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概率的干涉与态迭加原理（上）
c(上)
谭天荣
青岛大学
物理系青岛 266071
ttr359@126.com
内容提要：对于电子的双缝衍射实验，概率幅的迭加原理表成：“一个电子通过某一条缝到达屏幕上某处”这一事件的概率幅，与另一条缝是否打开无关。因此，同一事件的概率与另一条缝是否打开有关。由此可以得出结论：“电子的运动不是轨道运动”的论断在这里是不必要的。关键词：双缝衍射实验；狄拉克；费曼；迭加原理；概率幅
1 引言
著名的美国物理学家费曼在他的名著《费曼物理学讲义》一书的第三卷第一章中，以“量子行为”为标题，详细考察了电子的双缝衍射实验的“奥秘”：如果电子枪发出一束电子通过两条缝落在后面的屏幕上，则一方面落在屏幕上的电子呈现出像子弹一样的颗粒性，另一方面屏幕上的电子的数目分布呈现出像水波一样的干涉现象。费曼指出：电子的这种行为是“极其神秘”的，而且“你考虑的越多，就越会感到神秘。”他还说：人们曾经设想单个电子以各种复杂方式绕行通过缝来解释干涉现象，但都不成功。最后人们才认识到，为了理解电子的双缝衍射实验，就必须放弃如下前提：
A： 每一个达到屏幕的电子不是通过第一条缝就是通过第二条缝。
如果电子的运动是轨道运动，命题A就肯定成立，因此，费曼的结论也可以表成：“实验事实表明‘电子的运动不是轨道运动’。”
我们应该感谢前人引进如此大胆而又深奥的观念，但是我们也不要忘记：“电子的运动不是轨道运动”并不是实验事实本身而是为了说明实验事实而提出的一个假定。今天，量子力学的初学者一开始就把“电子的运动不是轨道运动”看作天经地义的前提，往往忘记了这一前提与实验事实之间的关联，这就未免本末倒置了。
再说，对双缝衍射实验还有别样的理解。
2 双缝衍射实验与量子力学的诠释
考虑如下电子的双缝衍射实验，同时打开两条缝，让一束电子通过这两条缝到达一个屏幕。按照命题A，一个到达屏幕上的电子必须而且仅仅通过某一条缝，因此，如果用符号e表示一个到达屏幕的电子，E表示“e通过第一条缝”而F表示“e通过第二条缝”，则有：
E + F = U
(必然事件)，
E + F = Ø (不可能事件)。
(1)
令W表示屏上的一个小区域，X表示“e落在W上”，则E·X表示“e通过第一条缝落在W上”而F·X表示“e通过第二条缝落在W上”。根据事件运算的布尔代数，从(1)式可得出：
E·X + F·X = X，
（E·X）·（F·X） = Ø。 (2)
根据概率的频率定义，从上述公式可得出：
Pr(X) = Pr(E·X) + Pr(F·X)。 (3)
这是概率的加法公式的一种形式。再根据概率的乘法公式，有
Pr(E·X) = Pr(E)·Pr(X|E)；
Pr(F·X) = Pr(F)·Pr(X|F)。
(4)
应用(4)式，(3)式表成
Pr(X) = Pr(E)·Pr(X|E) +
Pr(F)·Pr(X|F)。 (5)
这是概率的“全概率公式”。如果只打开第一条缝，事件“e落在W上”的概率为Pr(X|E)；如果只打开第二条缝，该事件的概率为Pr(X|F)；如果两条缝都打开，该事件的概率为Pr(X)。按照全概率公式，Pr(X)是Pr(X|E)和Pr(X|F)按照Pr(E)与Pr(F)的比例相加，特别是，当Pr(E) = Pr(F) = 1/2时，Pr(X)是Pr(X|E)和Pr(X|F)的算术平均值。考虑到W是屏幕上的任意区域，由此立刻得出结论：
B： 在两条缝同时打开的条件下的衍射图形将是在两条缝轮流打开的条件下得到的两个衍射图形的迭加。
但实验事实否定了这一结论，在两条缝同时打开的条件下的衍射图形与在两条缝轮流打开的条件下得到的两个衍射图形的迭加迥然不同。这一实验事实表明：全概率公式不适用于双缝衍射过程。
这样，矛盾出现了。一方面，根据不容置疑的理论推理，命题B应该成立；另一方面，双缝衍射实验却表明它不成立。人们被迫为摆脱这一矛盾绞尽脑汁，结果是为量子力学创立了各式各样的诠释。
