形势和战争之类重要事件决定的。因此传统经济学处理此问题的办法是，在确定性的过程中加上随机的噪声。芒德勃罗却把不同层次统一起来，发现日变化曲线与月变化曲线的一致性。对于股票价格，他也作了类似的分析。这未必是最好的理论方法，但至少是一种可能的理论方法，而以前人们确实忽视了它。但经济学界由于长期习惯于自己那一套思路，对芒氏的做法自然有反感，攻击他的最好办法就是指出其曲线拟合不理想。     在研究股票价格变化中，芒氏极为反对“价格连续变化”的模型，认为这种照搬牛顿力学于经济学不济于事。在经济系统中，小的连续变化可以引起突然的不连续变化。基于这种考虑他否定了滤波预测方案和各种人为凑出高斯分布的办法。在经济学研究中他提出了标度原理。     设X（t）为价格，logX（t）是独立增量过程，即logX（t＋d ）－logX（t）具有独立于d的分布，其中只需引入一个标度因子。芒氏立即想用此模型得出一些有意义的结果，但首先要面对的是这种模型的奇怪性质（实际上这竟是他所期望的）。芒氏大胆地假设logx（t＋d ）－togx（t）“无穷方差”！他第一次用符号V表示方差。以前人们想当然地假设方差是有限量，发散的情况根本不予考虑，也不应该考虑。用芒氏语言讲，人们似乎患了“无穷方差综合症”。具有反叛色彩的芒氏假定V＝∞自有他的考虑：“不用说，假定υ＝∞的成功后果是， “我就很容易使曲线具有无穷长度、曲面具有无穷面积。”于是后来提到的“英国海岸线长度”、皮亚诺曲线填充、柯赫雪花曲线长度等问题都有了理论基础，当然其他思想渊源也曾帮助他得到了那些结果。但作者认为，海岸线问题是后来的事。那时他已经有了基本结论，他不断翻阅数学“故纸堆”，也不断发现一些阐述得更佳的论述，但这些新发现的材料当初对于他形成基本的分形思想并未产生影响。在撰写专著时，他当然要重新规划，以一种更直接、更通俗、更符合逻辑顺序（发现过程并不符合通常的逻辑）的方式叙述出来，甚至更多的是考虑读者的反应。     到了80年代经济学界受非线性动力学的影响不得不对芒氏的早期研究作出评介，在此之前克拉克（P.Clark ）的博士论文以及后来的自回归条件异方差（ARCH）、广义自回归条件异方差（GARCH ）模型回避了芒德勃罗开创的路线，仍然假设噪声服从于一种基本的高斯分布，但有一个变化的二阶矩。他们的文章引用了芒氏的假设，但设法避免那类假设。但这种处理方法仍然没有逃出分数阶自回归滑动平均（ARIMA ）的套路。到后来，许多经济学家更多地采用GP关联积分算法求时间序列的分维数，用BDS统计（Brock—Dechert—Scheinkman 三人在关联积分的基础上发明的）检查经济系统中是否存在非线性结构。但是正如米诺夫基指出的，经济学界的这些人物并没有认真吸收芒德勃罗的思想，而是应付、回避矛盾，他们既排斥莱维稳定分布也排斥混沌。芒德勃罗早已摒弃了“不是决定论就是随机论”的两极化选择，他认为经济现象比较复杂，应当用更精致的随机过程或者混沌动力学描述，应当放弃牛顿经典力学的套路：由原子运动推出一切。本质上在经济学问题上芒德勃罗采用的是一种类似统计物理／热力学的现象学的方法，这一性质还未被经济学界深入理解。     当芒德勃罗离开经济学时，他得到了什么？他似乎高兴地带走了价格变动的自相似观点、标度律的观点，以及一种似乎无人注意但有着各种潜在应用价值的“莱维稳定分布”。 這是 http://js.nclass.org/ec-webpage-show/filePreview?filePath=class(2009-2010-2)-252741-weihua_zhu@163.com-1/bbs/1292982080984@59749.doc 的 HTML 檔。 G o o g l e 在網路漫遊時會自動將檔案轉換成 HTML 網頁。 