Saturday, January 31, 2015

热谱正则系综幺正性信息

PDF]量子信息引论# - 物理杂志

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由郭光灿著作 - ‎被引用 24 次 - ‎相關文章

2001年5月5日 - 实行相应的幺正变换，而信息提取则是对量子信息. 系统实施量子测量. ... 纠缠性、不可克隆定理等）会在信息过程中发挥出重. 要作用，使量子信息 ...

用量子隧穿法研究带质量四极矩静态

黑洞的 Hawking 辐射!

韩亦文

（达县师范高等专科学校物理系，达州 635000）

（2005 年 4 月 20 日收到；2005 年 5 月 19 日收到修改稿）

对带质量四极矩的静态黑洞 Hawking 辐射的隧穿过程进行了简单直接的推导，得到了热谱.因推导过程应用了

能量守恒定律，故真正的辐射不一定是纯热的.这一结果支持了这样一种观点：隧穿的辐射携带信息是可能的.

关键词：黑洞，辐射，隧穿，能量守恒

PACC：0420，9760L

! 四川省教育厅自然科学基金（批准号：03B047）资助的课题.

1. 引

言

Hawking 关于黑洞存在温度和 T =!/2!的量子

辐射［1，2］这个令人震惊的发现，引导人们在黑洞热力

学的研究上做了大量卓有成效的工作. 由此产生了

如温度格林函数法、路径积分法、Damour<Ruffini 法

以及 Unruch 的二次量子化等方法［3—6］研究黑洞的热

辐射.一系列的研究结果显示［7—10］，从宏观上看黑洞

辐射伴随着信息的损失，即黑洞有精确的热谱，无毛

定理成立.不过，热谱的获得完全取决于一个唯一的

因素即温度.然而，当热量被控制时，外幅射就不会

有任何信息，即 Hawking 结果的幺正性丧失. 同时，

无毛理论认为一个稳定黑洞外面的几何完全被如质

量、电荷、角动量等少数参量具体化，因此，时空几何

辐射可以在一个幺正理论中被

也没有携带其他信息. 尽管弦理论也支持 Hawking

描述［11］，但有关辐射

过程中信息是怎样返回的问题，仍然令人不可思议，

因为已有的研究结果并没有直接地展示出黑洞在蒸

发过程中所剩塌缩物质的宏观特征. 尽管宏观信息

的丢失在本质上与量子力学并不矛盾，但如果能够

展示出与塌缩物质组态相关的外辐射特征，则至少

有部分信息可以返回而勿需苛求去解决全量子引力

问题.关于这个问题，有人曾经猜测可能非局域性起

了作用［12］

然而，在黑洞辐射过程中，热谱和无毛都不能在

视界面处得到. 如果确实如此，则违背能量守恒定

律，因为热谱包含了一个任意高能层，对于一个孤立

黑洞，当辐射量子被发射时，其黑洞质量必然会减

少，洞也会随之收缩. 因此，能量守恒保证在获得更

高能量的同时，热谱开始脱离对热量的依赖，即在微

正则系综里，温度只是低能量的近似值. 换句话说，

描述稳定不变黑洞组态的无毛定理只是一个提供近

似值的理论.

事实上，黑洞辐射出的只是低于它的质量.最近

的研究显示［13，14］，在量子引力中，应该把极端黑洞看

作是受激亚稳态，而黑洞辐射的根源应该是在考虑

引力反作用后，能像隧穿一样可以直接加以描述.这

种描述直接体现了 Hawking 提出的非常具有启发性

的物理图像，即黑洞辐射是粒子通过隧道效应穿越

视界这样一个图像.运用这种方法，人们对静态球对

称 Schwarzschild 时空，de sitter 时空，anti<de sitter 时空

Hawking 辐射的隧穿过程进行了直接推导

［15—17］

. 本

文用此方法对带质量四极矩的静态黑洞 Hawking 辐

射的隧穿过程进行了研究，结果表明，在考虑自引力

的情况下，辐射谱偏离纯热谱.

2. 时空的 Painleve 坐标变换

带有质量四极矩的静态时空的线元为［18］

ds2

= m2 er2"｛e2#（x2 r y2 ）

dx2

x2 r 1

dy2

y2 r

[

第 54 卷　第 11 期 2005 年 11 月

1000<3290/2005/54（11）/5018<04

物　理　学　报

ACTA PHYSICA SINICA

Vol.54，No.11，November，2005

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

2005 Chin. Phys. Soc.

Page 2

+（x2 r 1）（y2 r 1）d!2 ｝r e2"dt2 .

