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青岛大学 谭天荣 ttr359@126.com
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我今年80 岁，应该说，在职的物理学同行们都是我的晚辈。在这里我想和你们说几句话。不幸的是，我虽然年迈，却没有什么权威。如果有人问我，你算是老几？我还真无言以对。可是如果你问我“你为什么要和我对话？”我倒是还可以说一说。
我1952年考入北大物理系，学完了规定的课程。在这一学习期间，我就对量子力学的基本观点有些怀疑，以后的经历虽然很不利于我深造，但我还是继续思考物理学的问题，并自认为有所斩获。那么，我都想了些什么问题呢？
现代物理学现在处于一种极为奇特的境地。最近有一位科普作家曹天元在他的新作《上帝掷骰子吗量子物理史话》中对这一境地作了如下描述：
“我们将进入一个完完全全的奇幻世界。这个世界光 怪陆离，和我们平常所感知认同的那个迥然不同。在这个新世界里，所有的图像和概念都显得疯狂而不理性，显得更像是爱丽丝梦中的奇境，而不是踏踏实实的土地。”
这也是我对现代物理学的看法，而我这些年的“斩获”就是把物理学从这个“爱丽丝梦中的奇幻世界”重新带回到经典物理学的踏踏实实的土地上来。我试图证明，当年把物理学引向这种爱丽丝的梦境的，乃是一些被物理学家们称为“新颖观念”的幻想，而这些幻想则是源于一些极为初等的错误，其中最常见的是混淆了充分条件与必要条件。面临如此境地，我不得不尽可能详细地指出并改正这些错误。这种工作本身并不困难，困难的是，人们偏偏喜欢现代物理学的这种爱丽丝的梦境，偏偏喜欢它的那些疯狂而不理性的图像和概念，这就让我束手无策了。
举个例子说，普朗克借助于能量辐射的不连续性的概念导出了“普朗克公式”，而这一公式得到了实验的证实。人们因此假定：
A：能量在发射和吸收的时候，不是连续不断的，而是分成一份一份的。因此，辐射场的能量的改变是跳跃的，例如，从20个单位增加到21个单位不会经过像20个半这样的中间阶段。
曹天元说：
“正是这个假定，推翻了自牛顿以来200多年，曾经被认为是坚固不可摧毁的经典世界。这个假定以及它所衍生出的意义，彻底改变了自古以来人们对世界的最根本的认识。极盛一时的帝国，在这句话面前轰然土崩瓦解，倒坍之快之彻底，就像爱伦·坡笔下厄舍家那间不祥的庄园。”
然而，在普朗克的推导中，命题A只是作为导出普朗克公式的充分条件引进的，而当人们说这一命题“推翻了自牛顿以来200多年曾经被认为是坚固不可摧毁的经典世界”时，他们却把这一命题当作必要条件了。他们连想也没有想过：要摧毁的经典世界还必须证明：
“没有命题A，就不能导出普朗克公式。”
而我却证明了：
B：为了导出普朗克公式，并不需要命题A，从而不必摧毁经典世界。
证明命题B很容易。不幸的是，它是一个不受欢迎的命题。普朗克的辐射量子论摧毁了经典世界，这是多么令人欢欣鼓舞的事，谁要你来给出这个扫兴的证明！总之，人们对这一证明根本就不闻不问，就更说不上讨论和反驳了。
再举一个例子。前些年关于“贝尔不等式”的问题讨论得沸沸扬扬，人们相信，贝尔的工作能为爱因斯坦与波尔的“世纪之争”作出判决。上世纪六七十年代，实验证明贝尔不等式不成立，而量子力学有关的预言却与实验结果一致；人们由此得出结论：爱因斯坦的“定域实在论”哲学已被否定，波尔的“不可分割性”哲学得到了证实。借助于物理实验为哲学的论战作出判决，这种事情令人震惊的程度，并不亚于摧毁经典世界。
为了弄清楚事情的来龙去脉，让我们从贝尔提出的一个定理说起，这个定理被称为“贝尔定理”，通常表成：“定域隐变量理论不可能重复量子力学的全部统计预言。”其推导的步骤是：先从一组公理（为了言简意赅，下面称它为“贝尔公理”）给出“定域隐变量理论”（满足“定域性原理”的“隐变量理论”）的定义；然后从这组公理导出一个不等式，现在被称为“贝尔不等式”。贝尔证明，这个不等式与量子力学有关的预言相矛盾，由此就得出贝尔定理。
贝尔定理的证明有各式各样的错误，其中最致命的错误是如下逻辑问题：当贝尔从贝尔公理导出贝尔不等式时，贝尔公理是导出贝尔不等式的充分条件。而为了得出贝尔定理，贝尔公理却必须是贝尔不等式的必要条件。（可怜的物理学家们，他们什么时候才能学会辨别充分条件与必要条件呢？）这就使得贝尔的整个推导完全无效！
然而，贝尔定理是否成立呢？如果我们能证明：
C：存在另一个前提，它也能导出贝尔不等式，却与“定域性原理”和“隐变量理论”完全无关！
我们就证明了贝尔公理不是贝尔定理的必要条件，从而否定贝尔定理。证明命题C并不困难，困难的是人们无法接受“命题C否定了贝尔定理”这一结论，因为要接受这一结论需要的不是权威，不是“新颖观念”，不是像曹天元说的“最天才、最大胆和最富有锐气的眼光”，而是一点逻辑素养，虽然只是一点最初级的逻辑素养。
我知道，面临“辐射量子论”和“贝尔不等式”这样的问题，我无论提出什么样论据也无济于事，人们仅仅关心我的结论是否与权威们的意见一致，至于论据本身，是不会有人理睬的。这使我想起来聊斋中的一个故事：某时某地的法官，仅关心打官司的人是不是“盗户”，至于谁有理却不闻不问。在物理学领域里，我的工作好比“非盗户”与“盗户”打官司，有理也说不清。
但最近我遇到了一件对我有利的事情。在网上看到潘根的《我的物理哲学之路》。我的这位同行写的《基础物理述评教程》有许多错误，对于这些错误我倒是有一点用武之地。因为在这里，出错误不是物理学的泰斗，而是一个和我一样的普通教师，出错误的原因也不是因为作者有“最天才、最大胆和最富有锐气的眼光”，而是因为他缺乏众所周知的物理学常识。另一方面，这本书不仅在科学出版社出版，而且被评为优秀教程，据说还大受青年教师们欢迎，因而颇有影响。总之，在这里我既可以与人们较量一下拳脚，又不会处于类似“与‘盗户’打官司”的倒霉境地。
我把我对潘根这本书的评论附在这里，此外，虽然不抱希望，我还是附上关于“辐射量子论”以及“贝尔不等式”的文章各一篇。我知道这封信和这些文章会惹祸，但我来日不多，豁出去了，不计后果了。
祝你们在新的一年里，心想事成！
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谭天荣于2015年元旦
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附录一：评潘根的统一场论
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经友人介绍在网上读到潘根写的《我的物理哲学之路》，介绍他的著作《基础物理述评教程》的思路，颇有感想。
常听人议论，我国为什么没有学术上的大师？为什么没有人获得数理科学方面的诺贝尔奖金？我想，从潘根的例子，可以看到某些端倪。
潘根无疑具有成为大师的某些条件，智商颇高，思想活跃，最主要的是，他把自己的全部时间全部精力投身于自己心爱的学术。然而，十分不幸，他却远没有成为大师，为什么呢？
在网上我读到对他的书的这样一段评论：
“真的不知道如何评价这样的书籍。序言是抄温伯格的《引力和宇宙论》的；结尾后的大爆炸因为继承国内教育传统又成了伪科学……感觉这个老师仅仅具备经典物理图像，还没有进入现代物理的思考。“本书认为：物理学如果放弃因果律，那就意味着允许随心所欲地解释任何自然”现象，在实质上是以“自然科学”的名义要求人们听命于神创论。……没有量子场论的基础，没有科学哲学，没有微分几何的基础，所以这个老师也就民科了。还是老教授？既然去世了，我也就不说什么废话了，节哀。教授也可以是民科！只有简单逻辑引申的物理仅仅是逻辑，缺少了强作用和弱作用。没有实验的物理学只是伪哲学 ……。”
诚然，要成为一位物理学的大师，量子场论、科学哲学、微分几何、强作用和弱作用以及实验的基础是不可少的。然而，量子场论等并不是“基础物理述评教程”一书的考察对象，因为缺少这些内容而责难潘根的这本书是不公正的。这种评论，使我想起我的一位中学老师，他教我们代数学，当同学们问他问题时，他往往不回答同学们问的代数问题本身，却总是说以后学微积分时这个问题就解决了，这种回答照例使得同学们大失所望，我也在心里嘀咕：代数学的问题只能用代数的方法的解决，把代数学的问题推向微积分只能说明他既没有学好代数学，也没有学好微积分。
同样，评论潘根的“基础物理书评教程”，只能评论这本书所涉及的内容，特别是潘根自己说的“引-电统一场论，用逻辑方法导出了量子力学，对大爆炸宇宙论提出了尖锐的批评”等问题，还可以评论潘根“顺便”提到的“对最大概率原理、宇宙学原理、引力佯谬、粒子结构、电荷失恒、超光速之类的问题作补充说明”。换句话说，我们应该评论他对力学、热学、电磁学和量子力学等的“改造”是否对路，是否有价值，而不是谴责他只“改造”物理学的这些分支，却还没有“改造”物理学的其他分支。
我对潘根的这本书总的评价是：“错误太多，不适合作为教材。”有哪些错误呢？伤其十指不如断其一指。在这里，我不拟对全面地评论潘根的这本书，只考察其中的一个问题：“引力-电磁统一场论”的问题。
潘根的这一理论立足于相对论，不幸的是，作者忽视了相对论的最基本特性：“洛伦兹不变性”。或许，这也是一种常见的毛病。相对论的初学者往往只看到“同时性的相对性”，刚尺的长度随参照系的改变而改变，以及物体的质量随其速度而变化等相对论效应，而忽视另一方面的相对论效应。例如能量守恒定律与动量守恒定律合二为一，电场与磁场倂成一体，力与功率相互关联等。因此，人们在关注相对论带来的动荡与变异，从而为物理量的“相对性”绞尽脑汁的同时，却对物理规律的“绝对性”漠不关心，从而对相对论给出的“洛伦兹不变性”视而不见。
所谓“洛伦兹不变性”是指普遍的物理学方程在洛伦兹变换下保持不变。那么，什么是“普遍的物理学方程”？什么是“洛伦兹变换”呢？
粗略地说，普遍的物理学方程是指物理学的基本方程，对于它，没有一个特殊的参照系。例如，表现电荷守恒原理的连续性方程就是一个普遍的物理学方程，因为其中没有一个特殊的参照系。而欧姆定律则不是一个普遍的物理学方程，因为欧姆定律适用于导线电流，而“导线”就是一个特殊的参照系。同样，真空中的麦克斯韦方程是一个普遍的物理学方程，因为真空是一个普遍的参照系，而介质中的麦克斯韦方程虽然应用很广，但由于介质固定在地球这一特殊的参照系上，也就不是一个普遍的物理学方程。
至于“洛伦兹变换”，这里仅说一说它的来龙去脉：