读《电学计量技术发展综述》有感 文中提到了电学中很重要的一个概念量子基准技术： 国际单位制SI的7个基本单位中与电磁量有关的基本单位是(A) ,但在实际工作中长期维持高度稳定的电流标准相当不容易,而电压单位和电阻电位则可以用标准电池与标准电阻作为实物标准量值来保存,便于开展工作。另一方面,有了电压单位和电阻单位,就可用实验的方法导出所有电磁学单位,因此世界各国均把电压单位和电阻单位作为保存和复现电磁单位的实际手段。电压单位和电阻单位是电磁学单位中最重要的两个单位,目前这两个电学单位都实现了量子基准。 　一是约瑟夫森电压基准， 　二是量子化霍尔电阻自然基准。 下面我想谈谈量子计量的发展 量子物理学阐明了各种微观粒子的运动规律，特别是微观粒子的态和能级的概念。按照量子物理学，宏观物体中的微观粒子如果处于相同的微观态，其能量有相同的确定值，也就是处于同一能级上。当粒子在不同能级之间发生量子跃迁时，将伴随着吸收或发射能量等于能级差DE的电磁波能量子，也就是光子。而且电磁波频率 n 与 DE之间满足普朗克公式, 即两者之间成正比，而比例系数为普朗克常数h。也就是说，电磁波的频率反映了能级差的数量。值得注意的是，宏观物体中基本粒子的能级结构与物体的宏观参数，如形状、体积、质量等等并无明显关系。因此，即使物体的宏观参数随时间发生了缓慢变化，也不会影响物体中微观粒子的量子跃迁过程。这样，如果利用量子跃迁现象来复现计量单位，就可以从原则上消除各种宏观参数不稳定产生的影响，所复现的计量单位不再会发生缓慢漂移，计量基准的稳定性和准确度可以达到空前的高度。更重要的一点是量子跃迁现象可以在任何时间、任何地点用原理相同的装置重复产生，不象实物基准是特定的物体，一旦由于事故而毁伤，就不可能再准确复制。因此用量子跃迁复现计量单位对于保持计量基准量值的高度连续性也有重大的价值。习惯上，此类用量子现象复现量值的计量基准统称为量子计量基准。     　 　　第一个付诸实用的量子计量基准是1960年国际计量大会通过采用的86Kr光波长度基准。其原理是利用86Kr原子在两个特定能级之间发生量子跃迁时所发射的光波的波长作为长度基准。此种基准不象原来的X形原器米尺实物基准那样，长度量值受环境温度、气压等因素的影响，其准确度比实物基准高出近百倍，达到10-9量级。第二个量子计量基准，也是最著名和最成功的一种量子计量基准，是1967年在国际上正式启用的铯原子钟。此种基准用铯原子在两个特定能级之间的量子跃迁所发射和吸收的无线电微波的高准确频率作为频率和时间的基准，以代替原来用地球的周期运动导出的天文时间基准。尽管地球这个实物庞大无比，但其各种宏观参数亦在缓慢地变化，因而其运动的稳定性并不算很高，仅为10-8量级。而近年来铯原子钟的准确度已达到10-14量级，比地球运动的稳定性高了5到6个数量级，几百万年才有可能相差一秒，充分说明了量子计量基准的重大优越性。铯原子钟的巨大成功在天文学、通信技术以至全球定位技术、导弹发射等军事应用方面均得到了卓越的应用。最近有人根据实验数据提出用钙离子的长寿命能级之间的量子跃迁，可把原子钟的准确度再提高一步，达到10-15量级。一些其他更有前途的方案，如激光冷却的铯原子喷泉等，也在发展之中。近年来由于激光技术的飞速发展，使人们对长寿命能级的知识不断增加，制成了一系列极稳定的激光器，其波长的稳定性达到10-12量级，并于1983年替代了86Kr光波长度基准而成为新的更高水平的量子长度基准。与本世纪上半叶还在使用的X型原器米尺实物基准相比，真是不可同日而语了。 　　 　　随着人们对各种量子跃迁的认识不断深入，量子计量基准已不再局限于复现长度与时间这两种基本单位。80年代以来，电学的量子计量基准也得到了飞速的发展。两种荣获诺贝尔物理学奖的重大发现导致了约瑟夫森电压量子基准和量子化霍尔电阻基准的的建立。1988年国际计量委员会已建议从1990年1月1日起在世界范围内启用约瑟夫森电压标准及量子化霍尔电阻标准以代替原来的由标准电池和标准电阻维持的实物基准，并给出这两种新标准中所涉及的约瑟夫森常数KJ及冯克里青常数RK的国际推荐值。