（1）

度规函数

（x，y）=

x r 1

x + 1

+"0（x，y），

（2）

0（x，y）= A2 x（x2 r 3x2 y2 + 3y2

r 4y4 ）/（x2 r y2 ）3 ，

（3）

#（x，y）=

x2 r 1

x2 r y2 +#0（x，y），　（4）

0（x，y）=

1 r y2

（x2 r y2）4［3（1r5y2）

（x2 r x2）2

+ 8y2（3r5y2）

（x2 r y2）+ 24y4（1 r y2）］

1ry2

（x2 ry2）8［r 12（1r4y2 +25y4）

（x2 ry2）5

+ 3（3 r 153y2 + 697y2 r 675y6）

（x2 + y2）4

+ 32y2（9 r 105y2 + 259y4 r 171y6）

（x2 r y2）3

+ 32y4（45 r 271y2 + 451y4 r 225y6）

（x2 r y2）2

+ 2384y6（1r4y2 + 5y4 r 2y6）

（x2 r y2）

+ 1152y8（1r3y2 + 3y4 r y6）］，

（5）

其中 m 为引力场的场源质量，A2 为场源质量四极

矩因子.变换到球极坐标系 x =

m r 1，y = cos$，! =

则（1）式可改写成

ds2

=re2"

1 r

( )r

dt2 + e2（#

0 ）

1 r

( )r

dr2

+ r2 e2（#

0 ）

2 + r2 er2"

sin2

$d$

2 .

（6）

由文献［19］可知，当 r!2m 时，在视界附近存在如

下近似：

e2（#

r2"

0 ）

= e2（r A2 /2r3A

2 /8）.

（7）

利用（7）式，可将（6）式改写成

ds2

=re3A

2 /8

1 r

( )r

dt2 + er A2 r3A

2 /8

1 r

( )r

dr2

+ e3A

2 /8 r2 sin2

$d$

2 + er A2 r3A

2 /8 r2 d

2 .

（8）

欲描述视界的隧穿，需进行坐标变换，当然，这种变

换不同于 Schwarzschild 坐标变换. 于是我们引入

Painleve 坐标

［20］，以期在视界处时空不再奇异. 为了

获得新的线元，定义如下新的坐标时间：

ts = t + f（r），

（9）

其中，f 仅与 r 有关. 为此，根据（9）式，时空线元（8）

式可写成

ds2

= r（1 r g（r））dt2

s +

er A2

1 r g（r）

dr2

+ e3A

2 /8 r2 sin2

$d$

2 + er A2 r3A

2 /8 r2 d

2 .（10）

在四维时空中，对于带质量四极矩的静态黑洞，1 r

g（r）= e3A

2 /8（1r2m/r），在视界面 r = 2m 处度规

（10）式不再奇异但仍然是固有时间反演的不变量.

因此，对于一个径直下落的观者，在穿越视界面时不

会观察到任何不正常的情况.为此，可以选择观者的

时间作为坐标时间.作为推论，我们要求这个时间应

是平直的，于是有如下条件：

1 r g（r）r

1 r g（r）

er A2

（f!（r））2

= 1. （11）

对（9）式微分，可得

dts = dt + f!（r）dr .

（12）

将（11）式及（12）式代入（10）式，得 Painleve 坐标下的

新的时空线元为

ds2

=re3A2 /8

1 r

( )r

dt2

r 2er A2 /2+3A

2 /16

dtdr + er A2 dr2

+ e3A

2 /8 r2 sin2

$d$

2 + er A2 r3A

2 /8 r2 d

2 .（13）

不难验证，（13）式确定的度规分量在视界面 r = 2m

处不再奇异. 而且，对于无穷远观者，度规（13）与度

规（8）不可区分，考虑径向类光测地线 d$= d% = 0，

ds2 = 0，得

*r =

= eA2 /2+3A

2 /16

±1+

(

. （14）

当考虑到粒子的自引力时，上述方程将被修正.

对于球面波即穿越视界薄层的粒子，如果薄层有能

量%，则视界内外的几何为相同的时空几何，不同之

处在于质量参数. 当总的能量固定时，质量 m 应该

用 m r% 来替代.