如果在某一平面上取直角坐标，则该平面的任意一点的位置由其横坐标与纵坐标确定。如果固定坐标的原点，让坐标轴作某一转动，即让坐标的横向基矢与纵向基矢同时转动一个角度，则该点的横坐标与纵坐标都会相应地改变，但这两个坐标的“平方之和”保持不变，这种在坐标轴转动中保持不变的数量，称为“标量”。还有，平面上某一点的横坐标与横向基矢的乘积加上纵坐标与纵向基矢的乘积也在坐标轴转动中保持不变，这个不变量是从原点到该点的一个有方向的线段，称为“矢量”。标量与矢量这种二维的转动中的不变量，很容易推广到三维的情形。相对论又对三维的转动作了进一步的推广：把时间视为第四个坐标轴，把转动理解为“参照系变换”。如果在二维的平面坐标的转动中把纵坐标换成时间坐标，则该转动的数学表达式就是常见的“二维的洛伦兹变换”。这个变换与普通的二维转动的数学表达式极为相似，区别仅在于“速率”取代了“角度”,而且基本的不变量不再是坐标的“平方和”而是坐标的“平方差”。一般地说，这样一个二维的洛伦兹变换再加上一个三维转动变换就组成一个“四维时空”的“四维转动”，这种四维转动是“洛伦兹变换”的一种常见的形式。
关于洛伦兹变换，再补充几点：第一，一般的洛伦兹变换不仅包括四维坐标轴的转动，而且还包括原点的移动。第二，在洛伦兹变换中保持不变的不仅有“标量”与“矢量”，而且还有更一般的数学对象，称为“张量”。“标量”与“矢量”也是张量，标量称为“零阶张量”，矢量则称为“一阶张量”，还有二阶、三阶和更高阶的张量。第三，对于直角坐标的变换，基矢与坐标的变换规律是相同的，而对于斜坐标或曲线坐标，两者的变换规律却不再相同。第四，在“张量分析”中，人们不是把“张量”理解为一个在洛伦兹变换中保持不变的客观对象，而是把它理解为随洛伦兹变换而有规律地改变的一组数。以矢量为例，人们不是把矢量理解为一个有方向的线段，而是把它理解为四个数组成的整体，这四个数的变换规律可以与基矢的变换规律一致，也可以与坐标的变换规律一致。人们把前者称为“协变矢量”，把后者称为“逆变矢量”。高阶张量也由类似的方式来定义。
关于洛伦兹不变性，再说一点题外的话。
在哲学上，“实体”是一个常见的范畴，人们对这一范畴有各式各样的理解，但“变易中的不变者”却是其正宗的含义。我可以《资本论》的开篇第一节的关于价值的论述为例，马克思在这里把“价值实体”理解为商品的交换价值变易中的不变者。
“洛伦兹不变性”是指洛伦兹变换中的不变者，这一概念自然与“实体”有关。关于这一课题有过许多讨论，其中涉及物理学的如下一个历史遗留问题：
从质量守恒定律人们发现，质量这一物理量在物质的形态变化中保持不变，在这种意义下，他们把质量认作物质的“变异中的不变者”，即认作“物质实体”。建立相对论之后，人们发现当参照系改变时，一个物体的质量会随着改变，即质量这一物理量不具有“洛伦兹不变性”。反之，“静止质量”倒是具有“洛伦兹不变性”，能不能认为静止质量是物质实体呢？不能，因为它在物质的形态变化中不能保持不变。于是什么是物质实体？在物质中有没有某种“变异中的不变者”？就成了悬而未决的问题。
其实，沿着这些人的思路，我们还可以作进一步的思考：
从上述议论可以看出人们实际上是把“物质实体”理解为一个既在物质的形态变化中保持不变，又具有洛伦兹不变性的物理量，有没有这样的物理量呢？有！“电荷”就是。能不能认为电荷是物质实体呢？不能，因为电荷根本不是“物质的量度”！那么，有没有一个物理量，它既在物质的形态变化中保持不变，又具有洛伦兹不变性，还是物质的量度呢？有！那就是“质量-动量矢量”。有了这个矢量，我们能不能认为自己终于找到了物质实体了呢？似乎还不能这么说，因为我们默认物质实体应该是一个数，而质量-动量矢量却是一组数。用相对论的语言来说，我们默认物质实体应该是一个“标量”，而不是一个“矢量”，更确切地说，我们默认物质实体应该是一个零阶张量，而不是一个高阶张量。于是问题最后归结为：有没有这样的物理量，它在物质的形态变化中保持不变，又是一个标量，还是物质的量度？对于这一问题，我们可以断然回答：“没有！”至于这个回答意味着根本没有“物质实体”？还是意味着我们必须放弃用一个数而不是用一组数来表示物质实体的要求？还是意味着我们不能把“物质实体”理解为同时在两种变易中保持不变的物理量？由于这个问题离题太远，我就不在这里考察了。
然而，如果说对什么是“物质实体”的问题，一个物理学家可以不理不睬，那么，对什么是“质量”他就不能回避了！有的物理学家把“静止质量”称为“质量”，因为它在参照系的变换中保持不变；有的物理学家把“总质量”称为“质量”，因为它在物质形态的变化中保持不变。前者有著名的前苏联物理学权威朗道，后者有更加著名的物理学泰斗泡利。我想，这种基本术语的不统一对于物理学不是一件好事。
上面对“洛伦兹不变性”的介绍，只不过是一些入门知识，我如此不厌其烦地介绍这些陈谷子烂芝麻，是因为我感到“洛伦兹不变性”这一概念是相对论的大海中的一块暗礁，在这块暗礁上覆灭的决不止潘根这只小火轮。
回到“述评”一书，潘根建立引力电磁统一场论分为三步。逐一考察如下：
第一步，他用电荷守恒原理、库仑定律、叠加原理、相对性原理作为基本假设导出整个电磁学，他不是第一个提出这种推导的人，但我相信他是独立地给出这一推导的。这种推导为电磁学给出了一个新体系，虽然用这个新体系来取代电磁学的原有体系是不可取的，但给出这一推导毕竟为电磁学提供了一个新的视角。
第二步，潘根在电荷守恒原理和库仑定律中，用质量取代电荷，在其他前提不变的条件下，导出一组类似麦克斯韦方程的引力场方程，以此为基础建立所谓“狭义引力论”，这问题可就大了！
我们知道，电荷是一个（四维时空的）标量，对应地，电荷密度是一个矢量的分量，表现电荷守恒定律的连续性方程就是这一矢量所满足的方程；对应地，质量则是一个矢量的分量，从而质量密度是一个二阶张量的分量，这个二阶张量所满足的方程表现质量动量守恒定律（或能量动量守恒定律）。从库仑定律与连续性方程可以导出麦克斯韦方程，但从万有引力定律和这个二阶张量所满足的方程却不能导出与麦克斯韦方程相似的任何一个引力场方程。这一结论也可以这样理解：麦克斯韦方程是一组张量方程，如果在这组方程中把电荷换成质量，则不再是一组张量方程。
第三步，潘根为建立他的引力-电磁统一场论，引进“复质量”的概念，他的推理如下：
“既然完备的数是复数，那么完备的物理量就应当是复量。又想起电路分析课里把电阻和电抗统一于复阻抗而获得完备性的事实，这种信念就坚定了。于是引进了“复质量”的概念，让它的实部和虚部分别代表质量和电荷（反过来也行）。有了复质量，就可以用逻辑方法定义“复动量”、“复力”等等。接着，我们就可以把质量守恒原理和电荷守恒原理综合为统一的复质量守恒原理，把万有引力定律和库仑定律综合为统一的复力定律，再加上叠加原理和相对性原理，就可以得到狭义相对论意义下的引-电统一场论。它所使用的逻辑框架与电磁理论所使用的框架确实是完全相同的。在这种体系中，复场的实部和虚部分别代表引力场和电磁场。”
看来，潘根很善于联想，可惜思维太混乱，还太缺少相应的基础知识。
首先，电路分析里把电阻和电抗“统一于”复阻抗，只是把原来适用于直流的电路计算公式过渡到适用于交变电流的电路计算公式，而直流是一种极为特殊的电流，交变电流虽然应用很广，总归也还是一种极为特殊的电流。因此，这种过渡是一种极为特殊情况下的“巧合”，远远说不上什么“获得完备性”！再说，这种“过渡”也是有限度的，例如直流电路计算中的“功率公式”就不能过渡到交流电路相应的公式。
其次，两个实物理量组成一个复物理量可是一件非同小可的事情。正如潘根所说：“有了复质量，就可以用逻辑方法定义‘复动量’、‘复力’等等。接着，我们就可以把质量守恒原理和电荷守恒原理综合为统一的复质量守恒原理，把万有引力定律和库仑定律综合为统一的复力定律……”如果再加上叠加原理和相对性原理，就可以导出各式各样的新命题，这些新命题表现各式各样的新效应。只有外部世界确实有这样的新效应，引进复质量才是合理的。否则，就只能是异想天开。
仿照电路分析里引进复数，而把原来适用于直流的电路计算公式过渡到适用于交变电流的电路计算公式，这样的想法肯定还有很多，其中失败的例子想必比成功的例子多得多，只不过无人知晓罢了。
潘根引进“复质量”这一大胆创新会成功还是会失败呢？肯定会失败！为什么？因为电荷是一个标量，而质量却是一个矢量的分量，因此潘根说的“复质量”既不是标量，也不是矢量的分量，更不是某一高阶张量的分量。这种东西不具有“洛伦兹不变性”，对于相对论，它根本就不是一个“物理量”。因此，潘根的上述推理只能是从头错到尾！
再次，潘根有一个极为独特的想法：“电荷像质量一样，完全符合‘惯性’的定义”。这种想法太离谱了！为什么潘根会有这样古怪想法呢？让我们听听潘根自己怎么说：
“11月中旬，学校开运动会，规定要全天观看。看到运动员在到达终点后仍要向前冲一段路，我把这件事同正在思考的引电问题联系起来，提出这样的问题：‘假如这些运动员是质量为零的纯电荷，那么将会怎样呢？’通过对这个问题的思考，我发现：电性也是一种惯性。理由是：在均匀的、各向同性的、貌似绝对空虚的空间里，静止的电荷应当保持静止状态，否则就会碰到这样的问题：原先静止的电荷为什么会得自发地向左运动而不是向右运动。这种情况与‘各向同性’是矛盾的。既然静止的电荷能够保持静止状态，那么它在另一种惯性参考系中就应当是表现为‘保持匀速直线运动状态’。由此可见，电荷像质量一样，完全符合‘惯性’的定义，单纯地用质量来量度惯性是片面的。把这个结论与等效原理结合起来就可以证明：在引力场中，纯电荷所能获得的引力加速度与纯质量获得的引力加速度应当完全相等。”
这种推理实在令人莫名其妙！潘根说：“既然静止的电荷能够保持静止状态，那么它在另一种惯性参考系中就应当是表现为‘保持匀速直线运动状态’。由此可见，电荷像质量一样，完全符合‘惯性’的定义。”从字面上说，似乎也可以说：“既然一块静止的磁铁能够保持静止状态，那么它在另一种惯性参考系中就应当是表现为‘保持匀速直线运动状态’。由此可见，磁性完全符合‘惯性’的定义。”还可以说：“既然一个红色的静止物体能够保持静止状态，那么它在另一种惯性参考系中就应当是表现为‘保持匀速直线运动状态’。由此可见，“红色性”与‘惯性’是等同的概念。”……
如果这样引申下去，就会使我们离题太远，还是回到牛顿力学吧！
实验证明：如果以同样大小的力作用于不同质量的物体，则质量大的物体加速度小，质量小的物体加速度大。为了更直观一些，我们把这一实验事实稍稍改写一下：“如果给予两个质量不同的物体以同样的冲量（力与其作用时间的乘积），则质量大的物体速度改变小，质量小的物体速度改变大。”从这一角度来看，质量是一个反抗“速度改变”的物理量。另一方面，牛顿把速度作为运动的量度，这样一来，质量就成了一个反抗“运动改变”的物理量了。因此，牛顿认为万物都有一种反抗运动改变的本性，他把这种本性称为“惯性”，而质量则是“惯性”的量度。