从几年来的实践结果来看，1988年国际计量委员会的建议是十分有效的。采用新方法后电压单位和电阻单位的稳定性和复现准确度提高了两到三个数量级。 　　 　　目前，各国的计量研究院正在努力攻克经典计量学中的顽固堡垒--用某种量子计量基准来代替尚在使用的铂铱合金千克砝码实物基准。此实物基准是上一世纪制成的，当时估计其准确度为10-9量级，在19世纪的各种计量基准中首屈一指。可惜的是其后陆续发现了不少因素会使其保存的质量量值不断发生变化。例如该砝码尽管不易氧化，但其表面仍会吸附一些肉眼无法察觉的气体分子和其他杂物，甚至其内部也会吸附氢气等气体。这些过程使该砝码质量的增加量可能已达到了十多微克（1×10-8以上)。仔细的清洗过程可以减少此种被吸附的杂物，但过一段时间又会发生类似过程。为了摆脱此种困境，亦应该用某种适当的量子计量基准来代替这一已明显跟不上时代步伐的实物基准。目前对这一十分迫切的课题已提出了若干解决方案。例如用高度提纯的硅晶体中的硅原子质量来作为新的量子质量基准就是一种有希望的方法，其关键步骤是实际计数出硅晶体中原子的数目。但这一方案虽经多年探索，准确度还只达到10-8量级，尚未能直接取代铂铱合金砝码。还有一种办法是利用约瑟夫森电压和量子化霍尔电阻导出量子电功率基准，再经过速度及重力导出质量量值。从原则上说也算是一种量子质量基准。尽管这种方案构思十分巧妙，但稍嫌复杂，目前的准确度也只能达到10-8量级。国际计量局已明确号召各国的计量科学家用各种各样的方案来攻克量子质量基准这一难关，但看起来要到21世纪方有可能见到有实用价值的成果。 　　 　　可以预见，量子计量基准将为我们提供前所未有的测量准确度，不断发展新型的量子计量标准成为人们不懈的追求。在新世纪各国激烈的技术竞争中，量子计量基准将起着越来越大的作用 一提到狄拉克方程的错误，很多搞物理的一定会不服气，狄拉克方程错在哪儿了？狄拉克方程是经过了实验验证的，狄拉克方程正确预言了正电子，预言了电子的自旋等等，更有甚者会追问，你楼主懂狄拉克方程吗？你楼主懂矩阵运算吗？种种质疑会接踵而来。 但是先别急，我后文慢慢解释。 在物理界，薛定谔方程被称为古典量子力学方程，狄拉克方程相对论性量子力学方程。这两者之间的差别在于，薛定谔方程是伽利略变换下的不变式，而狄拉克方程是洛仑兹变换下的不变式。 说到薛定谔方程与狄拉克方程，就不能不提到那个失败的克莱因-高登方程，同样也是满足洛仑兹协变的，在数学推导上无懈可击的克莱因-高登方程为何会在实验结果上谬之千里？原因就在于对量子力学与相对论本质的认识上。 从数学的角度去比较薛定谔方程与克莱因-高登方程，很容易就会看出差别在于动量-能量关系式中的能量的方次上，薛定谔方程中左边的能量是一次方项，而克莱因-高登方程左边的能量是二次方项。 狄拉克联想到，可能正是由于能量方次的差别，薛定谔方程虽然是伽利略协变方程式，但因为其能量项是一次方，所以与实验符合良好，而克莱因-高登方程虽然是洛仑兹协变式，但因为能量项是二次方，所以反而达不到预期的效果。 于是，狄拉克引入了矩阵运算，因为在代数运算中，对能量项（类似于数学中的A平方+B平方）再开平方，由于其不是完全平方式，与完全平方式相差一个2AB，所以无法直接通过开平方的方式将能量项从二次方降低为一次方。 但是，狄拉克知道，所谓的完全平方式，真正的形式应该是（A平方+AB+BA+B平方）也就是说，2AB的真正含义其实是（AB+BA），所以狄拉克就联想到矩阵代数，因为矩阵代数中，AB并不等于BA，如果能够找到一种矩阵，可以让AB+BA=0，那么前面的问题就都会迎刃而解。 这样的矩阵叫做厄米矩阵，于是，狄拉克找到了四个厄米矩阵，用它们作为动量-能量关系式中的系数，于是，经过一些数学推导，金光闪闪的狄拉克方程式出现了