而所谓“无条件概率”则具有如下意义：如果对于所考- 百家乐概率
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概率的干涉与态迭加原理(下)
6
概率幅的迭加原理(13)式表示PrU (X)、PrV (X|E)和PrV (X|F)三个可以测量的概率之间的关系，但这一公式并不成立，为了从理论上导出这三个概率之间的关系，我们必须找到一个具有如下性质的量：
第一，满足迭加原理；
第二，从它能计算出概率的测量值。
幸运的是，这个量已经找到，它就是“概率幅”。
费曼曾说：“概率幅”这一概念乃是量子力学的核心。实际上，“概率幅” 这一概念之所以重要，正是由于它满足迭加原理。对于双缝衍射实验，这个原理可表成：“单个电子通过某一通道落在屏幕上某处的概率幅，与另一通道是否打开无关。”
概率幅是一个复数，与跃迁概率Pr(B|A)对应的概率幅记作<B|A>，根据量子力学，两者的对应关系是：
Pr(B|A) = |<B|A>|2。
即Pr(B|A)是<B|A>的“模方”（绝对值的平方）。和概率一样，概率幅也遵循加法公式和乘法公式。
像Pr (X)这样的“无条件概率”实际上还是有一个先决条件：“e是落在屏幕上的一个电子”。用S表示这一先决条件，则Pr(X)其实是Pr (X|S)的略写，其对应的概率幅是<X|S>。
在双缝衍射实验中，两条缝“同时打开”与“轮流打开”对于概率幅也是不同的条件。下面，我们用<X|S>U和<X|S>V分别表示在两条缝同时打开和轮流打开的条件下，事件“e落在W上”的概率幅。
根据概率幅的运算规则，我们有：
<X|S>U =
<X|E>U·<E|S
> + <X|F>U·< F|S
>
(14)
概率幅的迭加原理在这里表成：
<X|E>V =
<X|E>U，
<X|F>V =
<X|F>U。
(15)
上面两式给出
<X|S>U =
<X|E>V·<E|S
> + <X|F>V·<F|S
>。
(16)
比较静电场的迭加原理，这是概率幅的迭加原理在这里的另一种表达方式。对(16)式的两边取模方，再借助于概率的测量值与概率幅之间的对应关系
PrU (X) = |<X|S>U|2，
PrV (X|E) = |<X|E>V|2，
PrV (X|F) = |<X|F>V|2，
以及
Pr(E) = |<E|S>|2，
Pr(F) = |<F|S>|2，
我们得到
PrU (X) = Pr(E)·PrV(X|E) + Pr(F)·PrV(X|F) + J。
(17)
其中J是交叉项，它表现概率的干涉现象。由于(15)式成立，(14)式和(16)式都可以略写成
<X|S> = <X|E>·<E|S
> + <X|F>·< F|S
>。
(18)
如果略去不言而喻的条件S，则(18)式写成：
<X| = <X|E>·<E|
+ <X|F>·< F|。
这是量子力学中的“态迭加原理”的一种表达式。应用概率的乘法公式，(17)式表成：
PrU (X) = PrV (X·E) + PrV (X·F) + J。
(19)
比较(19)式与(9)式，我们看到(10)式不成立，即命题F不成立，从而没有命题A也能证明命题B不成立。如果没有概率幅的迭加原理，则(14)式作为概率幅的运算规则仍然成立，但我们不能从(14)式过渡到(16)式，从而不能导出表现概率的干涉现象的(17)式，而概率的干涉现象是最基本的量子现象。因此，如果没有概率幅的迭加原理，就不能说明概率的干涉现象。只有在这种意义下，“概率幅的迭加原理”或“态迭加原理”才是量子力学的一个基本原理。
另一方面，正如从静电场的迭加原理可以得出静电场的能量不遵循迭加原理一样，从概率幅的迭加原理可以得出概率本身不遵循迭加原理的结论。这样，“电子的运动不是轨道运动”在这里就成了一个多余的命题。
我们知道，威尔逊云雾室中的电子径迹已经表明电子的运动是轨道运动。于是我们得出结论：双缝衍射实验不再与经典物理学相矛盾。这样，命题A与双缝衍射实验之间根本就没有矛盾。
7 狄拉克和费曼对概率幅的新认识
上面，我们先后考察了表现“概率幅”这一概念的特征的两个课题：“概率的干涉”与“态迭加原理”。狄拉克和费曼都把“概率幅”的概念看作是量子力学的核心，正如费曼把表现“概率的干涉”的“量子行为”作为他的《费曼物理学讲义》一书的第三卷的第一章的标题一样，在狄拉克1930年出版的《量子力学原理》一书中把“态迭加原理”作为该书的第一章的标题。
然而在《量子力学原理》一书中，狄拉克对“态迭加原理”的表述并没有应用“通道”的概念，因此他实际上用(18)式的表示概率幅的迭加原理，这就不能把表现概率幅运算规则的(14)式和表现概率幅迭加原理的(16)式的区别开来，从而无法把概率幅的迭加原理的含义说清楚，也就不能阐明概率幅的迭加原理与概率的干涉之间的因果关系。由于同样的原因，“态迭加原理”的含义也是不清楚的，狄拉克并没有正面回答如下问题：如果没有态迭加原理，将得不到哪些量子力学的结论。
