[转]量子场论学习心得：对于复标量场，守恒荷就是电荷
[转]量子场论学习心得
初学《量子场论》注记
刚学场论已有半个多学期，说说自己的体会吧：
1.老师用的是PESKIN的书，虽然书的评价是推理详细，可我还是觉得在许多计算上糊里糊涂的，尤其是在涉及到李群和DIRAC场的时候。没办法，高等量子力学，群论和量子场论是同时开设的，只能自己先看着了。
2.前一段时间一直在想为什么坐标在进行洛伦兹变换时，对应波函数也要进行相应变换，比如DIRAC方程。现在明白了：先写出DIRAC方程，当坐标变换时，偏导算符要变换，γ矩阵不变，为了保持方程的协变性（狭义相对论的要求！），波函数也必须作出一个变换，还可以很容易的写出波函数的变换矩阵和坐标变换矩阵的关系！
3.波函数变换矩阵的无穷小生成元S（μυ）的形式：首先把洛伦兹变换的无穷小形式写出，然后写出波函数变换的无穷小形式，S（μυ）是作为待定量出现，根据2中的“波函数的变换矩阵和坐标变换矩阵的关系”，可以求出有关S（μυ）性质（是二阶反对称的）的式子，结合γ矩阵的性质，可以把S（μυ）用γ矩阵表示出。
4.对称性在场论中扮演了极其重要的角色！试想，对于场这种物质存在形式，应该如何定义其动量，角动量了？可以考虑坐标和场量连续对称变换中，作用量所体现出的不变性，这其实也是Noether定理所告诉我们的。首先是时空无穷小平移，所有场在这种变换下，场量的变化仅由前后坐标不同导致。对于实标量场，会有4个流守恒方程。对全空间积分后，会有两个描述场的守恒物理量：场的总能量和总动量。尤其看看描述能量的那个流守恒方程，对它在有限空间积分后：有限空间中能量的减少量=流出这个空间的场的总动量密度的面积分！于是，场的能量和动量很自然的联系在了一起！齐次看看无穷小洛伦兹变换，在这种变换下，场量的变换不仅是坐标前后的不同，还有场本身内部自由度的变化。不同的性质的场，这一项会很不同，于是可以根据这个来对场分为标量场，矢量场和张量场！对应的守恒量为场的总角动量！最后是定域规范变换导致的守恒荷，对于复标量场，守恒荷就是电荷，恩，这点我还没看出来。
5.场的正则量子化：可以有L和H两种不同的表示方式。对于H：经典力学是广义坐标+已知的H+POSSION括号定义+用POSSION括号表述的正则方程；量子场论是场算符+场的H+场算符对易关系定义+量子POSSION括号表述的正则方程！场算符不一定是要厄米的，比如复标量场的量子化！
初学《群论》
初学《群论》，感觉极为不适应，虽然在大学已经认为线性代数比较抽象了，但还是被这门课所折服，同时也非常佩服：数学家是怎么用他们神奇的大脑构建出如此复杂，庞大和自洽的理论体系。
第一章的群的基本理论还凑合，总拿D（3）群去验证一些定理，以便加深些理解。到了第二章，群表示论，感到有些困难了，简单说是把抽象群和GL（n,C）用同态映射（同构似乎要更好）联系起来，也就是把抽象的群元素用矢量空间的矩阵表示出来。似乎到这里就够了，但后面又突然引进个群空间表示和群空间代数。奇怪的是：这个群空间的基矢是用群的元素构造出来的！这样，在这个空间去表示群元素的，群的元素就有了双重的性质，一会儿又当基矢量，一会儿又当操作（群元的左正则表示！）......这和用实数域上的矢量空间去表示一个群是个很大的区别.....还有个很奇怪的：在群空间上定义了乘法（基矢的乘法满足群元的乘法）后，后面的群函数又在上面定义了内积，虽然这两种数学结构并不矛盾，可是总感觉怪怪的.....