如果以同样大小的冲量作用于质量相同但电荷不同的物体，则按照牛顿的观点，这两个物体的速度改变是一样的；而按照潘根的观点，这两个物体的速度改变不同：电荷大的物体速度改变小，电荷小的物体速度改变大。实验会证实哪一个结论呢？在这个例子中，潘根在这里所需要的，不是量子场论，不是科学哲学，不是微分几何……，而是牛顿力学的入门知识。
在这里，再说几句题外的话。
牛顿引进“惯性”这一范畴有一个前提，他把“速度”作为“运动的量度”。如果像笛卡尔那样把“动量”而不是“速度”作为运动的量度，那么从同一实验事实只能得出结论，给不同质量的物体以同一动量，则这两个物体的动量改变相同，这就是“动量守恒定律”。按照这种表述，力学就不需要“惯性”这一范畴了。因此“惯性”这一范畴乃是错误地把速度作为运动的量度而引起的对动量守恒定律的误解。在我看来，恩格斯在《自然辩证法》一书中说的：“力学，出发点是惯性，而惯性只是运动不灭的反面表现。”就是这个意思。
最后，让我们回到我国为什么不能出大师的问题。我们中国人的智商在世界上是数一数二的，而且中国人这么多，怎么就不能出一个大师呢？
一般地说，一个大师在成为大师之前必须先有引路人，不幸的是，潘根在世时显然没有合格的引路人。诚然，也有像爱因斯坦那样的大师，他们并不需要引路人。但我们不要忘记，当年的爱因斯坦这匹千里马曾经有普朗克这样的伯乐，没有普朗克等前辈，爱因斯坦即使不会埋没在芸芸众生之中，也会受尽挫折。再想想我们今天的中国，即使实际上出了一个爱因斯坦这样级别的物理学大师，我们有自己的普朗克吗？
当然，对于我国为什么不能出大师这样一个大问题，上面说的也只是最表面的原因，更深层的原因是什么，我也说不清。
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附录二：物理学的新纪元——
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辐射量子论与自然的连续性
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1900年12月14日，德国物理学家普朗克通过他建立的、现在称为“普朗克公式”的黑体辐射公式，提出了“辐射量子论”。其中心点是：
A：物质在发射和吸收电磁波的时候，不是连续不断，而是分成一份一份的。
普朗克的这一发现使得当时的物理学家们不知所措，例如，爱因斯坦就说：
“我要使物理学的理论基础同这种认识相适应的一切尝试都失败了。这就像一个人脚下的土地都被抽掉了，使他看不到哪里有可以立足的巩固基地。”
今天，这一发现所引起的震惊更是远远超出了物理学的范围。例如，我最近读了一本关于量子力学的通俗读物，作家曹天元写道：
“（普朗克的辐射量子论）推翻了牛顿以来200多年曾经被认为是坚固不可摧毁的经典世界。这个假定以及它所衍生出来的意义，彻底改变了人们对世界的最根本的认识。盛极一时的帝国，在这句话面前轰然土崩瓦解。”
然而，辐射量子论果真破坏“自然的连续性”从而摧毁的经典世界吗？本文试图证明，辐射量子论与物理学的理论基础原来并不矛盾；命题A并未摧毁经典世界，恰好相反，这一结论原是经典物理学早该预期的。
1. 量子论与原子论
早在辐射量子论发表以前，原子论就在物理学中巍然屹立。诚然，那时的原子论还没有与辐射理论挂钩，但已经确认物质是由一个个离散的原子组成的，由此自然想到：
B：物质的辐射过程是由一个个“单个原子的辐射过程”迭加起来的。
我们可以通过如下比方来理解它。如果有一个小组的学生在水田里插秧，那么，这个小组一天所插的秧的面积就是该小组各个组员一天所插的秧的面积的迭加。这无论如何不是一件难以理解的事情，而命题B说的无非就是这个道理。
接踵而来的一个问题是：单个原子怎么发射电磁波。对于这个问题，人们首先想到的是另一位德国物理学家赫兹在1883年发现的“电磁波”的过程。在这里，我们不谈赫兹发现电磁波的光辉历史，只说一个平淡的结论：赫兹的“高频振荡回路”能够连续不断地发射电磁波。人们自然联想，单个原子发射电磁波也是这样连续不断的。或许，在普朗克之前，每一个物理学家都是这样设想的。
按照这一思路，从命题B并不能引出命题A，既然单个原子发射电磁波的过程是连续不断的，由大量原子组成的物质发射电磁波当然也是连续不断的。这就说明了一个历史事实：当普朗克提出辐射量子论时，他做梦也没有想到这一理论与原子论有什么关联。或许在未来的物理学家们看来，这是一个颇为费解的历史事实。
然而，只要稍微想一想，我们就不难得出结论：单个原子发射电磁波不可能是连续不断的。道理很简单：赫兹的“高频振荡回路”之所以能够连续不断的辐射，是因为赫兹从外部不断向它供应能量，换句话说，是因为回路有一个“外部能源”。那么，在单个原子辐射的过程中，有没有一个外部能源呢？如果有，那么在物质辐射时，每一个原子旁边都有一个外部能源连续不断向它输送能量，这种想法未免太古怪了，如果我们不是故意追求奇思异想，就只能回答：“在单个原子辐射的过程中，没有外部能源！”因此，根据能量守恒定律，单个原子不得不以自身的能量的减少为代价来进行辐射。原子是一个有限的物体，有限的物体不可能储存无限的能量，从而单个原子的能量是有限的。因此，它的辐射不可能是一个连续不断的无限过程，这就立刻得出结论：
C：单个原子的辐射是一个有始有终的有限过程。
并且还能进一步得出结论：单个原子将在一个有始有终的有限过程中发射一份电磁波，从而发射一份能量。
从命题B与命题C我们立刻得到如下一幅图景：在物质辐射过程中，诸原子各自发射一份电磁波，物质辐射的电磁波就是由这些一份一份离散的电磁波合成的。而这就是命题A，这就是辐射量子论的实质。
综上所述，光波发射之所以是一份一份的，是由于作为光源的物质是由一个一个离散的原子组成的，换句话说：“发光的量子性起源于光源的原子性。”
我们可以用一个日常生活的比喻来阐明这一平易近人的道理。春节时，孩子们放鞭炮。如果有一位“大人国”的观察者，他看不见孩子们更看不见鞭炮，但他根据一系列的测量、计算与推理得出结论：在放鞭炮的过程中声波的能量一份一份地跳跃地增加。那么，这位观察者合理的推测应该是：声波的能量不连续地增加因为声波的波源是由一个一个的鞭炮组成的。在比喻的意义下我们也可以说：“发声的‘量子性’起源于声源的‘原子性’。”
更一般地说，通常我们说的“连续性”的含义可以分成两个方面：一方面是指空间方面的连续性，像山脉、河流那样的连绵不断；另一方面是指时间方面的连续性，像唱歌、拉琴那样的前后相接。如果说辐射量子论破坏了自然界在时间方面的连续性，那么，物质的原子论就早已破坏了自然界在空间方面的连续性。因此，只要我们静下心来想一想，就不必为普朗克的发现感到惊讶，辐射量子论只不过是物质的原子论的必然补充。
由此可见，1900年普朗克发表辐射量子论这件事情最令人惊讶的地方不是这个理论违反了经典物理学的原理，而是普朗克为什么没有把这个理论与经典物理学的原子论联系起来！
不难设想，如果命题B与命题C能在建立辐射量子论之前被发现，则辐射量子论将是经典物理学的一个组成部分。不幸的是，这两个如此重要而又显而易见的命题，却直到1913年才在波尔建立的原子理论（波尔理论）中被发现。命题B与命题C本是两个足以恢复经典物理学的论据，而包含了这两个论据的波尔理论却反而宣判了经典物理学的死刑。在我们这个星球上，物理学的发展进程就这么颠三倒四。
2. 一个逻辑上的疏忽
然而，话又说回来，即使有了命题B与命题C，普朗克的量子论也还有费解之处，因为按照普朗克的理解，命题A还有进一步的含义：
D：在物质辐射过程中，辐射场的能量总是某一“能量的最小单位”的整数倍。
这里的“能量的最小单位”就是普朗克所说的“量子”，只有命题D才是辐射量子论的确切表达。从命题B与命题C能不能得到这样表述的辐射量子论呢？为了回答这一问题，让我们再考虑一个日常生活的例子。
记得我上小学时，学校为了建造一个跳高跳远用的沙坑，把同学们分成两拨，一拨人把一辆汽车上的沙子装到一个个脸盆里，另一拨人则把装满沙子的脸盆把沙子倒在沙坑里，在这一过程中，沙坑里的沙子是否总是一盆沙子的整数倍呢？未必！例如，如果沙坑里已经有10盆沙子，这时又有一位小朋友往沙坑里倒沙子，当他刚倒一半时，沙坑里的沙子就是10盆半，从而这时沙坑里的沙子就不是一盆沙子的整数倍。
然而，至少在没有人往沙坑里倒沙子时，沙坑里的沙子确实是一盆沙子的整数倍。因此，每个小朋友往沙坑里倒沙子的时间越短，沙坑里的沙子是一盆沙子的整数倍的时间就越长。在极端情况下，如果每个小朋友往沙坑里倒沙子根本不需要时间，即“倒沙子的过程”是一瞬间完成的，则沙坑里的沙子就总是一盆一盆地增加的。
同样，在命题B与命题C成立的前提下，如果再加上一个新的前提：
E：单个量子（一份电磁波）的发射是在一瞬间完成的。
我们就能得到命题D，从而得到辐射量子论。
曹天元断言辐射量子论“摧毁了经典世界”，是因为这个理论破坏了经典世界的一个基本属性“自然的连续性”。关于这种属性，曹天元写道：
“自然的连续性是如此的不容置疑，以致几乎很少有人会去怀疑这一点。当预报说气温将从20度上升到30度，你会毫不犹豫地判定，在这个过程中间气温将在某个时刻到达25度，到达28 度，到达29又2/2度，到达29 又3/4度，到达29 又9/10度……总之，一切在20度到30度之间的值，无论有理的还是无理的，只要他在那段区间内，气温肯定会在某个时刻精确地等于那个值。”
显然，命题E破坏了“自然的连续性”，这是不容置疑的。但当曹天元因此而断言“辐射量子论破坏了自然的连续性”时，却有一个逻辑上的疏忽！
如果（可惜只是如果）在命题B与命题C成立的大前提下，从命题D可以导出命题E，即证明了命题E是命题D的“必要条件”，就可得到如下推理过程：辐射量子论“蕴含”命题D，命题D“蕴含”命题E，命题E摧毁了经典世界，于是，根据“蕴含关系”的“可传性”，就顺理成章地得出了“辐射量子论摧毁了经典世界”的结论。
不幸的是，谁也没有证明命题E是命题D的“必要条件”，更不幸的是，谁也没有想到要给出这一证明。实际上，从上面那个“倒沙子”的比喻我们只证明了在命题B和命题C成立的大前提下，从命题E可导出命题D，即证明了命题E是辐射量子论的“充分条件”（顺便说一句，这一证明虽然由于应用了关于“倒沙子”的比喻而显得有些“下里巴人”，但在逻辑上倒是无懈可击的）。于是在其他条件不变时，我们就有了两个前提：第一，命题E可导出辐射量子论；第二，命题E摧毁了经典世界。那么，从这两个前提又能导出什么结论呢？什么也导不出！
