古典的湍流统计理论都是通过假设对（对流项）三阶矩进行封闭。
例如对能谱动力学方程的Heisenberg假设、Obukhov假设、Karman假设等，对Karman-Howarth方程的Sedov假设，以及对谱空间相关矩的Kraichnan的直接相互作用假设。
Kraichnan的直接相互作用理论：
加上初始条件
由此可求得二阶矩，再由
可求得各个模的幅度期望。
由于Kraichnan假设的方程为复杂的微分积分方程，所以必须通过计算机数值计算才行。
Batchelor也认为Kraichnan理论除了数学复杂性外并没有更多的物理理解。（见《Batchelor的绝望》）
——————
我以前有个困惑：我对Fourier能谱、相关矩是不喜欢的，可为什么物理中大量出现这种东西（声子、涨落耗散定理、线性相应理论）呢？
现在觉得是因为以前的物理学家处理的都是线性系统，至多为弱非线性系统，所以能谱、相关矩是适用的，因为各个分量之间是独立的。
可是当系统为强非线性时，如果还使用Fourier展开，那各个分量之间不再是独立的，会发生相互作用，例如三波作用、声子之间的相互作用等。从Fourier展开的角度看问题还是适当的吗？例如如果分解成几个孤波，这几个孤波是独立的，那岂不是更好？
用物理的话说，就是如何确定恰当的表象。
最简单的说，除了直角坐标的Fourier表象，还有柱坐标的Bessel表象、球坐标的Legendre表象。
例如《有独立的Majorana费米子吗？》所说的问题。
注：在强非线性系统（例如流体）中，“声子”不再满足B-E统计；在完全线性系统中，因为声子是独立的，所以也没有B-E分布。只有在“弱”非线性系统中，声子才会有B-E分布！
而这“弱”非线性来源于所谓的“隐关联势”。诚如Landau和Lifshitz所说：“统计平衡之得以建立，归根到底就是全靠这些比较微弱的相互作用。”（见《写实vs写意 1》，摘自沈惠川《统计力学》第一章）
——————
我以前是不看好结构学派的，可现在觉得结构学派还是有点意思的。
如果我们能精确定义流场的结构，那我们也许可以用历史的手法描述流场中发生的一切大事件。
只不过这是后验的。
例如对能谱动力学方程的Heisenberg假设、Obukhov假设、Karman假设等，对Karman-Howarth方程的Sedov假设，以及对谱空间相关矩的Kraichnan的直接相互作用假设。
Kraichnan的直接相互作用理论：
加上初始条件
由此可求得二阶矩，再由
可求得各个模的幅度期望。
由于Kraichnan假设的方程为复杂的微分积分方程，所以必须通过计算机数值计算才行。
Batchelor也认为Kraichnan理论除了数学复杂性外并没有更多的物理理解。（见《Batchelor的绝望》）
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我以前有个困惑：我对Fourier能谱、相关矩是不喜欢的，可为什么物理中大量出现这种东西（声子、涨落耗散定理、线性相应理论）呢？
现在觉得是因为以前的物理学家处理的都是线性系统，至多为弱非线性系统，所以能谱、相关矩是适用的，因为各个分量之间是独立的。
可是当系统为强非线性时，如果还使用Fourier展开，那各个分量之间不再是独立的，会发生相互作用，例如三波作用、声子之间的相互作用等。从Fourier展开的角度看问题还是适当的吗？例如如果分解成几个孤波，这几个孤波是独立的，那岂不是更好？
用物理的话说，就是如何确定恰当的表象。
最简单的说，除了直角坐标的Fourier表象，还有柱坐标的Bessel表象、球坐标的Legendre表象。
例如《有独立的Majorana费米子吗？》所说的问题。
注：在强非线性系统（例如流体）中，“声子”不再满足B-E统计；在完全线性系统中，因为声子是独立的，所以也没有B-E分布。只有在“弱”非线性系统中，声子才会有B-E分布！
而这“弱”非线性来源于所谓的“隐关联势”。诚如Landau和Lifshitz所说：“统计平衡之得以建立，归根到底就是全靠这些比较微弱的相互作用。”（见《写实vs写意 1》，摘自沈惠川《统计力学》第一章）
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我以前是不看好结构学派的，可现在觉得结构学派还是有点意思的。
如果我们能精确定义流场的结构，那我们也许可以用历史的手法描述流场中发生的一切大事件。
只不过这是后验的。
由于基函数的非唯一性（主观性），小波变换应该只是一种工程技术。
那么由Fourier变换得到的能谱有物理意义吗？
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强非线性的情况，展开成级数是无意义的——形式上可以用Fourier展开式来表示任何场，但这不能完全相符地反映谐函数之间密切相关情况下的动力学，因为叠加原理不起作用。因此，我们应当明确在我们的研究中什么是基本对象，换句话讲，我们能够用什么样的语言，通过应有的形式，来表示非线性系统的演变？通常，在这种情况下，用相关函数或波动谱来表示并不太好，因为这样不可能单值反映非线性结构。基本对象可以是孤子或涡旋，或者是具有高频容量的孤子、坍塌空穴、冲击波，可能的话，还有某种另外的构成物。……为此，常常采用粗略的估算或者“印象”处理。……所以非线性物理显得没那么严密，且有些“无序性”，但其具有极大的优势——美。