我又总想很快把这些学了的东西和量子力学中的东西结合起来，到现在似乎只知道应该选取合适的基矢（本征波函数）来表示体系哈密顿量对称群的群元.....
自己还在特征标和一些正交，完备定理里盘旋，问题太多了，总之慢慢来吧！
还是很佩服科大上群论的朱老师，对数学物理中知识的深刻把握（不愧为当年少年班的学生啊！）！同时也很感谢他，有时自己都迷糊得不知道自己问了什么问题了，他还是很耐心讲解！希望自己在学期末能有不小的收获！
初学《群论》2
在没有提及“表示”以前，对于“群”的认识是抽象的，但抽象的好处似乎是便于对最一般的性质和相关运算法则做出定义和推理演绎。当选择了具体的一组线性无关，完备的“基矢”之后，群中的元素就清晰起来。定义群元对“基矢”的作用后（这一步是必须的，先前的讨论并没有涉及到群元的具体性质。如群元可以是旋转的操作，也可以是平移的操作），群元的具体样子就通过矩阵体现了出来。而同时，任意矢量也换为了相应的表示--行向量或列向量。这类似于讨论一个矢量，一开始总是利用抽象的记号，但坐标系一但选好，矢量就体现为一组有序的数。所有的运算法则也在数上有了体现。对一个群来说，可以选取不同的“表示”空间--群空间,群函数空间.....并列的关系，但各有各的好处！
理解群函数和群函数代数对理解完备性和正交性定理有很大的优势。例如对于D(3),根据Burnside定理知道它有两个一维，一个二维不可约表示。对于其中的二维表示，因为D(3)有六个元素，所以这六个元素都有对应的2*2矩阵。把它们排成一行。然后把每个矩阵的第1行，第1列的数取出来，共有6个数，构成群函数空间上的一个矢量，就记为T（11）。类似的做法把第1行，第2列的数取出来，记为T（12），接着又T（21），T（22）。于是就有了4个“矢量”。那两个一维的不可约表示是一维的，也能构成两个“矢量”，构成G（1）和F（1）。（换不同的字母是为了区别不可约表示）。总之，办完这件事，就有了6个“矢量”。好了，完备性定理告诉我们：这6个基是完备的，即任何矢量可以用它们来展开。正交性定理告诉我们：只有当基矢是取自同一个不可约表示，同样的行和列时，内积为一常数----群的阶数，否则为0。这和在常见的矢量的的完备，正交有很大的相似！
理解群函数和群函数代数对理解类代数也有好处。可以猜想，由K（i）构成的基应该是完备的，实际上它也能作为群的展开基。
就写到这里了，问题太多了。。。
初学《群论》3
半个学期过去了，老师的群表示论这一章快要告一段落，我还是在如何把群论和量子力学联系在一起的问题里打转转，有很多的细节无法用群论的理论和量子力学作出对应。还是先写写自己的体会吧：
量子力学的矩阵表示在搭建和群论的桥梁中显得尤其突出，因为群的表示理论是在线性空间上作出的，而量子力学也建立在这种空间上，不过是无限维的。波动方程和路径积分形式似乎在这方面要逊色一些了。
先说单个厄米矩阵的对角化，实际就是重新选择一组基矢，让矩阵在这种幺正变换下是准对角的，而对角矩阵上的数就是本征值，也是物理上可以测量的值。
再说两个厄米算符，如果是对易的，从物理上说就是可以同时测量，从数学上说就是要找到这么一个幺正变换矩阵S，可以让这两个算符同时（！）对角化。组成这个S的就是属于两个算符的共同（！）本征矢，对角化后的矩阵对应着可以测量的值。当然，在物理上为了解除简并，必须找到对易守恒量完全集，这样可以把一个状态完全用好量子数完全标记。
之所以写这些，是因为在求群的不可约表示时，用到了一种类似于物理中的“对易守恒量完全集”的方法。