因此，“辐射量子论摧毁了经典世界”这一结论其实立足于一个逻辑上的疏忽：混淆了“充分条件”与“必要条件”，这可是一种太常见的疏忽。
同样的疏忽在普朗克的原始推导中也存在：虽然普朗克确实地证明了：如果命题E成立，就可以得到他的普朗克公式，但反过来，为了得到普朗克公式，是不是非用命题E不可呢？或者，命题E是不是普朗克公式的必要条件呢？普朗克完全忘记向自己提这个问题。在进行逻辑思维时，物理学家们总是这样粗心大意。
糟糕的是，无论是物理学家们还是物理学的爱好者，谁都没有证明命题E是辐射量子论的必要条件，就惊慌失措地（或许，更多的人则是幸灾乐祸地）满世界嚷嚷：“辐射量子论摧毁了经典世界！”真不知道未来的人们将会怎样评价这次物理学史上罕见的狂热！
下面我将证明，命题E并不是辐射量子论的必要条件，从而证明，辐射量子论其实并没有摧毁经典世界。
3. “连续性”的数学表述
我知道，对普朗克的这种诘难，将引起读者们的狂怒：“辐射量子论摧毁了经典世界，这早已是板上钉钉的事，你是何人？敢对这件事说三道四！”
这种谴责，不是立足于实验事实，也不是立足于逻辑推理，而是立足于一种宗教情绪。对于被谴责的人，这可是最具毁灭性的打击。自古以来，得罪了某一宗教的教徒从来就没有好果子吃，触怒了“物理教”的虔诚的教徒大众自然也不例外！再说，认为“普朗克公式摧毁了经典世界”乃是全体物理学家们的共同见解，谁敢捅这个马蜂窝！
然而，我虽然人微言轻，却不得不冒天下之大不韪，提出一个可怜的异教徒的卑微的建议：我们能不能别忙着得出“摧毁经典世界”的结论，先考察一下“连续性”这一概念。或者换一个说法，别忙着创建新的“物理学规律”，先反思一下我们表达这些规律的“物理学范畴”。
如果我向一位物理学家提出这一建议，他肯定会不屑一顾：即使我的运气特别好，遇到一位极有耐心的物理学家，他也只会说：“我天生会用‘连续性’这一概念，用不着为探索这一概念而浪费时间！”在这一点上，数学家们倒是好说话一些，他们并不认为“连续性”是一个不言而喻的概念，他们天生就会用。相反，数学界的前辈们曾经仔细考察过这一概念。我们面临的问题是：“辐射量子论是否破坏了自然界的连续性？”借助于数学家们的研究成果，我可以把这个问题提得更明确一些。
曹天元关于温度从20度上升至30度必定经过从20至30度的每一个温度的论断，乃是“连续函数”的一个性质（布尔查诺定理）。追本溯源，这一“连续函数”的性质立足于“时间的连续性”，确切地说，是立足于“实数集的连续性”。如果说“函数的连续性”表现了两个数集（数的集合）之间的“关系”，那么“实数集的连续性”就表现了一个数集的“属性”，这是一种更根本的“连续性”。
那么“实数集的连续性”又是怎么回事呢？对于这一问题，数学家们已经给出了极为精美的回答，这种回答有多种多样的表现方式，其中德国数学家狄德金的表现方式堪与我们这个星球上的任何极品艺术媲美，可惜太“阳春白雪”了，似乎不宜在这里陈述。通俗地说，“实数集的连续性”可以通过与“有理数集的不连续性”的比较表述如下：每一个有理数对应于一条直线上的一个点，我们称它“有理点”，直线上的有理点是如此稠密，以至任意两个有理点之间都有无限个有理点。但是，我们可以把一条直线分割成两端，使得这样分割成的两条“半直线”的端点都不是有理点。如果考虑到有理数有大小之分，我们可以有理数集的这种性质表述如下：可以把一条直线分割成两条“半直线”，使得其中的一条没有一个点对应最大的有理数，而另一条没有一个点对应最小的有理数。这就是“有理数集的不连续性”。而实数集的性质恰好相反，如果把一条直线分割成两条“半直线”，则要么其中的一条有一个点对应最大的实数，要么另一条有一个点对应最小的实数。
回到曹天元说的温度从20度上升到30度的过程。顺便说一句，曹天元引用的“布尔查诺定理”，只是“连续函数”的必要条件，却并不是其充分条件，因此，我们不要把这个性质与“函数的连续性”等同起来。幸运的是，曹天元在这里说的温度函数（温度作为时间的函数）倒的确是一个“连续函数”，这一结论可以表述为：在给定的时间区域中（从开始时刻到终结时刻），“温度函数在该区域中的每一点都是连续的。”因此，如果这个温度函数在该区域中的某一点不连续，它就不是一个连续函数。
那么，“某一函数在某一区域中的某一点不连续”这句话是什么意思呢？在这里，与其用玄之又玄的数学语言来考验读者的耐心，倒不如给出一个例子。如果曹天元的温度函数（温度作为时间的函数）从开始时刻到某一时刻c，温度一直是20度，而在时刻c这一瞬间，温度从20度突变到30度，而且直到这段时间终结时，温度一直保持30度，我们就说该函数在c点是不连续的。尽管该函数在这个区间上的其他点都是连续的，它仍是这个区间上的“不连续函数”。在数学上，这种特殊的不连续函数称为“阶跃函数”。
另一方面，在物理学中往往遇到如下类型的过程：物体从某一状态突变为另一状态，所经历的时间极为短促，而且我们仅仅关心其初始状态与终结状态而不关心其过渡阶段。正如牛顿力学把只考虑其位置与质量而不考虑其大小与形状的物体抽象为“质点”（有质量的几何点）一样，我们把这种类型的过程抽象为一种一瞬间完成的过程，这种抽象的过程根本不经历时间，从而它自身根本没有过渡阶段。通常，我们把上面两种过程都称为“跳跃”。为了区别起见，我们称历时足够短促的连续过程为“实际跳跃”，称完全不经历时间的抽象过程为“理想跳跃”。而“跳跃”这一用语，则用于一般地表现“不连续性”。
“阶跃函数”作为最简单的不连续函数，用数学的语言表现了一种典型的“不连续性”，当物体的状态用一个数值表示时，“理想跳跃”表成一个阶跃函数。
按照命题E，单个量子的发射过程是一次“理想跳跃”；反过来，该过程是一次‘实际跳跃’”则可表述如下：
F：单个量子的发射过程是一个连续过程，但在实验误差范围内，这个过程所经历的时间是可以忽略的。
这样，“辐射量子论到底有没有破坏自然界的连续性”的问题，就归结为单个量子的发射到底是一次“理想跳跃”还是一次“实际跳跃”的问题。
4. 普朗克公式的双重含义
如果命题E成立，即如果单个量子的发射是一次“理想跳跃”，则辐射场的能量作为时间的函数是一个“阶跃函数”，对应地，黑体辐射公式是普朗克公式。在其他条件不变的前提下，用一个连续光滑的新函数来取代“阶跃函数”，则命题F取代了命题E，对应地，黑体辐射公式也不再是普朗克公式。在这种意义下，命题E不仅是普朗克公式的充分条件，也是普朗克公式的必要条件，我们是否可以由此得出“普朗克公式破坏了‘自然的连续性’”的结论呢？
为了回答这一问题，让我们先考察一个日常生活的例子。如果用一条皮尺来测量一个直角三角形的两个直角边，分别得出1尺与2尺的结果，因此，这两个边的长度与单位长度（1尺）之比分别是1与2。用L表示这个直角三角形的斜边的长度与单位长度之比，则测量与计算给出结论：“L等于5的平方根。”有了这一结论，我们能不能断言“L是一个无理数”呢？
乍一听来，回答是简单明了的：“L作为某一长度与单位长度之比，只能是一个实数。既然L是一个实数，它就要么是一个有理数，要么是一个无理数。既然L是5的平方根，它当然是一个无理数！”
对不起，这个回答是错误的，而且大错而特错！对于物理学，尽管“L是一个实数”这一命题无可非议，但进一步问“L是有理数还是无理数”却是一个不着边际的问题。怎见得呢？
“L是一个实数”这句话本身在不同的场合有不同的含义。作为测量和计算的结果，L不会是一个“复数”，也不会是“非标准分析”中的一个“超实数”，在这种意义下，说“L是一个实数”一点没错。还有，对于数学来说，一个实数要么是有理数，要么是无理数，这话也没错。但在物理学领域里，我们不能从这两个前提得出“L是要么是有理数，要么是无理数”的结论。因为在这里，“L是一个实数”这句话还有另一种含义。
物理学是一门实证科学，它是以实验为基础的，实验中的每一次测量，其精确度都受当时的实验条件的限制而有一定的“误差”。这种“测量误差”通常总是秘而不宣的，但是“不说”不等于“没有”！只要考虑到测量误差，物理量L就不再是一个实数，而是一个“实数的区间”了。根据“实数集的连续性”，不论这个区间多么小，其中都既有数不清的有理数，也有数不清的无理数！请问，我们该怎么评价“L当然是一个无理数”这一结论呢？
“那你怎么不说清楚！L明明是一个‘实数的区间’，为什么偏说它是一个‘实数’！”
当问题不涉及测量误差时，通常人们都会说“L是一个实数”而不会说“L是一个实数的区间”，人们这样说话是约定俗成的，而争论约定俗成的东西是没有意义的。
回到黑体辐射问题。曹天元说的“自然的连续性”可以表述为如下命题：
G：自然界没有一个物体会是一个“几何点”，也没有一个变化会是一次“理想跳跃”。
于是问题归结为辐射量子论是否使得命题G不再成立。
数学证明：我们可以选择适当的连续光滑函数来取代“阶跃函数”来描写一个量子的发射过程，使得它对应的黑体辐射公式与普朗克公式足够接近，以致两者的差别的测量效果被实验误差所掩盖。“阶跃函数”描写了一次“理想跳跃”，它对应的黑体辐射公式破坏了自然的连续性；而取代“阶跃函数”的连续光滑函数则描写了一次“实际跳跃”，它对应的黑体辐射公式满足自然的连续性。
“普朗克公式”这一用语在不同的场合也有不同的含义，当我们说“阶跃函数对应于普朗克公式”时，“普朗克公式”指的是一个单一的黑体辐射公式，但一旦涉及到“自然的连续性”的问题，就不能不考虑测量误差，这时，“普朗克公式”就具有另一种含义了。
正如考虑到测量误差，L就是一个“实数的区间”一样；只要考虑到测量误差，“普朗克公式”就不再是一个单一的“黑体辐射公式”，而是一个包含无数“黑体辐射公式”的“公式集合”；正如一个“实数的区间”既包括数不清的有理数，也包括数不清的无理数一样，作为“黑体辐射公式”的“公式集合”的普朗克公式既包括数不清的破坏了“自然的连续性”的公式，也包括数不清的满足“自然的连续性”的公式。因此，我们不能断言“‘普朗克公式’破坏了‘自然的连续性’”，正像不能断言“L是一个无理数”一样。
综上所述，正如从“L是一个实数”无论得出“L是一个无理数”还是得出“L是一个有理数”都不着边际一样。考虑到测量误差，无论是断言“普朗克公式破坏了‘自然的连续性’”，还是断言“普朗克公式没有破坏‘自然的连续性’”都是不着边际的。