哥本哈根学派认为：上述推导表明从命题A可导出概率论的全概率公式，而从概率论的全概率公式则可导出命题B，因此，从命题A可导出命题B。实验证明命题B不成立，因此“命题A不成立”，从而“电子的运动不是轨道运动”。哥本哈根学派还进一步断言，像“轨道”这样的“经典概念”不适用于微观过程。
从数学的角度来看，哥本哈根诠释否定了(1)式，从而下面的诸式，其中包括(5)式，也跟着不成立了，因此得不到命题B。
费曼也认为从命题A可导出命题B，但其论据与哥本哈根学派的上述论据略有不同，我们以后再考察他的独特见解。
同样为了摆脱命题B与实验事实之间的矛盾，另一些人得出了其他的量子力学的诠释。
例如，有人断言：命题演算中的“分配律”
(E + F)·X = E·X + F·X
在这里不再适用，因此(1)式虽然成立，但从(1)式得不到(2)式，从而也得不到命题B。建立在这种看法上的量子力学诠释称为“非分配逻辑诠释”。“哥本哈根诠释”与“非分配逻辑诠释”都确认全概率公式从而经典概率论不适用于微观过程，前者把这一前提追溯到经典概念，而后者则把它追溯到经典逻辑。
还有一种诠释不涉及经典概念与经典逻辑，仅仅否定经典概率论本身。例如，法国物理学家吉·洛查克继承了德布洛意的观点，认为经典概率论仅适用于“隐变量”，但由于某种原因，它不适用于计算测量结果的平均值。因此，洛查克确认(1)式与(2)式，但否定(3)式，从而也得不到命题B。
以建立“量子概率诠释”著称的L·阿卡迪提出如下论点：根据概率的频率定义，(1)式、(2)式与(3)式适用于任何过程，但(4)式，即概率的乘法公式不成立，因此还是得不到命题B。阿卡迪把概率的乘法公式称为“贝叶斯公理”，并断言：“量子力学中的一切佯谬都是由于不适当地应用这一公理引起的。”
上面这些诠释的存在表明：
第一，在推导命题B时，人们用了一个自以为是天经地义的前提，而它却不适用于微观过程。
第二，对于究竟是推导中的哪一个前提不适用于微观过程的问题，人们的意见不一致。
3 三种鲜为人知的诠释
上面对命题B的推导一开始就用到“概率”这一用语，而这一用语涉及太多的有争议的概念，从而使问题复杂化了。下面，我们对命题B的给出另一种推导。
在电子的双缝衍射实验中，分别考察如下三个过程。
第一，设电子源平稳地发射着电子，在同时打开两条缝的条件下经历时间T，有N个电子落在屏幕上。如果命题A成立，则过程中通过第一条缝的电子数N1与通过第二条缝的电子数N2是确定的，而且通过第一条缝落在W上的电子数n1与通过第二条缝落在W上的电子数n2也是确定的，而落在W上的电子总数则是n1 + n2。设e是落在屏幕上的N个电子之一，则根据概率的频率定义，当N足够大时，e落在W上的概率是
Pr (X) = (n1 + n2)/N；
此外，e通过第一条缝的概率和通过第二条缝的概率可分别表成
Pr (E) = N1/N，
Pr (F) =
N2/N。
第二，假定其他条件保持不变，仅关闭第二条缝，同样经历时间T，则还是会有N1个电子通过第一条缝落在屏幕上，其中还是有n1个电子落在W上。在这一过程中，已知 e肯定通过第一条缝，因此它落在W上的概率为
Pr(X|E) = n1/N1。
第三，同样，如果仅关闭第一条缝，则e落在W上的概率为
Pr(X|F) = n2/N2。
根据显然的数字关系
(n1 +
n2)/N = (N1/N)( n1/N1)
+ (N2/N)(
n2/N2)，
我们重新得到(5)式，从而重新得到命题B。上面的推导没有用到命题演算的分配律、概率的加法公式与乘法公式，从而排除了非分配逻辑诠释、德布洛意或洛查克的隐变量诠释以及阿卡迪的“量子概率诠释”。
这三种被排除的诠释都是鲜为人知的，没有多少人相信，从而也很少有人认真对待。在这里，我们将指出这些诠释是不可取的。
首先，试图用“非分配逻辑”来说明量子现象也像用“三值逻辑”来说明量子现象一样，有两个令人沮丧的困难：第一，我们必须借助于“布尔逻辑”来研究“非布尔逻辑”。第二，量子力学理论的数学工具是根据“布尔逻辑”展开的，如果要在“非布尔逻辑”的框架下，建立一种量子力学诠释，那么，这种诠释不仅要重新建立逻辑原理与物理学原理，而且还得重新建立数学原理，这是一个令人望而生畏的任务。