我想还是应该注意到二者的区别和联系。
求群的不可约酉表示一般是在群空间上的正则表示下进行的。由于正则表示一般是可约的，我们的目的就是要找到这么一个S，当它对每一个群元（！）的正则表示作用时，会把它们变成分块对角（这里要做的是对幺正矩阵进行--分块对角，而不像在厄米矩阵上做的那样--准对角！）的形式。这样的数学意义，实际上是在群空间上重新选择基矢，把正则表示下的不变子空间找出来，可约表示也就被分成了更为基本的不可约表示。还应该注意到这样做的好处：把每个群元（！）分块对角形式写出来，然后把每个矩阵中属于同一个子空间的那个不可约表示拿出来，他们构成维数更少，更基本的表示。这些都是由正交完备定理保证的，但它并没有提供一种方法，告诉我们怎样找S。
类比于量子力学中的方法，我们应该找一个群上对易的算符集合（守恒在这里我想还暂时还谈不上）。很幸运的，类算符满足这种条件，它们之间是相互对易的。拿D（3）群为例，类算符集合取为K（1），K（2），K（3），分别对应{e},{d,f},{a,b,c}.K（1）是恒等算符，踢掉。为了找到完整的集合，把群G中和K（2），K（3）对易的再找个出来，比如说找d。那么f就不用了，因为d*d=f。于是计算{K（2），K（3），d}的本征矢。其实本征值是可以再不求出本征矢的情况下用特征标理论算出来的。于是假设x=c(1)e+c(2)d+c(3)f+c(4)a+c(5)b+c(6)c，这样以后可以算出本征矢。这其中还涉及到解除不可避免的简并问题，数学家规定标准基的取法，要求它不仅是算符左乘的本征矢，而且是右乘的本征矢，这样可以消除此类问题。最后就会求出S。以上只是个粗略的过程。
好了，我现在也就能把量子力学和群论联系到这种程度了，还有很多的细节需要慢慢解决......
刚学场论已有半个多学期，说说自己的体会吧：
1.老师用的是PESKIN的书，虽然书的评价是推理详细，可我还是觉得在许多计算上糊里糊涂的，尤其是在涉及到李群和DIRAC场的时候。没办法，高等量子力学，群论和量子场论是同时开设的，只能自己先看着了。
2.前一段时间一直在想为什么坐标在进行洛伦兹变换时，对应波函数也要进行相应变换，比如DIRAC方程。现在明白了：先写出DIRAC方程，当坐标变换时，偏导算符要变换，γ矩阵不变，为了保持方程的协变性（狭义相对论的要求！），波函数也必须作出一个变换，还可以很容易的写出波函数的变换矩阵和坐标变换矩阵的关系！
3.波函数变换矩阵的无穷小生成元S（μυ）的形式：首先把洛伦兹变换的无穷小形式写出，然后写出波函数变换的无穷小形式，S（μυ）是作为待定量出现，根据2中的“波函数的变换矩阵和坐标变换矩阵的关系”，可以求出有关S（μυ）性质（是二阶反对称的）的式子，结合γ矩阵的性质，可以把S（μυ）用γ矩阵表示出。
4.对称性在场论中扮演了极其重要的角色！试想，对于场这种物质存在形式，应该如何定义其动量，角动量了？可以考虑坐标和场量连续对称变换中，作用量所体现出的不变性，这其实也是Noether定理所告诉我们的。首先是时空无穷小平移，所有场在这种变换下，场量的变化仅由前后坐标不同导致。对于实标量场，会有4个流守恒方程。对全空间积分后，会有两个描述场的守恒物理量：场的总能量和总动量。尤其看看描述能量的那个流守恒方程，对它在有限空间积分后：有限空间中能量的减少量=流出这个空间的场的总动量密度的面积分！于是，场的能量和动量很自然的联系在了一起！齐次看看无穷小洛伦兹变换，在这种变换下，场量的变换不仅是坐标前后的不同，还有场本身内部自由度的变化。不同的性质的场，这一项会很不同，于是可以根据这个来对场分为标量场，矢量场和张量场！对应的守恒量为场的总角动量！最后是定域规范变换导致的守恒荷，对于复标量场，守恒荷就是电荷，恩，这点我还没看出来。