物理实验永远不可能没有测量误差，从而我们永远不可能通过物理实验来判断单个量子的发射到底是一次“理想跳跃”，还是一次“实际跳跃”。因此，普朗克的发现是否破坏了“自然的连续性”，我们无法通过经验来解决。那么，这一问题能否通过其他途径来解决呢？
5. “连续性”的哲学表述
回到命题G，这一命题是最浅显的常识，也是最深奥的哲理。
我这里所说的“哲理”，专指以黑格尔为代表的“辨证哲学”的“哲理”。我将借助于辨证哲学的基本原理来得出与命题G一致的结论，在这之前，我不得不阐述这个原理本身。
大家知道，辨证哲学的第一规律就是“对立的相互渗透”，说句大白话，就是：“相反的东西之间的对立只是相对的。”哲学家们一向对“本质”与“现象”、“原因”与“结果”、“偶然性”与“必然性”等对立范畴津津乐道，至于“连续性”与“跳跃”（不连续性）这一对范畴，我似乎没听到过他们的高论。为了回答单个量子的发射到底是一次“理想跳跃”还是一次“实际跳跃”这一问题，我将在这里阐述“‘连续性’与‘跳跃’是相互渗透的”这一哲理。
我不得不有言在先，这一哲理不仅听起来“深不可测”，甚至连说起来都相当拗口。为此，我预先对读者致以歉意。
顺便说一句，那些哲学家们津津乐道的“哲学范畴”，诸如“本质”与“现象”、“原因”与“结果”、“偶然性”与“必然性”等等，哪一个也不是省油的灯。诚然，哲学家们的对这些范畴的讲解或许通俗易懂并且引人入胜，但肯定不能解决实际问题，特别是不能解决物理学中的实际问题。用黑格尔的话来说，他们说的都是“非哲学的话”，都是“毫无意义的废话”！
回到“连续性”与“跳跃”这一对范畴。
先举一个日常生活的例子：我现在住在青岛，青岛多雾天，有时候雾还很浓。我们可以用“数密度”即单位体积中的“雾珠”的个数来描写雾的“浓度”。如果把这个数密度与一个雾珠的质量相乘，就得到雾的“质量密度”，简称“密度”。我们通常总是用一个连续光滑的三维函数来表现这个物理量，并且毫不犹豫地对这个函数进行微分和积分运算。因此说起“雾的密度”，人们自然联想到“雾”是“连续分布”的。但我们也知道，雾实际上是由一粒粒离散的雾珠组成的，而雾珠则是离散的。如果有一位哲人从这一现象得出结论：“连续的东西是由离散的东西组成的”，我们最多谴责他书呆子气，但还不至于谴责他“胡说”。再进一步，如果我们观察一粒单个的“雾珠”，将发现它也有其“密度”，从而也是连续分布的。如果这位哲人再次发表怪论：“离散的东西自身是连续的。”我们也不会过分的反感。但是，如果这位哲人把这两句话连接起来，断言：
a：连续的东西是由离散的东西组成的；而离散的东西自身是连续的。”
我们就会说他颠三倒四，自相矛盾了。其实，我们明明知道，上述命题中的两句话分开来说都有根有据，怎么连在一起就显得那么别扭呢？
问题在这里：“雾的密度”是雾的“数密度”与一粒雾珠的质量的乘积，从而是一个较大的空间区域中的全体雾珠的“质量”之和与这个区域的“体积”的比值；而“雾珠的密度”则是一粒雾珠的“质量”与它的“体积”的比值。这两个比值的含义不同，数值也相差很远，是两个迥然不同的物理量。这一事实意味着“雾的连续性”与“雾珠的连续性”不是一回事，上面那个哲人的话之所以显得颠三倒四，自相矛盾，就是因为他把这两种不同含义的“连续性”搅在一起了。
再考虑另一个日常生活的例子：挂在我对面墙上的时钟有三个指针，分别是时针、分针和秒针，其中时针、分钟总是连续转动的，而秒针则是跳跃的，跳一次历时一秒钟（也可能不是一秒钟，似乎没有人在乎这一点）。如果我们关注一个历时数小时的过程，往往就忽略这种一秒一秒的小跳跃，把秒针的转动看作是连续运行的，就像我们把广阔空间的浓雾看作连续分布的一样。在这种意义下，我们遇到了化了妆的旧相识：“连续过程是由跳跃组成的。”另一方面，如果我们把历时一秒的跳跃过程当作一个全过程来考察，就会发现这种跳跃并不是一瞬间完成的，它还是经历了从起点到终点的所有中间的点，于是，另一老朋友又碰头了：“跳跃自身是连续的。”把这两句话连接起来就得到：
b：连续过程是由跳跃组成的；而跳跃自身是连续的。
这话听起来也是怪扎耳朵的，为什么呢？
还是同样的原因：在命题b的前半句话中，“连续性”是指历时数小时的较大尺度过程的连续性，而在其后半句话中，“连续性”则是指历时仅一秒的较小尺度过程的连续性。把这两句话前后相连，也就把这两种不同含义的“连续性”搅在一起了。
命题a和命题b就是我说的关于“‘连续性’与‘不连续性’的相互渗透性”的哲理。上面说的关于“雾”与“秒针”的两个日常生活的现象，恰好从各自的特殊角度体现了这一普遍的哲理，那只是适逢其会。只有在辐射量子论中，这一哲理才得到真正的体现：赫兹的“高频振荡回路”发射电磁波是一个连续过程，但这一连续过程是由一份一份电磁波的发射过程组成的，这就体现了“连续过程是由跳跃组成的”。另一方面，每一份电磁波的发射本身又是一个连续过程，这就体现了“跳跃自身是连续的”。
6. 物理学的不归路
现在，我们可以根据辨证哲学的基本原理，判断辐射量子论到底有没有破坏自然的连续性的问题了。
直接根据“对立的相互渗透”这一规律，就可立刻得出结论：各种表现自然界的“量”的关系的对立范畴，诸如“大”与“小”、“快”与“慢”、“轻”与“重”、“密”与“疏”、“浓”与“淡”、“强”与“弱”等等，都是相对的。特别是，由于“快”与“慢”的相对性，再快的过程也是需要时间的，从而自然界的“跳跃”只不过是一种相对快的连续过程，即都是“实际跳跃”。至于不需要时间的“跳跃”，即“理想跳跃”，用黑格尔的话来说，纯粹是“知性的虚构”，在大自然中是不可能存在的。同样，再小的物体也占有空间，大自然中没有一个物体是“绝对小”的“几何点”。
还可以从另一角度得出同一结论：根据“连续性”与“不连续性”的相互渗透性，一个自然过程究竟是“连续的”还是“不连续的”，取决于我们从哪一个层次去观察它。例如，物质的辐射过程从可见世界的层次来看是连续的，从原子的层次来看是不连续的，再深一个层次，又是连续的。因此，自然界没有像“几何点”那样的“绝对小”的物体，也没有像“一瞬间完成的”那样的“理想跳跃”。
有一个简单的命题可以作为判据，把“实际跳跃”与“理想跳跃”区别开来，这个命题就是阿基米德原理。电子很小，太阳很大，但我们可以找到一个自然数N，使得N与电子的“线度”的乘积大于太阳的直径；原子发射一份电磁波的过程很短，一个星球从生成到死亡的演化过程很长，但我们可以找到一个自然数M，使得M与原子发射一份电磁波的过程所经历的时间的乘积，大于某一星球从生成到死亡的演化过程所经历的时间。在这里。自然数N或M的存在，就是阿基米德原理。而如果电子是一个“几何点”或原子发射一份电磁波的过程是一次“理想跳跃”，这样的自然数是找不到的，用数学的语言来表达就是，“几何点”和“理想跳跃”这样的数学对象不满足阿基米德原理。
当辐射量子论问世时，物理学面临选择，要么接受由命题b表述的“连续性”与“跳跃”这一对范畴的辨证关系，要么修改由这一对范畴所表达的物理学规律。
如果当年的物理学家中有一个人掌握辨证哲学，就像经济学家中有一个马克思一样，那么，这位物理学家就能凭借命题b得到命题G。从而在辐射量子论中用命题F取代命题E，使得物理学从此走上了辩证思维的康庄大道。
不幸的是，在创建量子物理学的群英中，却没有这样一位学者，结果是物理学走上了相反的道路。
赫兹的“高频振荡回路”发射电磁波是一个连续过程，但这一连续过程是由一份一份电磁波的发射过程组成的，这就表明“连续过程是由跳跃组成的”。在这里，还可以更细致地表成：“宏观的连续过程是由微观的跳跃组成的。”这种“微观的跳跃”是一种特殊的“跃迁”。对于“跃迁”这一概念，物理学家们有分歧，但作为一个整体，物理学接受了这一新的物理学范畴。在某种意义下，这就意味着物理学接受了命题b的前一半；然而，物理学作为一个整体，断然地拒绝了命题b的另一半。
当年，创建辐射量子论的普朗克最苦恼的是，他的这个理论与麦克斯韦“电磁场论”相矛盾。其实，只要接受“‘跳跃’自身是连续的”这一哲理，承认每一份电磁波的发射（或者说每一个单个量子的发射）也是一个连续过程，就能立刻化解这一矛盾。不幸的是，历史事实不是这样：如果说当今“微观的连续性”这一用语指的是“原子层次”的连续性，那么单个量子的发射过程的连续性，就是一种比“原子层次”更深一层次的连续性。接受这一连续性，就得超出“原子层次”，在当年，这一关口却是物理学家们无论如何也逾越不了的天险。
就是因为不敢逾越这一天险，物理学家们没有转向辨证哲学，相反，面临辐射量子论，他们接受了“理想跳跃”，放弃了自然的连续性，从而轻率地放弃了一个最基本的物理学原理，从而“摧毁了经典世界！”从此，一个比一个怪诞的“新颖观念”取代了合逻辑的思考，一次比一次激进的“革命”不仅摧毁了经典物理学的优良传统，而且还摧毁了人类健全的常识以及任何正常人的智慧。这是一条通往非理性、通往极端的幻想、迷信与盲从的不归路。踏上这条路之后，物理学经历了一段颇为辉煌的繁荣时期（顺便说一句，正如辐射量子论的成功与“理想跳跃”的观念完全无关一样，量子物理学的成功与伴随着它的那些“新颖观念”也完全无关）。但好景不长，在一段回光返照式的闪耀之后，物理学还是可悲地停滞下来。今天，物理学已经退化为一门边沿学科。面临如此绝境，物理学家们还在倚靠惯性的作用把一切困难归罪于“经典思维的残余”，这种惯性堵塞了物理学每一条自我更新的通路。
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综上所述，关于“辐射量子论与自然的连续性”的问题，我提出了如下论点：
第一，从逻辑上说，如果单个量子的发射是一瞬间完成的，即是一次“理想跳跃”，就可以导出普朗克公式。但反过来，从普朗克公式却不能得出单个量子的发射是一次“理想跳跃”的结论。
第二，数学证明，“理想跳跃”对应的“能量时间函数”是“阶跃函数”，这个“阶跃函数”对应的“黑体辐射公式”是普朗克公式。但我们可以选择适当的连续光滑函数取代这个“阶跃函数”，使得对应的黑体辐射公式与普朗克公式的差别的测量效果被实验误差所掩盖。由此可见，永远不可能通过物理实验来判断单个量子的发射到底是一次理想的“跳跃”，还是一个足够短促的连续过程。
第三，根据辨证哲学的一般原理，“跳跃”自身是连续的。“理想跳跃”只是一种虚构，在自然界是不可能存在的。这就得出结论：单个量子的发射也是一个连续过程，诚然，它只能是一种比“原子层次”更深层次的连续过程。
第四，由于不能接受单个量子的发射是一个连续过程的论据，物理学接受了“理想跳跃”的概念，从此走上了非理性的不归路。
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附录三：贝尔不等式与布尔代数