3. 视界的隧穿效应

下面讨论辐射粒子穿越视界的物理行为. 这里

以无质量的壳的出射为例来研究，对于球面引力而

言，Brikhoff 理论认为“壳”出现在时空几何上的唯一

影响是为“壳”的内外总质量的联系提供了匹配条

件，即因自引力的作用，出射粒子应遵从的方程中的

m 应被 m r% 取代.于是（13）式改写成

ds2

=re3A

2 /8

1 r

2（m r %）

(

)

dt2

r 2er A2 /2+3A

2 /16

2（m r %）

" r

dtdr + er A2 dr

+ e3A

2 /8 r2 sin2

$d$

2 + er A2 r3A

2 /8 r2 d

2 . （15）

由于在视界面附近的无限蓝移，在那里任何波

包的波长总是任意小量.在半经典极限中，我们采用

9105

11 期

韩亦文：用量子隧穿法研究带质量四极矩静态黑洞的 Hawking 辐射

Page 3

WKB 近似.以此将隧穿振幅与粒子作用量的虚部相

联系，发射率! 是隧穿幅的平方［21］，即

! ! e

r2ImZ ，

（16）

为了计算作用量，先将它表示成

ImZ = Im"

rout

rin

pr dr = Im"

rout

rin"

dp!r dr，（17）

其中 pr 为径向动量 rin = 2m 为初始半径，rout = 2（m

r"）为终极半径，由于视界面的收缩，所以 rin >

rout .由于辐射反作用导致视界面半径的收缩，在 rin

与 rout 之间的有限区域就会形成经典的势垒禁区.

（17）式中的动量，我们可以通过 Hamilton 方程来消

除，于是有

dp r

，

（18）

其中 Hamilton 函数是 Painleve 时间的生成元. 因此，

作用量虚部为

ImZ = Im"

mr"

m "

rout

rin

・ dH

= Im"

rout

rin

er（ A2 /2+3A

2 /16）dr

1 +

2（m r "! ）

# r

（r d"! ），

（19）

其中 (r = +dH/dpr 1 r . 利用（14）式，并注意到 rin >

rout 及 H = m r"! ，由（19）式可得

ImZ =+4#"er A2 /2r3A

2 /16（m r "/2）. （20）

将（20）式及（22）式代入（16）式，可得

! !e

r2ImZ

= er8""exp（r A2 /2r3A

2 /16）

（mr"/2）

= e#S ，

（21）

其中 #S 为黑洞的 BekensteinHHawkng 熵，按照文献

［22］的方法可以计算得到，这也正是我们所期望的

结果.

4. 结

论

综上所述，我们对带质量四极矩静态黑洞视界

隧穿的辐射进行了简单的推导，发现能量守恒不仅

提供了黑洞辐射过程中粒子隧穿的势垒，而且使热

谱在较高能态时产生热能偏离. 对辐射的修正结果

与 Hawking 的观点一致. 这个结果同时支持了文献

［13，14］的结论，即黑洞在辐射过程中携带信息是可

能的.

［1］

Hawking S W 1974 Nature 248 30

［2］

Hawking S W 1975 Math . Phys . 43 199

［3］

Gibbons G W and Perry M J 1978 Proc . R . Soc .A 358 467

［4］

Unruh W G 1976 Phys . Rev . D 41 870

［5］

Damour T and Ruffini R 1976 Phys . Rev . D 14 332

［6］

Dai X X and Zhao Z 1992 Acta Phys . Sin . 41 869（in Chinese）

［戴

宪新、赵　峥 1992 物理学报 41 869］

［7］

Luo Z Q and Zhao Z 1993 Acta Phys . Sin . 42 506（in Chinese）

［罗

志强、赵　峥 1993 物理学报 42 506］

［8］

Ma Y and Yang S Z 1997 Acta Phys . Sin . 46 2280（in Chinese）

［马

勇、杨树政 1997 物理学报 46 2280］

［9］

Song T P and Yao G Z 2001 Acta Phys . Sin . 51 1144（in Chinese）

［宋太平、姚国政 2001 物理学报 51 1144］

［10］ Zhang J Y 2003 Commun . Theor . Phys . 40 244（in Chinese）

［张靖

仪 2003 理论物理通讯 40 244］

［11］ Callan C G Jr. and Maldacena J M 1996 Nucl . Phys . B 472 591

序参量 φ(r)不是原子尺度的物理量，而是宏观小微观大的物理量

[PDF]给本科生的一个讲座: 相变与临界现象 - 物理学系 - 北京师范大学

physics.bnu.edu.cn/application/research/statistics.../bnu.pdf 轉為繁體網頁

相变与临界现象总伴随着热力学量的奇异性：不连续或发散！ .... 伟大的Landau，从另一个角度出发了 ... φ(r)不是原子尺度的物理量，而是宏观小微观大的物理量。