德布洛意或洛查克的隐变量诠释断言经典概率论对于隐变量理论是适用的，只是对被测量的“可观察量”才不适用。但我们知道，微观的事件空间是“非布尔”的，在其中某些布尔代数的规则不成立。如果在一个隐变量理论中，全部事件运算的布尔代数规则适用于隐变量，则为了使这个隐变量理论得出关于可观察量的事件运算的规则，即使可能，也会是极为复杂而生硬的。
阿卡迪承认概率的频率定义普遍适用，却不承认概率的乘法公式是普遍成立的。这种想法乃是现有的概率的频率定义所引起的一种误解。
现在，频率定义的对象是“无条件概率”，而“条件概率”则通过乘法公式来定义。如果修改频率定义使它成为“条件概率”的定义，则会立刻否定了阿卡迪的诠释。
“修正的频率定义”可表述如下：
定义1： 考虑如下过程：某一试验不断重复，其中在条件S下重复了N 次，而在这N 次重复实验的结果中，有NE个具有性质E。那么，当时N无限增大时，比值NE/N的极限就是在条件S下出现具有性质E的结果的概率，记作Pr(E|S)。即，
Pr(E|S) = lim（NE/N）。
而所谓“无条件概率”则具有如下意义：如果对于所考察的问题，所涉及的事件都是在一个共同的条件R条件下进行的，从而对于该问题，R是一个“先决条件”，则对于出现在该问题中的某一概率表达式来说，符号R
可以省去，即Pr(A|R·B)可略写作Pr(A|B)，而Pr(A|R)可略写作Pr(A)。在这里，概率表达式Pr(A)就表示“无条件概率”了。按照这种规定，一切概率都是条件概率，所谓无条件概率只不过是略去了条件符号的条件概率。
应用定义1，不难证明
Pr(E·F|S) =
Pr(E|S)·Pr(F|E·S)。 (6)
如果(6)式中的S是所考察的问题的先决条件，则该式可略写成
Pr(E·F) = Pr(E)·Pr(F|E)。 (7)
(7)式就是乘法公式，它不再是条件概率Pr(F|E)的定义，也不是一个公理，而是从频率定义导出的一个定理了。阿卡迪断言(7)式不适用于微观过程，这诚然是一种极为独特的论点，似乎至今还没有得到其他人的支持。但这一论点也反映一个问题：把(7)式作为条件概率的定义或者公理有可能使人怀疑其普遍有效性。而当我们从概率的频率定义导出(7)式时，这种可能性就不再存在了。
排除了上面三个诠释，我们从命题B的推导似乎只能引出哥本哈根诠释。但是，还有一个隐蔽的前提在这里被忽略了。
4 迭加原理
在小学的算术中，有一种类型的问题称为“工程问题”。例如：某一个工程，甲单干15天能完成，乙单干12天能完成，丙单干10天能完成，问甲乙丙三人合干几日能完成。这道题的标准答案是这样的：甲一天能完成该工程的1/15, 乙一天能完成该工程的1/12, 丙一天能完成该工程的1/10,于是甲乙丙三人合干一天能完成该工程的1/15 + 1/12 + 1/10 = 1/4。因此，该工程如果由甲乙丙三人合干，则4天能完成。
这个标准答案立足于如下前提：
C：当甲乙丙三人合干时，三个人一天完成的总工作量是他们三人各自单干时一天完成的工作量之和。
这个前提是不是一定成立呢？诚然，当甲乙丙三人合干时，三个人一天完成的工作量总是这三个人干的而不是其他什么人干的，因此，如果甲一天完成的工作量是a，乙一天完成的工作量是b，丙一天完成的工作量是c，则三人一天完成的工作量肯定是a + b + c。但是，这里说的甲一天的工作量a是指他在与其他两人合干时的工作量，而不是指他单干时一天的工作量。因此，上述的标准答案有一个默认的前提：
D： 当甲乙丙三人合干时，每个人一天完成的工作量与他们单干时的工作量时是一样的。
这是一个合乎常情的前提，却并不是一个天经地义的前提。当三个人合干时，可能由于合理分工，效率有所提高；也可能由于有人偷奸取巧，效率反而降低了。甚至可能出现如下情况：这在这三个人中有“一个干的，一个看的，一个捣乱的。”那么效率更会大大降低。总之，当甲乙丙三人合干时，每个人一天完成的工作量与他们单干时的工作量有可能是不同的。因此，对于上述工程问题的标准答案，命题D乃是一个附加的假定，这个不起眼的假定在物理学上却有一个十分响亮的名称。
在静电学中有如下基本的实验事实：
E： 设有两个点电荷，第一个点电荷单独存在时，观察点的电场强度为E1，第二个点电荷单独存在时，观察点的电场强度为E2，则两个点电荷同时存在时，观察点的电场强度为E1 + E2。
这一实验事实称为“静电场的迭加原理”，它是静电学中的一个基本原理。