5.场的正则量子化：可以有L和H两种不同的表示方式。对于H：经典力学是广义坐标+已知的H+POSSION括号定义+用POSSION括号表述的正则方程；量子场论是场算符+场的H+场算符对易关系定义+量子POSSION括号表述的正则方程！场算符不一定是要厄米的，比如复标量场的量子化！
初学《群论》
初学《群论》，感觉极为不适应，虽然在大学已经认为线性代数比较抽象了，但还是被这门课所折服，同时也非常佩服：数学家是怎么用他们神奇的大脑构建出如此复杂，庞大和自洽的理论体系。
第一章的群的基本理论还凑合，总拿D（3）群去验证一些定理，以便加深些理解。到了第二章，群表示论，感到有些困难了，简单说是把抽象群和GL（n,C）用同态映射（同构似乎要更好）联系起来，也就是把抽象的群元素用矢量空间的矩阵表示出来。似乎到这里就够了，但后面又突然引进个群空间表示和群空间代数。奇怪的是：这个群空间的基矢是用群的元素构造出来的！这样，在这个空间去表示群元素的，群的元素就有了双重的性质，一会儿又当基矢量，一会儿又当操作（群元的左正则表示！）......这和用实数域上的矢量空间去表示一个群是个很大的区别.....还有个很奇怪的：在群空间上定义了乘法（基矢的乘法满足群元的乘法）后，后面的群函数又在上面定义了内积，虽然这两种数学结构并不矛盾，可是总感觉怪怪的.....
我又总想很快把这些学了的东西和量子力学中的东西结合起来，到现在似乎只知道应该选取合适的基矢（本征波函数）来表示体系哈密顿量对称群的群元.....
自己还在特征标和一些正交，完备定理里盘旋，问题太多了，总之慢慢来吧！
还是很佩服科大上群论的朱老师，对数学物理中知识的深刻把握（不愧为当年少年班的学生啊！）！同时也很感谢他，有时自己都迷糊得不知道自己问了什么问题了，他还是很耐心讲解！希望自己在学期末能有不小的收获！
初学《群论》2
在没有提及“表示”以前，对于“群”的认识是抽象的，但抽象的好处似乎是便于对最一般的性质和相关运算法则做出定义和推理演绎。当选择了具体的一组线性无关，完备的“基矢”之后，群中的元素就清晰起来。定义群元对“基矢”的作用后（这一步是必须的，先前的讨论并没有涉及到群元的具体性质。如群元可以是旋转的操作，也可以是平移的操作），群元的具体样子就通过矩阵体现了出来。而同时，任意矢量也换为了相应的表示--行向量或列向量。这类似于讨论一个矢量，一开始总是利用抽象的记号，但坐标系一但选好，矢量就体现为一组有序的数。所有的运算法则也在数上有了体现。对一个群来说，可以选取不同的“表示”空间--群空间,群函数空间.....并列的关系，但各有各的好处！
理解群函数和群函数代数对理解完备性和正交性定理有很大的优势。例如对于D(3),根据Burnside定理知道它有两个一维，一个二维不可约表示。对于其中的二维表示，因为D(3)有六个元素，所以这六个元素都有对应的2*2矩阵。把它们排成一行。然后把每个矩阵的第1行，第1列的数取出来，共有6个数，构成群函数空间上的一个矢量，就记为T（11）。类似的做法把第1行，第2列的数取出来，记为T（12），接着又T（21），T（22）。于是就有了4个“矢量”。那两个一维的不可约表示是一维的，也能构成两个“矢量”，构成G（1）和F（1）。（换不同的字母是为了区别不可约表示）。总之，办完这件事，就有了6个“矢量”。好了，完备性定理告诉我们：这6个基是完备的，即任何矢量可以用它们来展开。正交性定理告诉我们：只有当基矢是取自同一个不可约表示，同样的行和列时，内积为一常数----群的阶数，否则为0。这和在常见的矢量的的完备，正交有很大的相似！