缺少字詞：本科 ‎生 ‎讲座

取热力学极限时，由于体积趋于无穷大，因此，实际处理的是一开放系统。在这一开放系统中，取有限大小的体积V。系统的其它部分相当于一个reservoir，保持温度和压强不变。这时候，子系统V和其它部分有接触，它的总质量和能量不再是常数，而会有涨落

取热力学极限时，由于体积趋于无穷大，因此，实际处理的是一开放系统。

https://daiyue.wordpress.com/

1.2 An experiment – ballistic expansion

考虑一个容器，其中充满了气体分子。系统的状态可用温度 $T$ 和化学势 $\mu$ 描述。去除容器，气体会向外界（真空）自由膨胀。时间足够长之后，气体将充分稀薄，使得气体分子之间无相互作用，动量也不会再变化。并且动量大的分子弥散在外围，动量小的分子在内部。这样，动量分布和密度分布就联系起来了。用 $\rho \left( k \right)$ 描述分子的动量分布密度，并假设动量为 $k$ 的分子在 $t$ 时刻分布在范围 $r - r+dr$ 之内， $d\left( {r,t} \right)$ 用来描述分子数密度。有：

$d\left( {r,t} \right) \cdot 4\pi {r^2}dr = \rho \left( k \right) \cdot 4\pi {k^2}dk$

粒子的速度 $v\left( k \right) = k/m$ ， $t$ 时刻飞行距离 $r = vt = kt/m$ ，代入上式，得：

$\rho \left( k \right) = \frac{1}{{{m^3}}}\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {t^3}d\left( {kt/m,t} \right)$

于是可写出系统的能量表式：

Beautiful Models 1

2010/01/03 in Beautiful Models | 2 条评论

Chapter 1 Overview

Mathematical physics: too mathematical to be ‘respectable’ physics, yet not rigorous enough to be ‘real’ mathematics.
量子多体问题的严格解属于数学物理领域：该领域太过于数学化，以至于物理图象显得不是那么清晰；同时，和“真正的”数学相比起来，又显得不太严格。

1.1 Orientation

The proper language to discuss these problems is the language of statistical mechanics.
讨论量子多体问题的语言，是统计力学。
考虑一个封闭的容器，其中装满了化学纯的液体（比如说，水）。在热平衡态下，液体各处的温度和压强都是相同的。（如果存在重力场，则液体各处的压强会有差异，此时，取代压强，液体的化学势是均匀的。）这个系统称为micro canonical ensemble（微正则系综）。
描述液体状态的物理量有：总质量、能量、体积（以上都是广延量）；温度、压强（以上是强度量）。
The state of the system is really determined by two intensive densities – say $E/V$ and $M/V$ – rather than three extensive quantities.
只需要2个强度量就可以决定系统的状态： $E/V$ 和 $M/V$ ，而不需要3个广延量。
理想化条件：thermodynamic limit – $M,E,V \to \infty$ with $M/V \equiv {\rho _M}$ and $E/V \equiv u$ fixed. 热力学极限：总质量、能量、体积均趋于无穷，此时密度、能量密度趋于一常数。
取热力学极限时，由于体积趋于无穷大，因此，实际处理的是一开放系统。在这一开放系统中，取有限大小的体积 $V$ 。系统的其它部分相当于一个reservoir，保持温度和压强不变。这时候，子系统 $V$ 和其它部分有接触，它的总质量和能量不再是常数，而会有涨落。热力学极限下，相对涨落趋于0： $\delta E/\left\langle E \right\rangle$ -> 0, as $1/\sqrt V$ 。这样的系统称为grand canonical ensemble（巨正则系综）。
给定系统的化学势（作为温度和压强的函数），就可以知道系统的所有热力学性质。 $\mu \left( {T,P} \right) \equiv \left( {E - TS + PV} \right)/N$ 。
接下来看这个系统的微观图像。液体是有很小的微粒组成的，这些微粒做无序运动。定义动量分布函数 $n\left( p \right)$ ， $Nn\left( p \right)4\pi {p^2}dp$ 给出了动量处于 $p < \left| {\bf{p}} \right| < p + dp$ 范围内的粒子数。定义对关联函数（pair correlation function） $g\left( r \right)$ ，取定一个粒子， $g\left( r \right)4\pi {r^2}dr$ 给出了距离该粒子 $r < \left| {\bf{r}} \right| < r + dr$ 范围内的粒子数。定义对关联函数的意义在于：势能使两个处于不同位置的粒子产生关联，这个关联是和粒子间的距离有关的。动量分布函数、对关联函数都取决于系统的状态，因此将它们表示成 $n\left( {p|T,\mu } \right)$ 和 $g\left( {r|T,\mu } \right)$ 。
给定哈密顿量，就能确定整个系统的状态。上述系统的哈密顿量可表示成