对于某些物理量，类似的“迭加原理”并不成立。例如，根据静电场理论，静电场的能量密度u与电场强度E的自乘成正比，即存在常量k，使得
u = kE·E。
因此，对于上面考察的两个点电荷，第一个点电荷单独存在时，观察点的静电场的能量密度为u1 =
kE1·E1，第二个点电荷单独存在时，观察点的静电场的能量密度为u2 =
kE2·E2，而根据静电场的迭加原理，当两个点电荷同时存在时，观察点的电场强度为E1
+ E2，因此观察点的静电场的能量密度为
u = k(E1 +
E2)·(E1 +
E2) = u1 + u2 + u12
这里，u12 = k(E1·E2
+ E2·E1
)是一个“交叉项”，表示一种“相互作用能”，它的存在使得静电场的能量不遵循迭加原理：当两个点电荷同时存在时观察点的能量密度，不等于两个点电荷各自单独存在时观察点的两个能量密度之和。比较命题C与命题E，我们看到某种共同之处，既然命题E表示“静电场的强度遵循迭加原理”，命题C似乎就该表示“人们干活的工作量遵循迭加原理”了。这个用语是否合适，我们不在这里考察，但有一点可以肯定，命题C这个前提未必成立，从而默认这一前提乃是人们的疏忽。作为一道小学算术题，这种疏忽是无足轻重的，但在物理学中同样的疏忽却让人们付出了高昂的代价。
5 概率的迭加假设
现在我们回到对命题B的第二种推导，这个推导也有一点小小的疏忽，其中有如下推理：
“设同时打开两条缝经历时间T，有N1个电子通过第一条缝，其中落在W上的电子数为n1。如果其他条件保持不变，仅关闭第二条缝，同样经历时间T，则还是会有N1个电子通过第一条缝落在屏幕上，其中还是会有n1个电子落在W上。”
这一推理默认了如下前提：“在双缝衍射过程中，通过某一条缝落在上的电子数，与另一条缝到底是打开还是关闭无关。”
为了用数学的语言表述这一命题，首先要承认“打开第二条缝”还是“关闭第二条缝”是不同是实验条件，在这两种实验条件下，通过第一条缝落在W上的电子数的含义不同，必须用不同的符号来表示。用n1和m1分别表示在打开和关闭第二条缝两种条件下通过第一条缝落在W上的电子数；用n2和m2分别表示在打开和关闭第一条缝两种条件下通过第二条缝落在W上的电子数，则上述推理默认的前提表成：
m1 = n1， m2 =
n2， (8)
现在，我们把第三节所考察的三个过程中的第二、第三两个过程合并成一个，即考虑如下两个过程：过程U：同时打开两条缝经历时间T，有N个电子落在屏幕上。
过程V：假定其他条件保持不变，先关闭第二条缝，经历时间T，从而有N1个电子达到屏幕上；再打开第二条缝，关闭第一条缝，再经历时间T，从而有N2个电子达到屏幕上。在整个过程中，也有N个电子落在屏幕上。
在这里，过程U是在“两条缝同时打开”的条件下进行的，过程V则是在“两条缝轮流打开”的条件下进行的，由于两个过程的实验条件不同，有关的概率有不同的含义，必须用不同的符号来表示它们。如果还是用符号U和V表示这两个过程的条件，则按照概率论的通常写法，“在‘两条缝同时打开’的条件下的某一事件Y的概率”本应写成Pr(Y|U)，但为了把U这一条件和其他条件区别开来，我们把这个概率表达式改写成PrU(Y)。同样，“在‘两条缝轮流打开’的条件下的Y事件的概率”写成PrV(Y)。如果Y事件的概率与两条缝“同时打开”还是“轮流打开”无关，则仍然写成Pr(Y)。
还是用e表示一个“落在屏幕上的电子”，E表示“e通过第一条缝”而F表示“e通过第二条缝”，X表示“e落在W上”，则根据概率的频率定义，当N足够大时，对于过程U，我们有：
PrU (X) = (n1 + n2)/ N；
根据显然的数字关系
(n1 +
n2)/N = n1/N + n2/N，
我们有
PrU (X) = PrU (X·E) + PrU (X·F)。 (9)
在过程V中，落在屏幕上的电子总数还是N。还是用m1和m2分别表示通过第一条缝落在W上的概率与通过第二条缝落在W上的电子数，则有：
PrV (X·E) =
m1/N； PrV (X·F) =
m2/N。
于是(8)式表成：
PrU (X·E) = PrV
(X·E)，
PrU (X·F) = PrV
(X·F)，
(10)
