从非对易几何的观点看对易几何
几何和拓扑的传统领域是赋予某些独特结构的一个点集，用一个更好的名字，我们把它称为一个空间。因而(例如)我们把曲线和曲面作为背景欧氏几何的子集来研究。然而，在早期就认识到，即使象椭圆曲线这样的基本的几何对象，作为点集来研究也不是最有利的，而通过考查这个集合上的函数—特别是双周期亚纯函数—来研究更好。通过直接研究满足代数加法定理的复变函数的集体，Weierstrass找到一种新的方法来研究几何，点集作为结论被推导出来。在概率论中，实验结果的集合形成一个测度空间，我们可以把事件看作结果的子集；但是，大多数信息从“随机变量”(即结果空间上的可测度函数)得到
在量子物理的影响下的非对易几何中，用函数类来代替点集的这个普遍的思想被进一步采纳。在许多情形下，集合由一个函数代数完全确定，因此，我们可以忘掉集合而仅仅从函数来得到所有信息。另外，在很多几何情形下，对应的集合是非常病态的，直接的考查得不到有用的信息。比如，对圆周上无理数角的倍数旋转，群作用轨道的集合就是这种类型。在这样的情形下，当我们从代数的观点来考查这个问题，通常得到一个完美的算子代数，它拥有我们需要的信息；然而，这个代数一般不是对易的。因此，我们通过两步来分析：首先说明函数代数怎样确定点集的结构，接着再弄明白函数代数的哪些相关性质不依赖于对易性。
第十五章 结语与展望 第一节 李淼 可以说，弦论的第二次革命是自94年场论和弦论中的强弱对偶的发现始， 至98年的马德西纳猜测结束。98年之后，虽然弦论中每年或多或少还有 一些新的进展，概念上的变化和进展基本上没有了。 超弦的第二次革命不但带来弦论本身研究的极大变化，也影响了许多临近 的领域，如数学、粒子物理唯象学以及宇宙学。在这最后一章中，我们不 再提到对数学的影响，但会提及对粒子物理和宇宙学的一些影响。 我们不准备另立专章介绍98年以后的一些重要进展，在本章中，我们扼要 介绍一下这些发展，同时也强调第二次革命带来的一些深刻问题。 与马德西纳猜测提出的同时，道格拉斯等人指出在矩阵理论中可以实现非 交换几何。他们的具体例子是，将M理论紧化在一个两维环面上，同时三阶 反对称张量场在这个两维环面以及纵向方向（就是矩阵理论中所有物体都 带有动量的那个方向）有一个不为零的常数分量，那么矩阵理论就是一个 三维的非交换超对称规范理论。这里非交换的意思不是指规范群－规范群 总是非交换的，而是指定义规范理论的空间本身是非交换的。 这篇文章的作者之一，A. 孔(A. Connes)，是一个有名的数学家，也是数 学中非交换几何的创始人。他有一个完整的非交换几何的定义，早在1985 年威顿就将他的非交换几何概念应用到弦场论中去。而在孔等人的文章中， 非交换几何以最为简单的形式出现。简单地说，三维规范理论中的那个两 维空间是一个非交换环面，是海森堡两维相空间在环面上的推广。我们知 道，量子力学中，坐标与其共轭动量不对易，坐标与动量的对易子是一个 常数。现在，两维环面上的两个坐标的对易子也是一个常数。 很容易在一个非交换环面上定义场论。在寻常环面上的经典场是环面上两 个坐标的函数，现在，环面坐标不再是普通数，而是算子了，所以经典场 应该是两个算子的函数。尽管是经典场，其表现形式是算子，取值范围是 海森堡代数。当然，这个场还没有被量子化。我们知道，两维相空间的另 外一种量子化方式是维尔的几何量子化，任何一个算子被还原成相空间上 的普通函数，但两个算子的乘积不是两个普通函数的乘积，而是一种叫做 星乘积的非交换乘积。普通函数的乘积是一种局域乘积，所得的函数在一 点的值是原来两个函数在这一点值的乘积，而星乘积是非局域乘积，所得 函数在一点的值与原来两个函数在整个空间的行为有关。利用星乘积，非 交换环面上的场论就成为普通的量子场论，不同于局域量子场论的地方是 作用量中的所有场的乘积是星乘积。 虽然非交换场论一开始是定义在环面上的，且与矩阵理论有关，后来人们 发现D膜在一个有着两阶反对称场的背景下的有效理论也是非交换规范理 论。这一点可以由道格拉斯等人的工作中看出来，因为当我们将纵向方向 紧化后，原来的三阶反对称场就变成弦论中的两阶反对称场。非交换量子 场论也可以通过对D膜上的开弦直接量子化获得，贺培铭和朱创新在这方面 作了原创工作。这个工作在99年塞伯格和威顿的长文中得到极大的广大， 他们的工作也触发了弦论中新一轮的时髦。 非对易几何是一个非常老的概念，许多人也一直觉得在一个量子引力理论 中，经典几何应该被类似非对易几何这样的概念取代，但也一直没有具体 模型。弦论中D膜在一定背景场下的理论是第一次在一个自洽的理论中实 现非对易几何，由于弦论本身的自洽性，D膜上的理论是一个有定义的量 子理论。如果非对易量子场论和闭弦以及开弦激发态脱耦，非对易量子场 论本身就是一个完备的量子理论，特别地，这个场论是可重正的。 虽然过去几年人们做了许多工作，但非对易几何却一直没有直接地在引力 理论中实现。一个比较接近这样的实现是AdS/CFT对应中球面的非对易性， 这些球面叫做模糊球面，模糊性的来源是引力子在反对称场的通量的影响 下成为一个有限尺度的物体，其大小和位置被量子化了，与一个模糊球面 的描述吻合。 