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(黃福坤)
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力學標題:能量與軌道

1:葉澄鴻 (高中職)張貼:2002-03-03 16:24:00:地點台灣台北

老師上課時曾提到物體軌道為橢圓時總能量〈0，拋物線=0，雙曲線〉0
，和同學討論後沒有頭緒，希望您能說明1.如何由牛頓的平方反比定律推導出橢圓軌道
2.為何，橢圓總能量〈0，拋物線總能量=0，雙曲線總能量〉0
3.擺線的能量關係
如果限於篇幅無法說明清楚，能否告知哪些書籍有詳細資料
謝謝
桃園武陵高中葉澄鴻敬上

2:李偉榮譽點數3點張貼:2002-03-04 23:48:00:地點台灣台北 [回應上一篇]

可以參考大學物理系二年級的理論力學或應用力學：Central-force Motion，其中會很詳細的介紹，如何由萬有引力定律導出不同圓錐曲線的軌跡。

3:吳柏權 (高中職)張貼:2002-03-10 22:13:00:地點台灣台北 [回應上一篇]

那擺線與能量的關係呢

4:李偉榮譽點數3點張貼:2002-03-10 23:21:00:地點台灣台北 [回應上一篇]

請你先說說看：擺線的運動是什麼？

5:吳柏權 (高中職)張貼:2002-03-30 21:47:00:地點台灣台北 [回應上一篇]

似乎是一點 P 繞著一個
相對於慣性座標具有速度的點
然後在慣性座標的觀察者
所見 P 點的軌跡

6:李偉榮譽點數3點張貼:2002-03-30 23:14:00:地點台灣台北 [回應上一篇]

若質點作擺線運動時，應有動能及位能。

7:黃福坤 (研究所)張貼:2002-04-01 15:35:00:來自國立台灣師範大學 [回應上一篇]

Quote:

在 2002-03-03 16:24, 葉澄鴻寫了:
2.為何，橢圓總能量〈0，拋物線總能量=0，雙曲線總能量〉0

物理系統中通常能量的絕對值比較沒有意義是相對值才有意義
以上能量的定義是參考點的問題將無窮遠處定義為總能量0
想一想位能與動能關係圖適當定好參考位能的位置
則被限制於範圍內的運動總能量小於零
不被限制的則總能量大於零
臨界點總能量=0

8:葉澄鴻 (高中職)張貼:2002-06-06 18:49:00:地點台灣台北 [回應上一篇]

林慶平研究員的回答
一、如何由牛頓的平方反比定律推導出橢圓軌道:
答：教科書上通常是用能量守恒和角動量守恒兩個原理來推導出物體在一個向心力場的各種可能軌道，只有在計算探測衛星要飛行到某一個星球去探測時，才會用到牛頓萬有引力定律來計算飛行軌跡。計算過程如下: (請參考Richard P. Feynman：Lectures On Physics 9-7節)
假設行星和太陽之間的距離為r，則行星所受到的向心力的大小為GMm/r2，其中G是引力常數、M是太陽的質量、m是行星的質量，由此可以得到行星在水平x軸和垂直y軸方向的運動方程式(如圖一)
max=-GMmx/r3
may=-GMmy/r3
其中之ax和ay分別是水平和垂直方向的加速度。r2=x2+y2
為了簡化計算，以下將令GM=1。
假設行星的起始位置為(x=0.5, y=0)，起始速度為(vx=0,
vy=1.63)由此，可以得到t=0時