(10)式表示：F： 在双缝衍射过程中，单个电子e通过某一条缝落在上的概率，与另一条缝到底是打开还是关闭无关。
(9)式和(10)式给出
PrU (X) = PrV (X·E) + PrV (X·F)。
(11)
(11)式表示：G： 在双缝衍射过程中，在两条缝同时打开的条件下单个电子e落在W上的概率是在两条缝轮流打开的条件下单个电子e落在W上的两个概率之和。
如果说命题E表示静电场遵循迭加原理，那么命题G就表示“概率遵循迭加原理”。但由于命题G并不是一个实验事实，我们不能称它为“概率的迭加原理”。尽管如此，命题G曾经给我们带来长期的困扰，我们不得不一再提到它，因此它总得有一个名称，下面我们称它为“概率的迭加假设”。
考虑到W可以是屏幕上的任意区域，从命题G可以得到命题B。但是在导出命题G时，不仅用到命题A，而且还用到命题F，因此我们从双缝衍射实验得出的结论就不再是“命题A不成立”，而是“命题A与命题F不能同时成立”。
如果说命题A与常识是一致的，放弃它会导致“不可思议”的结论。那么，命题F却并非如此，人们接受这个前提仅仅是由于疏忽。因此，与其放弃命题A倒不如放弃命题F。因此，我们倾向于认为命题F并不成立，即倾向于认为“概率不遵循迭加原理”。在下一节，我们将证明这一结论。
回到第三节对命题B的推导，从其中的第一个过程，我们得到的(5)式是：
PrU (X) = Pr(E)·PrU(X|E) + Pr(F)·PrU(X|F)。
(12)
这是概率论意义下的“全概率公式”。在两条缝同时打开的条件下，我们无法分辨一个落在W的电子到底是通过第一条缝还是第二条缝，从而PrU(X|E) 和PrU (X|F)是不能测量的。因此，(12)式根本不能与实验结果相比较，从而也就不可能与实验事实相矛盾。再考虑另外两个过程，并且把PrV理解为“另一条缝关闭”的条件下的概率符号，相应地，把PrU理解为“另一条缝打开”的条件下的概率符号，则命题G表成
PrU (X) =
Pr(E)PrV(X|E) +
Pr(F)PrV(X|F)。
(13)
从命题A只能导出(12)式，它是概率论意义下的全概率公式，而导出命题B的则是(13)式，它是“概率迭加假设”的另一种形式。哥本哈根学派混淆了(12)式与(13)式，这才得出“从命题A可以导出命题B”的错误结论。
概率的干涉与态迭加原理(下)
6 概率幅的迭加原理
(13)式表示PrU (X)、PrV (X|E)和PrV (X|F)三个可以测量的概率之间的关系，但这一公式并不成立，为了从理论上导出这三个概率之间的关系，我们必须找到一个具有如下性质的量：
第一，满足迭加原理；
第二，从它能计算出概率的测量值。
幸运的是，这个量已经找到，它就是“概率幅”。
费曼曾说：“概率幅”这一概念乃是量子力学的核心。实际上，“概率幅” 这一概念之所以重要，正是由于它满足迭加原理。对于双缝衍射实验，这个原理可表成：“单个电子通过某一通道落在屏幕上某处的概率幅，与另一通道是否打开无关。”
概率幅是一个复数，与跃迁概率Pr(B|A)对应的概率幅记作<B|A>，根据量子力学，两者的对应关系是：
Pr(B|A) = |<B|A>|2。
即Pr(B|A)是<B|A>的“模方”（绝对值的平方）。
和概率一样，概率幅也遵循加法公式和乘法公式。
像Pr (X)这样的“无条件概率”实际上还是有一个先决条件：“e是落在屏幕上的一个电子”。用S表示这一先决条件，则Pr(X)其实是Pr (X|S)的略写，其对应的概率幅是<X|S>。
在双缝衍射实验中，两条缝“同时打开”与“轮流打开”对于概率幅也是不同的条件。下面，我们用<X|S>U和<X|S>V分别表示在两条缝同时打开和轮流打开的条件下，事件“e落在W上”的概率幅。
根据概率幅的运算规则，我们有：
<X|S>U =
<X|E>U·<E|S
> + <X|F>U·< F|S
>
(14)
概率幅的迭加原理在这里表成：
<X|E>V =
<X|E>U，
<X|F>V =
<X|F>U。
(15)
上面两式给出
<X|S>U =
<X|E>V·<E|S
> + <X|F>V·<F|S
>。
(16)
比较静电场的迭加原理，这是概率幅的迭加原理在这里的另一种表达方式。