——Kingsep
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在很久以前我的观点与Kingsep完全一样，所以我对能谱没有兴趣。
可是后来意识到凝聚态物理和量子场论中，Fourier变换无所不在（声子、光子等基本对象）。
这可如何是好？
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Fourier变换以及小波变换的作用是由实验数据（或数值计算的结果）拟合出近似的解析解。
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对于一区域的流体，如果求的是速度场的能谱，那么在Galileo变换下能谱将发生改变，即速度场的能谱不具有Galileo协变性。
如果求的是涡量场的能谱，那么将会出现
，其中
，
。可以看出会出现速度的2阶导数，而这是难以处理的。
如果求的是![能谱的困境 - wuting0 - wuting的博客]()
的能谱，那将更难处理。
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湍流的频散效应意味着并不存在一个简单的能谱方程。
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把流体看成是“声子”的集合。
非线性系统的两个“声子”之间有相互作用，例如：![能谱的困境 - wuting0 - wuting的博客]()
这样k空间两薄壳的相互作用：![能谱的困境 - wuting0 - wuting的博客]()
，其中
这样有
可是这样做显得特别主观和后验。
而H就是Fourier分量的能量（Parseval定理），这一点是尤其不自然的。
心灰意冷时，还有什么是我的寄托？
那么由Fourier变换得到的能谱有物理意义吗？
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强非线性的情况，展开成级数是无意义的——形式上可以用Fourier展开式来表示任何场，但这不能完全相符地反映谐函数之间密切相关情况下的动力学，因为叠加原理不起作用。因此，我们应当明确在我们的研究中什么是基本对象，换句话讲，我们能够用什么样的语言，通过应有的形式，来表示非线性系统的演变？通常，在这种情况下，用相关函数或波动谱来表示并不太好，因为这样不可能单值反映非线性结构。基本对象可以是孤子或涡旋，或者是具有高频容量的孤子、坍塌空穴、冲击波，可能的话，还有某种另外的构成物。……为此，常常采用粗略的估算或者“印象”处理。……所以非线性物理显得没那么严密，且有些“无序性”，但其具有极大的优势——美。
——Kingsep
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在很久以前我的观点与Kingsep完全一样，所以我对能谱没有兴趣。
可是后来意识到凝聚态物理和量子场论中，Fourier变换无所不在（声子、光子等基本对象）。
这可如何是好？
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Fourier变换以及小波变换的作用是由实验数据（或数值计算的结果）拟合出近似的解析解。
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对于一区域的流体，如果求的是速度场的能谱，那么在Galileo变换下能谱将发生改变，即速度场的能谱不具有Galileo协变性。
如果求的是涡量场的能谱，那么将会出现
，其中，。可以看出会出现速度的2阶导数，而这是难以处理的。如果求的是
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湍流的频散效应意味着并不存在一个简单的能谱方程。
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把流体看成是“声子”的集合。
非线性系统的两个“声子”之间有相互作用，例如：
这样k空间两薄壳的相互作用：
这样有
可是这样做显得特别主观和后验。
而H就是Fourier分量的能量（Parseval定理），这一点是尤其不自然的。
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心灰意冷时，还有什么是我的寄托？
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