$H = \frac{1}{{2m}}\sum\limits_{j = 1}^N {\left| {\bf{p}} \right|_j^2}$ $+\sum\limits_{j > i = 1}^N {v\left( {\left| {{{\bf{x}}_j} - {{\bf{x}}_i}} \right|} \right)}$

即动能与势能之和。借助动量分布函数和对关联函数，系统的能量为

写出系统的哈密顿量后，根据统计力学知识，就可以计算出系统的所有热力学量。

有限系统的配分函数是解析函数，不存在奇点，因而不会有相变发生。只有在热力学极限下，配分函数才会出现奇点，系统产生相变

[PPT]PPT下载

www.itp.cas.cn/xshd/.../W020111117310798303521.ppt 轉為繁體網頁

2011年11月14日 - 压强，体积等宏观量不是研究热力学性质必须的物理量！ ... 结论：热力学循环不依赖于热力学极限。 ... 卡诺定理：如果整个循环的每个过程都是准静态过程，热机的效率达到最大，且只与两个 ... 而热力学的适用范围是粒子数无穷大。

Nobel_EcoIndex

www.phil.pku.edu.cn/personal/wugsh/.../certainty5.htm 轉為繁體網頁

从三体问题开始，大部分动力学系统都是不可积的。对于可 .... 也就是说，当分母为零时，这些项趋于无穷大，而变得无意义。 .... 为了刻画热力学系统，我们必须考虑热力学极限，即在粒子数N和体积V都增加的情况下，它们的比（即浓度N／V）保持不变。

[PDF]第三章量子统计物理学基础

staff.ustc.edu.cn/~chenzyn/lectures/chapter3_all.pdf 轉為繁體網頁

热力学：从若干（宏观）经验定律出发，通过数学上的推导获得系统的宏观性质；. 统计物理：从单个微观粒子的力学运动规律出发，加上统计的假设，来描述宏观 .... 是粒子数为N 的正则配分函数，是易逸度。 ... 考虑一个由大量全同独立粒子组成的孤立系统（总粒子数N，体积V，总能量E）。 .... 力学极限），奇异性可能出现（李－杨定理）。

[PPT]Basic Concepts of Thermodynamics - 物理學系

phys.thu.edu.tw/.../Basic%20Concepts%20of%20Thermodynamics.ppt

我們只對巨觀性質有興趣：體積、壓力、冷熱. ... 物態方程式（equation of state）：並非所有的熱力學座標都是獨立變數，它們之間可能 ... 以及總粒子數為N 二條件，就可解出C與a，得到Boltzmann-Maxwell Distribution .... 熱力學極限：A, aj都趨近於無窮大，則W(a)的極大值W(a^*)會遠大於其他的W(a)，a^*為最可能之組態，此時Pj=aj^*/A

phymath999: 杨振宁和李政道证明相变只有在热力学极限下才 ...

phymath999.blogspot.com/2013/03/blog-post_9327.html 轉為繁體網頁

2013年3月23日 - 只有在热力学极限下，配分函数才会出现奇点，系统产生相变。 ... 的最困难 ... 热力学极限是指粒子数（或体积）趋向无穷大时的极限。一般宏观 ..... 直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。没有孔是指 ...