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转载者注：谭天荣教授原稿中d 数学公式不能在此博客中完整展现，如与谭天荣教授商榷物理学问题，可直接发信。谭天荣的邮箱：ttr359@126.com
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1964年，J. S. 贝尔在一份名为《物理》的杂志的创刊号上，发表了题为《论EPR佯谬》的论文，提出了“贝尔定理”，其原始形式是：
“在一个在量子力学上增添一些参量以确定单次测量的结果而又不改变其统计预言的理论中，必须有某种机制，使得一个测量仪器的安置会影响另一个仪器的读数，不论它们相距多么遥远。此外，所用的信号必须是瞬时传播的，因此这样的理论不可能是洛仑兹不变的。”
在这里，所谓“在量子力学上增添一些参量以确定单次测量的结果的理论”就是“隐变量理论”。另一方面，按照“定域性原理”，当两个测量仪器相距足够远时，一个测量仪器的安置不可能影响另一个仪器的读数。因此，贝尔的上述结论可表成：“如果一个隐变量理论不改变量子力学的统计预言，就不可能遵循定域性原理。”或者说：“如果一个隐变量理论遵循定域性原理，就一定会改变量子力学的某些统计预言。”人们把遵循定域性原理的隐变量理论称为“定域隐变量理论”，于是，贝尔定理最终表成现在常见的形式：“定域隐变量理论不可能重复量子力学的全部统计预言。”
贝尔导出贝尔定理的步骤如下：他用一组公理（下面，我称为“贝尔公理”）定义定域隐变量理论，再从这组公理导出贝尔不等式，从而得出
论据1：从定域隐变量理论可导出贝尔不等式。
另一方面贝尔又证明：贝尔不等式与量子力学不相容。从这两个前提出发，贝尔得出了贝尔定理。
主要是在上世纪70年代，物理学家们通过实验证明贝尔不等式不成立，而量子力学对应的公式则与实验结果一致。人们由此得出一般结论：
命题1：任何定域隐变量理论都与实验事实不符。
因为“实在论”被认为是隐变量理论的哲学前提，从而所谓“定域实在论”（满足“定域性原理”的“实在论”）被认为是“定域隐变量理论”的哲学前提。于是人们根据命题1进一步得出结论：
命题2：定域实在论与实验事实不符。
在这里，物理学家们开了通过物理实验来检验哲学观点的先例。
贝尔定理自从问世以来获得了极高的评价。例如，1973年诺贝尔物理奖得主约瑟夫森把它称为“物理学中最重要的新进展”，物理哲学家斯塔普则把它称作“科学中最深刻的发现”，等等。
第一个对贝尔定理提出异议的或许是法国物理学家洛查克（Lochak G.），他发现贝尔公理的推导用到经典概率论的基本假设。按照论据1，定域隐变量理论是导出贝尔不等式的充分条件，有了洛查克的发现，这个充分条件除了隐变量理论与定域性原理之外，还要加上经典概率论。因此，从洛查克的发现出发，他本该把论据1改成
论据2：从隐变量理论、定域性原理与经典概率论三个前提可导出贝尔不等式。
但是洛查克首先想到的却是导出贝尔不等式的必要条件而不是其充分条件。此外，由于洛查克对隐变量理论情有独钟，他没有问隐变量理论是否必要，仅对定域性原理的必要性提出质疑，他提出了
论据3：贝尔不等式源于经典概率论，与定域性原理无关。
从而否定了贝尔定理。然而迄今为止，还没有人证明论据3，因此，前人实际上并没有否定贝尔定理。
另一方面，为了得到贝尔定理，贝尔还必须补充
论据4：定域隠变量理论是导出贝尔不等式的必要条件。
然而迄今为止，也没有人证明论据4，因此，前人实际上并没有证明贝尔定理。总之，前人并没有解决贝尔定理是否成立的问题。
本文将解决这一问题。
1. 自旋联合概率
贝尔定理的证明多种多样，但万变不离其宗，这些证明都用到经典概率论，特别是用到其中的关于“联合概率”的运算规则，这些规则既不属于量子力学，也不是定域隠变量理论的组成部分。因此，在没有弄清楚这些规则是否适用于微观过程之前，无论从量子力学出发还是从定域隐变量理论出发，它们都是附加的前提。不幸的是，人们在这里不自觉地遵循如下准则：当他们从量子力学的角度考虑问题时，默认这些规则全都不适用于微观过程，当他们从定域隐变量理论的角度考虑问题时，又默认这些规则全都适用于微观过程。贝尔定理就是这一荒谬的准则的产物。
下面，我们把经典概率论应用于一个特殊的微观过程。
实验证明：如果一个电子束L经过一个磁场方向为a的斯特恩革拉赫装置Ga，将被分裂为两束，其中一束向a方向偏转，另一束则向a方向偏转。这个实验事实表明：电子自旋（电子的角动量）沿磁场方向的投影只能取两个值，以为单位，这两个值分别是1和1。用a表示电子束L中的某一电子的自旋沿a方向的投影，则测量的结果要么是a 1，要么是a 1。其中测量结果为a 1的诸电子形成一个新的电子束A，让该电子束再经过一个磁场方向为b的斯特恩革拉赫装置Gb，则它将再次分裂为两束，其中一束的自旋的测量值为b 1；另一束为b 1。如果电子束A有N个电子，其中有pN个在Gb中的测量结果为b 1，则实验证明，当N足够大时，p的取值与N无关。根据概率的频率定义，p是A中的某一单个电子在其初态是a 1的条件下，经过Gb，达到终态b 1的概率，我们把这个概率记作Pr(b 1a 1)。一般地说，对于（即x与y要么是1要么是1），Pr(b ya x)是A中的单个电子从a x态“跃迁”至b y态的概率。
设e是电子束L中的单个电子，它在Ga中获得测量值a 1的概率依赖于电子束L的性质，因此我们把这个概率写作Pr(a 1L)。
用X表示事件“e在Ga中获得测量值a 1”；Y表示事件“e在Gb中获得测量值b 1”，则我们规定：积事件X·Y表示事件“e先在Ga中获得测量值a 1，其后再在Gb中获得测量值b 1”。按照经典概率论的乘法公式，其概率为
Pr(X·Y)Pr(X)·Pr(YX)。
其中
Pr(X)Pr(sa = 1L)， Pr(YX)Pr(sb = 1sa = 1)。
于是Pr(X·Y)也依赖于L，把它写作Pr(sa = 1, sb = 1L)，则有：
Pr(sa = 1, sb = 1L)Pr(sa = 1L)·Pr(sb = 1sa = 1)。
一般地说，对于，有
Pr(sa = x, sb =yL)Pr(sa = xL)·Pr( sb = ysa = x)。
(1)
下面，我们称Pr(sa = x, sb = yL)为“自旋联合概率”。
在微观物理学中，联合概率Pr(sa =x,sb =y)是没有定义的，我们可以把(1)式当作它的“操作定义”。这个定义与L有关，从而与“操作过程”有关。
实验证明：
a：对于任意单位向量a和b及其夹角gÐ(a,b)，有：
Pr(sb =1sa =1) = Pr(sb =-1sa =-1)cos2(g/2)；
Pr(sb = 1sa = -1)Pr(sb =-1sa = 1)sin2(g/2)。
由于sa = 1与sa = -1是两个相互对立的事件，根据加法运算的定义，有：
Pr(sa = 1L) + Pr(sa = -1L) = 1，
(2)
下面，我们约定：表示对取和，表示对取和，表示对取和。
根据(1)式、(2)式与命题a，容易证明：
xyPr(sa = x, sb = yL)a
这一等式表明，表达式xyPr(sa = x, sb = yL)不再依赖于L，因此下面我们在这个表达式中略去L这一符号。这样，上式给出
定理1：任意给定单位矢量a和b，对于由(1)式定义的联合概率，有
xyPr(sa = x, sb = y)a
(3)
令
E(a,b)xyPr(sa = x, sb = y)。
(4)
则(3)式写成：
E(a,b)a
(5)
追本溯源，(3)式来自命题a，而命题a来自实验，因此，(5)式是实验事实的一个推论。
2. “贝尔命题”
将经典概率论应用于自旋联合概率，得到命题
b：可以定义联合概率Pr，使得
，
(6)
并且
；
。
(7)
我们即将看到，在贝尔不等式的各式各样的推导中，人们都直接或间接地应用了自旋联合概率，并且还把命题b当作不言而喻的前提。为了言简意赅，下面我们称命题b为“贝尔命题”。显然，贝尔命题只是经典概率论中的一个命题，既与隐变量理论无关，也与定域性原理无关。
在表达式中我们已经略去了符号L，把这个表达式进一步略写成，则(6)式写成
；
再应用(4)式，得到
，
(8)
在(8)式中左边与L无关，可见右边也与L无关。
另一方面，在(6)式中适当交换，和三个事件的次序，再应用(4)式，可得到另外两个与(8)式相似的公式，于是我们有
引理1：任给单位矢量，存在≥0，使得
，
，
，
从引理1容易得到不等式
||1。
(9)
注意，在导出(9)式时，我们仅用到引理1，而在导出这个引理时我们曾经反复用到贝尔命题。除此之外，只用到函数的定义，因此我们有
引理2：从贝尔命题可导出(9)式。
将(5)式代入(9)式，得到
| a
取a\s\up6(b EQ \d\fo3(，则上式给出
| bc |1b
这在b⊥c的情形下，考虑到a、b和c都是单位矢量，上式给出Ö21。就用归谬法证明了（关于这一证明，可参阅M·雅默的《量子力学的哲学》）
引理3：(5)式与(9)式不能同时成立。
考虑到(5)式来自实验事实，引理2和引理3给出
定理2：贝尔命题与实验事实不符。
定理2表明：由(1)式定义的联合概率不满足贝尔命题，从而不满足经典概率论的运算规则。然而，在经典概率论各式各样的运算规则中，到底是违背了其中的哪一种规则呢？
比照(1)式，考虑三个磁场方向分别为a、b和c的三个斯特恩革拉赫装置，假定、和是三个相继测量的结果，我们可以把
Pr(sa = xL)·Pr(sb = ysa = x)·Pr(sb = zsa = y)
作为Pr的操作定义。但对于这一定义，(6)式显然不成立。
可以用另一种方式定义使得(6)式成立。但无论怎样定义这个联合概率，都不可能使得(7)式成立。怎见得呢？
对于经典概率论，“积事件”A·B 表示“A事件与B事件都发生”，从而B·A 表示“B事件与A事件都发生”，这两个命题等价。因此乘法的交换律
A·BB·A
成立，而对于联合概率中的事件却并非如此：如果A表示事件“某一电子处于自旋状态sa = 1”，而B表示事件“该电子处于自旋状态sb = 1”，则A·B 表示“该电子从状态sa = 1跃迁至状态sb = 1”，而B·A表示“该电子从状态sb = 1跃迁至状态sa = 1”。这是两个不同的过程。因此乘法的交换律一般不成立。
同样，公式
(A·B)·C(A·C)·B
一般也不成立。