对(16)式的两边取模方，再借助于概率的测量值与概率幅之间的对应关系
PrU (X) = |<X|S>U|2，
PrV (X|E) = |<X|E>V|2，
PrV (X|F) = |<X|F>V|2，
以及
Pr(E) = |<E|S>|2，
Pr(F) = |<F|S>|2，
我们得到
PrU (X) = Pr(E)·PrV(X|E) + Pr(F)·PrV(X|F) + J。
(17)
其中J是交叉项，它表现概率的干涉现象。
由于(15)式成立，(14)式和(16)式都可以略写成
<X|S> = <X|E>·<E|S
> + <X|F>·< F|S
>。
(18)
如果略去不言而喻的条件S，则(18)式写成：
<X| = <X|E>·<E|
+ <X|F>·< F|。
这是量子力学中的“态迭加原理”的一种表达式。
应用概率的乘法公式，(17)式表成：
PrU (X) = PrV (X·E) + PrV (X·F) + J。
(19)
比较(19)式与(9)式，我们看到(10)式不成立，即命题F不成立，从而没有命题A也能证明命题B不成立。
如果没有概率幅的迭加原理，则(14)式作为概率幅的运算规则仍然成立，但我们不能从(14)式过渡到(16)式，从而不能导出表现概率的干涉现象的(17)式，而概率的干涉现象是最基本的量子现象。因此，如果没有概率幅的迭加原理，就不能说明概率的干涉现象。只有在这种意义下，“概率幅的迭加原理”或“态迭加原理”才是量子力学的一个基本原理。
另一方面，正如从静电场的迭加原理可以得出静电场的能量不遵循迭加原理一样，从概率幅的迭加原理可以得出概率本身不遵循迭加原理的结论。这样，“电子的运动不是轨道运动”在这里就成了一个多余的命题。
我们知道，威尔逊云雾室中的电子径迹已经表明电子的运动是轨道运动。于是我们得出结论：双缝衍射实验不再与经典物理学相矛盾。这样，命题A与双缝衍射实验之间根本就没有矛盾。
7 狄拉克和费曼对概率幅的新认识
上面，我们先后考察了表现“概率幅”这一概念的特征的两个课题：“概率的干涉”与“态迭加原理”。狄拉克和费曼都把“概率幅”的概念看作是量子力学的核心，正如费曼把表现“概率的干涉”的“量子行为”作为他的《费曼物理学讲义》一书的第三卷的第一章的标题一样，在狄拉克1930年出版的《量子力学原理》一书中把“态迭加原理”作为该书的第一章的标题。
然而在《量子力学原理》一书中，狄拉克对“态迭加原理”的表述并没有应用“通道”的概念，因此他实际上用(18)式的表示概率幅的迭加原理，这就不能把表现概率幅运算规则的(14)式和表现概率幅迭加原理的(16)式的区别开来，从而无法把概率幅的迭加原理的含义说清楚，也就不能阐明概率幅的迭加原理与概率的干涉之间的因果关系。由于同样的原因，“态迭加原理”的含义也是不清楚的，狄拉克并没有正面回答如下问题：如果没有态迭加原理，将得不到哪些量子力学的结论。
难能可贵的是，狄拉克在出版了他的这一名著以后，并没有固步自封，相反，他继续探索，与时俱进。我的朋友关洪在他的《量子力学的基本概念》一书中（高等教育出版社1990年版p.123-p.132），引用狄拉克在1970年说的如下一段话来介绍他对“态迭加原理”的新认识。
“我们在原子理论中所得到的概率，使作为一种更加基本的量的数值的模方而出现的。……这种量叫做概率幅。”
“这给了我们一个非常不同于日常生活的概率概念。……存在这种概率幅的直接结果就是引起干涉现象。如果某一过程能够以几种不同的方式发生，像人们所说的由不同的通道发生，那么我们必须做的就是计算出对其中每一个通道的概率幅，然后把所有这些概率幅加起来，并且只有在完成了这种加法之后，我们才乘出模的平方，从而得出这一过程发生的概率的总结果。你可以看出，这一结果完全不同于我们对于各条通道相对应的各项单独取模的平方而得到的结果。正是这种差别引起充满着整个原子世界的干涉现象。”
在这里，晚年的狄拉克终于迈出了关键的一步，通过“通道”的概念来表述“概率幅的迭加原理”。如果狄拉克再向前迈一小步，就有可能把表现概率幅运算规则的(14)式和表现概率幅迭加原理的(16)式的区别开来，从而有可能确切地从“态迭加原理”导出“概率的干涉”现象。
