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Lorentz transformation 的相对论推导
每一个运动着的三维坐标系都有各自独立的一个三维空间度量和一维时间度量，构成四维度量。在同一个坐标系里
，能量的读数是连续变化的。在相对运动着的不同坐标系里 ，各自的四维度量应该是不同的，这也是因为在相对运动着的不同坐标系里，能量的读数是不同的缘故。然而坐标系主要表现为数学的概念，而能量是客观存在的。为了保证坐标系之间能量特征（包括动能和势能的差值等等）的连续性、一致性，坐标系之间的度量必须建立相应的变换关系。
伽里略的时空变换，是这样来认识两个相对运系统中，物质运动变化的时空关系的。在惯性系统中，有两个相对做匀速运动的物理系统Σ，和Σ。在t=t，=0时，两个系统重合。当Σ，相对Σ以速度V向X方向运动的同时，从原点射出一光信号，光在两个系统中经过时间t，和t到达同一点P。对于光从原点到P点这个同一事件，伽利略认为时间是相等的，空间是变化了的
相对论存在于在动态平衡系统之中，没有动态平衡系统，就没有相对论的立足之地。因为，在动态平衡系统中，时空变换才能满足线性迭加规律。惯性力概念是马赫误导的结果。马赫认为：“惯性力在本质上是一种引力”（世界科技英才录——科学思想卷 上海科技教育出版社）。王永久认为：惯性力是一种虚构的力，“这种虚构的力的本质是什么呢？在经典力学和狭义相对论中这是不可理解的”（空间，时间和引力 湖南教育出版社）。
动态平衡原理，是地球上物理学定律成立的必要条件。物体在不受外力作用，或所受合外力作用为零的情况下，能够保持静者恒静，动者恒动，正是物体受动态平衡原理支配的结果。下面我们在动态平衡系统中，来建立物质运动变化规律的时空理论——相对论。
相对性原理告诉我们，在相对做匀速直线运动的系统中，对于同一事件运动变化规律的描述，具有相同形式的数学物理方程。
在极限理论中，点列的收敛性是核心概念。函数的连续性、导数和积分的定义最终都归结为点列收敛性。点列的收敛性是定义在点与点之间的距离之上的，而且证明收敛性时只用到距离的两条性质，即正定性和三角不等式
所以在分析学中只用这两条性质作为公理定义了距离空间。当然原来的欧氏空间也是距离空间的一个特例。那么定义距离空间的意义在哪里呢？在于可以借用欧氏空间的概念和关系来研究更复杂的函数集合，例如连续函数空间C[0,1]，平方可积函数空间L2(0,1)等。把这些函数看成点，用这些函数空间中的点列的收敛性，我们就可证明一些微分方程和积分方程的解的存在性和唯一性了。沿着这个方向，分析学定义了众多的函数空间，如赋范线性空间、索贝列夫空间等，它们是解决微分方程和积分方程存在性和唯一性的基本工具。
几何沿另一个方向的发展是研究曲面上的几何问题，如球面上的几何问题
如球面上的几何问题，这就是微分几何。主要研究工具是微积分，张量代数及近代发展起来的微分形式等。作为欧氏几何直接推广的黎曼(Riemann)几何，空间中也定义了距离，两点间的长度微元也是坐标微元的正定二次型，只是系数矩阵是坐标函数了。但弯曲空间从局部看来和欧氏空间是相当的，而空间的弯曲程度则由曲率张量来描叙。
如果再把距离函数的正定性取消，我们就得到洛伦兹流形。Einstein用3+1维洛伦兹流形来描叙物理时空，从逻辑上看，比牛顿的绝对平直时空有两大优势：第一、平直时空是弯曲时空的一个特例，弯曲时空是比平直时空更广的概念
所以在逻辑上更可靠。第二、3+1维的耦合时空具有4元数结构，是一个演化的活流形。其中的场方程相对容易解出，而且场量都是活的，物质具有了灵性。所以著名的前苏联物理学家朗道(Landau)说：广义相对论是最接近上帝的工作。
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