难能可贵的是，狄拉克在出版了他的这一名著以后，并没有固步自封，相反，他继续探索，与时俱进。我的朋友关洪在他的《量子力学的基本概念》一书中（高等教育出版社1990年版p.123-p.132），引用狄拉克在1970年说的如下一段话来介绍他对“态迭加原理”的新认识。
“我们在原子理论中所得到的概率，使作为一种更加基本的量的数值的模方而出现的。……这种量叫做概率幅。”
“这给了我们一个非常不同于日常生活的概率概念。……存在这种概率幅的直接结果就是引起干涉现象。如果某一过程能够以几种不同的方式发生，像人们所说的由不同的通道发生，那么我们必须做的就是计算出对其中每一个通道的概率幅，然后把所有这些概率幅加起来，并且只有在完成了这种加法之后，我们才乘出模的平方，从而得出这一过程发生的概率的总结果。你可以看出，这一结果完全不同于我们对于各条通道相对应的各项单独取模的平方而得到的结果。正是这种差别引起充满着整个原子世界的干涉现象。”
在这里，晚年的狄拉克终于迈出了关键的一步，通过“通道”的概念来表述“概率幅的迭加原理”。如果狄拉克再向前迈一小步，就有可能把表现概率幅运算规则的(14)式和表现概率幅迭加原理的(16)式的区别开来，从而有可能确切地从“态迭加原理”导出“概率的干涉”现象。
另一方面，关洪在《量子力学的基本概念》一书的同一小节里，又介绍了费曼对概率幅的认识，他写道：（虽然我用了引号，但为了本文前后一致而对其中一个公式以及若干个用语作了修改。）
“概率相加规则是经典粒子观念的反映；而概率幅相加规则，即‘态迭加原理’，则是量子力学基本假设的基础。量子力学开创了以概率幅为基本量的全面统计描写，它既区别于使用概率迭加的经典粒子观念，又区别于直接用物理量表示表示振幅而不需要统计描写的经典波动观念。
“然而，虽然在量子力学诞生以前，人们没有使用过以概率幅迭加为基本原理的概率论，但这一套做法并不违背概率论的数学结构。譬如，(11)式即
PrU (X) = PrV (X·E) + PrV (X·F)
的失效并不意味着概率论里关于相互排斥的事件的条件概率相加的普遍定律不再成立。因为，事实上，上式右边的两个概率是在两条缝轮流打开的条件下的概率，而上式左边的概率则是两条缝同时打开的条件下的概率。条件不相同，本来就没有理由把上式看作是概率论的一个结论。只有在经典物理学的粒子观念支配下，认为粒子只可能通过某一条缝，而这时它所没有通过的另一条缝是否开放，不会对它的行为有什么影响。只有在这种假定下，才可能把上式右边的两个概率当成两个相互排斥的事件的概率，因而遵从上式的相加规则。“因为在量子力学中起作用的是概率幅的迭加，从而产生了干涉效应，概率迭加规则就不再成立。由此可见，上式的失效只能说明经典粒子概念的失效，并不说明概率论中的普遍定律不再成立。”
关洪指出：以上关于“舍弃概率迭加而采用概率幅迭加的意义”的基本论证，是费曼在提出路径积分的工作里首次提出的，而这种讨论和狄拉克晚年的说法的精神是一致的。
根据关洪的上述介绍，关于“概率的干涉”的问题，费曼向前迈出了决定性的一步：按照“哥本哈根诠释”，从命题A可导出概率论的全概率公式，而从概率论的全概率公式可导出命题B，因此，从命题A可导出命题B。实验证明命题B不成立，因此命题A不成立。而费曼则正确地指出：从概率论的全概率公式其实并不能导出命题B，只有从概率论的全概率公式和命题F的合取才能导出命题B。既然如此，他为什么还要继续坚持命题A已经失效的结论呢？
费曼在这里给出了一个替换的论据：“在经典物理学的粒子观念支配下，认为粒子只可能通过某一条缝，而这时它所没有通过的另一条缝是否开放，不会对它的行为有什么影响。”换句话说，费曼给出了如下论据：从命题A可导出命题F。
如果把“经典物理学的粒子”理解为“力学粒子”即“牛顿力学意义下的质点”，则费曼的这一论据是对的，但是，电子不是“力学粒子”而是“电学粒子”。在这里，像其他量子物理学家一样，费曼不幸忘记了电子有一个固有电磁场，而这就是对量子现象一切误解的根源。只要考虑到电子有一个固有电磁场就不能理解，虽然电子只可能通过某一条缝，但它所没有通过的另一条缝是否开放，将会改变它的固有电磁场的边界条件，从而会影响它的运动。
正如在其他量子现象中一样，电子在双缝衍射实验中的行为乃是大自然对“洛仑兹问题”的回答，这种行为可描述如下：
单个电子是粒子，它的运动是轨道运动；但是，每个电子都是一个动态的带电系统，从而都激发一个自身的“固有电磁场”。因此，一个电子束不仅有大量粒子，而且还有一个由同样多的固有电磁场迭加起来的总电磁场，它是电子束的固有电磁场，其宏观表现就是“德布洛意波”。因此，德布洛意波乃是电子束的诸粒子所激发的电磁波，换句话说，电子束的诸粒子乃是德布洛意波的波源。正如光波是离开波源的电磁波一样，德布洛意波乃是伴随着波源的电磁波。