粒子数(或体积）趋于无穷, 但是密度有限，称为热力学极限

phymath999.blogspot.com/2014/05/blog-post_6594.html - 轉為繁體網頁

2014年5月11日 - 粒子数(或体积）趋于无穷, 但是密度有限，称为热力学极限 .... 叠加原理是物理学的最为基本的原理,经典理论对电与磁的研究都是高度 .... 上测度为0的地方值为无穷大社会价值在测度为零处为无穷大格林原理解决了外行如何评价内.

热力学温度_互动百科

www.baike.com/wiki/热力学温度轉為繁體網頁

工程热力学中提到的绝对温度，都是绝对温度零度以上的正绝对温度。 ... 绝对温度高于无穷大时，才能实现激发态粒子数超过基态的粒子数，才能出现负绝对温度。 ... 一定量气体的体积的增加值（膨胀率）是一个定值，体积膨胀率与温度呈线性关系。 ... 万方数据期刊论文瓦斯爆炸极限及反应热力学温度的计算 - 山东师范大学学报（自然 ...

[PDF]量子信息启发的量子热力学和量子相变问题 - 中国科学院理论 ...

www.itp.ac.cn/~suncp/thesis/HaiTao_Quan_2007.pdf

2007年6月29日 - 1.2 从热力学角度看计算的物理极限. ..... 域的体积）联系起来，或者说把热力学理论完全简化为多粒子系统的牛顿力学。但是都没有能够绕开 ... 的（推导这些基本原理的）方法都是基于牛顿力学。 ... 学极限（粒子数无穷大）下的问题。

[DOC]Tongji wulixue - 中国科学院理论物理研究所

www.itp.ac.cn/~hao/encycstp.doc 轉為繁體網頁

它所涉及的数量和尺度都是相对而言的。 .... 统计物理学如此成功的根本原因，在于前面已经强调指出的“大量”粒子数和相应的微观状态数目，保证统计规律很好地成立 ...

1量子信息启发的量子统计和热力学若干问题研究孙昌璞全海

www.tup.com.cn/Resource/tsyz/029915-01.txt 轉為繁體網頁

过去几乎所有推导这些基本原理的方法都是基于牛顿力学，而现在人们意识到，热力学系统 ... 因为通常热力学处理的是热力学极限（粒子数无穷大）下的问题。 ..... 对于这两个热平衡态，系统的宏观状态，如总粒子数N、总体积V和温度T确定，但是微观 ...

王先智教授

研究机构理论物理及其交叉科学研究所

研究领域非平衡态热力学和统计物理，玻色-爱因斯坦凝聚

办公地点物理楼 1208

电子邮箱 xzwang@sjtu.edu.cn

简历

1.人类对气-液相变的认识，不算早期历史，只从1869年Andrews发现临界点和1873 年van der Waals 提出著名状态方程算起，已经有一百多年历史。统计物理建立后，人们期望从配分函数能得出相变。众所周知，有限系统的配分函数是解析函数，不存在奇点，因而不会有相变发生。只有在热力学极限下，配分函数才会出现奇点，系统产生相变。但是真实气体的配分函数是得不到的，如何解释气体的凝聚是统计物理未解决的最困难问题之一。1952年杨振宁和李政道提出了著名的相变理论（C.N.Yang and T.D.Lee,Physical Review 87,404，410(1952)）。他们观察到，真实分子相互作用势可近似简化为硬核势,所以有限系统的巨正则配分函数是一个以逸度为变量的多项式，其根为负的或复共轭的。他们证明，在热力学极限下如果根分布趋近于正实轴，巨正则配分函数出现奇点，系统有相变发生。2002年，我观察到，分子数为有限的流体的正则配分函数是一个多项式，完全由其根决定。在热力学极限下，如果其根分布趋近于正实轴，正则配分函数有奇点出现，流体有相变发生。这样我将杨-李相变理论从巨正则系综推广至正则系综，提出了流体的相变理论（X.Z.Wang,Physical Review E 66,056102(2002)）。将此理论应用于气-液相变，提出了气-液相变出现的判据：气-液相变的临界温度由集团积分的第一零点组成的序列的极限所决定（X. Z. Wang, Journal of Chemical Physics 123, 054504(2005)）。
2. 硬球流体是具有液-固相变的最简单模型。流体中分子可以交换位置，固体中则不能。利用此性质和平均场近似，我提出了其冻结相变的平均场笼子理论，与实验结果和计算机模拟结果非常符合（X.Z.Wang, Journal of Chemical Physics 122,044515 (2005)）。