另一方面，关洪在《量子力学的基本概念》一书的同一小节里，又介绍了费曼对概率幅的认识，他写道：（虽然我用了引号，但为了本文前后一致而对其中一个公式以及若干个用语作了修改。）
“概率相加规则是经典粒子观念的反映；而概率幅相加规则，即‘态迭加原理’，则是量子力学基本假设的基础。量子力学开创了以概率幅为基本量的全面统计描写，它既区别于使用概率迭加的经典粒子观念，又区别于直接用物理量表示表示振幅而不需要统计描写的经典波动观念。
“然而，虽然在量子力学诞生以前，人们没有使用过以概率幅迭加为基本原理的概率论，但这一套做法并不违背概率论的数学结构。譬如，(11)式即
PrU (X) = PrV (X·E) + PrV (X·F)
的失效并不意味着概率论里关于相互排斥的事件的条件概率相加的普遍定律不再成立。因为，事实上，上式右边的两个概率是在两条缝轮流打开的条件下的概率，而上式左边的概率则是两条缝同时打开的条件下的概率。条件不相同，本来就没有理由把上式看作是概率论的一个结论。只有在经典物理学的粒子观念支配下，认为粒子只可能通过某一条缝，而这时它所没有通过的另一条缝是否开放，不会对它的行为有什么影响。只有在这种假定下，才可能把上式右边的两个概率当成两个相互排斥的事件的概率，因而遵从上式的相加规则。
“因为在量子力学中起作用的是概率幅的迭加，从而产生了干涉效应，概率迭加规则就不再成立。由此可见，上式的失效只能说明经典粒子概念的失效，并不说明概率论中的普遍定律不再成立。”
关洪指出：以上关于“舍弃概率迭加而采用概率幅迭加的意义”的基本论证，是费曼在提出路径积分的工作里首次提出的，而这种讨论和狄拉克晚年的说法的精神是一致的。
根据关洪的上述介绍，关于“概率的干涉”的问题，费曼向前迈出了决定性的一步：按照“哥本哈根诠释”，从命题A可导出概率论的全概率公式，而从概率论的全概率公式可导出命题B，因此，从命题A可导出命题B。实验证明命题B不成立，因此命题A不成立。而费曼则正确地指出：从概率论的全概率公式其实并不能导出命题B，只有从概率论的全概率公式和命题F的合取才能导出命题B。既然如此，他为什么还要继续坚持命题A已经失效的结论呢？
费曼在这里给出了一个替换的论据：“在经典物理学的粒子观念支配下，认为粒子只可能通过某一条缝，而这时它所没有通过的另一条缝是否开放，不会对它的行为有什么影响。”换句话说，费曼给出了如下论据：从命题A可导出命题F。
如果把“经典物理学的粒子”理解为“力学粒子”即“牛顿力学意义下的质点”，则费曼的这一论据是对的，但是，电子不是“力学粒子”而是“电学粒子”。在这里，像其他量子物理学家一样，费曼不幸忘记了电子有一个固有电磁场，而这就是对量子现象一切误解的根源。只要考虑到电子有一个固有电磁场就不能理解，虽然电子只可能通过某一条缝，但它所没有通过的另一条缝是否开放，将会改变它的固有电磁场的边界条件，从而会影响它的运动。
正如在其他量子现象中一样，电子在双缝衍射实验中的行为乃是大自然对“洛仑兹问题”的回答，这种行为可描述如下：
单个电子是粒子，它的运动是轨道运动；但是，每个电子都是一个动态的带电系统，从而都激发一个自身的“固有电磁场”。因此，一个电子束不仅有大量粒子，而且还有一个由同样多的固有电磁场迭加起来的总电磁场，它是电子束的固有电磁场，其宏观表现就是“德布洛意波”。因此，德布洛意波乃是电子束的诸粒子所激发的电磁波，换句话说，电子束的诸粒子乃是德布洛意波的波源。正如光波是离开波源的电磁波一样，德布洛意波乃是伴随着波源的电磁波。
在电子的双缝衍射实验中，考虑第三节定义的U与V两个过程。在过程V中，两条缝轮流打开，通过第一条缝的诸电子形成一个电子束A，通过第二条缝诸电子形成一个电子束B，A与B两个电子束先后到达屏幕上，各自形成自己的衍射图形。在过程U中，两条缝同时打开，通过第一条缝和通过第二条缝的诸电子仍然分别形成A与B两个电子束，但它们将同时到达屏幕上，形成一个单一的衍射图形。实验证明这个单一的衍射图形并不是在过程V中得到的两个衍射图形的迭加。这一事实可说明如下：