总之，对于自旋联合概率中的事件，布尔代数规则不成立。而导出(7)式时，刚好用到这种规则，因此，(7)式一般不成立，从而贝尔命题不成立。
由此可见，贝尔命题之所以与实验事实相矛盾，是因为自旋联合概率所涉及的事件不构成布尔空间，而贝尔命题却是人们不容分说地对这些事件进行了布尔代数的运算所得出的结论。
3. 贝尔不等式与贝尔定理
美国物理学家戴维·玻姆曾经提出如下的理想实验：一个电子源不断发射成对的电子，每对电子都处于“单态”，即总自旋为零的状态。设e和e’是其中的一对电子，e 向右飞遇到磁场方向为a的斯特恩革拉赫装置，获得自旋（分量）的测量值sa，与此同时，e’向左飞遇到装置磁场方向为b的装置获得自旋的测量值tb。在这个实验中，sa和tb可以同时测量（以为单位，其测量值只能是1或-1）。如果我们将这个实验重复N次，则对于给定的，可以记录下其中的测量结果为sa = x, tb = y的实验的次数Nxy，则根据概率的频率定义，当N足够大时，获得这一测量结果的概率为
Nxy。
借助于这一概率，可以定义sa和tb的乘积的平均值
P(a,b)xy，
(10)
P(a,b)就是e和e’的“自旋相关函数”。这个定义可以用测量的数据表成
P(a,b)\s\up6(1xyNxy，
从而是“自旋相关函数”的原始定义。
实验证明：对于玻姆的理想实验，如果b= a，则tb = - sa。这一结果可表成
tb = -sb。
(11)
在(10)式中，应用(11)式将tb替换成-sb，我们得到：
P(a,b)-xyPr(sa = x, sb = y)。
(12)
下面，我们把(12)式称为“自旋相关函数的经典表达式”，简称“经典式”。显然，经典式也像贝尔命题一样，既与定域性原理无关，又与隐变量理论无关。
根据(4)式，经典式写成
P(a,b)- E(a,b)。
(13)
(3)式与(13)式给出：
P(a,b)- a
这就是“量子力学的自旋相关公式”。在这里，(3)式来自实验事实，而(13)式就是经典式，于是我们有
定理3：如果经典式成立，则量子力学的自旋相关公式成立。
另一方面，(9)式与(13)式给出
||1。
这就是“贝尔不等式”。
(9)式源于贝尔命题，(13)式就是经典式，于是我们有
引理4：从经典式与贝尔命题可导出贝尔不等式。
因为经典式与贝尔命题都与定域隐变量理论无关，根据引理4可知
定理4：贝尔不等式与定域隐变量理论无关。
重复引理3的证明步骤，我们得到
引理5：量子力学的自旋相关公式与贝尔不等式不能同时成立。
经典式来自(10)式与(11)式，其中(10)式只是一个定义，而(11)式则表示一个实验事实，因此经典式也是一个实验事实。由此我们得出两个结论：第一，定理3可改写为“量子力学的自旋相关公式是实验事实的推论”。第二，引理4 可改写为“从贝尔命题可导出贝尔不等式”，从而我们从定理2可得出推论：“贝尔不等式与实验事实不符”。我们可以把经过上述改写的定理3及定理2的推论表成如下预言：
c：量子力学的自旋相关公式将得到实验的证实；而贝尔不等式则将被实验所否定。
另一方面，从引理4与引理5可知
定理5：贝尔命题与量子力学不相容。
经典式来自经典概率论，贝尔命题也来自经典概率论，经典式与量子力学相容，而贝尔命题则与量子力学不相容。从这两个例子我们看到：
d：经典概率论有时会与量子力学殊途同归，有时又会得出与量子力学相矛盾的结论。
这样，我们就初步地回答了经典概率论是否适用于微观物理过程的问题。
4. 贝尔的误解
回到玻姆的理想实验。对于处于单态的一对电子，从贝尔关于定域隐变量理论的定义可以得出如下结论：
I、在一对处于单态的电子所组成的系统的自旋态函数之上添加一组记作的隐变量，可以确定第一个电子的自旋在a方向的投影sa和第二个电子的自旋在b方向的投影tb的单次测量的结果，即存在函数
sa， tb。
II、在隐变量的相空间（全体隐变量所成之集）中，可以定义概率分布函数≥0，使得：
第一，1（归一化）；
第二，对于的任意子集G，有。
III、处于单态的一对电子的“自旋相关函数”表成
。
(14)
上面我们说的“贝尔公理”，正是I、II与III三个前提的合取。贝尔的工作主要是从贝尔公理推导出贝尔不等式。在这里，我们用略微不同的方法重复贝尔的这一推导。
首先，根据I，实验事实可表成
。
于是(14)式表成
。
对于给定的，定义的子集
{l Î L, }，
则根据II可得到
和
。
再根据积分的性质，得到
。
上面诸式给出经典式，于是有
引理6：从贝尔公理(I、II和III)可以导出经典式((12)式)。
其次，给定单位矢量c与变量z以及的另一子集
{l Î L, , }，
则II又给出：
。
积分的性质给出
，
从上面诸式我们得到(6)式。
另一方面，根据的定义与积分的性质容易得到(7)式。
于是，从贝尔公理可以给出联合概率，并且这个联合概率同时满足(6)式与(7)式，从而有
引理7：从贝尔公理(I、II和III)可以导出贝尔命题(命题b)。
根据引理4，从经典式和贝尔命题可导出贝尔不等式，于是引理6和引理7给出
引理8：从贝尔公理可导出了贝尔不等式。
将上面对贝尔不等式的推导与贝尔的推导比较，我们看到贝尔对自己的工作有两点误解：
第一，贝尔用到贝尔命题是间接的，而且还是不自觉的，他完全没有意识到自己应用了这个致命的命题，从而不可能认识到正是这个命题导致了贝尔不等式。
第二，如果一个人认识到从经典式与贝尔命题可以导出贝尔不等式，那么，即使他没有意识到自己应用了贝尔命题，也会把贝尔不等式追溯到经典式。这样，贝尔不等式仍然与隐变量理论和定域性原理这样的大问题扯不上关系。然而贝尔不是把贝尔不等式追溯到经典式，而是把它追溯到(14)式，这样一来，问题就复杂了。
贝尔把贝尔不等式追溯到(14)式，并且通过这个表达式，追溯到、和三个函数的组合。在这个组合中，表示隐变量，而和则被贝尔理解为是隐含定域性原理的函数。因此，、和被理解为表现定域隐变量理论特征的组合。于是，贝尔就把贝尔不等式这样一个由于一个稍加注意就能纠正的疏忽所导致的错误表达式，理解为一个表示某种世界观的表达式。
正是由于这两点误解，加上贝尔又得出了引理5，这就得出了贝尔定理。
另一方面，贝尔又从贝尔定理提出了一个问题：量子力学的自旋相关函数与贝尔不等式孰是孰非？于是有了上世纪六七十年代的那些判别实验。结果证实了命题C。按照我们的推导，这一结果原是早该预期的。
贝尔的两点误解也是大多数量子物理学家们共同的误解。由于这两点误解，贝尔定理及其实验验证在物理学领域里掀起了持续的热潮，有些人努力从贝尔不等式的破坏得出更加新颖、更加匪夷所思的哲学结论，另一些人则在，和三个函数的组合上绞尽脑汁，希望能在隐变量理论与定域性原理之外，再找到某种隐蔽的假设，以便挽救“定域隐变量理论”，从而同时挽救定域性原理与实在论。
5. 维格纳的工作
匈牙利物理学家F. P. 维格纳在1970年曾给出对贝尔定理的“最简捷的”证明。这个证明本来可以揭示贝尔定理的错误，可惜维格纳却以为自己通过另一途径证明了贝尔定理。为什么会这样呢？原因之一是，在维格纳的原始论文中，往往用文字叙述来取代公式推导，从而有太多的含糊不清之处。为了阐明维格纳的证明的意义，我不得不把它从头改写如下：
首先，维格纳未加证明地给出
1/2，
(15)
于是从命题A及(11)式得出结论：
对于任意单位向量a和b及其夹角gÐ(a,b)，有：
EQ \o(\s\up8(g-\d\ba5(。
维格纳认为这一命题表现量子力学的特征。
应用(11)式，可把命题E中的联合概率换成，再引进第三个单位矢量c，并适当轮换a、b和c，得到：
引理9：对于任意单位向量及aÐ(b, c)，bÐ(a, c)，gÐ(a, b)，有：
EQ \o(\s\up8(g-\d\ba5(；
EQ \o(\s\up8(a-\d\ba5(；
EQ \o(\s\up8(b-\d\ba5(。
其次，维格纳认为，根据定域隐变量理论，可以引进如下六个事件
的联合概率，维格纳把这个概率略写成(x, y, z; x’, y’, z’)，并应用经典概率论给出：
(x, y, z; x’, y’, z’)。
其中符号表示对y,z, x’,z’求和。
根据实验事实，只有当x’-x，y’-y，z’-z时，他引进的联合概率(x, y, z; x’, y’, z’)才不为零。因此从上式得出：
e：任给单位向量，存在联合概率(x, y, z; x’, y’, z’)，使得
(x, y, z; -x, -y, -z)。
维格纳认为这一命题表现了定域隐变量理论的特征。
最后，维格纳从命题E与命题F导出一个矛盾：
根据定义
(x, y, z; -x, -y, -z)，
维格纳得出
。
再应用(11)式，命题F中的概率公式可以改写成(6)式。
引进第三个单位矢量c，再适当轮换a、b和c，并应用(7)式，则同样可以给出另外两个相似的概率公式。还是把略写成，则这样的三个公式给出
引理10：对于任意单位向量，有：
；
；
。
注意到≥0，上面诸式给出不等式
。
应用引理9，上面的不等式变成
EQ \o(\s\up7(g-\d\ba3( EQ \o(\s\up6(a-\d\ba3( EQ \o(\s\up7(b-\d\ba3(。
然而这一不等式对某些a、b和g的取值并不成立。于是有
引理11：引理9与引理10不能同时成立。
按照维格纳的思路，引理9来自命题E，从而表现量子力学的特征；而引理10来自命题F，从而表现定域隐变量理论的特征。于是，证明引理11就完成了对贝尔定理的证明。
维格纳这一证明的优点在于用联合概率(x, y, z; x’, y’, z’)取代了贝尔公理来表征定域隐变量理论，从而实际上用“经典概率论与量子力学相矛盾”取代“定域隐变量理论与量子力学相矛盾”，从而维格纳的工作得出的结论其实也是定理5而不是贝尔定理。糟糕的是，维格纳自己并没有认识的这一点。他因为有贝尔定理先入为主而误解了自己所证明的结果。
贝尔的工作归根结底也是证明定理5，他证明这一定理的途径与维格纳的途径有如下区别：贝尔从贝尔命题导出贝尔不等式，再证明贝尔不等式与量子力学不相容。维格纳的证明之所以“简捷”，乃是因为它没有通过贝尔不等式这一中间环节，直接证明定理5，为此而付出的代价是：他应用了(15)式，而这一公式一般不成立。因此，维格纳的证明在数学方面并无可取之处，他能通过更简捷的途径证明定理5，只不过是侥幸从错误的前提得出了正确的结论。
*
6. 张启仁教授的工作
北京大学的张启仁教授在他写的《量子力学》一书中[1]，有一节讨论贝尔不等式，篇幅不大，却颇有新意：
张教授引进了函数
E(a,b)xyPr(sa = x, sb = y)。