在电子的双缝衍射实验中，考虑第三节定义的U与V两个过程。在过程V中，两条缝轮流打开，通过第一条缝的诸电子形成一个电子束A，通过第二条缝诸电子形成一个电子束B，A与B两个电子束先后到达屏幕上，各自形成自己的衍射图形。在过程U中，两条缝同时打开，通过第一条缝和通过第二条缝的诸电子仍然分别形成A与B两个电子束，但它们将同时到达屏幕上，形成一个单一的衍射图形。实验证明这个单一的衍射图形并不是在过程V中得到的两个衍射图形的迭加。这一事实可说明如下：
由于两个电子束A与B都有各自的德布洛意波，而德布洛意波作为电磁波，具有波的干涉与衍射的特征。因此，在电子束A与B同时到达屏幕上的条件下，德布洛意波在屏幕上的能量分布不是A与B分别到达屏幕上的条件下的能量分布的迭加。由于电子束的诸粒子与德布洛意波的相互作用，电子束的诸粒子的数密度分布正比于德布洛意波的能量分布。因此，在上面的两个过程中，诸粒子在屏幕上的位置分布也有所不同。
我们看到，由于思维的惯性，狄拉克与费曼终身也摆脱不了从过去的错误认识得出的错误结论：“电子的运动不是轨道运动”。尽管如此，从两位大师的工作我们还是看到，一个新世界观的胚胎已经在量子物理学的母体中形成。诚然，面临一个充满敌意的外部世界，还不能说这个婴儿的诞生是指日可待的。
如果以狄拉克和费曼的新观点为出发点，我这篇文章就至少可以删去四分之三，因为我在前面几节提出并不厌其详地反复论证的那些命题的中心点正是他们的新观点。可惜的是，我不能走这一捷径。从我最近接触的有关的文献来看，即使在已经问世数十年之后的今天，狄拉克和费曼的新观点还远没有成为人们的共识。在量子物理学家们中，能够分辨狄拉克和费曼的新观点与“哥本哈根学派”原来的观点之间的微妙差别的“有心人”还只是凤毛麟角。因此，本文的绝大部分读者未必读过有关新观点的文献，即使读过，也未必能理解。考虑到这种情况，我不得不把本文主要的篇幅用来批判“哥本哈根学派”原来的观点。要知道，迄今为止，这种观点还是绝大多数量子物理学家坚持的观点咧！
8 微观过程与概率运算
对于微观过程，经典概率论有两点不适用，一是概率迭加假设，二是事件运算的布尔代数。
因为概率幅遵循迭加原理，只要在微观过程中引进概率幅，就自然得出结论：“概率不遵循迭加原理。”此外，概率幅涉及两个状态，跃迁前的状态与跃迁后的状态，这两个状态是不对称的，这就又自然得出事件的乘法运算不遵循交换律的结论。于是，应用概率幅计算概率就自然地排除了经典概率论中不适用于微观过程的概率运算的两个因素。因此，即使对微观过程的概率运算（即量子力学的概率运算）的特征不甚了了，即使不知道“概率的迭加假设”为何物，甚至也不知道在微观过程中事件运算不遵循布尔代数的规则，只要掌握了概率幅运算的技巧，就能在微观领域畅通无阻地任意驰骋。对于量子物理学家们，这种情况是格外幸运的。但也有一点小小的不足之处，当问题不仅涉及微观过程的概率运算的技巧而且还涉及其实质时，他们就难免遭到挫折。由贝尔不等式引起的困惑就是其中的一个例子。
Interference of Probabilities and
State Superposition Principle
TAN Tianrong
(Department of Physics, Qingdao
University, Qingdao 266071, P. R. China.)
ttr359@126.com
Abstract: For double slit diffraction experiments, the
superposition principle for probability amplitudes means that the probability
amplitude of the event that an electron through a certain slit and arrives
somewhere on the screen is independent of the condition whether or not the other
slit is open. As a result, the probability of the same event is dependent on
such a condition. It is thus seen the thesis that the movement of an electron is
not orbital motion is unnecessary herein. Key words: double slit diffraction experiment；Dirac; Feynman; superposition principle; probability amplitude
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