圖二：行星之橢圖軌道圖
r(0)=0.500 1/r3(0)=8.000
ax=-4.000 ay=0.000
因此可以計算得到t=0.05時的速率值
vx 0.05)=0.000-4.000X0.500=-0.200;
vy (0.05)=1.630+0.000X0.100=1.630
由此可以得到間隔0.1時之位置座標
x(0.1)=0.500-0.200X0.1=0.480 y(0.1)=0.0+1.63X0.1=0.163
r(0.1)=(0.482+0.1632)1/2=0.507 Þ 1/r3=7.67 Þ ax(0.1)=-0.480X7.67=-3.68; ay(0.1)=-0.163X7.67=-1.250
vx(0.15)=-0.200-3.68X0.1=-0.568; vy (0.15)=1.630-1.25X0.1=1.505
x(0.2)=0.480-0.568X0.1=0.423 y(0.2)=0.163+1.505X0.1=0.313
x(t), y(t) 在t=0.3, 0.4, 0.5,….之值可以類推得到, 也可以用一個簡單的程式來輔助，結果如圖二的橢圓形軌道。

圖三：行星運動極座標軌跡

二、為何，橢圖總能量Ｅ＜０，拋物線總能量Ｅ＝０，雙曲線總能量Ｅ＞０
答：為了簡化問題，將假設太陽是靜止的，然後探討行星在太陽引力作用下可能的運行軌道。
由於向心力的方向和徑向一致，因此力矩=(距離)X(切線方向之受力)=0，則行星的角動量是一定值，不會隨時間改變，由圖三的極座標軌跡，可以得到
L(角動量)=r(距離) X mvΦ(切線方向之動量); vΦ(切線方向之速率)=rdφ/dt(角度的改變率)
=mr2dφ/dt =定值
由圖三，也可以知道行星軌道相對於太陽所掃過面積的改變率
dA/dt=1/2(r)(rdφ/dt)=L/(2m)=定值 (刻卜勒第二定律)
行星的總能量
E(總能量)=徑向動能+切線方向動能+位能
=1/2(mvr2+m vΦ2)+U(r)
=1/2(mvr2)+ 1/2(L2/mr2)+U(r)
在研究行星徑向距離r隨時間變化時，可以將上式的後面兩圖四: 重力場實效位能圖
項合在一起，得到圖四的實效位能圖
Ueff (實效位能)=U(r) +1/2(L2/mr2)=-k/r +1/2(L2/mr2)

圖五：E<0的運動軌跡圖
當角動量L≠0時，上式的第二項是離心能，它在r=0時趨向無限大，這會形成一個位能障礙，當行星的能量和位能相等時，其徑向速率就變為零，開始折返，永遠到達不了引力的中心點。
當E=E1>0時，也就是在無限遠行星的徑向速率大於0時，行星會在r1處折返，再回到無限遠處，其軌跡是一雙曲線的形式。
當E= 0時，也就是在無限遠行星的徑向速率=0時，行星會在較r1遠一點的距離折返，再回到無限遠處，其軌跡是一拋物線的形式。
當E=E1<0時，行星的徑向距離r是介於rmax和rmin之間，，其軌跡是一橢圓的形式。R隨時間變化的情形如圖五所示。

9:葉澄鴻 (高中職)張貼:2002-06-06 18:51:00:地點台灣台北 [回應上一篇]

林慶平研究員的回答
三、擺線的能量關係

圖六：擺線的示意圖
答：設擺長=l，質量為m，在垂直位置的底端之位能U=0，擺在q角度的高度
y=(l/cosq - l) cosq = l (1- cosq)
所以位能 U(q)=mgl (1- cosq)
其動能=mvq2 /2 =m/2(ldq/dt)2
所以，其能量　
E = m/2(ldq/dt)2 + mgl (1- cosq)
其值是一定值，假設它在q0是靜止的，則
E= mgl (1- cosq0)
而在y=0時 E= mvq(q=0)2 /2
由此可以求得 vq(q=0)=(2gl (1- cosq0))1/2

10:傅幽谷榮譽點數1點 (高中)張貼:2003-12-22 15:44:00:地點台灣台北 [回應上一篇]

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黃福坤修改,轉成中文版面並增加功能從2011/06/15起

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phymath999

Tuesday, February 18, 2014

當E=E1>0時，也就是在無限遠行星的徑向速率大於0時，行星會在r1處折返，再回到無限遠處，其軌跡是一雙曲線的形式

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