并直接应用贝尔命题得到不等式
||1。
之后，张教授借助于该式与经典式
P(a,b)- E(a,b)
得到贝尔不等式。
这种推导没有多余的环节。
关于贝尔不等式的意义，张教授表述了如下观点：
如果测量值sa、sb和sc是客观存在的，与测量无关，则贝尔不等式成立。反之，如果这些量是从测量中产生的，则量子力学的自旋相关公式成立。因此，上世纪七十年代的那些检验贝尔不等式的实验要解决的问题是：sa、sb和sc等可观察量到底是从测量中产生的，还是客观存在的。实验的结果证明了量子力学的观点：这些可观察量是从测量中产生的。
张教授还认为，按照量子力学，在玻姆的理想实验中，对其中的一个电子自旋的测量，可以预言对另一个电子自旋测量的结果，这一实验事实是一种“远距离关联”，一种“非定域的关联”，而量子力学的自旋相关公式则表现了这种非定域性。
于是，张教授使得贝尔的结论与“隐变量理论”脱钩，把它改写为如下命题：
f：贝尔不等式表现定域性原理，而量子力学的自旋相关公式则表现了远距离关联。
在这里，张教授这里说到定域性原理与“远距离关联”之间的矛盾，正是所谓“EPR佯谬”的出发点，而隐变量理论通过如下论点调解了这一矛盾：
如果一个沿a方向自旋为1的电子进入一个方向为b的磁场，则该电子在磁场中的自旋究竟取值1还是-1是不确定的。确切的说，光是知道电子进入磁场之前的自旋sa =1以及磁场方向b还不足以确定电子在磁场中的自旋sb。按照隐变量理论，在微观过程中，存在一组足以确定该电子在磁场中的自旋sb的隐变量。这组隐变量也在玻姆理想实验生成了“远距离关联”：当两个电子还有相互作用时“关联”已经被这组隐变量预先确定，在两个电子分开以后“关联”仍然保持。这样，在隐变量理论中，“远距离关联”与定域性原理之间就不再相互矛盾。
按照张教授的命题G，隐变量理论的这种机制已经被（关于贝尔不等式的）实验结果所否定。然而，张教授实际上是从贝尔命题得出贝尔不等式的，因此张教授所证明的其实是定理5而不是命题G。
按照我们的思路，贝尔不等式的破坏是早该预期的（命题C）。这里我们进一步证明，“远距离关联”也是早该预期的：
当一个沿a方向自旋为1的电子进入一个方向为b的磁场时，该电子的自旋究竟取值1还是-1是不确定的，这一实验事实确实表明除了a与b以外，还需要第三个因素才能确定sb。然而这第三个因素不是我们“发现不着、控制不了”的隐变量，而是我们的老朋友电磁场。进入方向为b的磁场的电子不是一个孤立的电子，而某一电子束中的一个电子。由于每一个电子都有一个固有电磁场，电子束中的诸电子有一种不同于库伦作用的相互作用。因此，我们所考察的这个电子一直处于该电子束的其他电子的固有电磁场的迭加场中，正是这个迭加场最终决定sb的取值。
回到玻姆的理想实验。决定sa与tb各自有三个因素，如果一对电子分别进入的磁场是同方向的，则前两个因素都有明显的相关性：第一，这一对电子进入磁场之前，其自旋方向相反，这是100%的相关；第二，两个电子所进入的磁场的方向相同，这也是100%的相关。至于第三个因素，两个电子分别处于各自的电子束的其他电子的固有电磁场的迭加场中。从电子源所发射的每一对电子对于发射源是极对称的，而且在进入各自的磁场之前，这一对一对的电子始终保持极对称，而且总是保持自旋方向相反。而诸电子的固有的磁场取决于其位置与自旋，因此也始终保持极对称。这样，两束电子的迭加场也保持极对称，从而对于我们所考察的某一对电子来说，这第三个因素也是100%的相关，这种相关性不会因为这两个电子相互远离而遭到破坏。这样，“远距离关联”与定域性原理之间就不再矛盾。
7. 洛查克对贝尔定理的异议
法国物理学家吉·洛查克或许是最先对贝尔定理提出异议的物理学家。他在一篇文章[2]中写道：
“在贝尔的推理中，不仅用到一个表现定域性特征的假设，而且还用到一个统计学的假设……隐变量理论必须在全部测量结果的运算中恢复经典概率论。但这样立刻会在平均值的计算中与波动力学相矛盾。因为波动力学不遵循通常的概率论模式。这就不必惊讶以后会‘发现’波动力学与隐变量理论的计算结果之间的不一致。”
洛查克还在另一篇文章[3]中写道：
“在我看来，贝尔不等式与实验结果不一致与所谓‘非定域性’或‘不可分离性’完全无关。它只不过表明量子力学概率不是经典概率。这是一个我们已经发现了半个世纪多的事实。现在再次确认这一事实当然也是一件好事。但是，为了再次接受这一事实而动用这么多尖端而优秀的实验，似乎是不必要的。”
如果说贝尔、维格纳和张启仁等贝尔定理的支持者的错误在于在推导贝尔不等式时不自觉地应用了贝尔命题，并且误解了经典式的含义，那么洛查克作为贝尔定理的反对者，其不足之处则在于：
第一，洛查克实际上断言：仅从隐变量理论与经典概率论就可导出贝尔不等式，不需要定域性原理。但洛查克并没有证明这一点。
在贝尔公理中，定域性原理的特征连同隐变量理论的特征都是用经典概率论的语言来定义的，因此要在贝尔公理中除去经典概率论就得重新表述定域性原理和隐变量理论。用这种方式来证明定域性原理乃至隐变量理论不是导出贝尔不等式的必要条件将进入一条荆棘丛生的小径。
我们前面的考察已经开辟了一条康庄大道：如果一个前提是导出贝尔不等式的必要条件，则该前提具有如下性质：任何一组能导出贝尔不等式的命题一定蕴含这一前提。但经典式与贝尔公理组成一组可以导出贝尔不等式的命题，而这组命题却既不蕴含定域性原理，也不蕴含隐变量理论。因此定域性原理和隐变量理论都不是导出贝尔不等式的必要条件。
人们问道：“贝尔导出贝尔不等式的贝尔公理包括(14)式，难道这一表达式没有蕴含着定域隐变量理论的基本假设吗？”
诚然！我们不妨承认贝尔公理中的(14)式蕴含着定域隐变量理论的基本假设。然而，从贝尔公理可导出经典式与贝尔命题，但反过来，从经典式与贝尔命题却不能得到贝尔公理。可见除了经典式和贝尔命题以外，贝尔公理还蕴含一些其他命题。如果说(14)式确实表现了定域隐变量理论的特征，则这种特征肯定不属于经典式或贝尔命题，而是属于贝尔公理所蕴含的“其他命题”。既然从经典式与贝尔命题可以导出贝尔不等式，这些“其他命题”对于导出贝尔不等式就是不必要的。贝尔之所以把贝尔不等式追溯到、和三个函数的组合，是因为贝尔没有注意到贝尔公理只是导出贝尔不等式的充分条件，却并不是导出贝尔不等式的必要条件。正是这个小小的逻辑上的疏忽，把物理学家们引进了一个持续数十年的黄粱美梦，洛查克并没有把他们从梦中唤醒。
第二，洛查克虽然指出了人们在推导贝尔不等式时曾经用到经典概率论，却没有指出人们应用的究竟是经典概率论中的哪一个规则，在什么地方应用这一规则，这一规则又怎样导出贝尔不等式。
实际上，人们在推导贝尔不等式时，曾经不自觉地用到经典概率论的贝尔命题，洛查克却远没有弄清楚这一点。
在列举经典概率论的基本公式时，洛查克把乘法公式表成
Pr(A·B)Pr( A)·Pr(B)·。
在这里，洛查克事实上同时给出了两个公式，一个是
Pr(A·B)Pr( A)·，
它是一个概率运算的规则；另一个是
A·BB·A。
它是事件运算的布尔代数规则。洛查克未能把经典概率论的这两个前提区别开来。因此，虽然他正确地指出了推导贝尔不等式的过程中用了经典概率论；但是他不曾指出这一过程的致命的一步是对非布尔的事件空间应用了布尔代数的运算规则。
不仅如此，尽管在某种意义下我们可以说贝尔不等式是经典概率论的结论，但我们却不能说它是经典物理学的结论。怎见得呢？
在经典概率论中，A与B两个事件的积事件A·B的定义是“A发生并且B也发生”，根据这种定义，A·B与B·A的含义相同，从而乘法交换律A·BB·A成立。一般地说，经典概率论的事件运算满足布尔代数的规则，在这种意义下我们说：对于经典概率论，事件空间是“布尔空间”。 但是我们已经看到，联合概率Pr(sa = x, sb = y)中的事件就不属于布尔空间，或者说，sa = x和 sb = y这种类型的事件就属于“非布尔空间”。而贝尔命题之所以不成立，就是因为它硬性地对非布尔空间的事件进行布尔代数的运算。在这种意义下，贝尔命题及其导出的贝尔不等式是经典概率论的结论。
那么，在经典物理学中，我们能不能考察sa = x和sb = y这种类型的事件呢？回答是肯定的。在经典物理学中也有微观物理学。例如，洛伦兹的电子论和吉布斯的统计物理学都属于这一领域。如果我们在经典的微观物理学中考察联合概率Pr(sa = x, sb = y)，那么其中的A与B两个事件的积事件A·B的意义应该有“A先发生而B后发生”的含义。这样，A·B与B·A的含义不再相同，从而交换律A·BB·A不成立，这样的事件空间就是一种“非布尔空间”。于是经典物理学也必须考虑“非布尔空间”。在这种意义下，贝尔命题以及由它导出的贝尔不等式不能算是经典物理学的组成部分。
实际上，前人并没有从经典物理学的某种原理引出贝尔命题，他们应用贝尔命题，纯粹是盲目地进行数学运算而不考虑其物理意义而引起的失误。在物理学中，这样的失误实在太多了。
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前人关于贝尔不等式的工作可归结为两点：第一，贝尔不等式与量子力学不相容；第二，贝尔不等式与实验事实相矛盾。这两点都是对的，但考虑到贝尔不等式来自贝尔命题，而贝尔命题则是对非布尔的事件空间应用了布尔代数的运算规则的结果，这两个结论没有任何物理意义，更不表现任何哲学观点。
这个结论恐怕会令人失望：人们公认贝尔定理是“物理学中最重要的进展”和“科学中最深刻的发现”，而我们却揭示：贝尔定理实在是物理学家们不宜外扬的“家丑”。
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参考文献
[1]张启仁：《量子力学》高等教育出版社1989年版，p. 375。
[2] Lochak G. Has Bell’s Inequality a GeneralMeaning for Hidden-Variable Theories? [J]. Foundations of Physics, 1976, 6 (23),
[3]Lochak G. De Broglie’s Initial Conception of de Broglie Waves [A].Diner S et
—转载者注：谭天荣教授原稿中的数学公式不能在此博客中完整展现，如与谭天荣教授商榷物理学问题，可直接发信。谭天荣的邮箱：ttr359@126.com
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