理解群函数和群函数代数对理解类代数也有好处。可以猜想，由K（i）构成的基应该是完备的，实际上它也能作为群的展开基。
就写到这里了，问题太多了。。。
初学《群论》3
半个学期过去了，老师的群表示论这一章快要告一段落，我还是在如何把群论和量子力学联系在一起的问题里打转转，有很多的细节无法用群论的理论和量子力学作出对应。还是先写写自己的体会吧：
量子力学的矩阵表示在搭建和群论的桥梁中显得尤其突出，因为群的表示理论是在线性空间上作出的，而量子力学也建立在这种空间上，不过是无限维的。波动方程和路径积分形式似乎在这方面要逊色一些了。
先说单个厄米矩阵的对角化，实际就是重新选择一组基矢，让矩阵在这种幺正变换下是准对角的，而对角矩阵上的数就是本征值，也是物理上可以测量的值。
再说两个厄米算符，如果是对易的，从物理上说就是可以同时测量，从数学上说就是要找到这么一个幺正变换矩阵S，可以让这两个算符同时（！）对角化。组成这个S的就是属于两个算符的共同（！）本征矢，对角化后的矩阵对应着可以测量的值。当然，在物理上为了解除简并，必须找到对易守恒量完全集，这样可以把一个状态完全用好量子数完全标记。
之所以写这些，是因为在求群的不可约表示时，用到了一种类似于物理中的“对易守恒量完全集”的方法。
我想还是应该注意到二者的区别和联系。
求群的不可约酉表示一般是在群空间上的正则表示下进行的。由于正则表示一般是可约的，我们的目的就是要找到这么一个S，当它对每一个群元（！）的正则表示作用时，会把它们变成分块对角（这里要做的是对幺正矩阵进行--分块对角，而不像在厄米矩阵上做的那样--准对角！）的形式。这样的数学意义，实际上是在群空间上重新选择基矢，把正则表示下的不变子空间找出来，可约表示也就被分成了更为基本的不可约表示。还应该注意到这样做的好处：把每个群元（！）分块对角形式写出来，然后把每个矩阵中属于同一个子空间的那个不可约表示拿出来，他们构成维数更少，更基本的表示。这些都是由正交完备定理保证的，但它并没有提供一种方法，告诉我们怎样找S。
类比于量子力学中的方法，我们应该找一个群上对易的算符集合（守恒在这里我想还暂时还谈不上）。很幸运的，类算符满足这种条件，它们之间是相互对易的。拿D（3）群为例，类算符集合取为K（1），K（2），K（3），分别对应{e},{d,f},{a,b,c}.K（1）是恒等算符，踢掉。为了找到完整的集合，把群G中和K（2），K（3）对易的再找个出来，比如说找d。那么f就不用了，因为d*d=f。于是计算{K（2），K（3），d}的本征矢。其实本征值是可以再不求出本征矢的情况下用特征标理论算出来的。于是假设x=c(1)e+c(2)d+c(3)f+c(4)a+c(5)b+c(6)c，这样以后可以算出本征矢。这其中还涉及到解除不可避免的简并问题，数学家规定标准基的取法，要求它不仅是算符左乘的本征矢，而且是右乘的本征矢，这样可以消除此类问题。最后就会求出S。以上只是个粗略的过程。
好了，我现在也就能把量子力学和群论联系到这种程度了，还有很多的细节需要慢慢解决......
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