由于两个电子束A与B都有各自的德布洛意波，而德布洛意波作为电磁波，具有波的干涉与衍射的特征。因此，在电子束A与B同时到达屏幕上的条件下，德布洛意波在屏幕上的能量分布不是A与B分别到达屏幕上的条件下的能量分布的迭加。由于电子束的诸粒子与德布洛意波的相互作用，电子束的诸粒子的数密度分布正比于德布洛意波的能量分布。因此，在上面的两个过程中，诸粒子在屏幕上的位置分布也有所不同。
我们看到，由于思维的惯性，狄拉克与费曼终身也摆脱不了从过去的错误认识得出的错误结论：“电子的运动不是轨道运动”。尽管如此，从两位大师的工作我们还是看到，一个新世界观的胚胎已经在量子物理学的母体中形成。诚然，面临一个充满敌意的外部世界，还不能说这个婴儿的诞生是指日可待的。
如果以狄拉克和费曼的新观点为出发点，我这篇文章就至少可以删去四分之三，因为我在前面几节提出并不厌其详地反复论证的那些命题的中心点正是他们的新观点。可惜的是，我不能走这一捷径。从我最近接触的有关的文献来看，即使在已经问世数十年之后的今天，狄拉克和费曼的新观点还远没有成为人们的共识。在量子物理学家们中，能够分辨狄拉克和费曼的新观点与“哥本哈根学派”原来的观点之间的微妙差别的“有心人”还只是凤毛麟角。因此，本文的绝大部分读者未必读过有关新观点的文献，即使读过，也未必能理解。考虑到这种情况，我不得不把本文主要的篇幅用来批判“哥本哈根学派”原来的观点。要知道，迄今为止，这种观点还是绝大多数量子物理学家坚持的观点咧！
8 微观过程与概率运算
对于微观过程，经典概率论有两点不适用，一是概率迭加假设，二是事件运算的布尔代数。
因为概率幅遵循迭加原理，只要在微观过程中引进概率幅，就自然得出结论：“概率不遵循迭加原理。”此外，概率幅涉及两个状态，跃迁前的状态与跃迁后的状态，这两个状态是不对称的，这就又自然得出事件的乘法运算不遵循交换律的结论。于是，应用概率幅计算概率就自然地排除了经典概率论中不适用于微观过程的概率运算的两个因素。因此，即使对微观过程的概率运算（即量子力学的概率运算）的特征不甚了了，即使不知道“概率的迭加假设”为何物，甚至也不知道在微观过程中事件运算不遵循布尔代数的规则，只要掌握了概率幅运算的技巧，就能在微观领域畅通无阻地任意驰骋。对于量子物理学家们，这种情况是格外幸运的。但也有一点小小的不足之处，当问题不仅涉及微观过程的概率运算的技巧而且还涉及其实质时，他们就难免遭到挫折。由贝尔不等式引起的困惑就是其中的一个例子。
Interference of Probabilities and
State Superposition Principle
TAN Tianrong
(Department of Physics, Qingdao
University, Qingdao 266071, P. R. China.)
ttr359@126.com
Abstract: For double slit diffraction experiments, the superposition principle for probability amplitudes means that the probability amplitude of the event that an electron through a certain slit and arrives somewhere on the screen is independent of the condition whether or not the other slit is open. As a result, the probability of the same event is dependent on such a condition. It is thus seen the thesis that the movement of an electron is not orbital motion is unnecessary herein.
Key words: double slit diffraction experiment；Dirac; Feynman; superposition principle; probability amplitude
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