一个非对易场论在量子化后有一个非常有趣的性质，叫做紫外/红外混合。 过去的所有的关于一个局域量子场论的经验告诉我们，量子场论在红外的 性质与紫外的具体行为无关，紫外的所有影响可以被总结在几个参数中， 这些参数决定红外的有效作用量。非对易量子场论不是一个局域场论，所 以紫外物理影响红外行为并不令人惊讶。塞伯格等人的具体发现是，量子 涨落中的高能模直接影响与这些涨落联系的低能物理过程。我们现在对这 种现象有一个非常直观的理解：场在非对易场论中其实是一个偶极矩的激 发，偶极矩又在一个磁场中运动（磁场这个背景场直接导致非对易性）， 如果偶极矩的动量越大，磁场的作用使得偶极矩的尺度越大，从而影响大 尺度也就是红外物理。 紫外/红外混合很像我们前面讨论过的紫外/红外对应，所以人们希望类似 非对易场论的理论可以解释宇宙学常数为什么这么小。宇宙学常数决定我 们的宇宙的尺度，所以是一个红外参数，如果紫外/红外混合在量子引力 中是一个重要效应，那么很有可能极高能的量子引力效应导致一个非常小 的宇宙学常数。可惜，这个想法还是很难用一个具体模型实现。但我们预 期，弦论的下一个重要突破很可能与这个问题相关。 过去几年中出现的另一个热门话题是不稳定膜和快子，这个方向几乎是森 一个人独力开发的。也是在98年，当弦论界的大部分人赶热闹研究马德西 纳猜测时，森开始研究弦论中的非BPS态。他从稳定的非BPS态开始，然后 研究到不稳定的非BPS态，再到不稳定的BPS态如何衰变，以及衰变成稳定 的BPS态。这个方向经过很多人的努力，已经派生出许多令人意想不到的 应用。 最有意思的是不稳定的非BPS态，这些态通常是弦论中的经典解，不带任 何守恒荷，从而是不稳定的。在森研究这些物体之前，我们已经知道了一 些不稳定的膜系统，一个最简单的例子是一个稳定的D膜和一个平行的反 D膜组成的系统。在D膜和反D膜之间存在吸引力，所以即使当两个对象相 隔比较远时，这个系统也是不稳定的。当两个对象之间的距离很近时，班 克斯和沙氏金早就指出，端点分别搭在两个膜上的开弦中出现一个不稳定 模，其质量的平方是负的，就是一个快子。和传统的相对论一样，快子的 出现并不意味着因果律的破坏，只是说明系统不稳定，快子本身是不稳定 性的表现：当系统出现扰动时，扰动增大的部分就是快子的激发。在D膜 反D膜系统中，当两个物体靠得很近时，快子被激发，快子激发的表现形 式是两个物体互相湮灭。 D膜和反D膜系统可以看成是弦论树图层次上的严格解，因为可以用两维共 形场论来描述这个系统。森后来指出，当我们在超弦理论中研究D膜反D膜 上的开弦时，格舍奥投射与两个平行的D膜不一样，所以快子就保留了下 来。虽然单独的D膜或者单独的反D膜都带有守恒荷，但整个系统的荷是零， 所以守恒律不保证这个系统不湮灭。 森的研究中出现一些新的不稳定系统，就是单个不稳定D膜。例如，在IIA 弦论中，我们知道存在稳定的空间维度是偶数的D膜，这是因为理论中存在 相应的反对称规范场，这些反对称场的阶是奇数，等于对应的D膜的时空维 度。可是，当我们在开弦微扰论中用边界条件来定义D膜时，边界条件本身 的共形不变性与D膜的时空维数无关，从而，在IIA理论中我们可以定义空 间维度是奇数的D膜。这些D膜由于不破坏开弦的共形不变的边界条件，所 以是弦论中树图解。D膜的时空维度与超对称有关，空间维度是奇数的D膜 在IIA理论中完全破坏超对称，所以不再是BPS态。同样，IIB弦论中存在 空间维度是偶数的不稳定D膜。 快子的质量平方是用弦的张力来量度的，所以快子的有效作用量应该包含 弦激发态的效应。奇怪的是，快子的作用量可以有效地用一个推广的波恩－ 英费尔德形式来描写，这样弦激发态的效应似乎可以忽略。森假定当不稳 定膜处于其最简单的状态时，快子的“真空”期待值是零，他证明，当快子 期待值处于势能最低值时，不稳定膜完全消失。这样，快子可以用来有效 地描述不稳定膜的衰变。 因为快子本身带有势能，有人建议可以将快子看成早期宇宙暴涨过程中的 暴涨子(inflaton)，驱动宇宙的暴涨过程。这是一个很有意思的建议，因 为这个建议坚定在宇宙早期，可能存在膜和反膜的湮灭过程。可惜，快子作 为暴涨子有一些理论上的困难，还没有完全被克服。 快子的研究引出很多有趣的进展，如开弦可能是一种描述整个弦论的基本单 元，闭弦以及D膜等等都可以用开弦理论来描述，这个猜测带来新一轮的弦 场论的研究。玻色弦中的D膜是不稳定的，当存在许多D膜时，开弦的低能理 论可以用快子的矩阵模型来研究，因为此时快子是一个矩阵。这个图象可以 用来重新解释老矩阵模型，老矩阵模型是一个两维弦理论，其中矩阵的物理 意义在80年代末并不清楚，只是弦世界面上三角剖分的一个对偶描述，现在 的解释就很清楚了，矩阵模型其实是一种开弦理论，其矩阵变量是不稳定D0 膜上的快子。虽然这是开弦理论，在大N极限下，这个理论自动含有闭弦。
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